Matemática E Extensivo V. 1

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1 Extesivo V. 0) a) r b) r c) r / d) r 7 0) A 0) B P.A. 7,,,... r a + ( ). a a 5 P.A. (r, r, r ) r ( r + r) 6r r r r 70 Exercícios 05) a 0 98 a a a 06) E 07) B 08) B 7 0 0; 8? P.A. ( 7, 65, 58,...) r 7 > ( ) > 0 > 79 7 a + r r r 8 r 6 >,8 a 0 a + r a a ( ) Pela propriedade do termo cetral, a + a. 0) 90 Com os elemetos da tabela formamos uma PA da seguite forma: r 5? a 595 a + ( ) ( 0,, 6, 9,, 5...) 09) 8º º termo º termo º termo º termo 5º termo Sedo assim, queremos achar o termo, pois cada liha possui termos. Com isso cocluímos que até a liha temos. 8 (multiplica-se por, pois cota-se da liha 0 à ) mais termos (liha e colua ). Segue: a 0 r? 0 + ( ) P.A. (x r, x r, x, x + r, x + r) x r + x /r + x + x + /r + x + r 50 5x 50 x 8 ) Verdadeiro 8 a r? (0 )r r 8 9r r 8 r 9

2 ) Verdadeiro ) C r 7? ( ) y y y 5 8 Veja que a P.A. x,, y,, z poderia ser escrita como (y r, y r, y, y + r, y + r) Assim, x + y + z y r + y + y + r ) E y a a a + em, que a + a + a 6 a a + 6 a a + a +a + a ) 5, 0 e 5 a a + 8 a + 8 a 0 P.A. (x r, x, x + r) (x + r) (x r) + x x + xr + r x xr + r + x xr + xr x 0 xr x 0 r x 0 x x (r r, r, r + r) (r, r, 5r) r r 5r S / r. r 50 / 6r 50 r 5 r 5 P.A.(5, 0, 5) 5) C 7 a+ a a a r a + + +r.( ) a6 + a7 5 a+ 5r+ a+ 6r 5 a + r 5 a r r 0 a + r 5 r usado: + r r ) a) 0 b) 0 x r x x + r a) Múltiplos de 9: (8,7,...,999) + ( ). r ( )

3 b) Múltiplos de 5: (5,,...,990) ( ) ) D Meses: F M a A a M a J J a 6 A S a 8 O a 9 7) C Múltiplos 9 e 5 são os múltiplos de m.m.c(9. 5) 5 P.A. (5, 80, 5, 990) ( ) N 0 Portato, o total de múltiplos de 9 ou 5 será a 9 a 0 a 9 0 a a 0 a 700 a 70 a 9 r? I. (V) A 68.. II. (V) Perímetro III. (F) O meor. 8) E + 0. r a + r a + r 0 + 9r + 50r a r a r a r a 0 ( + 99r) 99r a a 99 + r ( + 98r) 97r a a 98 + r ( + 97r) 95r 0 + 9r ( + 50r) r Logo, ( a 0, a a 99, a a 98,..., 0 ) ( 99r, 97r, 95r,..., r). Portato, a sequêcia é uma progressão aritmética de razão R r. 0) B a k + ( k)r a 9 a + ( )r r 700 6r 0 6r r 60 6 r 70 Logo: a 9 r Com o úmero de cartas em cada colua formamos a seguite PA: 7 7 ( a + a) S 7 ( + 7). 7 S S 7 56 S 7 8 (,,,, 5, 6, 7) Portato, o úmero de cartas o mote é dado por: 5 8 cartas.

