FORMA TRIGONOMÉTRICA. Para ilustrar, calcularemos o argumento de z 1 i 3 e w 2 2i AULA 34 - NÚMEROS COMPLEXOS

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1 145 AULA 34 - NÚMEROS COMPLEXOS FORMA TRIGONOMÉTRICA Argumeto de um Número Complexo Seja = a + bi um úmero complexo, sedo P seu afixo o plao complexo. Medido-se o âgulo formado pelo segmeto OP (módulo de ) e o eixo X o setido ati-horário, obtemos o argumeto de. Para ilustrar, calcularemos o argumeto de 1 i 3 e w i 3. Iiciamos situado os úmeros o plao complexo. Repare que é possível destacar os triâgulos usado como cateto tato o eixo real quato o eixo imagiário, mas a hipoteusa deve ser o módulo. O cálculo dos módulos é imediato, via Teorema de Pitágoras: e Para determiarmos o argumeto de um úmero complexo = a + bi é imprescidível represetar geometricamete o problema. Procedemos da seguite forma: I) Represetamos o afixo do úmero o plao complexo, destacado um triâgulo retâgulo com um dos catetos sobre um dos eixos e hipoteusa igual ao módulo de. Tal triâgulo terá lados medido, a e b, ode a b. w w 4. Obtemos o valor de de qualquer raão trigoométrica: 3 se 1 cos 60 3 tg sew cosw w tg w 3 3 II) Calculamos qualquer uma das raões trigoométricas seo, co-seo ou tagete para, sedo o âgulo cujo vértice é a origem do plao complexo e comparamos os valores absolutos ecotrados com a tabela de valores para o 1º quadrate para descobrir. III) Calculamos o argumeto do úmero complexo utiliado propriedades geométricas básicas. Por fim, o argumeto é calculado facilmete: e w.

2 146 O que acabamos de faer, a verdade, foi obter as coordeadas polares equivaletes a 1, 3 e, 3. Para o primeiro poto, um deslocameto horiotal de 1 para a esquerda e outro vertical de 3 para baixo equivalem a girar 40º o setido atihorário e avaçar a partir da origem. Para o segudo poto, um deslocameto horiotal de para a esquerda e outro vertical de 3 para baixo equivalem a girar 300º o setido ati-horário e avaçar 4 a partir da origem. EXERCÍCIOS DE AULA 01) (UFAL) Sejam os úmeros complexos 1 3 9i e 5 7i. O argumeto pricipal do úmero complexo 1 é: a) 90º b) 10º c) 135º 145º e) 180º Qualquer coordeada retagular a, b possui uma coordeada polar, equivalete, sedo o avaço a partir da origem e o giro o setido atihorário. 0) Determiar a forma algébrica de = cos10 i.se10. Forma Trigoométrica de um Complexo Seja = a + bi um úmero complexo, sedo P seu afixo o plao complexo. a Do triâgulo retâgulo destacado, tem-se cos e b se. Logo, a cos e b se. Substituido essas relações em = a + bi, temos que cos se i cos i se. Assim, a forma trigoométrica (ou polar) de é =. cosθ + i.seθ

3 147 Multiplicação e Divisão de Números Complexos a Forma Trigoométrica Uma das pricipais raões para que se coverta um úmero complexo da forma algébrica para a trigoométrica é a facilidade de se multiplicar e dividir úmeros essa forma. EXERCÍCIOS DE AULA 03) Dado cos i.se 1 1, calcular 4 a forma algébrica. O produto 1, sedo cos i se e cos i se, é obtido a partir da soma de arcos a trigoometria: cos i se 04) Calcular a forma algébrica de 3 i 1. A divisão 1 1 cos1 i se1 cos i se é obtida de modo aálogo, partido da multiplicação do deomiador e do umerador por e também utiliado coceitos trigoométricos, de modo que. 05) Qual o meor valor iteiro positivo de tal que 1 i seja um úmero real egativo? Assim,. 1 1 cos i se i se cos 1 1 Ou seja, quado multiplicamos dois úmeros complexos a forma trigoométrica, multiplicamos os seus módulos e somamos seus argumetos; quado dividimos dois úmeros complexos a forma trigoométrica, dividimos os seus módulos e subtraímos seus argumetos.

