CAP. I - ESTUDO DE FUNÇÕES COM VÁRIAS VARIÁVEIS INDEPENDENTES.

Transcrição

1 Aálise Matemática II- ao lectivo 6/7 CAP. I - ESTUDO DE FUNÇÕES COM VÁRIAS VARIÁVEIS INDEPENDENTES. 1. Breves oções topológicas em 1.1 Distâcia etre dois potos R Dados dois potos x e y R, x = ( x1, x,... x ) e y = ( y1, y,... y ) chama-se distâcia de x a y: d ( x y ) + ( x y ) + ( x ) y ( x, = A distâcia de x a y também se represeta por represeta a orma do vector x-y. x y, pois 1. Iterior, exterior e roteira Seja X um subcojuto de R. Um poto a diz-se iterior a X sse existir uma bola de cetro em a, cotida em X. Um poto a diz-se exterior a X sse existir uma bola de cetro em a, cotida o complemetar de X. Obs.: X c = R X Um poto a diz-se roteiro a X sse qualquer bola de cetro em a, cotiver pelo meos um poto de X e cotiver pelo meos um poto do complemetar de X. 1ª aula teórica. Pág. 1

2 Aálise Matemática II- ao lectivo 6/7 Chama-se, respectivamete, iterior, exterior e roteira de X ao cojuto dos potos iteriores, exteriores e roteiros de X e represetam-se respectivamete, por: it(x), ext(x) e rot (X). Estes cojutos são disjutos e a sua uião é o uiverso cosiderado. it(x) ext(x) rot(x) = R 1.3 Cojuto aberto e cojuto echado. O cojuto X diz-se aberto sse or igual ao seu iterior. Chama-se echo ou aderêcia de X à uião do iterior de X com a sua roteira e represeta-se por X. O cojuto X diz-se echado sse or igual ao seu echo. Daqui resulta que X é echado sse o seu complemetar or aberto. 1.4 Poto de acumulação e poto isolado. Um poto a diz-se poto de acumulação de X sse qualquer bola de cetro em a cotiver iiitos elemetos de X. Ao cojuto de todos os potos de acumulação de X, chama-se derivado de X e represeta-se por X. Um poto a diz-se poto isolado de X sse existir uma bola de cetro em a, cuja itersecção com X or apeas o próprio poto a. 1ª aula teórica. Pág.

3 Aálise Matemática II- ao lectivo 6/7 1.5 Cojuto limitado, cojuto compacto Um cojuto X diz-se limitado sse existir uma bola que o coteha. Um subcojuto X de limitado e echado. R diz-se compacto sse or NOTA: Estas oções são importates, porque só se poderá deiir limite duma ução um poto de acumulação do seu domíio e só se poderá deiir derivada duma ução um poto iterior ao domíio.. Deiição. Domíios. De..1 Seja D R, e (X) uma correspodêcia etre os elemetos de D e o cojuto (ou subcojuto de) R. Diz-se que (X) é uma aplicação de D R em R se para cada elemeto de D, ( x 1, x,..., x ) existir um elemeto y R tal que ( x1, x,..., x ) = y. De.. Chama-se domíio de existêcia da ução z=(x, ao cojuto dos pares ordeados (x, para os quais a ução está deiida. Exemplos: a) (x,=l(x+ é uma aplicação de domíio, ( x, { R : x + y o} = = ( x, D > R em R, com { } R : y > x 1ª aula teórica. Pág. 3

4 Aálise Matemática II- ao lectivo 6/7 b) (x,= 1 x y domíio, D ( x, Etão D = ( x, 3. Cotiuidade é uma aplicação de { } R :1 x y o =. { R : x + y 1} Uma ução (x, é cotiua o poto (, y ) está deiida (, y ) ( x, y ) = ( x, y R em R, com x se (x, x e lim ). x x y y 4. Crescimeto parcial e crescimeto total de uma ução (x,. Derivadas parciais. Cosideremos uma ução (X): D R R - Chama-se crescimeto parcial de (X) em relação a x, x = ( x + x, ( x, - Chama-se crescimeto parcial de (X) em relação a y, y = ( x, y + ( x, - Chama-se crescimeto total de (X): = ( x + x, y + ( x, Obs. geralmete x + y Exercício: Determie os crescimetos total e parciais da ução (x,= xy o poto (,3) com x =.1 e y =. 1ª aula teórica. Pág. 4

5 Aálise Matemática II- ao lectivo 6/7 Derivadas parciais As derivadas parciais de uma ução (x, um poto a, represetam as taxas de variação de (x, em a, segudo a direcção do eixo dos xx e dos yy, respectivamete. Chama-se derivada parcial de (X) em relação a x ( x x ( x, ) ao limite quado x de x / x : x( x y ), = lim x ( x + x, y) x ( x, y ) ou Aalogamete, a derivada em ordem a y é dada por: ( x y + y ( x y ) =, ), lim y( x y ) y y, Exemplo: Calcule por deiição as derivadas parciais da ução (x,=yl(x). Podemos o etato usar as regras de derivação cohecidas das uções reais de variável real. Note-se que ao derivar parcialmete em ordem a uma das variáveis se cosideram as restates variáveis como se ossem costates. Exercício: Calcule as derivadas parciais da ução ( x, = x se y. ( ) 1ª aula teórica. Pág. 5