4 ) C a+ a 6 a + a5 x r + x + r 6 x r 6 r x 6 x + x + r x + x + (x 6) x + x 6x + 6x 5 x 9 r. 9 6 (x r, x r, x, x + r, x + r) x r 9. r ) P.A. (,, 7, ) N a+ a A a. a B A x r + x + r x x x 5 ) a) X r; Y + r e Z + r b) r 7, X, Y e Z 7 (X,, Y, Z, ) razão r x r a) y + r z + r b) a + r r + r r 7 x r Y + r (,,, 7, ) Z + r 7 B (x r)(x + r) x + xr xr r x r 5 r r r (5. 5, 5, 5 +, 5 +. ) (,, 7, ) ) Fevereiro de 0. 5) E 000 r a 600 Empresa A ( 000, 00, 800,..., a,...) b 00 r b 00 Empresa B (00,00; 600,00; 900,00; 0,00; 500,00;...,...) Sedo A B (Valor doação) b 00 + ( ). ( 600) 00 + ( ) (00) ( ). ( ) 700 ( ). 900 meses Como º doação foi feita em jaeiro 0, os valores dos depósitos vão coicidir em fevereiro de 0. Ladrilhos claros: (,,,...) forma uma PA de e r. c c + ( ). c + c Ladrilhos escuros: (8,,,...) forma uma PA de 8 e r. e 8 + ( ) e e Temos aida, e Devemos ter c e, assim: ( ) Portato, o úmero de ladrilhos escuros é: e

5 6) D 7) E Etão, o total de ladrilhos é dado por: c + e (, 9, 6,..., K) K K + ( ). 7 K 7 5 (I) De (I) e (II) Logo, K 7. 5 K a 995 a 996 a9 00 a 00 razão 8% aumeto é aual. r,08 x x 0,08x 8) A Cálculo º termo, em que:?,08x r 0,08x C.resp. a 8x, a 06, x C ( ) x 0% 00% (8, 70, 58,...,K ) K 8 + ( ). ( ) K 8 + K + 9 (II),08x + ( ). 0,08x,08x 0,7x 0,6x 0,,,, Os umeradores e os deomiadores estão em P.A. Como o -ésimo termo é, sabemos que este, o umerador e o deomiador são iguais e chamaremos de p. (0,,,,..., p) + ( ). p 0 + ( ). p + 99 (, 5, 7,9,..., p) + ( ). r p + ( ). p + 9) E Como p p Logo, 98 a + r a + r R º termo º termo R [ a a ] [a ] R [( + r) ( + r) ] [( + r) ] R [( + r + r r r ] [ + r + r ] R [ + r + r r r r r + ] R r r r R r 0) 780 ) B r 0 + (0 ) Soma dos 0 primeiros termos: S 0 ( + 77). 0 S S Parcelas de juros formam uma P.A. de razão 0. Assim: 000 a ( 0) 0 Utilizado a soma da P.A., obtemos o total de juros pago: S ( ) ) C é o º múltiplo de 8 maior é o maior múltiplo de 8 meor 999. P.A. (,,..., 99) 99 + ( )

6 ) D ( + 99) P.A. (,...97) 97 + ( ) (a + a) S 8 (. 97). 8 S S 8 96 S 8 98 ) 80 a + a7 0 a6 + a9 50 a+ r+ a+ 6r 0 a+ 5r+ a+ 8r 50 a + 8r 0 ( ) a + r 50 a 8r 0 a + r 50 (+) 5r 50 r 0 + r + + 6r r S ( a + ). ( ). S 80 5) + S + S a a 5 P.A. (, 5, 7, 9,...) r 6) B 5 7 S S 7) E 8) B 9) A Logo P.A. (,,..., a ) a + ( ). 5 a + 5 a Assim, a + a + 8 S S S + a a idica a soma dos primeiros termos, temos: S + a +...+a 9 + a S 9 + a a 9 Logo; a s s 9 e sedo 8. S 8 8() 799 S 9 8 8(9) 67 a S S a 5 P.A. (,,,,...), r? 7 livros livros 5 livros ( S a + ). ( 00 + ). ( + ). 7 ( + ) ' 8 "9 6

7 ( + ) ( ). + 9 Substituido em ( + ). 00 ( + + 9) (:) 0 ou ão covém 0) D P.A. ( 0,, 8,,...) 0 + ( ). + 6 ( ). 800 ( + 6) (:) ' 6 " 5 ) C 0 ( k + 5) ( ) k ) 0 P.A. fiita com 0 termos. P.A. (, 6, 9,,...) r 7 + ( ) r + ( ) > 0 ( a + ) ( + 7 0). ( 7 7 ). Vamos verificar se existe algum para o qual 0. ( 7 7). 0 (7 7) Logo, o úmero míimo de termos que tora > 0 é 0 (para que seja positivo). ) B Soma dos úmeros pares (P): 0 r 0 + ( ) Logo, P ( + 0 ). 50 P. 5 P 550 Temos aida a soma dos úmeros ímpares (I): r ( ) Logo, I ( + 99 ). 50 I 0. 5 I 500 Portato, P I ) B ( S a + ) (550 + a ) a a 000 a 600 Pela defiição geral: a + 9r r 9r r 50 Logo º de peças em agosto. + 6r

