MATEMÁTICA APLICADA RESOLUÇÃO

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1 GRADUAÇÃO EM ADMINISTRAÇÃO DE EMPRESAS - SP 05/06/06 Para a costrução de uma jaela a sala de um teatro, eiste a dúvida se ela deve ter a forma de um retâgulo, de um círculo ou etão da figura formada pela uião de um quadrado com um semicírculo a sua parte superior Determie a forma da jaela de maior superfície, para que a lumiosidade seja máima, se seu perímetro, em qualquer caso, for igual a 4 metros Aproime o valor de π ao úmero iteiro mais próimo para obter as áreas Forma de um retâgulo: Área = ( ) = - ² + b A área é máima para = = = 6 ; = 6 metros a ( ) A área é igual a 6² = 6 m² πr = 4 Forma de um círculo: 4 r = = 4 A área é igual a π r ² = 4² = 48, ou seja, 48 m² + π = 4 Forma combiada de um quadrado mais meio círculo: 4 = 5, 4, 5 A área é igual a: ² + π( )² = ²( + ) 8 Note que ² = (5,)² = 8,09, aproimadamete 8 m² A área é aproimadamete igual a:, ou seja, 8,64 m² A jaela de área máima se obtém com a forma circular

2 GRADUAÇÃO EM ADMINISTRAÇÃO DE EMPRESAS - SP 05/06/06 A Cosidere três úmeros iteiros e positivos, y e z Se = z e y = ( z ), é certo afirmar que a difereça y é um úmero ímpar? Justifique sua resposta Se é um úmero iteiro e positivo, a = + e b = +, podemos afirmar que o valor de b a é maior que o dobro do valor de? Justifique sua resposta A Temos que y = z² - z + e = z² Se tomamos as duas iformações jutas, chegamos à coclusão: a difereça, y = z² - (z² - z + ) = z, é um úmero iteiro ímpar para todo valor iteiro de z b a = = + = ( ) + Está correta a afirmação, pois é um úmero positivo qualquer que seja o valor de

3 GRADUAÇÃO EM ADMINISTRAÇÃO DE EMPRESAS - SP 05/06/06 A Supoha que eistem polvos coloridos e que eles têm 6, 7 ou 8 tetáculos É sabido que polvos com sete tetáculos sempre metem, equato que aqueles com seis tetáculos e os com oito tetáculos sempre dizem a verdade Uma oite, quatro polvos coloridos se ecotraram e disseram as seguites frases: Preto Nós todos jutos temos 8 tetáculos Verde - Nós todos jutos temos 7 tetáculos Amarelo - Nós todos jutos temos 6 tetáculos Vermelho - Nós todos jutos temos 5 tetáculos Descubra qual é o úico polvo que está dizedo a verdade e quatos tetáculos ele tem, justificado sua resposta com um pequeo teto Um cadeado tem um código de três algarismos com algumas restrições O primeiro algarismo ão pode ser 0, em O segudo algarismo tem de ser 0 ou O segudo e terceiro algarismos ão podem ser ambos 0 o mesmo código Quatos códigos diferetes são possíveis para esse tipo de cadeado? A Um polvo diz a verdade e os outros três metem Etão, as possíveis respostas são: = 7 ou = 9 O polvo verde está dizedo a verdade e ele tem 6 tetáculos As possíveis combiações de códigos são: ) = 7 0 ) = 80 Para esse tipo de cadeado, são 5 códigos diferetes

