de n lados, respectivamente, inscritos e circunscritos a uma circunferência de diâmetro 1, mostre que para n>

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1 ESCOLA SECUNDÁRIA COM º CICLO D. DINIS COIMBRA º ANO DE ESCOLARIDADE MATEMÁTICA A Tarefa º 5 do plao de trabalho º Sucessões Covergetes Arquimedes e valores aproximados de π Arquimedes, matemático da atiguidade grega, que viveu etre 87 e a. C., dedicou uma parte da sua obra ao estudo de curvas. Já a altura se sabia que o comprimeto de uma circuferêcia é directamete proporcioal ao seu diâmetro e que a costate de proporcioalidade é um úmero pouco maior que. Para determiar valores aproximados desse úmero, π, Arquimedes cosiderou sucessões de polígoos iscritos e circuscritos a uma circuferêcia de diâmetro. À medida que o úmero de lados dos polígoos ia aumetado, o perímetro dos polígoos ia-se aproximado cada vez mais do perímetro da circuferêcia, us por defeito e outros por excesso. Quer dizer, era possível obter valores tão aproximados de π quato se quisesse, bastava tomar polígoos com um úmero de lados suficietemete grade. Para fazer os cálculos, Arquimedes recorreu a processos trabalhosos, que icluíam raízes quadradas, médias harmóicas e médias geométricas. Chegou assim ao cálculo dos perímetros dos polígoos iscrito e circuscrito com 96 lados. Hoje em dia, com os cohecimetos de trigoometria de que dispomos e com o recurso às calculadoras ou aos computadores, podemos calcular facilmete perímetros com um úmero de lados tão grade quato quisermos.. Se p e P represetarem os termos gerais das sucessões dos perímetros dos polígoos de lados, respectivamete, iscritos e circuscritos a uma circuferêcia de diâmetro, mostre que > : 80º a. p = se 80º b. P = tg. Calcule os termos das duas sucessões =, 6, 9, 0, 60, 90, 00, 600, 900 e compare-os com o valor de π. PROFESSORA: Rosa Caelas 005/006

2 . Haverá algum termo da sucessão ( p ) que seja um valor aproximado de π com 6 casas decimais exactas? Quatos termos da sucessão há estas codições? covergete é uma sucessão que tede um úmero real. Um ifiitésimo é um caso particular de sucessão covergete. Uma sucessão que ão é covergete diz-se divergete. Limite de uma sucessão é o úmero real o qual a sucessão coverge. 4. Use a calculadora estudar as sucessões ( p π) e ( π) Uma sucessão ( u ) coverge um úmero real α se ( α) P quato à covergêcia. u é um ifiitésimo. Isto sigifica que, dado um úmero δ positivo, tão pequeo quato se queira, existe uma ordem a partir da qual todos os termos da sucessão ( u ) são valores aproximados de α a meos de δ, isto é: α <δ u, ou u V δ( α) u ou ] α δα+δ[ 5. Idique, justificado, quais das seguites afirmações são verdadeiras e quais são falsas. Em cada um dos casos, se possível, dê um exemplo ou um cotra-exemplo. a. Uma sucessão moótoa crescete pode ser covergete zero. b. Uma sucessão covergete é uma sucessão limitada. c. Uma sucessão limitada é covergete. d. Uma sucessão ão covergete ão é uma sucessão limitada. e. Uma sucessão que tem por limite a pode ter um úmero ifiito de termos que ão perteçam ao itervalo ] a δ, a δ [ +, se δ for suficietemete pequeo. f. Uma sucessão covergete ou é crescete ou é decrescete. g. Uma sucessão de termos positivos pode teder um úmero egativo. h. Uma sucessão limitada e ão moótoa ão é covergete. 6. Cosidere as sucessões seguites e cojecture sobre o seu comportameto quado +. 7 a. e. ( ) i. + 5 b f. (0,5) g. j c. 0 d h. k. l PROFESSORA: Rosa Caelas 005/006

3 ESCOLA SECUNDÁRIA COM º CICLO D. DINIS COIMBRA º ANO DE ESCOLARIDADE MATEMÁTICA A Tarefa º 5 do plao de trabalho º proposta de resolução Sucessões Covergetes Arquimedes e valores aproximados de π Para determiar valores aproximados do úmero, π, Arquimedes cosiderou sucessões de polígoos iscritos e circuscritos a uma circuferêcia de diâmetro. À medida que o úmero de lados dos polígoos ia aumetado, o perímetro dos polígoos ia-se aproximado cada vez mais do perímetro da circuferêcia, us por defeito e outros por excesso. Quer dizer, era possível obter valores tão aproximados de π quato se quisesse, bastava tomar polígoos com um úmero de lados suficietemete grade. Para fazer os cálculos, Arquimedes recorreu a processos trabalhosos, que icluíam raízes quadradas, médias harmóicas e médias geométricas. Chegou assim ao cálculo dos perímetros dos polígoos iscrito e circuscrito com 96 lados. Hoje em dia, com os cohecimetos de trigoometria de que dispomos e com o recurso às calculadoras ou aos computadores, podemos calcular facilmete perímetros com um úmero de lados tão grade quato quisermos.. Se p e P represetarem os termos gerais das sucessões dos perímetros dos polígoos de lados, respectivamete, iscritos e circuscritos a uma circuferêcia de diâmetro, mostre que > : a. Da figura ao lado, ode x represeta o lado do triâgulo iscrito, resulta que x 80º 80º se = se = x e 80º p = se. Geeralizado, um polígoo de 80º lados, fica p = se PROFESSORA: Rosa Caelas 005/006 60/ x/ 80/ /

