Números Complexos. David zavaleta Villanueva 1

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1 Material do miicurso a ser lecioado o III EREM-Mossoró-UERN UFRN - Uiversidade Federal do Rio Grade do Norte Edição N 0 outubro 011 Números Complexos David zavaleta Villaueva 1 1 CCET-UFRN, Natal, RN, Brasil, villaueva@ccet.ufr.br

2 Sumário 1 Números Complexos 1.1 Itrodução Defiição de Número Complexo Propriedades das Operações Iterpretação Geométrica dos Números Complexos Forma Trigoométrica e Fórmula de Moivre Fórmula de Moivre Raiz de um Número Complexo Fução Expoecial Fuções Trigoométricas e Hiperbólicas Referêcias Bibliográficas 11 1

3 Capítulo 1 Números Complexos 1.1 Itrodução Vamos itroduzir os úmeros complexos a partir de uma simples equação quadrática da forma x + 1 = 0, (1.1) que como sabemos ão possui solução o campo dos úmeros reais. A perguta que devemos respoder é a seguite: como resolver esta equação?. É ecessário esteder o sistema dos úmeros reais para um sistema de úmeros ode possamos resolver equações da forma (1.1). Costruiremos este ovo sistema a partir dos potos do plao. 1. Defiição de Número Complexo O par de úmeros da forma (x, y), ode x e y são úmeros reais chama-se úmero complexo se para eles está defiido a igualdade e as operações de soma e multiplicação da seguite forma: 1. Dois úmeros complexos (x 1, y 1 ) e (x, y ) são iguais, se e somete se, quado x 1 = x e y 1 = y.. A soma de dois úmeros complexos (x 1, y 1 ) e (x, y ) é outro úmero complexo (x 1 + x, y 1 + y ).. O produto de dois úmeros complexos (x 1, y 1 ) e (x, y ) é outro úmero complexo (x 1 x y 1 y, x 1 y + x y 1 ). Para deotar a igualdade, soma e produto de dois úmeros complexos usamos a otação: (x 1, y 1 ) = (x, y ), x 1 = x e y 1 = y ; (x 1, y 1 ) + (x, y ) = (x 1 + x, y 1 + y ); (1.) (x 1, y 1 ).(x, y ) = (x 1 x y 1 y, x 1 y + x y 1 ). Em particular, da fórmula (1.), observa-se que as operações defiidas acima com úmeros complexos da forma (x, 0), isto é (x 1, 0) + (x, 0) = (x 1 + x, 0), (x 1, 0).(x, 0) = (x 1 x, 0)

4 correspodem com as mesmas operações que realizamos os úmeros reais. Por este motivo os úmeros complexos da forma (x, 0) idetifica-se com os úmeros reais x. O úmero complexo (0, 1) deotado por i chama-se uidade imagiária. Usado o produto em (1.), vemos que i = i.i = (0, 1).(0, 1) = ( 1, 0) = 1. Da fórmula (1.) também podemos otar (0, y) = (0, 1)(y, 0) = iy, por tato (x, y) = (x, 0) + (0, y) = x + iy. Desta forma cada úmero complexo (x, y) pode-se escrever a forma x + iy e chama-se, forma algébrica do úmero complexo. O úmero complexo da forma iy chama-se imagiário puro. Em particular, o úmero 0, isto é o úmero complexo (0, 0), é úico, é real e imagiário ao mesmo tempo. Seja z = x + iy, ode x a parte real de z e y a parte imagiária de z, ou seja, x = Re(x + iy) = Re(z), y = Im(x + iy) = Im(z). O úmero complexo x iy chama-se cojugado do úmero complexo x + iy e deota-se por z: z = x + iy = x iy. A operação de cojugação satisfaz as seguites realações: (z) = z, z 1 + z = z 1 + z, z 1.z = z 1.z, z + z = x, z z = iy. O úmero x + y chama-se módulo do úmero complexo z = x + iy e deota-se por z : z = x + iy = x + y. (1.) Daqui é fácil ver que z = z e z.z = x + y. Segue de (1.) que z = 0 se e somete se z = 0, por este motivo z Propriedades das Operações As operações de soma e multiplicação satisfazem as seguites propriedades: Comutatividade: z 1 + z = z + z 1, z 1 z = z.z 1 ; Associatividade: (z 1 + z ) + z = z 1 + (z + z ), (z 1 z ).z = z 1 (z.z ); Distribuitividade: z 1 (z + z ) = z 1 z + z 1 z. Observa-se que os úmeros 0(eutro) e 1(uidade), satisfazem z + 0 = z, 1.z = z, para qualquer z.