4 GRADUAÇÃO EM ADMINISTRAÇÃO DE EMPRESAS - SP 05/06/06 4 A receita obtida a veda de uidades de certo tipo de produto é igual a y, em que y é o preço de cada uidade Uma lachoete em um estádio de futebol vede um tipo especial de saduíche os dias de jogos A receita R ( ) obtida a veda de saduíches pode ser epressa pela fução R( ) = 0, reais O proprietário da lachoete aluga vários quiosques por um total de R$ 500,00 em um dia de jogo Além disso, ele gasta em média R$ 6,00 para fazer um saduíche A A que preço deve veder cada saduíche para obter o maior lucro possível um dia de jogo? Um aumeto o preço dos produtos alimetícios elevou em 50% o custo para o proprietário fazer cada saduíche Ele deve repassar todo esse aumeto o preço de cada saduíche para os torcedores? Cosidere que ates do aumeto o custo de cada saduíche, o preço uitário praticado era o preço do item A Se sua resposta for Sim, justifique-a do modo que julgar mais coveiete Se sua resposta for Não, idique o valor pelo qual ele deve veder cada saduíche para obter o maior lucro possível essas ovas codições A L( ) = 0, 00² + 0 ( ) = 0, 00² b 4 = = = 7000 a ( 0, 00) Para maimizar o seu lucro ele deve veder 7000 saduíches A receita a veda de 7000 saduíches é igual a: ( 0, ) = 7000( 0, ) = 7000 = 9000 reais 9000 Observado a receita, ele deve veder cada saduíche a R$,00, ou seja: = ; R$, O ovo custo é igual a % 6 = L( ) = 0, 00² + 0 ( ) = 0, 00² A ova fução lucro é b = = = 5500 a ( 0, 00) Para maimizar o seu lucro ele deve veder saduíches A receita a veda de saduíches é igual a: ( 0, 00² + 0 ) = 5500( 0, ) = , 50 = reais Observado a receita, ele deve veder cada saduíche a R$ 4,50 Ou seja, ele ão deve repassar todo esse aumeto de 50% R$,00 = R$ 6,50 Nessas codições, ele obtém o maior lucro possível vededo cada saduíche por R$ 4, 50 e, ão, R$ 9,50

5 GRADUAÇÃO EM ADMINISTRAÇÃO DE EMPRESAS - SP 05/06/06 5 Pablo, Aa e Marta foram a um shoppig em sua cidade - Pablo comprou ageda, livro e CD e disse que gastou R$ 75,00 - Aa comprou agedas, livro e CDs e disse que gastou R$ 50,00 - Já Marta disse que gastou R$ 400,00, comprado 5 agedas, livros e 4 Cds Sabe-se que cada ageda custava reais, cada livro, y reais e cada CD, z reais A Demostre que pelo meos um deles metiu Se Marta tiver sido a úica que metiu, demostre que o preço de veda de cada ageda era igual ao de cada livro A + y + z = 75 Temos de resolver o sistema de equações lieares: + y + z = y + 4z = A terceira liha: 0 + 0y + 0z = 00, mostra que as equações são icompatíveis, ou seja, o sistema é impossível Pelo meos um deles metiu + y + z = 75 Se Marta metiu, resolvemos o seguite sistema de duas equações lieares: y z = 75 y + 0 = 0 Adicioado membro a membro as duas equações, temos: = y O preço de veda de cada ageda é igual ao preço de veda de cada livro

6 GRADUAÇÃO EM ADMINISTRAÇÃO DE EMPRESAS - SP 05/06/06 6 Seja um triâgulo de vértices A (4, a), (4, b) e C (5, c) Sabe-se que a soma das três ordeadas é 4, que a ordeada b é a média aritmética das outras duas e que b e c são úmeros pares cosecutivos, com b < c A Calcule a área do triâgulo AC Calcule os valores de se A e cos C A a+ b+ c = 4 Resolvedo o sistema de equações lieares: b = a+ c obtemos a solução: a = 6,b = 8, c = 0 c = b+ A área do triâgulo AC é igual a: = S = AACseA = 7seA sea = 7 A² = AC² + C² ACCcosC ² = ( 5 )² + ( 7 )² 5 7 cosc 9 cosc = 85

