Whats: PROGRESSÃO GEOMÉTRICA

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1 Questões Vídeos 1. As áreas dos quadrados a seguir estão em progressão geométrica de razão 2. Podemos afirmar que os lados dos quadrados estão em a) progressão aritmética de razão 2. b) progressão geométrica de razão 2. c) progressão aritmética de razão 2. d) progressão geométrica de razão Carl Friedrich Gauss ( ) é cosiderado um dos maiores matemáticos de todos os tempos. Aos 10 aos de idade, ele apresetou uma solução geial para somar os úmeros iteiros de 1 a 100. A solução apresetada por Gauss foi 00, obtida multiplicado-se 101 por 0, como sugere a figura a seguir. Usado a ideia de Gauss como ispiração, respoda quato vale o produto a) 4 12 b) c) 12 4 d) O abadoo escolar o esio médio é um dos pricipais problemas da educação o Brasil. Reduzir as taxas de abadoo tem sido uma tarefa que exige persistêcia e ações cotiuadas dos orgaismos resposáveis pela educação o país. O gráfico apresetado a seguir mostra as taxas percetuais de abadoo o esio médio, para todo o país, o período de 2007 a 2010, em que se percebe uma queda a partir de Com o objetivo de reduzir de forma mais acetuada a evasão escolar são ivestidos mais recursos e itesificadas as ações, para se chegar a uma taxa em toro de,2% ao fial do ao de

2 Qual a taxa de redução aual que deve ser obtida para que se chegue ao patamar desejado para o fial de 2013? a) 10% b) 20% c) 41% d) 4% e) 1% 4. Os museus são uma das formas de comuicar as produções cietíficas etre as gerações. Um exemplo dessa diâmica é a comuicação da ideia de que ada que é humao é etero, sugerida por um sistema composto por um motor e egreages exposto um museu de São Fracisco, os EUA. Supoha que esse sistema é composto por um motor elétrico que está ligado a um eixo que o faz girar a 120 rotações por miuto (rpm), e este, por meio de um parafuso sem fim, gira uma egreagem a uma velocidade 20 vezes meor que a velocidade do próprio eixo e assim sucessivamete. Texto Adaptado: Revista Cálculo, Agosto Um sistema similar ao sistema descrito acima cotém egreages, todas ligadas umas às outras por meio de eixos e parafusos sem fim, que fazem cada uma das egreages girar 20 vezes mais letamete do que a egreagem aterior. Nestas codições, o úmero de egreages ecessárias para que a velocidade da última egreagem seja igual a 0, 01 rpm é: a) 3. b) 4. c). d) 6. e) 7.. Amalio Shchams é o ome cietífico de uma espécie rara de plata, típica do oroeste do cotiete africao. O caule dessa plata é composto por colmos, cujas características são semelhates ao caule da caa-de-açúcar. Curiosamete, seu caule é composto por colmos claros e escuros, itercalados. À medida que a plata cresce e se desevolve, a quatidade de colmos claros e escuros aumeta, obedecedo a um determiado padrão de desevolvimeto que dura, geralmete, 8 meses. * No fial da primeira etapa, a plata apreseta um colmo claro. * Durate a seguda etapa, desevolve-se um colmo escuro o meio do colmo claro, de modo que, ao fial da seguda etapa, o caule apreseta um colmo escuro e dois colmos claros. * Na terceira etapa, o processo se repete, ou seja, um colmo escuro se desevolve em cada colmo claro, como ilustra o esquema a seguir. 2

3 1ª Etapa 2ª Etapa 3ª Etapa 4ª Etapa 1 colmo 1 colmo 3 colmos 7 colmos E assim claro. escuro e 2 escuros e escuros e sucessivamete. colmos 4 colmos 8 colmos claros. claros. claros. a) Represete algebricamete a lei de formação de uma fução que expresse a quatidade total de colmos dessa plata ao fial de etapas. Apresete os cálculos realizados a resolução desse item. b) Ao fial de 10 etapas, quais serão as quatidades de colmos claros e escuros dessa plata? Apresete os cálculos realizados a resolução desse item. 6. A sequêcia de figuras acima ilustra três passos da costrução de um fractal, utilizado-se como poto de partida um trimió: o ível I é costituído de uma peça formada por três quadrados de 1cm de lado cada, justapostos em forma de L. No segudo passo, substitui-se cada quadrado do fractal de ível I por um trimió, que tem os comprimetos dos lados de seus quadrados adequadamete ajustados à situação, de forma a se obter o fractal de ível II, coforme ilustrado acima. No terceiro passo, obtém-se, a partir do fractal de ível II, também substituido-se cada um de seus quadrados por um trimió com os lados de seus quadrados ajustados, o fractal de ível III. O processo cotiua dessa forma, sucessiva e idefiidamete, obtedo-se os fractais de íveis I, II, III,.... Uma vez que represeta o ível do fractal, a área do fractal de ível é: 1 a) b) c) d) Cosidere o padrão de costrução represetado pelos desehos abaixo. 1 (1 ) e) 3 2 3