8 5) A ( ). P.A. + ( + )r S Sala Tiradetes: a 0 r S 80 lugares a a 56 Sala Icofidêcia a 0 r 5 8 a a 8 55 S 8 ( ). 8 S 8 00 Portato, somete a sala Tiradetes será utilizada. 6) 0 Termo médio: m + m + m m 6 7) A Assim temos: Logo, S ( + ) 0 S 80. S. 0 S 0 parcela ímpar + 5 parcelas ímpares parcelas ímpares 0 0 parcelas ímpares Somado a quatidade de elemetos ( a + ). ( + 0) elemetos Etão quero +a +a +...+a Mas que é a? +( ). r a + ( ). a a 9 Logo, a P.A. é (,, 5, 7, 9,...,9) ( a + ). ( + 9). 0 8) 9) A 50) B q 9. q a 9. 9 a 9. 8 a q q 8 q q a q 8 a 0. q 9 a a

9 5) B 5) D P.G. em que q, em que 5 P.G. (,,, 8,..., 5) q ?. q t t 096. (t ) t 5) A Fatorado 096 t t t Isso sigifica que do 00 ao 096. temos "pulos" de 0 mi. Assim,. 0 0 mi horas. Iício: Daqui dia: 08 Daqui a dias: 096 a Daqui dias: ) 95 5q a 0. q 0 5q 5q 0 0 q q 6 0 q 55) C 56) B 5. 5 a 5 a 5 Logo, P.G. (x, y, z) y x. y (propriedade do termo cetral) q q/ 6875 q q q q.. 5 q. 5 q 5 q ) E 58)5 59) D a 75 a 5 + a + a milhão 6 bilhão 9 a trilhão a mictilhão a 00 q a 00. q 999 a ( ) 999 a a ( + x) ( + x) (9 + x) x + x 9 + x + 9x + x x x 5 (, a 6, ) (, a 6,6) a 6. 6 a a 6 60) C PG (x, 8x, 6x) base altura área área bh. 6x x. 8 x x 6 x x 6 Se: a q 9

10 6) 6) A a+ aq a q i + ( ) () aq + aq 9 a( q + q ) 9 () ii Fazedo (ii) (i), temos: a ( q + q ) 9 ( + q) q + q 9 + q q ( + q) 9 + q q 9 q 9 q Ao v Ao a v 0% v 70% v Ao a (70%)(70%. v) (70%). v P.G. (v, 70% v, (70%) v,...) q 70% a 8. q 7 v (70%) 7 (0,7) 7. v 6) 0 a + a5 + a aq + aq + aq a6 + a7 + a8 aq + aq + aq aq ( + q+ q ) 56 () i 5 aq ( + q+ q ) () ii Fazedo (ii) (i), temos: 5 aq ( + q+ q ) aq ( + q+ q ) 56 q² q ou q (ão serve, P.G. de termos positivos) Substituido q em (i), teremos:. ³( + + ²) Portato a. q². ² 6) A 65) E P.A. (x r, x, x + r) x > 0 x r + x + x + r 5 x 5 x 5 P.A. ( 5 r, 5, 5 + r) P.G. (7 r,, 8 + r) (7 r)(8 + r) r 8r r r + r 6 0 r' (ão covém) r" P.G (5,, 0) Maior 0 Quito termo da progressão (97,, 8,...) 97 q 97 5?. q Vigésimo segudo termo da sequêcia ( 5,, 7,...) 5 a? r ( 5) a 5 + ( )7 a a a 96 Segudo termo da progressão, x, 95, 9 x. 5 (propriedade do termo médio P.G.) 8 x. 5