5 No cojuto dos úmeros complexos a operação de soma possui uma operação iversa chamada de substração, isto é, para quaisquer úmeros complexos z 1 e z existe um úico úmero complexo z tal que z + z = z 1. Este úmero chama-se difereça dos úmeros z 1 e z e deota-se por z 1 z. A operação de multiplicação possui uma operação iversa chamada de divisão, isto é, para quaisquer úmeros complexos z 1 e z existe um úico úmero complexo z tal que z.z = z 1, desde que z 0. (1.4) Multipliquemos a equação (1.4) por z, temos z.z.z = z 1.z, dode, z z = z 1.z, z 0. Desta forma Exemplo 1.1 i 4 + i z = z 1 z = z 1z z z = z 1z z, z 0. = ( i)(4 i) (4 + i)(4 i) = 6 17i 5 = i. = 1 9i 8i + 6i 4 + = 1. Iterpretação Geométrica dos Números Complexos Supohamos que o plao esteja defiido o sistema retâgular de coordeadas. O úmero complexo z = x+iy represeta-se como um poto do plao com coordeadas (x, y). Observa-se que esta represetação é úica. z y -x x -y -y -z z Figura 1.1: Plao Complexo Das defiições, podemos observar que z e z são simétricas com relação á origem 0 e os potos z e z são simétricos com relação ao eixo real. 4

6 Segue do gráfico, que o poto z pode ser idetificado pelo vetor z, dode o comprimeto z do vetor z satisfaz as desigualdades É fácil mostrar Re(z) z, Im(z) z. Proposição 1..1 (Desigualdade Triagular). Para quaisquer úmeros complexos z 1 e z, temos as desigualdades: z1 z z1 + z z 1 + z. 1.4 Forma Trigoométrica e Fórmula de Moivre Veremos agora que um úmero complexo ão somete pode ser defiido pelas coordeadas retagulares x e y se ão também pelas coordeadas polares r e ϕ, ode r = z, é a distâcia da origem (0, 0) até o poto z. ϕ é o âgulo etre o eixo real e o vetor z cosiderado o setido positivo a partir do eixo real. Este âgulo chama-se argumeto do úmero complexo z(z 0)e deota-se por ϕ = argz. z r y x Da figura acima vemos que Figura 1.: Coordeadas polares x = r cos ϕ, y = r si ϕ. (1.5) Desta forma qualquer úmero complexo podemos escrever a seguite forma z = x + iy = r(cos ϕ + i si ϕ), chamado de forma trigoométrica do úmero complexo z. Da fórmula (1.5) obtemos cos ϕ = x r = x x + y, si ϕ = y r = y x + y. Notemos que o sistema (1.5) possui ifiitas soluções, pois as fuções cos e si são fuções periódicas de período π, assim todas as soluções estão cotidas os âgulos ϕ = ϕ o +kπ, k Z, ode ϕ o é uma das soluções do sistema (1.5) e chama-se valor pricipal do argumeto ϕ. Para z = 0 o argumeto ão está defiido. 5