4 Na etapa 1, há um úico quadrado com lado 1. Na etapa 2, esse quadrado foi dividido em ove quadrados cogruetes, sedo quatro deles retirados, como idica a figura. Na etapa 3 e as seguites, o mesmo processo é repetido em cada um dos quadrados da etapa aterior. Nessas codições, a área restate, a etapa, é a) b) c) d) e) A população de marlim-azul foi reduzida a 20% da existete há ciqueta aos (em 13). Adaptado da Revista Veja, 0 de julho de Newsweek, 26 de maio de Cosiderado que foi costate a razão aual (razão etre a população de um ao e a do ao aterior) com que essa população decresceu durate esse período, coclui-se que a população de marlim-azul, ao fial dos primeiros vite e cico aos (em 178), ficou reduzida a aproximadamete: a) 10% da população existete em 13 b) 20% da população existete em 13 c) 30% da população existete em 13 d) 4% da população existete em 13 e) 6% da população existete em 13. Uma doa de casa faz compras de acordo com a tabela abaixo seguido a sequêcia. Mês Valor ( R$) Jaeiro 40,00 Fevereiro 44,00 Março 48, Dezembro? 4

5 Se o valor aual total que ela dispuha para compras era de R$ 1.800,00, podemos afirmar que : Dado : (1,2) 12 8, e (1,2) 11 7,4 a) O valor gasto em dezembro é iferior a R$ 10,00 b) O valor gasto em dezembro está etre R$ 200,00 e R$ 20,00 c) sobrará aproximadamete R$ 220,00 o fial dos 12 meses. d) sobrará aproximadamete R$ 30,00 o fial dos 12 meses. e) faltará aproximadamete R$ 60,00 o fial dos 12 meses 10. Um estudate prepara-se para uma competição de atação e corrida a sua escola. No primeiro dia de sua preparação, ele ada 2m e corre 100m. Sabedose que ele ada sempre o dobro do que adou o dia aterior, corre sempre 300m a mais do que correu o dia aterior e que os primeiros N dias, somado-se as distâcias que ele adou ecotramos 3.17m, podemos afirmar que o estudate correu durate estes N dias a quatidade de : a) m. b) 1.00 m. c) m. d) m. e) m. 11. O vazameto dos dutos de uma plataforma de perfuração de petróleo provocou, o mar, uma macha de óleo, em forma circular, cujo diâmetro, o primeiro dia, atigiu 2 metros. Os técicos só coseguiram tomar providêcias após um mês, tedo por dia o raio da macha aumetado 1 do aumeto verificado o dia aterior. No fial do décimo dia após o iício do processo, qual era a medida, em metros, do raio da macha? a1 1 q Dado: S 1 q a) b) c) d) e) No piso do hall de etrada de um shoppig, foi desehado um quadrado Q1 de 10 m de lado, o qual está iscrito um segudo quadrado Q2 obtido da uião dos potos médios dos lados do quadrado aterior e, assim, sucessivamete, Q3, Q4,..., formado uma sequêcia ifiita de quadrados, segudo a figura. Dessa forma, a soma das áreas dos quadrados é de a) 2 m 2 b) 2 2 m 2 c) 200 m 2 d) 0 2 m 2 e) 100 (2 + 2 ) m Na figura abaixo temos uma espiral formada pela uião de ifiitos semicírculos cujos cetros pertecem ao eixo das abscissas. Se o raio do primeiro semicírculo (o maior) é igual a 1 e o raio de cada semicírculo é igual à metade do semicírculo aterior, o comprimeto da espiral é igual a

6 a) π. b) 2 π. c) 3 π. d) 4 π. e) π. 14. Um fractal é um objeto geométrico que pode ser dividido em partes, cada uma das quais semelhates ao objeto origial. Em muitos casos, um fractal é gerado pela repetição idefiida de um padrão. A figura abaixo segue esse pricípio. Para costruí-la, iicia-se com uma faixa de comprimeto m a primeira liha. Para obter a seguda liha, uma faixa de comprimeto m é dividida em três partes cogruetes, suprimido-se a parte do meio. Procede-se de maeira aáloga para a obteção das demais lihas, coforme idicado a figura. Se, partido de uma faixa de comprimeto m, esse procedimeto for efetuado ifiitas vezes, a soma das medidas dos comprimetos de todas as faixas é a) 3m b) 4m c) m d) 6m e) 7m 1. a) Um sábio da Atiguidade propôs o seguite problema aos seus discípulos: Uma rã parte da borda de uma lagoa circular de 7, metros de raio e se movimeta saltado em liha reta até o cetro. Em cada salto, avaça a metade do que avaçou o salto aterior. No primeiro salto avaça 4 metros. Em quatos saltos chega ao cetro? b) O mesmo sábio faz a seguite afirmação em relação à situação do tem A: Se o primeiro salto da rã é de 3 metros, ela ão chega ao cetro. Justifique a afirmação. 16. Cosidere a seguite soma ifiita: No gráfico I, a seguir, cada parcela desta soma é represetada pela área de um retâgulo, e a soma ifiita é determiada pela soma das áreas desses retâgulos. No gráfico II, embora a cofiguração dos retâgulos teha sido alterada, as áreas se matêm iguais. 6

7 Com base essas iformações, podemos afirmar que a soma ifiita tem o seguite valor: a) 3 2 b) 2 c) 2 d) Um alfabeto miimalista é costituído por apeas dois símbolos, represetados por * e #. Uma palavra de comprimeto, 1, é formada por escolhas sucessivas de um desses dois símbolos. Por exemplo, # é uma palavra de comprimeto 1 e #* * # é uma palavra de comprimeto 4. Usado esse alfabeto miimalista, a) quatas palavras de comprimeto meor do que 6 podem ser formadas? b) qual é o meor valor de N para o qual é possível formar de palavras de tamaho meor ou igual a N? 7