4 148 Raíes Complexas A relação obtida em um dos exercícios de aula para potêcias iteiras positivas pode ser ampliada para qualquer potêcia. Assim, para real, tem-se que cos + i se = Essa relação (cohecida por Fórmula de De Moivre) apreseta resultados particularmete iteressates para potêcias racioais do tipo 1, ou seja, para o cálculo de raíes complexas de um úmero, seja ele real ou ão. Para ilustrar, iremos calcular as raíes cúbicas de 8. Ou seja, resolver a equação 3 8. Iicialmete, a úica solução para essa equação seria =, pois 3 8. No etato, se icluirmos úmeros complexos como possíveis soluções, essa resposta está icompleta. Ou seja, existem, como poderíamos prever, três soluções para a equação 3 8, obtidas de 1 k 360 k cos i se : 3 3 k = 0 1 cos 0 i se0 k = 1 k = cos10 i se10 1 i 3 3 cos 40 i se40 1 i 3 Esse resultado por si só já é surpreedete, mas é aida mais iteressate aalisar as coseqüêcias geométricas que derivam dele. Represetado o plao complexo essas três soluções, elas correspodem aos vértices de um triâgulo eqüilátero iscrito um círculo de raio. Covertedo 8 da forma algébrica 8 0 i para a forma trigoométrica, obtemos 8 cos0 i se0. Porém, 8 cos0 i se0 pode ser reescrito como 8 cos 0 k 360 i se 0 k 360, k, partir de sucessivos giros de 360º partido da posição iicial 0, sempre gerado arcos equivaletes Assim, 8 8 8, que por sua ve, aplicado a Fórmula de De Moivre, vale 1 k 360 k cos i se. A tabela 3 3 abaixo apreseta o valor do argumeto para algus valores de k: a Logo, equações a forma como w terão soluções k 360 k 360 k w cos i se, sedo k = 0, 1,,..., - 1. Porém, para que esse teorema seja devidamete compreedido e facilmete posto em prática, ele deve ser etedido geometricamete: Observe que a partir de k = os valores de passam a se repetir, dada a icidêcia de arcos equivaletes. As raíes complexas de um úmero w são vértices de um polígoo regular de lados iscrito em um círculo com raio igual ao módulo de qualquer uma dessas raíes, se >. Geeraliado, podemos resolver a equação rotações de 360 = w realiado sucessivas em uma rai cohecida.

5 149 EXERCÍCIOS DE AULA: 06) A equação parte real positiva? 5 x 3 0 possui quatas raíes com 08) Uma das raíes cúbicas de x é 3 i. Calcule as demais raíes e determie o valor de x. 07) Calcule a área do polígoo covexo tedo como vértices as raíes da equação x 4-81 = 0 o plao complexo. EXERCÍCIOS 01) (UFRGS) Se 3 i e 3 3.i, etão. tem módulo e argumeto, respectivamete, iguais a: a) 3 e 30º b) 3 e 30º c) 3 e 60º 4 3 e 30º e) 4 3 e 60º 0) (UFRGS) Cosidere as afirmações seguites: I - O produto de dois úmeros complexos cojugados é um úmero real. II - O módulo de um úmero complexo é um úmero real ão-egativo. III - O argumeto de qualquer úmero complexo da forma = bi (b 0) vale /. Apeas está(ão) correta(s): a) II b) II e III c) I e II I e III e) I, II e III

6 150 03) (UFRGS) A forma trigoométrica de 1 i é: i a) (cos135 i.se135 ) c) cos10 i.se10 ) b) (cos 45 i.se45 ) (cos315 i.se315 ) e) (cos 5 i.se5 ) 04) (UFRGS) Na figura, o úmero complexo é: a) i b) i c).i.i e).i 05) (UFRGS) Cosidere o poto P(5 3,5) represetado o gráfico abaixo. A forma trigoométrica do úmero complexo, represetado pelo poto P, é: a) 10(cos30º + i.se30º) b) 5(cos30º + i.se30º) c) 10(cos45º + i.se45º) 5(cos45º + i.se45º) e) 5(cos60º + i.se60º) 06) (UFRGS) Cosidere 1 = -3 + i e = 4 + i. A represetação trigoométrica de 1 + é: a) cos i.se c) cos i.se e) cos i.se 4 4 b) cos i.se cos i.se ) (UFRGS) O argumeto do úmero complexo é, e o seu módulo é. A forma algébrica de é: 6 a) -i b) i c) 3 i 3 i e) 3 i

