INTEGRAÇÃO NUMÉRICA. b a

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1 INTEGRAÇÃO NUMÉRICA No cálculo, a itegral de uma ução oi criada origialmete para determiar a área sob uma curva o plao cartesiao. Ela também surge aturalmete em dezeas de problemas de Física, como por eemplo, a determiação da posição em todos os istates de um objeto, se or coecida a sua velocidade istatâea em todos os istates. cotíua em um itervalo [a,b] e sua primitiva F coecida. A Seja uma ução itegral deiida de pode ser calculada pela órmula de Newto-Leibiz: b a b d F b F a a Porém, essa técica ão pode ser aplicada quado se coece apeas algus potos tabelados da ução ou, quado ão pode ser itegrada. Portato, os métodos de itegração umérica permitem calcular o valor aproimado de uma itegral deiida sem coecer uma epressão aalítica para a sua primitiva. Itegrar umericamete uma ução y = um itervalo [a, b] pode ser o mesmo que itegrar um poliômio P que aproime em um determiado itervalo. Fórmulas de Newto Cotes Cosidere uma ução deiida em,,..., + potos distitos e equidistates o itervalo [a, b]. Para a determiação das órmulas de Newto-Cotes utiliza-se o poliômio iterpolador de Newto-Gregory para potos equidistates: Ps = + s + ss! ss... s +!. em que. s Aproimado a ução pelo poliômio de Newto-Gregory ps e itegrado-o, obtém-se as órmulas de Newto-Cotes. d Métodos Numéricos Computacioais Pro a. Adriaa Cerri Pro a. Adréa Viaa Pro. Atoio Balbo Pro a Edméa Baptista

2 4 Erro Cometido a Itegração Numérica Teorema Se possui + derivadas cotiuas o itervalo [, ] e os potos j = + j, j =,,..., subdividem o itervalo de itegração em um úmero ímpar de itervalos iguais, etão a epressão do erro para as órmulas de Newto-Cotes com ímpar é dada por: E = u... u du! para algum poto [, ] Teorema Se possui + derivadas cotiuas o itervalo [, ] e os potos j = + j, j =,,..., subdividem o itervalo de itegração em um úmero par de itervalos iguais, etão a epressão do erro para as órmulas de Newto-Cotes com par é dada por: E = u u u... u du! para algum poto [, ] Métodos Numéricos Computacioais Pro a. Adriaa Cerri Pro a. Adréa Viaa Pro. Atoio Balbo Pro a Edméa Baptista

3 5 Regra dos Trapézios Cosidere uma ução cotíua e deiida em dois potos e o itervalo [a,b]. Para a determiação da Regra dos Trapézios utiliza-se o poliômio de Newto-Gregory do º grau, que é dado por: e assim, para a = e b = P = + - d p d P s ds em que e = -. s y Itegrado Ps, obtemos uma órmula de itegração da seguite orma: d s ds ds s ds s s ds ds s ds Portato: d Erro a regra dos trapézios O itervalo = é ímpar e, portato: E u u du, E! Limitate superior para o erro E ma{ / } Métodos Numéricos Computacioais Pro a. Adriaa Cerri Pro a. Adréa Viaa Pro. Atoio Balbo Pro a Edméa Baptista

4 6 Eemplo: Dada a tabela Calcule o valor aproimado de l d usado a regra dos trapézios e um Limitate Superior para o erro.,5 Métodos Numéricos Computacioais Pro a. Adriaa Cerri Pro a. Adréa Viaa Pro. Atoio Balbo Pro a Edméa Baptista

5 7 Métodos Numéricos Computacioais Pro a. Adriaa Cerri Pro a. Adréa Viaa Pro. Atoio Balbo Pro a Edméa Baptista Regra dos Trapézios geeralizada A regra dos trapézios geeralizada cosiste a subdivisão do itervalo de itegração e subitervalos iguais, cada qual de amplitude e a aplicação da Regra dos Trapézios em cada subitervalo, isto é, a cada potos cosecutivos. Assim, temos que: d Erro a regra dos trapézios geeralizada ] [,, E t Limitate superior para o erro } / ma{ t E Eemplo: Calcule o valor aproimado da itegral 4 d usado a regra dos trapézios geeralizada para, 4 e 6 subitervalos e um limitate superior para o erro. y -

