Apresentação do Cálculo. Apresentação do Cálculo

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1 UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Apresetação do Cálculo As origes do cálculo remotam à Grécia atiga, pelo meos aos atrás, quado foram ecotradas as áreas segudo o chamado método da exaustão. Naquela época os gregos já sabiam ecotrar a área de qualquer polígoo dividido-o em triâgulos, como a Figura e, em seguida, somado-se as áreas obtidas. Prof.: Rogério Dias Dalla Riva 4 Apresetação do Cálculo.Itrodução 2.O problema da área 3.O problema da tagete 4.Velocidade 5.O limite de uma sequêcia 6.A soma de uma série Figura 5. Itrodução O cálculo é fudametalmete diferete da matemática estudada até aqui. O cálculo é meos estático e mais diâmico. Ele trata de variação e de movimeto, bem como de quatidades que tedem a outras quatidades. É muito mais difícil achar a área de uma figura curva. O método da exaustão dos atigos gregos cosistia em iscrever e circuscrever a figura com polígoos e etão aumetado o úmero de lados deles. A Figura 2 ilustra esse procedimeto o caso especial de um círculo com polígoos regulares iscritos. Vamos dar uma visão geral do assuto, apresetado algumas das pricipais idéias do cálculo, mostrado como surgem os limites quado tetamos resolver uma variedade de problemas. 3 6

2 No Cálculo Itegral será usada uma idéia similar para ecotrar a área de regiões do tipo mostrado a Figura 3. Figura 2 7 Figura 3 0 Seja A a área do polígoo iscrito com lados. À medida que aumetamos, fica evidete que A ficará cada vez mais próxima da área do círculo. Dizemos etão que a área do círculo é o limite das áreas dos polígoos iscritos, e escrevemos Vamos aproximar a área desejada A por áreas de retâgulos (como a Figura 4), fazedo decrescer a largura dos retâgulos, e etão calculado A como o limite dessas somas de áreas de retâgulos. A = lim A 8 Figura 4 Os gregos, porém, ão usavam explicitamete os limites. Todavia, por um raciocíio idireto, Eudoxo (século V a.c.) usou a exaustão para provar a cohecida fórmula da área do círculo: A = πr 2 O problema da área é cetral o ramo do cálculo chamado Cálculo Itegral. As técicas que serão desevolvidas para ecotrar áreas também possibilitarão o cálculo de volumes de um sólido, o comprimeto de um arco, a força da água sobre um dique, a massa e o cetro de gravidade de uma barra, e o trabalho realizado ao se bombear a água para fora de um taque

3 3. O problema da tagete 3. O problema da tagete Cosidere o problema de tetar determiar a reta tagete t a uma curva com equação y = f(x) em um dado poto P. (Veja a Figura 5). Uma vez que sabemos ser P um poto sobre a reta tagete, podemos ecotrar a equação de t se cohecermos sua icliação m. O problema está o fato de que para computar a icliação é ecessário o cohecimeto de dois potos e sobre t temos somete o poto P. 3 Figura 6. Uma reta da secate PQ O problema da tagete 3. O problema da tagete Imagie agora o poto Q movedo-se ao logo da curva em direção a P, como a Figura 7. Você pode ver que a reta secate gira e aproximase da reta tagete como sua posição-limite. Isto sigifica que a icliação m PQ da reta secate fica cada vez mais próxima da icliação m da reta tagete. Isso é deotado por Figura 5. Uma reta tagete em P. 4 m = lim m Q P PQ 7 3. O problema da tagete 3. O problema da tagete Para cotorar esse problema determiamos primeiro uma aproximação para m, tomado sobre a curva um poto próximo Q e computado a icliação m PQ da reta secate PQ. Da Figura 6 vemos que m PQ f ( x) f ( a) = x a Equação 5 Figura 7. Uma reta secate aproximado-se de uma reta tagete. 8 3