7 151 08) (FGV) A figura idica a represetação dos úmeros 1 e o plao complexo. Se 1 a bi, etão a + b é igual a: a) b) 3 1 c) e) ) (UFRGS) O valor de 3 i 6 é: a) 64-64i b) -64i c) 64i -64 e) 64 10) (UFRGS) Os vértices de um triâgulo são os potos do plao que represetam as raíes cúbicas complexas de 7. O perímetro desse triâgulo é: a) 3 3 b) 6 3 c) e) 7 11) (UFRGS) O âgulo formado pelas represetações geométricas dos úmeros complexos 3 i e 4 é: a) 6 b) 4 c) 3 e) 1) (UFRGS) Os vértices do hexágoo da figura represetam geometricamete as raíes sextas de um úmero complexo. Sabedo-se que o vértice C represeta geometricamete o complexo -1 + i, o vértice A represeta geometricamete o complexo: a). cos i. se 1 1 b). cos i. se 1 1 c). cos i. se 6 6. cos i. se 6 6 e). cos i. se 4 4

8 15 13) (UFRGS) A região hachurada da figura é parte do plao complexo e simétrica em relação à origem O. Se o úmero complexo, de argumeto θ, está a região, etão: a) e b) e c) e e) e ou e ou ) (UFRGS) (1 + i) 15 é igual a: a) 64(1 + i) b) 18(1 - i) c) 18(-1 - i) 56(-1 + i) e) 56(1 + i) 15) (UFRGS) Se u é um úmero complexo, as represetações gráficas de u e i.u podem ser: a) b) c) e) 16) (UFRJ) Determie o meor iteiro 1 para o qual 3 i é um úmero real positivo. 17) (UNIRIO) Uma das raíes cúbicas de um úmero complexo é cos300 i se300 cojugado da soma das outras raíes.. Determie o

9 153 18) (FUVEST) Dado o úmero complexo 3 i qual é o meor valor do iteiro 1 para o qual um úmero real? é a) b) 4 c) 6 8 e) 10 19) (ITA) Cosidere, o plao complexo, um polígoo regular cujos vértices são as soluções da equação 6 1. Sua área, em uidades de área, é igual a: a) 3 b) 5 c) 3 3 0) (PUCCAMP) Seja o úmero complexo forma trigoométrica de é: e) 4i. A 1 i a) cos i se b cos i se 4 4 c) 4cos i se 4 4 e) 3 3 cos i se cos i se 4 4 1) (UFF) O úmero complexo = a + bi, > 1, a > b, está represetado geometricamete a seguir (figura 1). A figura que pode represetar, geometricamete, o úmero complexo ² é: ) (UEL) O produto dos úmeros complexos cos i se e cos i se é igual a: a) 3 i b) i c) i 1 e) i

10 154 3) (UFRGS) Cosidere 1 3 i e 4 i. A represetação trigoométrica de 1 somada ao cojugado de é: a) cos i se 4 4 b) cos i se c) cos i se cos i se e) cos i se 4 4 4) Calcule as raíes cúbicas complexas de 64 a forma trigoométrica. 9) (UNIRIO) Se 1 e são úmeros complexos represetados pelos seus afixos o Plao de Argad- Gauss acima, etão 3 1 escrito a forma trigoométrica é: a) cos 5 i se5 b) cos 315 i se315 c) cos 45 i se 45 cos135 i se135 e) cos 5 i se5 5) (UFSM) Dados dois úmeros complexos a forma cos e w s cos i se r i se pode-se afirmar que.w é igual a:, 30) Dado 1 i 3, calcule 100. a) rs cos se b) rs cos i se c) rs cos i se r s cos cos i se se e) r s cos i se 6) (UNESP) Cosidere o úmero complexo cos i se. O valor de é: GABARITO a) -i b) 1 i 3 c) i - i e) i 7) Se u = cos3º + i.se3º, v = cos11º + i.se11º e w = cos4º + i.se4º, qual a forma algébrica de u v 8) (MACK) As represetações gráficas dos complexos tais que ³ = -8 são os vértices de um triâgulo: a) iscrito uma circuferêcia de raio 1. b) que tem somete dois lados iguais. c) eqüilátero de lado. eqüilátero de altura 3. e) de área 3 3. w 5 7? 01 E 0 C 03 A 04 D 05 A 06 B 07 E 08 A 09 D 10 D 11 D 1 B 13 D 14 B 15 A i 3 18 C 19 D 0 A 1 C E 3 B 4 4, 4cos10 i.se10, 4 cos40 i.se40 5 B 6 D 7 8 E 9 E 30 1 i 3 1 i 3