ISCTEM Análise Matemática II Curso de Engenharia Informática

Transcrição

1 ISCTEM Aálise Matemática II Curso de Egeharia Iormática Fuções reais de várias variáveis reais: ites e cotiuidade.. FUNÇÕES REAIS DE VÁRIAS VARIÁVEIS REAIS Até agora oram estudadas uções reais de uma só variável real. Em várias áreas da Ciêcia, em particular em Egeharia, estudam-se problemas ode iguram uções de várias variáveis idepedetes. Eemplos a A área de um triâgulo depede de duas variáveis, a base b e a altura h : b h A ( b,h = b A equação de estado de um gás ideal é dada por (,T,V P = R T V ode P é a pressão, V o volume, T a temperatura, a massa gasosa em moles e R a costate molar do gás c O volume de uma caia paralelepipédica depede de três dimesões, y e z : V, y,z = y ( z d A média aritmética de úmeros,, L, é uma ução de variáveis: = ( + + L. DOMÍNIO DE UMA FUNÇÃO REAL DE VARIÁVEIS REAIS Seja D um cojuto do espaço -dimesioal ( D IR D são os -uplos ordeados (,,..., Se a cada poto (,,..., D obtemos uma ução de úmeros reais., isto é, os elemetos de y, izermos correspoder um úico elemeto IR : D IR (,,..., y = (,,..., Esta ução é chamada ução real de variáveis reais. O cojuto D é deomiado o domíio da ução. IR

2 Eemplos: Represetação o plao e o espaço do domíio de uções de duas e três variáveis Calcule o domíio de cada uma das seguites uções e represete-os graicamete: a (, y = 6 ( + y O domíio de é o cojuto dos potos (, y tais que 6 ( + y 0. Ora ( + y 0 + y y y. Assim {(, y IR : y } D =. b (, y = l( y A ução (, y está bem deiida quado y > 0 + y <. O domíio é o iterior do círculo uitário com cetro a origem. Etão D = {(, y IR : + y < } c (, y = y 4 A ução (, y ão está deiida quado o deomiador é zero, etão o domíio é o cojuto de todos os potos do plao à ecepção dos potos pertecetes à parábola y = 4. Dode D = (, y IR : y 4 { }

3 ,y,z = 6 y z d ( O domíio da ução é o cojuto dos potos (, y,z IR tais que 6 y z 0, isto é, + y + z 6. Este cojuto orma a esera cetrada em ( 0,0,0 e de raio 4 jutamete com o seu iterior. Assim D = (, y,z { IR : + y + z 6 }. SUPERFÍCIES EM IR E GRÁFICOS DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS Se é uma ução de variáveis, = (, potos o espaço gra IR + dado por,...,, o seu gráico é o cojuto de ( = {(,,...,, (,,..., : (,,..., D( } Em particular seja (, y uma ução real de duas variáveis reais. O gráico desta ução deiido por: gra { } ( = (, y, (, y IR : (, y D( Nem toda a superície em IR correspode ao gráico de uma ução. Eemplos: y a O parabolóide elíptico de equação z = + é uma superície de IR a b y correspodete ao gráico da ução (, y = +. a b

4 y z b O coe elíptico de equação = 0 a b c é uma superície de IR mas ão correspode ao gráico de uma ução. No etato, podemos dizer que os gráicos das y uções z = ± c implícitas a equação a b represetam, em relação ao plao z = 0, respectivamete a parte superior e ierior desta superície. Os gráicos de uções de três ou mais variáveis já ão são visualizáveis. Em 4, uções cotíuas represetam hiper-superícies. IR, Por eemplo, o gráico da ução (, y,z = y z, cujo domíio se ecotra represetado em. d é deiido por 4 {(, y,z,w IR : w = 6 y z } 4 Trata-se de uma hiper-superície em IR que ão podemos visualizar por se ecotrar um espaço de dimesão superior ao espaço ode vivemos. 4. CURVAS E SUPERFÍCIES DE NÍVEL Seja z = (, y a equação de uma superície em IR correspodete ao gráico de uma ução. Uma curva de ível a superície é o lugar geométrico dos potos (, y D( ode a ução ( y equação, permaece costate; é pois, deiida por uma (, y = k, ode k é uma costate. Do poto de vista geométrico as curvas de ível são as itersecções da superície z = (, y com os plaos horizotais z = k. Para as uções de três variáveis o lugar geométrico dos potos ode a ução é costate, deiido por (, y,z k = chama-se superície de ível e, para as uções de mais de três variáveis chama-se hiper-superície de ível. 4