4 3. O problema da tagete e dizemos que m é o limite de m PQ quado Q tede ao poto P ao logo da curva. Uma vez que x tede a a quado P tede a Q, também podemos usar a Equação para escrever f ( x) f ( a) m = lim x a x a Equação 2 Para aalisar essa questão, vamos examiar o movimeto de um carro percorredo uma estrada reta e supodo que possamos medir a distâcia coberta por ele (em pés) em itervalos de segudo, como a tabela a seguir: t = Tempo decorrido (s) d = Distâcia (pés) O problema da tagete O problema da tagete deu origem ao ramo do cálculo chamado Cálculo Diferecial, que foi ivetado mais de 2 mil aos após o Cálculo Itegral. Como primeiro passo para ecotrar a velocidade após 2 segudos de movimeto vamos calcular qual a velocidade média o itervalo de tempo 2 t 4: As pricipais idéias subjacetes ao Cálculo Diferecial devem-se ao matemático fracês Pierre Fermat (60-665) e foram desevolvidas pelos matemáticos igleses Joh Wallis (66-703), Isaac Barrow ( ) e Isaac Newto ( ) e pelo matemático alemão Gottfried Leibiz (646-76). 20 distâcia percorrida velocidade média = tempo decorrido 43 0 velocidade média = = 6,5 pés/s Quado olhamos o velocímetro de um carro e vemos que está a 48 mi/h, o que essa iformação idica? Sabemos que, se a velocidade permaecer costate, após uma hora o carro terá percorrido 48 milhas. Porém, se a velocidade do carro variar, qual o sigificado de a velocidade ser, em um dado mometo, 48 mi/h? Aalogamete, a velocidade média o itervalo 2 t 3 é 25 0 velocidade média = = 5,0 pés/s 3 2 Nosso pressetimeto é de que a velocidade o istate t = 2 ão pode ser muito diferete da velocidade média durate um pequeo itervalo de tempo que começa em t =

5 Assim, vamos imagiar que a distâcia percorrida foi medida em itervalos de 0, segudo, como a tabela a seguir: Nesse semestre defiiremos a velocidade istatâea de um objeto em movimeto como o limite das velocidades médias em itervalos de tempo cada vez meores. t 2,0 2, 2,2 2,3 2,4 2,5 d 0,00,02 2,6 3,45 4,96 6,80 Na Figura 8 mostramos uma represetação gráfica do movimeto de um carro redesehado a distâcia percorrida como uma fução do tempo. Se escrevermos d = f(t), etão f(t) é o úmero de pés percorridos após t segudos Computado etão a velocidade média o itervalo de tempo [2, 2,5]: 6,80 0,00 velocidade média = = 3,6 pés/s 2,5 2,0 26 Figura 8 29 Os resultados desses cálculos estão mostrados a tabela: Etão, a velocidade média o itervalo de tempo [2, t] é Itervalo de tempo [2, 3] [2, 2,5] [2, 2,4] [2, 2,3] [2, 2,2] [2, 2,] Velocidade média (pés/s) 5,0 3,6 2,4,5 0,8 0,2 distâcia percorrida velocidade média = tempo decorrido As velocidades médias em itervalos cada vez meores parecem ficar cada vez mais próximas de 0; dessa forma, esperamos que exatamete em t = 2 a velocidadeseja de cerca de 0 pés/s. f ( t) f (2) velocidade média = t

6 É a mesma coisa que a icliação da reta secate PQ da Figura 8. A velocidade v quado t = 2 é o valor limite da velocidade média quado t aproxima-se de 2; isto é: f ( t) f (2) v = lim t 2 t 2 Pela Equação 2 vemos que isso é igual à icliaçãoda reta tageteà curva em P. O segudo paradoxo de Zeo diz respeito a uma corrida etre o herói grego Aquiles e uma tartaruga para a qual foi dada uma vatagem iicial. Zeo argumetava que Aquiles jamais ultrapassaria a tartaruga, pois se ele começasse em uma posição a e a tartaruga em t (veja a Figura 9), quado ele atigisse o poto a 2 = t a tartaruga estaria adiate, em uma posição t Dessa forma, ao resolver o problema da tagete em Cálculo Diferecial, também estamos resolvedo os problemas relativos à velocidade. A mesma técica se aplica a problemas relativos à taxa de variação as ciêcias aturais e sociais. Figura No século V a.c., o filósofo grego Zeo propôs quatro problemas, hoje cohecidos como Paradoxos de Zeo, com o ituito de desafiar algumas das idéias corretes em sua época sobre espaço e tempo. No mometo em que Aquiles atigisse a 3 = t 2, a tartaruga estaria em t 3. Esse processo cotiuaria idefiidamete, e, dessa forma, parece que a tartaruga estaria sempre à frete! Todavia, isso desafia o seso comum. Uma forma de explicar esse paradoxo usa a idéia de sequêcia. As posições sucessivas de Aquiles e da tartaruga são respectivamete (a, a 2, a 3, ) e (t, t 2, t 3, ), cohecidascomo sequêcias