7 Exemplo 1. Escrevamos a forma trigoométrica o úmero z = 1 i. De fato, temos 1 r = z = = 1, cos ϕ = 1, si ϕ =. Como x = 1 e y =, etão o poto z está o terceiro quadrate, ou seja ϕ o = 4π Fórmula de Moivre e ϕ = 4π z = 1 i = cos 4π + i si 4π. + kπ. desta forma, Cosideremos o produto dos úmeros complexos z 1 = r 1 (cos ϕ 1 +i si ϕ 1 ) e z = r (cos ϕ + i si ϕ ), z 1 z = r 1 (cos ϕ 1 + i si ϕ 1 )r (cos ϕ + i si ϕ ) = = r 1 r [(cos ϕ 1 cos ϕ si ϕ 1 si ϕ ) + i(si ϕ 1 cos ϕ + cos ϕ 1 si ϕ )] = = r 1 r [cos(ϕ 1 + ϕ ) + i si(ϕ 1 + ϕ )]. (1.6) Em particular se z = r(cos ϕ + i si ϕ), etão z = r (cos ϕ + i si ϕ). Da fórmula (1.6) segue a fórmula de Moivre [1]. z = [r(cos ϕ + i si ϕ)] = r (cos ϕ + i si ϕ). (1.7) Em particular, se r = 1 a fórmula (1.7) fica z = [(cos ϕ + i si ϕ)] = (cos ϕ + i si ϕ). (1.8) Exemplo 1. Usemos a fórmula de Moivre para calcular o produto (1 + i ) 4 (1 i). Pela fórmula (1.7), temos (1 + i ) 4 (1 i) = [ (cos π + i si π)] 4 [ ( ) ( ) ] (cos π 4 + i si π 4 ) = = 16(cos 4π + i si 4π) 8(cos ( ) ( ) π 4 + i si π 4 ) = = 16( 1 i ) 8( + i ) = = 16 ( i( 1) ) Raiz de um Número Complexo A -ésima raiz do úmero complexo z = r(cos ϕ + i si ϕ) chama-se o úmero se r(cos ϕ + i si ϕ) 1/ = ρ(cos ξ + i si ξ), ρ (cos ξ + i si ξ) = r(cos ϕ + i si ϕ). Dode obtemos expressões para ρ e ξ: ρ = r, ξ = ϕ + kπ, ou seja, ρ = r, ξ = ϕ + kπ. 6

8 Defiitivamete obtemos a fórmula r(cos ϕ + i si ϕ) = r (cos ϕ + kπ + i si ϕ + kπ ), k = 0, 1,,..., 1. (1.9) Desta forma, se z 0, etão obtemos diferetes raizes, pois para valores de k maiores que 1, os argumetos serão diferetes dos obtidos um valor de π, que é o período das fuções seo e coseo. Exemplo 1.4 Determiar todas as raizes cúbicas de i, ou seja, determie todos os valores de i. Como o módulo de i é igual a 1 e o valor do argumeto é π, temos i = cos π + i si π π = cos + kπ Assim, obtemos os valores: + i si π + kπ, (k = 0, 1, ). cos π + i si π = i, k = 0; cos 5π + i si 5π = i, k = 1; cos 9π + i si 9π = i, k =. 6 6 Exemplo 1.5 Defiir todos os valores de 1, ou seja todas as raizes -ésimas da uidade. Como o módulo de 1 é igual a 1 e o valor do argumeto é 0, temos 1 = cos 0 + i si 0 = cos kπ Se k = 1, obtemos o valor da raiz kπ + i si, (k = 0, 1,,..., 1). ε = cos π + i si π, isto é, todas as raizes da equação z = 1 obtem-se de ε k = cos kπ kπ + i si,, (k = 0, 1,,..., 1). (1.10) Teorema A soma das raizes de um úmero complexo z = r é zero. Prova: De fato, as raizes da equação z = r são dadas pelas fórmulas rε k, k = 0, 1,,... 1, e ε k defiido por (1.10), assim: z o = r z 1 = rε = r(cos π + i si π ) 7

9 z = rε = r(cos 4π + i si 4π ) z = rε = r(cos 6π + i si 6π ). z 1 = rε 1 = r(cos ( 1)π + i si ( 1)π ). É fácil ver que as raizes z o, z 1,..., z 1 formam uma progresão geométrica com razão q = ε = cos π + i si π. Seja S = z o + z 1 + z z 1 a soma das raizes de z obtidas acima, e cosiderado que : ( ε = cos π + i si π ) ( = cos π + i si π ) = 1, etão 1.5 Fução Expoecial S = r z o q 1 q = r 1 ε 1 ε = r ε = 0. Vamos esteder a fução expoecial e x defiido quado x R para o caso de expoete complexo. Quado x R, a fução expoecial e x pode ser desevolvida a seguite série: e x = 1 + x 1! + x! + x! +... Defiimos aalogamete a série para o caso da fução expoecial com x = iy, ou seja, e iy = 1 + iy 1! + (iy) + (iy) +...!! Separado os termos reais e imagiários, temos ) e iy = (1 y! + y4 4! y6 6! +... ) + i (y y! + y5 5! y7 7! +..., dode lembrado que os desevolvimetos das fuções seo e coseo são respectivamete: obtemos Trocado y por y a equação (1.11), obtemos cos x = 1 x! + x4 4! x6 6! +... si x = x x! + x5 5! x7 7! +... e iy = cos y + i si y. (1.11) e iy = cos y i si y. (1.1) 8