6 8 Eercícios Calcule o valor de d pela Regra dos Trapézios usado 5 divisões o itervalo [a,b]. Usado a Regra dos Trapézios determie o valor de d com 6 subitervalos. Compare o resultado com o valor de l. Métodos Numéricos Computacioais Pro a. Adriaa Cerri Pro a. Adréa Viaa Pro. Atoio Balbo Pro a Edméa Baptista

7 9 Regra / de Simpso Cosidere uma ução cotíua o itervalo [a,b], deiida em potos distitos,, equidistates. Para determiar a Regra / de Simpso utiliza-se o poliômio de Newto- Gregory de grau, que é dado por: P = + +! Fazedo a = e b =, temos: d p d P ds em que e s. y P Itegrado Ps, obtemos uma órmula de itegração da seguite orma: ss d s ds! ss ds s ds ds! s s s s. 6 4 Métodos Numéricos Computacioais Pro a. Adriaa Cerri Pro a. Adréa Viaa Pro. Atoio Balbo Pro a Edméa Baptista

8 4 Portato: d 4 Erro a regra / de Simpso O itervalo de itegração oi subdividido em um úmero = par de itervalos e, portato: E u. u u. u du E 4! 9 Limitate superior para o erro Eemplo:, Calcule o valor aproimado de 5 Superior para o erro. 5 4 E {ma, } 9,5 cos d usado a Regra / de Simpso e um Limitate Métodos Numéricos Computacioais Pro a. Adriaa Cerri Pro a. Adréa Viaa Pro. Atoio Balbo Pro a Edméa Baptista

9 4 Regra / de Simpso geeralizada A regra / de Simpso geeralizada cosiste a subdivisão do itervalo de itegração e subitervalos iguais, cada qual de amplitude, em que é um úmero par de subitervalos, de orma que a = e b = e a aplicação da Regra / de Simpso a cada subitervalos cosecutivos. y , -, Aplicado a regra / de Simpso a cada subitervalos, temos que: d Erro a regra / de Simpso geeralizada 4 E 8 4, Limitate superior para o erro 4 4 E ma{, 8 Eemplo: Calcule o valor aproimado da itegral e d geeralizada para, 4 e 6 subitervalos e um limitate superior para o erro. } usado a regra / de Simpso Métodos Numéricos Computacioais Pro a. Adriaa Cerri Pro a. Adréa Viaa Pro. Atoio Balbo Pro a Edméa Baptista

10 4 Eercícios Calcule o valor de d pela Regra / de Simpso usado 5 divisões o itervalo [a,b]. Usado a Regra / de Simpso determie o valor de resultado com o valor de l. d com 6 subitervalos. Compare o Métodos Numéricos Computacioais Pro a. Adriaa Cerri Pro a. Adréa Viaa Pro. Atoio Balbo Pro a Edméa Baptista

11 4 Regra /8 de Simpso Cosidere uma ução cotíua o itervalo [a,b], deiida em,,,, 4 potos distitos e equidistates. Para determiar a Regra / de Simpso utiliza-se o poliômio de Newto-Gregory de grau, que é dado por: P = + + Fazedo a = e b =, temos: +! em que e s. d p d P ds y P Itegrado Ps, obtemos uma órmula de itegração da seguite orma: d u u u u u u du!! du u du u u du u u u du 6 u u 4 u u u u u Portato: d 8 Métodos Numéricos Computacioais Pro a. Adriaa Cerri Pro a. Adréa Viaa Pro. Atoio Balbo Pro a Edméa Baptista

12 44 Erro a regra /8 de Simpso Para esta regra de itegração, o itervalo [a, b] oi subdividido em um úmero =, ímpar, de subitervalos, portato: E u u u u du E 4! , Limitate superior para o erro 5 4 E ma{, } 8 Eemplo: Calcule o valor aproimado de e 5 d Limitate Superior para o erro.,, usado a Regra /8 de Simpso e um Métodos Numéricos Computacioais Pro a. Adriaa Cerri Pro a. Adréa Viaa Pro. Atoio Balbo Pro a Edméa Baptista

