TE231 Capitulo 4 Interpolação Polinomial. Prof. Mateus Duarte Teixeira

Transcrição

1 TE3 Capitulo 4 Iterpolação Poliomial Pro. Mateus Duarte Teieira

2 . Itrodução A tabela abaio relacioa calor especíico da água com a temperatura: Deseja-se por eemplo saber: a o calor especíico da água a 337 C; b a temperatura para a qual o calor especíico é Solução Iterpolação

3 . Itrodução A iterpolação cosiste em determiar uma ução que assume valores cohecidos em certos potos ós da iterpolação dierete do ajuste de curvas. A classe de uções escolhida para a iterpolação é arbitrária e deve ser adequada às características que pretedemos que a ução possua. Fução a ser cosiderada: Poliômios Iterpolação Poliomial

4 . Itrodução A ecessidade de se eetuar esta substituição surge em várias situações como por eemplo: a Quado são cohecidos somete os valores uméricos da ução para um cojuto de potos e é ecessário calcular o valor da ução em um poto ão tabelado; b Quado a ução em estudo tem uma epressão tal que operações como a diereciação e a itegração são diíceis ou mesmo impossíveis de serem realizadas.

5 . Itrodução Na computação gráica: Iterpretação de um aplicativo de como alguma coisa deve parecer especialmete quado o sotware ão dispõe de dados suicietes para ateder à sua requisição. Em egeharia e ciêcia geralmete tem-se dados potuais obtidos a partir de uma amostragem ou eperimeto. A partir de métodos de iterpolação pode-se costruir uma ução que aproimadamete ecaie-se estes dados potuais.

6 . Itrodução Embora eista um úico poliômio de grau que passa por + potos há diversas órmulas matemáticas para epressá-lo. Formas adequadas para implemetação computacioal: Newto e Lagrage.

7 . Eistêcia e Uicidade Seja p = a + a a + a Das codições de iterpolação obtém-se o sistema de + equações lieares. Quais são as variáveis idepedetes que desejamos obter? a i ou i? y a a... a a p... y a a... a a p y a a... a a p

8 Demostração do Teorema: A matriz dos coeicietes do sistema de equações lieares é:... A Matriz de Vadermode DetA = Como... são distitos tem-se que deta logo o sistema de equações lieares admite solução úica

9 O sistema de equações lieares pode ser resolvido utilizado qualquer um dos métodos diretos ou iterativos estudados. Etretato os métodos diretos tem compleidade de ordem cúbica O 3. É possível epressar o problema de iterpolação poliomial de orma que se obteham meios de solução meos dispediosos com compleidade de ordem quadrática O.

10 Determiar o poliômio iterpolador através da resolução de um sistema de equações lieares é caro computacioalmete. Etão surgem outros métodos de obtê-lo. Lagrage Newto Hermite Splie

11 3. Iterpolação de Lagrage Seja um cojuto de + dados { i i }. Ecotrar um poliômio iterpolador p que passe por todos os potos p L L... L L k são poliômios

12 Iterpolação de Lagrage: Lk i i k i ik L e k k L se i k k i

13 Poliômio Iterpolador de Lagrage: Versão liear: Versão quadrática:

14 Cosidere o seguite cojuto de potos: Potos: = = e = ; = -; = 4 e = L.. 3. L. L..

15 ... L L L P P P P

16 Eemplo: Empregar o poliômio iterpolador de Lagrage de primeiro e de segudo graus para calcular l com base os seguites dados: ; 4; 6; ;

17 Solução: Poliômio de primeiro grau:

18 Solução: Poliômio de segudo grau:

19 Eercício: Ajuste por uma reta os seguites potos ;: ; 3 e 4; 56 p p 6 5 p

20 Eercício: Seja y = determiar o poliômio que iterpola uma ução dada os potos a seguir utilizado o método de Lagrage e três casas decimais. p

21 4. Iterpolação de Newto Diereças Divididas de Newto: Seja uma ução cotíua + vezes diereciável e deiida em... + potos distitos de um itervalo a b. Deiimos diereça dividida de ordem de uma ução deiida os potos i i =... por

22 Etão: ordem ordem ordem ordem 3

23 Operadores: Ordem Ordem Ordem

24 Seja uma ução cotíua e deiida em... + potos distitos de um itervalo a b. O poliômio de grau baseado as diereças divididas dado por: P

25 Operadores: b b b... P b b b b b b b b b b

26 Faça uma estimativa de l empregado um poliômio iterpolador de Newto de terceiro grau utilizado os seguites potos: 3 ; 4; 6; 5; 3 ;

27 Solução: O poliômio de terceiro grau a ser obtido possui a orma: b b b b3 3 As primeiras diereças divididas para o problema são:

28 As segudas diereças divididas para o problema são:

29 A terceira diereça dividida é: Poliômio iterpolador de Newto:

30 ução Valor aproimado para l= Fução real Estimativa quadrática Estimativa cúbica Estimativa liear b Erros relativos lieares: a 483% b 333% Erro relativo quadrática: 84% 5 Erro relativo cúbica: Estimativa liear a 93% variável idepedete

31 Eemplo

32 Eemplo

33 Cosiderações Fiais: Nos métodos que utilizam diereças divididas a estimativa do erro de trucameto pode ser acilmete itegrada ao algoritmo uma vez que utiliza uma diereça. No método de Lagrage a estimativa do erro de trucameto pode ser obtida apeas se a ução iterpolada or cohecida aaliticamete. O método de Lagrage é um pouco mais simples de ser implemetado.

34 Trabalho Um automóvel viajado por uma rodovia é croometrado em diversas posições. Os dados seguem ode tempo s e distâcia pés e velocidade pés/s. Use o poliômio de segudo grau de Lagrage e cúbico de Newto para obter a posição e velocidade do automóvel quado t = s. Plote os gráicos e compare com a errameta Ecel.