7 GRADUAÇÃO EM ADMINISTRAÇÃO DE EMPRESAS - SP 05/06/06 7 Um fucioário do setor de produção da Editora Faua do Pataal Mato-Grossese verifica que as lojas das três livrarias que são os clietes mais importates da editora estão localizadas os potos A (, 6), (0, 0) e C (, 0), em que as uidades do plao cartesiao estão epressas em quilômetros A Em que poto P(, y) deve ser istalado um armazém para distribuição dos livros de modo que a soma dos quadrados das distâcias do poto P de distribuição dos livros aos potos A, e C de localização das livrarias seja a meor possível? Sabe-se que a razão das coordeadas do poto P: é igual a y É correto afirmar que o poto P é o baricetro do triâgulo AC? A d = ( ) + ( y 6) + + y + ( ) + y Temos que: =, ou seja, = y y f ( y ) f ( y ) f( y ) = d = 4y = = 5y ( y ) + ( y 6) + ( y) + y + ( y ) 4y + + y 60y + 58 y y + y + 4y + y 44y + + y A fução tem um míimo para: ( 60) ( 5) b y = = = a Como y =, temos = ( ) = 4 O armazém deve ser istalado o poto P ( 4,) A + + C ya + y + yc O baricetro do triâgulo AC é dado pela fórmula: G(, ) Portato: G(, ) = G( 4, )

8 GRADUAÇÃO EM ADMINISTRAÇÃO DE EMPRESAS - SP 05/06/06 8 A Podemos afirmar que 4 é meor que 600, sabedo que 4 + > 4000? Justifique sua resposta Podemos afirmar que 4 é meor que 600, sabedo que 4 = 4 400? Justifique sua resposta > A Não Se etão 4 >00 0 e, 4,pode ser maior que = 4 = Sim, pois temos que: 4 = = 5, 4 < 600

9 GRADUAÇÃO EM ADMINISTRAÇÃO DE EMPRESAS - SP 05/06/06 9 A O logaritmo eperiao ou atural, de um úmero positivo, é assim represetado: l, sigifica simplesmete este logaritmo: log e, em que a base é o úmero de Euler: e =,78 Um fabricate de briquedos observou que a porcetagem de barcos que afudam em meos de t dias após sua fabricação é estimada pela 0, 0 4t 5 fução f ( t ) = e Que porcetagem de barcos cotiua a flutuar o 0º dia? Se ecessário, use a aproimação: e = 0,67 Quado a base é o úmero 0, os logaritmos se chamam decimais e a otação é simplesmete log sem escrever a base 0: log 0 = log O diretor de uma editora estima que, se eemplares de um ovo livro de Matemática para o Esio Médio forem etregues aos professores para aálise, as vedas do livro, o primeiro ao, serão,00 de aproimadamete f ( ) = 000( ) eemplares Quatos eemplares a editora deverá distribuir para aálise, para veder cerca de eemplares o primeiro ao? Se ecessário, use a aproimação: log5 = 0,70 0, 4 A f( 0 ) = e = 0, 67= 0, A porcetagem de barcos que cotiue a flutuar o 0º dia é 0, = 0, 67= 67% = = = 0 4 0, 00 ( log0 log5) 0, 6 = 0, 00 = ( , ) 0, 00 = log0 0, 00 A editora deverá distribuir cerca de 00 eemplares para aálise

10 GRADUAÇÃO EM ADMINISTRAÇÃO DE EMPRESAS - SP 05/06/06 0 A Uma ura cotém bolas bracas, azuis e vermelhas Há 4 bolas a ura, das quais 8 são bracas, e sabemos que a probabilidade de que uma bola selecioada ao acaso seja azul é 0,5 Se uma bola é escolhida ao acaso, qual é a probabilidade de que a bola seja vermelha? Tickets são umerados cosecutivamete de 0 a 60 e colocados em uma caia Qual é a probabilidade de um ticket selecioado ao acaso ter um úmero com o dígito a casa da ordem das ceteas? A P (braca) = 8 = 4 P (azul) = 0,5= 5 P (vermelha) = + = = 6 6 P () = = 5