EME 311 Mecânica dos Sólidos

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1 EE 311 ecâica dos Sólidos - CPÍTULO 4 - Profa. Patricia patt_lauer@uifei.edu.br IE Istituto de Egeharia ecâica UNIFEI Uiversidade Federal de Itajubá 4 CENTRO DE GRIDDE E OENTO ESTÁTICO DE ÁRE 4.1 Cetro stático; 4.2 Cetro de Gravidade; 4.3 Cetro de assa; 4.4 Cetróide; 4.5 Cetróide de Corpos Compostos; 4.6 ometo Estático de uma Área. ometo Estático de Área Cetro stático Seja o sistema de forças paralelas a uma direção û Cojuto de forças paralelas F F F F {,,, 1 2 } Resultate das forças paralelas R F F + F + + F Cetro stático O poto C, poto de aplicação da resultate, é chamado de cetro astático Podemos escrever que Se: R 0 F F uˆ ˆ ˆ R Ru u F 1 ometo Estático de Área 3 ometo Estático de Área 4

2 4.1 Cetro stático Tomado o mometo da resultate sobre O, e aplicado o Teorema de arigo r R r F 1 ( ) r uˆ F ( ˆ r uf ) 1 1 r F ˆ ( ) ˆ u r F u 1 1 ometo Estático de Área Cetro stático r F ˆ ( ) ˆ u r F u 1 1 r F r F u 1 1 ( ) ˆ 0 Uma solução, particular, resulta quado o vetor etre parêteses for paralelo a û. Neste caso, ela represeta o eio cetral, isto é, a liha de ação de R. ometo Estático de Área Cetro stático r F ˆ ( ) ˆ u r F u 1 1 r F r F u 1 1 ( ) ˆ 0 Em geral, para obtermos o Cetro stático, ós etão temos que a equação acima deve ser satisfeita para direções arbitrárias de û. ometo Estático de Área Cetro stático Etão, a equação do cetro astático é dada por r F r F r 1 ( ) 1 1 Em termos das coordeadas cartesiaas r ˆ + ˆ + zzˆ r ˆ + ˆ + z zˆ ( r F ) ometo Estático de Área 8 1 F

3 4.1 Cetro stático Logo ( F ) ( F ) ( z F ) ˆ + ˆ + zzˆ ˆ + ˆ + zˆ F F F Eemplo 1 Determie aaliticamete o cetro astático do sistema de forças dado. ( F ) ( F ) ( z F ) ; ; z F F F ometo Estático de Área 9 ometo Estático de Área Cetro de Gravidade É um poto o qual se localiza o peso resultate de um sistema de potos materiais. Cosidere o sistema de potos materiais fios em uma região do espaço. 4.2 Cetro de Gravidade É um poto o qual se localiza o peso resultate de um sistema de potos materiais. Os pesos dos potos materiais compreedem um sistema de forças paralelas que pode ser substituído por um úico (equivalete) peso resultate aplicado o poto G. ometo Estático de Área 11 ometo Estático de Área 12

4 4.2 Cetro de Gravidade De acordo com a teoria do cetro astático, que este caso é chamado de cetro de gravidade do corpo, teremos: com ( F ) ( F ) ( z F ) ; ; z F F F F W 4.2 Cetro de Gravidade Um corpo rígido é formado por um ifiito úmero de partículas (corpo cotíuo). plicado o equacioameto aterior ao sistema de partículas que compõe o corpo, os somatórios são substituídos por itegrais. r rdw dw ometo Estático de Área 13 ometo Estático de Área Cetro de Gravidade Cosiderado a partícula arbitrária localizada em (,, z) são, com peso dw, as equações resultates dw dw ; ; dw dw z zdw dw 4.2 Cetro de Gravidade Colocado ode: γ dw γ d - peso específico do corpo; γ d γ d zγ d ; ; z γ d γ d γ d ometo Estático de Área 15 ometo Estático de Área 16

5 4.3 Cetro de assa Sabedo que: Com: ρ γ g γ ρg - desidade ou massa por uidade de volume - peso específico do corpo; - aceleração da gravidade. ρd ρd zρd ; ; z ρd ρd ρd ometo Estático de Área Cetróide O cetróide C é um poto que defie o cetro geométrico de um objeto. Se o material que compõe o corpo for uiforme ou homogêeo, a desidade ou peso específico será costate. Logo, d d zd ; ; z d d d ometo Estático de Área Cetróide Uma vez que as fórmulas resultates são idepedetes do peso do corpo, depedem apeas de sua geometria. Três casos específicos serão cosiderados: 4.4 Cetróide Cetróides de volume Cetróides de volume; Cetróides de áreas; Cetróides de liha. ometo Estático de Área 19 d d zd ; ; z d d d ometo Estático de Área 20

6 4.4 Cetróide Cetróides de áreas 4.4 Cetróide Cetróides de liha d d zd ; ; z d d d ometo Estático de Área 21 dl dl zdl L L L ; ; z dl dl dl L L L ometo Estático de Área Cetróide Simetria: Nos casos em que a forma geométrica tem um eio de simetria, o cetróide dela ficará sobre esse eio; Nos casos em que uma forma tem dois ou três eios de simetria, o cetróide se localizará a itersecção desses eios. Eemplo 2 Calcular o cetróide da chapa de aço triagular. ometo Estático de Área 23 ometo Estático de Área 24

7 4.5 Cetróide de Corpos Compostos Cosiste em um cojuto de corpos de formatos mais simples (retagulares, triagulares, semicirculares etc.); 4.5 Cetróide de Corpos Compostos Cetróide de lihas e áreas plaas Pode ser dividido em várias partes ode cada parte terá seu peso W e a localização do cetro de gravidade cohecidos; o peso resultate é aplicado o cetro astático (cetro de gravidade) do sólido composto. ometo Estático de Área 25 ometo Estático de Área Cetróide de Corpos Compostos 4.5 Cetróide de Corpos Compostos ometo Estático de Área 27 ometo Estático de Área 28

8 4.5 Cetróide de Corpos Compostos Eemplo 3 (Hibbeler pág. 393) Localize o cetróide da área plaa da placa mostrada. Se ecotrarmos elemetos cotedo furos ou cavidades, estes compoetes do corpo composto ou figura, correspodedo a peso, volume ou área, devem ser cosiderados NEGTIOS. ometo Estático de Área 29 ometo Estático de Área ometo Estático de Área Na resistêcia dos materiais, uma gradeza de muita importâcia é o mometo estático da área de seção reta de vigas. O mometo estático de uma área com relação ao eio é a quatidade defiida pela itegral a forma: d ode é a distâcia da área elemetar d ao eio O. ometo Estático de Área ometo Estático de Área ometos estáticos e d d ometo Estático de Área 32

9 4.6 ometo Estático de Área Pode ser positivo, egativo ou zero. Se a área é idetificada como uma força, a itegral pode ser iterpretada como a soma dos mometos das forças d com relação ao eio O. Sabedo que: Logo: d d d d ometo Estático de Área ometo Estático de Área Etão podemos determiar a ordeada do cetróide por: alogamete, o mometo estático com relação ao eio O é: d ometo Estático de Área ometo Estático de Área Quato vale o mometo estático de área com relação ao eio O quado este eio passar pelo cetróide de uma área? ZERO Ou com relação ao eio O quado este eio também passar pelo cetróide de uma área? Eemplo 7 Determiar os mometos estáticos com relação aos eios e da catoeira mostrada a figura. ZERO ometo Estático de Área 35 ometo Estático de Área 36