7 Em geral, uma sequêcia {a } é um cojuto de úmeros escritos em uma ordem defiida. Por exemplo, a sequêcia,,,,, Observe em ambas as figuras que os termos da sequêcia a = / toram-se cada vez mais próximos de 0 à medida que cresce. De fato, podemos ecotrar termos tão pequeos quato desejarmos, bastado para isso tomarmos suficietemete grade. pode ser descrita como sedo dada pela seguite fórmula para o -ésimo termo: a = Podemos visualizar essa sequêcia redesehado seus termos sobre uma reta a qual estão determiados um poto zero, uma uidade de medida e um setido crescete, como a Figura 0(a), ou desehado seu gráfico, como a Figura 0(b). Dizemos etão que o limite da sequêcia é zero, e idicamos isso por lim = 0 Em geral, a otação lim a = L 38 4 (a) será usada se os termos a tedem a um úmero L quado tora-se grade. Isso sigifica que podemos torar os úmeros a tão próximos de L quato quisermos escolhedo suficietemete grade. (b) Figura

8 O coceito de limite de uma sequêcia ocorre sempre que usamos a represetação decimal de um úmero real. Por exemplo, se a = 3, 3 2 a = 3,4 a = 3,4 a = 3,45 a = 3,459 a = 3,4592 a = 3, Outro paradoxo de Zeo, coforme os foi passado por Aristóteles, é o seguite: Uma pessoa em um certo poto de uma sala ão pode camihar até a parede. Para tato ela deveria percorrer metade da distâcia, depois a metade da distâcia restate, e etão ovamete a metade da distâcia que restou e assim por diate, de forma que o processo pode ser sempre cotiuado e ão terá um fim. (Veja a Figura ). 46 etão lim a = π Os termos dessa sequêcia são aproximações racioais de π. Figura Vamos voltar ao paradoxo de Zeo. As posições sucessivas de Aquiles e da tartaruga formam as sequêcias {a } e {t }, ode a < t para todo. Podemos mostrar que ambas as sequêcias têm o mesmo limite: lim a = p = lim t É precisamete esse poto p que Aquiles ultrapassa a tartaruga. 45 Como, aturalmete, sabemos que de fato a pessoa pode chegar até a parede, isso sugere que a distâcia total possa ser expressa como a soma de ifiitas distâcias cada vez meores, como a seguir: = Equação

9 Zeo argumetava que ão fazia setido somar um úmero ifiito de úmeros. Porém há situações em que fazemos implicitamete somas ifiitas. Por exemplo, a otação decimal, 0,3333 sigifica: S = = 0,5 2 S2 = + = 0, S3 = + + = 0, S4 = = 0, S5 = = 0, S6 = = 0, S7 = = 0, S0 = , S6 = , , Dessa forma, de algum jeito, deve ser verdade que: = Mais geericamete, se d deotar o -ésimo dígito a represetação decimal de um úmero, etão d d d d d dd 2d3d 4 = Observe que à medida que somamos mais e mais termos, as somas parciais ficam cada vez mais próximas de. De fato, pode ser mostrado que tomado suficietemete grade (isto é, adicioado um úmero grade de termos da série), podemos torar a soma parcial S tão próxima de quato quisermos. Parece etão razoável dizer que a soma da série ifiita é e escrever: = Portato, algumas somas ifiitas, ou, como são chamadas, séries ifiitas, têm um sigificado. Todavia, é ecessário defiir cuidadosamete o que é a soma de uma série. Retorado à série da Equação 3, deotamos por S a soma dos primeiros termos da série. Assim Em outras palavras, a razão de a soma da série ser é que lim S =