10 Resolvedo as equações (1.11) e (1.1) com relação as fuções seo e coseo, obtemos as fórmulas de Euler que expressa as fuções trigoométricas através das fuções expoeciais com expoetes imagiários: cos y = eiy + e iy ; si y = eiy e iy. (1.1) i A fórmula (1.11) ós permite escrever o úmero complexo dada em forma trigoométrica a forma expoecial: re iϕ = r (cos ϕ + i si ϕ). Seja x + iy um úmero complexo arbitrário, etão e x+iy = e x.e iy = e x (cos y + i si y). (1.14) Agora ficou fácil, defiir o produto de duas fuçõe expoeciais para z 1 = x 1 +iy 1 e z = x +iy : e z 1.e z = e x 1 (cos y 1 + i si y 1 ).e x (cos y + i si y ). De fato, usado a fórmula (1.6) para o produto de dois úmeros complexos obtemos: e z 1.e z = e x 1+x (cos(y 1 + y ) + i si(y 1 y )) = e x 1+x.e i(y 1+y ) = e x 1+iy 1.e x +iy = e z 1.e z = e z 1+z. Aalogamete Em geral, para N, obtemos Aplicação (e z ) = e z.e z... e z = e z, e z 1 e z = ez 1.e z = e z 1 z. ( e z ) = e z.e z... e z = e z. Usado a fórmula de Euler, podemos obter uma expressão para qualquer potêcia positiva das fuções cos ϕ, si ϕ e para os seus produtos das mesmas potêcias, Exemplo cos ϕ = (eiϕ + e iϕ ) ; si ϕ = (eiϕ e iϕ ) i. (1.15) cos 4 ϕ = (eiϕ + e iϕ ) 4 = e4iϕ eiϕ e iϕ 16 = 1 e 4iϕ + e 4iϕ + 1 e iϕ + e iϕ = = cos ϕ + 1 cos 4ϕ. 8 + e 4iϕ 16 = Exemplo 1.5. si 4 ϕ cos ϕ = (eiϕ e iϕ ) 4 4 i 4. (eiϕ + e iϕ ) = (eiϕ e iϕ ) (e iϕ e iϕ ) = 18 = (e6iϕ e iϕ + e iϕ e 6iϕ ) (e iϕ e iϕ ) = 18 = (e7iϕ e 5iϕ e iϕ + e iϕ + e iϕ e iϕ e 5iϕ + e 7iϕ ) 18 = 64 cos ϕ 64 cos ϕ 1 64 cos 5ϕ + 1 cos 7ϕ. 64 = 9

11 1.6 Fuções Trigoométricas e Hiperbólicas Até agora estudamos as fuções trigoométricas somete o caso de variável real. Defiamos as fuções trigoométricas para variável complexa pela fórmula de Euler: cos z = eiz + e iz ; si z = eiz e iz. i Usado estas fórmulas e as propriedades da fução expoecial podemos verificar as seguites fórmulas(verifique!!!!!!!!): si z + cos z = 1; si(z 1 + z ) = si z 1 cos z + si z cos z 1 ; cos(z 1 + z ) = cos z 1 cos z si z 1 cos z. Itroduzamos agora a oção de fuções hiperbólicas. O coseo e seo hiperbólico defiem-se pelas fórmulas: cosh z = cos iz = ez + e z ; sih z = em particular quado z = x, obtemos si iz i = ez e z, cosh x = ex + e x ; sih x = ex e ix. Usado estas fórmulas, ão é difícil verificar as seguites relações: cosh z sih z = 1 sih(z 1 ± z ) = sih z 1 cosh z ± cosh z 1 sih z ; cosh(z 1 ± z ) = cosh z 1 cosh z ± sih z 1 sih z ; sih z = sih z cosh z, cosh z = cosh z sih z. Desta forma aparece a trigoometria hiperbólica com fórmulas aálogas as fórmulas da trigoometria do círculo. Trocado as fórmulas da trigoometria usual o si z por i sih z e cos z por cosh z obtemos as fórmulas aálogas a trigoometria hiperbólica. 10

12 Referêcias Bibliográficas [1] A.G. Kurosh, Curso de Álgebra Superior(ruso), Nauka, Moscou,