4 b. Da figura ao lado, ode a represeta o lado do triâgulo circuscrito, resulta que a 80º 80º tg = tg = a e 80º P = tg. Geeralizado, um polígoo de lados, 80º fica P = tg a/ 80/ / 60/. Calculemos os termos das duas sucessões com ordem, 6, 9, 0, 60, 90, 00, 600, 900 e compare-los com o valor de π. Vamos utilizar a calculadora: Cocluímos que à medida que aumeta os termos aproximam-se do valor de π. Este resultado era previsível pois o perímetro dos polígoos tede o perímetro da circuferêcia que é P = π P= π.. Haverá algum termo da sucessão ( p ) que seja um valor aproximado de π com 6 casas decimais exactas? Quatos termos da sucessão há estas codições? Vamos utilizar a calculadora respoder a esta questão: PROFESSORA: Rosa Caelas 4 005/006

5 Há termos da sucessão que são valores aproximados de π com 6 casas decimais exactas. Há 7007 ou 7008 termos estas codições, pois ão temos a certeza de ser o termo de ordem 980 já tem 7 casas decimais exactas pois a calculadora fez arredodameto. De qualquer modo basta-os saber a ordem de um termo que seja valor aproximado de π com 6 casas decimais exactas sabermos que os termos seguites são valores aproximados de π com pelo meos 6 casas decimais. 4. Usemos a calculadora estudar as sucessões ( p π) e ( π) covergêcia. P quato à Verificamos que à medida que a ordem aumeta os termos das duas sucessões se aproximam de zero, uma por valores egativos e a outra por valores positivos. 5. Idiquemos, justificado, quais das seguites afirmações são verdadeiras e quais são falsas. Em cada um dos casos, se possível, vamos dar um exemplo ou um cotraexemplo. a. «Uma sucessão moótoa crescete pode ser covergete zero». Verdadeira, um exemplo: a sucessão de termo geral u = que é crescete e covergete zero. b. «Uma sucessão covergete é uma sucessão limitada». Verdadeira, um exemplo: a sucessão de termo geral v = + é covergete e todos os termos verificam a codição < v, IN, logo é limitada. c. «Uma sucessão limitada é covergete». Falsa. A sucessão de termo geral ( ) w = é limitada e ão é covergete. d. «Uma sucessão ão covergete ão é uma sucessão limitada» Falsa. A sucessão de termo geral ( ) w = ão é covergete mas é limitada. e. «Uma sucessão que tem por limite a pode ter um úmero ifiito de termos que ão perteçam ao itervalo ] a δ, a δ [ +, se δ for suficietemete pequeo». Falsa, por defiição todos os termos a partir de certa ordem estão o itervalo PROFESSORA: Rosa Caelas 5 005/006

6 ] a δ, a δ [ +, logo os que estão fora do itervalo são em úmero fiito, são os termos até à ordem referida. f. «Uma sucessão covergete ou é crescete ou é decrescete». Falsa. A sucessão de termo geral s = ( ) coverge zero e ão é moótoa por ter os termos alteradamete egativos e positivos. g. «Uma sucessão de termos positivos pode teder um úmero egativo». Falsa. Por defiição terá de haver uma ifiidade de termos uma vizihaça do limite e ão há ehum úmero egativo que ão coteha outros úmeros egativos em qualquer uma das suas vizihaças. Um exemplo é a sucessão de termo geral r = que tem os termos todos positivos e coverge zero que ão sedo positivo também ão é egativo. h. «Uma sucessão limitada e ão moótoa ão é covergete». Falsa A sucessão de termo geral s = ( ) limitada porque os seus termos estão etre - e ão é moótoa por ter os termos alteradamete egativos e positivos mas coverge zero. 6. Cosideremos as sucessões seguites e cojecturemos sobre o seu comportameto quado +. 7 a. e. Tede 0 b. + 5 Tede f. (0,5) g. ( ) i j Tede 0 c. 0 0 d h. k. l Tede PROFESSORA: Rosa Caelas 6 005/006