11 9 x Portato, a sequêcia é dada por: 96,, A sequêcia é uma progressão geométrica de razão r 8, pois q ) B 67) B 58. q 58 q 79 q 6 Se q é primo, etão q e 7. P.G. (, 6, 8, 5, 6, 86, 58) Logo, + a q. q q O problema agora cosiste em descobrir as formas de escrever como potêcia de um úmero iteiro positivo. º caso: q q e P.G. (,,, 8, 6,, 6, 8, 56, 5, ) º caso: ( ) q q e 6 P.G. (,, 6, 6, 56, ) º caso: ( 5 ) q q e P.G. (,, ) º caso: q q e P.G. (,) Logo, P.Gs. 68) 095 q S.( ) S S 096 S ) B S. 9 S 70) C s? s a 0 + (0 ). a a 0 59 PA (, 5, 8,..) ( a + ). ( S + 59). 0 / 6 P.G. (,,..) q S. S 6 5,50 S

12 7) D? a a aq a a q.( ) a a 9 aq a 9 a.( q ) 9 (:) q q Observe: 7 q (q ). (q + q + ) q q ( ).( + q + ) 7 q + q + 7q + 7 ( q).( q+ ) q q 0 q' q" ( ). 7 7) 7 P.G. {, 6,,...} a q.( ) q 8.( ) 8 75) B aos A sequêcia (0,,,,, 9, 6, 7, 8,...) pode sere separada da seguite forma: (0,,, 6, 8,...) sequêcia dos úmeros pares (P.A.) (,, 9, 7,...) Progresão geométrica de razão q Sequêcia dos úmeros pares (P.A.) 0 r 0 (metade do úmero de termos da sequêcia origial) P.G. (, 6,,...) S 8 a ( ) q 8 8. ( ) q 765 a (0 ) a 0 9. a 0 8 7) C x x x x x q a S q x 0 x x 0 7) A Primeiro triâgulo área. 8 Segudo triâgulo área. Terceiro triâgulo área., e assim sucessivamete. Segue ( a + ). (S 0 ) P.A. ( ) (S 0 ) P.A. 8. (S 0 ) P.A. 80 Soma P.G.: a q.( ) q S 0 0 ( ) (S 0 ) P.G Portato, (S 0 ) P.A. + (S 0 ) P.G PG com a Soma 8 8 q 8.

13 76) A Vamos calcular a soma de um lado dos triâgulos: q a q Como os triâgulos são equiláteros, temos que o perímetro é dado por: p ) / cm Áre (quadrado iicial) Área ( ovos quadrados).. 9 Área (9 ovos quadrados) P.G. com q a 5! a 6! Correto. x a q 50 80) x 8) A 50 x x 50 x x x a x a a a a x x a x a. a a a xa/ a a / a x B cm 78) B a q x x x x B A 79) x 0. Icorreto. É uma P.A. com r. 0. Correto. (,, 5, 7,...) a Correto. ( + )!! 6 a! Temos AB (diagoal do quadrado) BB BB+ BB + BB +... B B Soma P.G. ifiita razão q BB ( AB ) ( AB) +( BB ) ( AB ) ( ) + () ( AB ) 8 AB 8 AB

14 8) D S i 8 S p a a + a + a 6 + a q + a q + q + q q( + a ) 7 q. 8 7 q 8) ( + ). R R )C A bola percorre metros até bater pelª vez o chão, etão ela sobe 60% de m. Sobe: 60% de, m} a,8 Desce:, m Sobe: 60% de,, m P.G. com q 0,6 Desce:,m a S 8 8 q.. metros 0, 6 0, Não esquecedo que ela desce metros o iício, temos: ) a) b),5 Cosidere 8 ; 7 ; 7 ; 77, ; ; ;... 8; a ; 7; 7 posições ímpares P.G. R diagoal l R R R º raio R º raio l R P.G (R, R,...) q R R ( ) R R( + ) / R( + ) / R( + ) com q. a ; a 7; a 6 7 q. posições pares P.G com a) o 0º termo será o a da P.G. (, 7, 7/,...) a. 9 a. 969 a b) ( ) ,5

15 86) B P.G. dos umeradores q O 5º deomiador vale 6. Cosiderado 5ª fração, ) a) b) a) E b) E Como , temos: E 88) 5 0. Correta r ( ) Correta. (x + ) + (x + ) + (x + 7) (x + 8) 55 ( x + x+ x x ) + ( parcelas parcelas Vamos calcular a soma S ( a + a) S ( + 8 ) S 9. 5 S 9. 5 S 5 Segue, x x 55 5 x x 0. Correta. q 8. q a 8. ( ) 8 a 8. ( ) 7 a 8 ( ) 8 a 8 a Correta. 89) 05 q a q 0. Correta. Cosidere a sequêcia (, 5, 7,..., x) Temos que: r x x + ( ) x + x + 5