5 Eemplos: a As iguras seguites mostram uma motaha e a sua represetação topográica. Geralmete os mapas de cotoro ou cartas topográicas mostram regiões da superície terrestre descritas por curvas de ível, isto é, cojutos de potos com a mesma elevação. Uma carta topográica descreve a variação de z relativamete a e a y do seguite modo: se duas curvas de ível se ecotram muito espaçadas sigiica que z varia suavemete, equato que pequeos espaçametos mostram uma rápida alteração de z. Desta maeira, para se obter uma boa ilusão tridimesioal uma carta topográica, é muito importate escolher valores adequados para k. b Nas cartas meteorológicas as curvas de ível podem represetar potos de igual temperatura, e chamam-se isotérmicas. Podem também represetar potos de igual pressão, curvas isobáricas, como se mostra a igura abaio. c As curvas de ível também são usadas para represetarem campos de potecial eléctrico, descrevedo cojutos de potos com o mesmo potecial. Neste tipo de mapa as curvas são desigadas por lihas equipoteciais. 5

6 , y d Cosidere-se o hemisério dado por ( = 64 y. Costrua o mapa de cotoro para esta superície através das curvas de ível correspodetes a k = 0,,,... 8 Para cada um dos valores de k idicados acima, a equação dada por (, y = k é uma circuerêcia o plao XOY. Por eemplo para k = 0 a curva de ível respectiva é + y = 64 que é a equação de uma circuerêcia cetrada a origem e de raio 8. Para k = 8 obtém-se a equação + y = 0. Repare-se que o úico poto que satisaz a esta equação é o poto ( 0,0. Geometricamete, Curvas de ível 5. ESBOÇO DE GRÁFICOS USANDO CURVAS DE NÍVEL Mapa de cotoro As curvas de ível são sempre subcojutos do domíio da ução z = (, y, e portato são traçadas o plao XOY. Cada curva de ível é a projecção, sobre o plao XOY da itersecção do gráico de com o plao horizotal z = k. Assim, para obtermos uma visualização do gráico de, podemos traçar diversas curvas de ível e imagiarmos cada uma dessas curvas deslocada para a altura correspodete. Nas iguras em baio ilustramos esse procedimeto. z = k z + = y z = + y 6

7 Observado as iguras, cocluímos que as curvas de ível de ambas as uções são circuerêcias de cetro a origem. Assim, utilizado somete curvas de ível, poderemos ter diiculdade em esboçar o gráico correctamete. Como já oi visto atrás, um outro recurso muito útil para visualizar a orma do gráico cosiste em determiar a itersecção deste com os plaos YOZ e XOZ. A itersecção do gráico de z + = y com os plaos YOZ e XOZ são as semi-rectas z = ± y e z = ± respectivamete e, z 0. Por sua vez, a itersecção de = y com os plaos YOZ e XOZ são, respectivamete, as z + parábolas z = y e z =. Estas iormações ajudam-os a ver que o gráico de = y é um coe e o gráico de z + = y é um parabolóide. z + 6. LIMITES Seja : D IR IR uma ução real de variáveis reais. Seja ( a,a,..., a = um poto de a IR. Diz-se que (,,..., tede para L ou tem ite L quado = (, tede para a = ( a,a,...,,..., a ( L δ δ > 0, ε > 0 : 0 < a < ε <, se Eemplo: y Mostre que = 0 0,0 + y Teremos de provar que sedo δ um úmero positivo qualquer, eiste outro úmero positivo ε (depedete de δ, tal que, quado 0 < + y < ε se tem y + y < δ. 7

8 Seja etão dado o úmero δ > 0. Como etão y + y = + y y e + y e y + y ( + y ( + y ( y y +. Assim y + y ( y + < ε. δ y Basta tomar ε = e ica demostrado que = y y 0 Propriedades dos ites: Se (, y e g(, y eistem, c IR e IN, etão a [ (, y ± g(, y ] = b c (, y = c (, y (, y ± g(, y c (, y.g(, y = (, y. g(, y d g ( (, y, y = desde que g(, y 0 (, y g(, y e [ (, y ] = (, y (, y = (, y impodo certas codições ao radicado o caso de par. 8

9 Sedo (,,..., uma ução real de variáveis reais, a eistêcia do ite (,,..., ( a,a,...,a (,,..., ão é ácil de provar. Nos casos mais simples o ite é calculado aplicado as propriedades acima idicadas (,y,z (,0, ( z + ye = z + y e = (,y,z (,0, (,y,z (,0, (,y,z (,0, Em algus casos, somos coduzidos a uma idetermiação. É de otar que isto acotece quado o poto ite ão pertece ao domíio da ução. y 0 A título de eemplo veja-se que = 0,0 + y 0 Numa situação de ite idetermiado por vezes é possível levatar a idetermiação, simpliicado a epressão da ução. Assim vem 0,0 + y y 0 = = 0 0,0 ( y ( + y = + y (,y ( 0,0 ( y = 0 Quado ão eiste um processo de levatar a idetermiação, o âmbito desta disciplia serão estudados pricipalmete casos em que o ite ão eiste. Como se sabe, para uma ução real de variável real, eiste ite de ( quado tede para a, se eistirem e orem iguais os ites laterais à esquerda e à direita de a. Caso cotrário, diz-se que o ite ão eiste. Se tomarmos uma vizihaça aberta do poto a em IR, V ε ( a = ] ε, a + ε [ e se V ( a e a ε teder para a por dois camihos possíveis. a, ε > 0,, ou está à esquerda ou à direita de a. Assim, só pode Supohamos agora que é uma ução de duas variáveis e se pretede calcular (, y. 9