13 45 Regra /8 de Simpso geeralizada A regra /8 de Simpso geeralizada cosiste a subdivisão do itervalo [a, b] de itegração e subitervalos iguais, cada qual de amplitude, em que é um úmero múltiplo de, de orma que a = e b = e a aplicação da Regra /8 de Simpso a cada 4 potos cosecutivos, ou subitervalos cosecutivos. y Aplicado a regra /8 de Simpso a cada subitervalos, temos que: d Erro a regra /8 de Simpso geeralizada 4 E 8 4, Limitate superior para o erro 4 4 E ma{, 8 Eemplo: Calcule o valor aproimado da itegral 7 } l 9 d usado a regra /8 de Simpso geeralizada para, 6 e 9 subitervalos e um limitate superior para o erro. Métodos Numéricos Computacioais Pro a. Adriaa Cerri Pro a. Adréa Viaa Pro. Atoio Balbo Pro a Edméa Baptista

14 46 Eercícios Calcule o valor de d pela Regra /8 de Simpso usado 5 divisões o itervalo [a,b]. Usado a Regra /8 de Simpso determie o valor de d com 6 subitervalos. Compare o resultado com o valor de l. Métodos Numéricos Computacioais Pro a. Adriaa Cerri Pro a. Adréa Viaa Pro. Atoio Balbo Pro a Edméa Baptista

15 47 Eercícios Calcule as itegrais a seguir pela Regra dos Trapézios, / de Simpso e /8 de Simpso, usado quatro e seis divisões de [a,b]. Compare os resultados. a b e d c d d 4 4 d d Em que setido a Regra de Simpso é melor do que a Regra dos Trapézios? Dada tabela,,,4,6,8,,,48,575,,6965,78 e sabedo que a Regra / de Simpso é, em geral, mais precisa que a Regra dos Trapézios, qual seria o modo mais adequado de calcular processo para determiar o valor da itegral. d, usado a tabela acima? Aplique este 4 Usado a Regra de Simpso determie o valor de resultado com o valor de l. d com 8 subitervalos. Compare o 5 Cosidere a itegral I = e d. Estime I pela Regra de Simpso usado =,5. 6 Calcule π da relação d utilizado a Regra de Simpso com 6 subitervalos. 4 7 As órmulas de Newto-Cotes são todas obtidas a partir da aproimação da ução itegrada por um poliômio iterpolador de Newto-Gregory. Aplicado a mesma sistemática adotada para a obteção das regras dos Trapézios e de Simpso, determie uma órmula de itegração utilizado o poliômio iterpolador de Newto-Gregory de 4 o grau. 8 Aplique a órmula obtida o eercício aterior para calcular I = l d. 9 Utilize a Regra / de Simpso para itegrar a ução abaio etre e com o meor esorço computacioal possível. Justiique., se =, se < Métodos Numéricos Computacioais Pro a. Adriaa Cerri Pro a. Adréa Viaa Pro. Atoio Balbo Pro a Edméa Baptista

16 48 Pela Regra de Simpso =8, calcule cada uma das itegrais abaio. a e se d b se d Sabedo-se que a quatidade de calor ecessária para elevar a temperatura de um certo corpo de massa m de t a t é t Q m C d t ode Cθ é o calor especíico do corpo à temperatura θ, calcule a quatidade de calor ecessária para se elevar kg de água de o C a o C. Para a água tem-se: θ o C Cθ kcal/kg o C 999,9 999,7 998, 995, 4 99, 5 988, 6 98, 7 977,8 8 97, , 958,4 De um velocímetro de um automóvel oram obtidas as seguites leituras de velocidade istatâea: t mi V km/ Calcule a distâcia, em quilômetros, percorrida pelo automóvel. Métodos Numéricos Computacioais Pro a. Adriaa Cerri Pro a. Adréa Viaa Pro. Atoio Balbo Pro a Edméa Baptista

17 49 Calcule o trabalo realizado por um gás sedo aquecido segudo a tabela: Vm,5,,5,,5 4, 4,5 Pkg/m Sabe-se que W v P dv. vi 4 Uma lia reta oi traçada de modo a tageciar as marges de um rio os potos A e B. Para medir a área do treco etre o rio e a reta AB oram traçadas perpediculares em relação a AB com um itervalo de,5m. Qual é esta área? Perpediculares Comprimeto m,8 4, 4,64 4 5,6 5 4,98 6,6 7,8 8 4,68 9 5,6,8,4 Métodos Numéricos Computacioais Pro a. Adriaa Cerri Pro a. Adréa Viaa Pro. Atoio Balbo Pro a Edméa Baptista