16 Temos aida: ( a + a) ( + x ) 0 ( + x ) 0 ( + x) 0. ( + x) 880 x + I Segue: () ( + x ) 880 () II Substituido (I) em (II), temos: ( + + ) 880 ( +) ( ) Resolvedo a equação, teremos: ' 0 " (ão covém, pois ão existe úmero de termos egativos.) Substituido ' 0 em (I), temos: x. 0 + x 0 + x Assim, a 0 0 S 0 ( + ) S 0. S 0 0 Solução alterativa: Supoha que a alterativa seja verdadeira, etão deve satisfazer a equação: x 0 Cosidere a sequêcia (, 5, 7,..., x) r + ( ) A som é dada por: S 0 ( + ) S 0. 0 S 0. S Icorreta. q 6 6 a q ( ) q 6 S 6 6 S 6 6. S 6. 6.( ) S 6 6 S S Correta. a 5 a 5 () I 5 5 a6 a6 a. q ( II) 9 9 Substituido (I) em (II), temos: 5. q 5 9 6

17 q q. 9 q 7 q 7 q Substituido q em (I), temos: a Icorreta. Na sequêcia (, 7,,, 6,...) + ( ) Na sequêcia (5,, 5,...) 5 + (50 ) Queremos saber quatos múltiplos de 5 existem etre e r ( ) ) C A L L A L (um triâgulo retirado) 8 A L.. L (três triâgulos retirados) PG com q >. L L. 8 >. L L L. > 8/ 6 / L > L (. ) < < + < Como e 5, temos < < 5 < ( 5 ) 5 < 0 ( ) 5 50 < 6 ( ) 5 50 < 7

18 6 < < 75 6 > 75 > 75 6 >,5 Portato, 9) Cada vez que o processo é realizado, cada quadrado existete é dividido em ove partes, das quais uma é retirada, restado oito ovos quadrados. Assim, de cada quadrado surgem 8 mais. O úmero de quadrados restates após º, º,... -ésima aplicação do processo são termos da P.G. (8, 6, 5,..., 8,...), cujo -ésimo termo é 8. As áreas dos quadrados removidos cada vez que o processo é aplicado são termos da P.G. ; 9 8. ; 8 6. ; com razão 8 9. A soma das áreas dos ifiitos quadrados retirados é: Restarão 8 quadrados e a soma das áreas dos ifiitos quadrados retirados é. 9) D Observe a seguite tabela: Ao Desvalorização em R$ Os valores formam a seguite sequêcia: (5000, 500, 000, 0500, 9000) Portato, S 5 ( ) 5 S S ) 5 0. Correta. 8 a r? (0 )r r 8 9r r 8 9 r 0. Correta. P.A. (5, 8,..., ) 5 r 5 + ( ) Segue, ( a + a) S ( 5+ ). S 6. S Correta. a aq Temos que: a7 aq 6 Fazedo (II) (I), obtemos: 6 a q 6 a q q q 6 6. q 6 q () I () II 8

19 ou q (ão é válido, pois ão satisfaz as 6 hipóteses.) Assim:. q Correta. 5 r a q ) R$65,00 (, di dia,. 7 6,,..., 0 ) dia dia 0 Riquiho receberá a quatia dada pela soma da sequêcia: 0 0 ( a + a) S 0 ( + 00 ) S 0. 5 S O valor que Riquiho receberá a mais do que receberia é: reais. 95) / P.G. (x, xq, xq ) P.A. (x, xq, xq ) x+ xq xq (propriedade de P.A.) x + xq. xq x( + q ) xq (x 0) + q q q q + 0 Vamos resolver a equação acima: a b c Δ b ac Δ ( ).. Δ 6 Δ q b ± a q ( ) ±. q + 6 q ± 6 6 (ão serve, caso co- 6 q" 6 trário x y) 96) C Logo, q Progressão aritmética formada pelos diâmetros das circuferêcias a ordem meor para a maior. P.A. (0,,,..., 00) r 0 97) (6,, 8) Seja P.A. (x r, x, x + r) Soma dos termos: x r + x + x + r 6 x 6 x 6 x Logo, a P.A. é da forma: P.A. ( r,, + r). 9

20 98) D 99) E Segue, P.G. ( r,, + r + 6) P.G. ( r,, 8 + r) ( r) ( 8 + r ) (propriedade de P.G.) 6 + r + 8r r r 6r r 6r Resolvedo a equação, obtemos: r' 6 r" (ão serve, P.A. crescete) Logo, os úmeros são (6,, 8). O comprimeto dos segmetos sequeciam-se segudo uma P.G. de razão p e AO (tomado os segmetos a partir do poto A). P.G. (, p, p, p,..., p 5 ) A posição horizotal (abscissas) do segmeto B, há que se cosiderar apeas os segmetos horizotais (ordem par). S p + p p 6 + p 8 p + p p Sedo a expressão acima uma P.G. com úmero fiitos de termos, vem: q p 8 a q ( ) q S 8 8.[( p ) ] p 6 S 8 p (multiplicado em cima e embaixo por ) p S 8 6 p p + S (c, a, 7a) 7a+ c a (propriedade de P.A.) 7a + c a c a 7a c 5a (I) S (b, c, c ) b+ c c (propriedade de P.A.) b + c c b 0 b (II) S (b, a c, c) b c a c b c a c b a b a (III) Substituido (II) em (III), temos: a a (IV) c 5. c 5 Logo, as sequêcias são: S (,, ) S (, 5, ) S (, 7, ) Portato, as razões são dadas respectivamete: r r 6 r Assim, a sequêcia S (, 6, ) é uma progressão geométrica de razão q. 0) A Seja P.A. (x r, x r, x, x + r, x + r). Temos que P.G. (0,5, 0,5, 0,5) q 0,5 0,5 a q 05, 0, 5 05, 05, Segue, P.A. ( r, r,, + r, + r) r + r 5 0

21 ) C ) 8 ( a + a) S 5 ( r+ + r ) 5 S 5. 5 S 5 5 Seja x a idade do filho mais ovo. Colocado as idades dos filhos em ordem crescete, teremos: (x, x +, x +, (x + ), (x + )) Como a idade do mais velho é dada pela soma das idades dos demais, etão temos: x + x + + x + + (x + ) (x + ) 5x + x + 6 5x x 6 x Logo, as idades dos filhos são: (,, 6,, ). Portato, a difereça etre as idades do mais ovo e do mais velho é: aos. Primeiramete vamos achar o valor de x e y. Da P.A. (x, y, x + y), temos: x+ y y (propriedeade de P.A.) x + y y x y y x y x Da P.G. y, x, y, temos: x x y x x x x 0 x(x ) 0 x 0 ou x. y (propriedade de P.G.) Supoha x 0, etão y 0 (x y). Absurdo, pois y 0. Portato, x Segue, P.A (,, ) P.G.,, 0. Icorreto. P.A. de razão r 0. Correto. q 0. Icorreto. x + y Icorreto. x y 5 6. Correto. Calculado o iício da questão. ) B ) E Seja P.G. x q x xq PG x q,,.., x, x Subtraido 8 o terceiro úmero, temos: P.A. x, x, x 8 x + x 8 x (propriedade de P.A.) x+ 9x x x x x 6x x 6x x x x 6 Temos que: P.A. (, 6, ) Logo, S S 8 Soma da P.G. a q ( ) q a( ) 80a ( S) PG.. 60

22 5) A Soma da P.A. (S ) P.A. ( a + a) (S ) P.A. ( a a ) + ( + a ) 60 Como ( ) P.G. ( ) P.A. e a + r, temos: ( + a ) 60 ( + + r) 60 ( + r) r 60 + r 60 + r 0 r 0 r 7 r 7 r 9 Seja P.A. (, x, y) y + x y + x x y Cosidere o sistema formado pelas equações: x y I () x+ y () II Somado (II) e (I), temos: x x + x Substituido x em (II): + y y + y 5 Substituido x e y 5 em + x + y zw: zw 9 zw (IV) 6) C Agora cosidere a P.G. (, z, w). z w (VI) (propriedade de P.G.) Substituido (VI) em (IV), temos: 9 z. z 9 z z 9 Note que: q z z Portato, q 9. P.A. (, a, a, a ) P.A. 7 7, a, a, + r Como a, temos: 7 + r r 7 r 67 r 9 7 r 9 7. r 7 Temos aida: Como + e, temos: Segue, a 6 a 6 a (propriedade de P.G.) a 6 9 ( > 0, r > 0, etão a 6 > 0) a 6 Daí, q a a6 5 Portato, r q.

23 7) C 8) 0 Δ (b) ac 0 b ac 0 b ac 0 b ac Logo, a, b e c satifazem a propriedade de P.G. e formam uma progressão geométrica. 0. Icorreta. Note que a P.A. é decrescete de razão r <, pois < 5. Logo existe algum elemeto egativo. 0. Correta. Vamos verificar se é P.A. Devemos ter: 5 (para que a sequêcia seja uma P.A.) Logo, 5 Portato, ão é P.A. Vamos verificar se é uma P.G. Devemos ter 5 a (para que a sequêcia seja a a P.G.) a5 8 0,6 a 0 a 0 0, a 7 Logo, 8 a5 0 Portato, ão é P.G. 0. Correta ( a + a) S 5 ( ) 5 S 5. 5 S S Correta. ( ) 7. 8 ( ) 96 ± 96 ±6 q 8 a5 6 ± ± 6 ± a. q a. ± ± a. ± a 6. Correta. Par, temos: a. 58 9) D 77 a 87 Vamos calcular (quito termo) da P.A. 6 r (5 ) Vamos calcular (quito termo) da P.G. 6 q 5 q

24 ) D P.A. (x, m, 6x) 6x+ x m (propriedade de P.A.) 7x m (I) P.G. (x,, 9x) 9x (propriedade de P.A.) 9x ( N) 9. x (x > 0). x x (II) Substituido (II) em (I): 7. m 9 m m (III) 9 Vamos atribuir valor qualquer de dois algarismos a m. Seja m 8 (ote que m foi escolhido de maeira que seja divisível por 9 com iteção de facilitar as cotas). Subtraido (III) em (II), temos: x 8 x 6 Logo, P.A. (6, 8, 56) P.G. (6, 8, 5) Soma dos 6 termos é dada por: ) a P.A. (, a, a ) P.A. (,, a ) a P.G. ( +, a, a ) P.G. ( +,, a ) Cosidere o seguite sistema: a+ a (Pr opriedade de PA..) ( a+ )( a) (Pr opriedade de PG..) a a I () ( a+ )( a) () II Substituido (I) em (II), teremos: ( a + ). (a ) ( a + 7) ( a ) ) C (a ) + a + 7a (a ) + a 0 (multiplicado em ambos os lados da igualdade por ) (a ) a 0 Resolvedo a equação acima: a b c Δ b ac Δ ( ).. Δ 0 88 Δ a b ± a a ( ) ±. a ± a 5 ± Logo, a 5 + ou a 5. Substituido a 5 + em (I), temos: (5 + ) 5 (ão serve, pois < 0) Substituido a 5 em (I), temos: (5 ) > 0 (serve) Segue, P.A. ( +,, 5 ) Fazedo, r a r ( + ) r + r Seja P.A. (x r, x, x + r) de termos positivos. Soma da P.A. x r + x + x + r x 0 x 0 x

25 Logo, P.A. ( r,, + r) Temos aida: P.G. ( r +, + ( ), + r + ( 9)) P.G. ( r, 6, + r) 6 ( r) ( + r ) (propriedade de P.G.) 6 + r r r 6 + r r r r r r + 0 Resolvedo a equação, obtemos: r' r" Assim, para r temos P.A (,, ). (ão serve, pois os termos devem ser positivos.) Para r temos P.A. (8,, ). Portato, um dos termos da P.A. é. ) 00 Seja x o úmero de bactérias o iício da pesquisa: ª semaa: 0,8x ª semaa: 0,8.,x 0,88x ª semaa: 0,88x + 5ª semaa: 0,88x +. 0,88x + 56 Como o úmero de bactérias o fim d5 a semaa é igual ao iicial, temos: 0,88x + 56 x 56 x 0,88x 56 0,x x 56 0, x 00 bactérias 5