10 Aalogamete, uma vizihaça aberta do poto ( a, b, V ε ( a, b, pode ser deiida como o cojuto de potos (, y que estão a uma distâcia de ( a, b ierior a ε, ε > 0, isto é, {(,y IR : ( a + ( y b < ε }, utilizado a distâcia usual em IR. Como poderão os potos desta vizihaça teder para ( a, b? Poderão imagiar-se vários camihos! Na verdade, há uma iiidade deles. Para cocluir que ão eiste (, y de (, y para ( b, basta procurar dois camihos dieretes a, de orma a ecotrar ites dieretes para a ução quado se percorre o primeiro ou o segudo camiho. Seguidamete vamos ormalizar algus camihos em Limites iterados IR. Dado um poto (, y V ( a,b e (, y ( 0,0, a epressão (, y ε a admitir que as variáveis (, y covergem simultaeamete para ( b, estamos a,. Podemos, porém, supor que primeiro azemos teder para a e depois y para b ou reciprocamete. Os ites que obtemos são escaloados (ou iterados e represetamse por: y b a (, y a y b (, y Os dois camihos que escolhemos correspodem aos camihos represetados as iguras seguites: 0

11 Para uma ução de duas variáveis só há a cosiderar estes dois casos, correspodetes ao úmero de permutações destes dois ites. Para uma ução de três variáveis o úmero de permutações dos três ites é seis. (o úmero de permutações de elemetos distitos é dado por! z c y b a a y b z c (, y,z (, y,z z c a y b y b y a z c (, y,z (, y,z a z c y b y b z c a (, y,z (, y,z Geeralizado para uma ução de variáveis, se eistir o (,,..., ( a,a,...,a (,,..., etão todos os ites iterados eistem e têm o mesmo valor. Note que a recíproca desta airmação ão é verdadeira: mesmo que eistam e sejam iguais todos os ites iterados, pode ão eistir ite da ução o poto dado, porque como sabemos, há aida uma iiidade de camihos ão cosiderados. Por outro lado, a eistêcia de dois ites iterados distitos implica a ão eistêcia de ite, e é sob este poto de vista que vamos azer uso desta deiição. Eemplo: Estude, quato ao ite o poto ( 0,0,0 a ução (, y,z Recorredo aos ites iterados temos: 0 y 0 z 0 + y + z y = 0 y 0 + y + z = y 0 0 z 0 y y y = y 0 y = y y 0 + y + z = y y y = 0 = y 0 = = Poder-se-iam calcular mais ites iterados, mas os dois obtidos (sedo dieretes chegam para cocluir que ão eiste (,y,z ( 0,0,0 (, y,z.

12 Camihos rectilíeos para uções de duas variáveis: Seja (, y V ( a,b tal que (, y ( a,b ε m IR, que passam pelos potos ( y e cosiderem-se as rectas de declive m,, e por ( a, b, isto é, y b + m( a =. Note que se a, também y se aproima de b, descrevedo o cada poto (, y um camiho rectilíeo. Na tetativa de demostrar que (, y a y= b+ m( a (, y ão eiste, calcule-se. Se o resultado depeder de m podemos airmar que o ite ão eiste pois, tomado dois camihos rectilíeos com declives dieretes vamos ecotrar ites dieretes. Se resultado ão depeder de m ada podemos cocluir sobre a eistêcia de (, y, uma vez que há aida uma iiidade de camihos a cosiderar. Eemplo: Mostre que a ução (, y = de domíio IR \ {( 0,0 } (, y ( 0,0. y + y ão tem ite quado Solução Seja (, y V ( 0,0, (, y ( 0,0 pela origem, ε. Cosiderem-se os camihos rectilíeos passado y = m e calcule-se o (, y ao logo destas rectas. 0,0 0 y = m (, y m + m = (,m = 0 0 Dividido ambos os termos da racção por, obtém-se 0 m + m m = que depede de m. + m Coclui-se assim que ão eiste (, y 0 y 0.

13 Camihos curvilíeos para uções de duas variáveis: Seja (, y V ( a,b tal que (, y ( a,b ε e cosiderem-se as parábolas que passam pelos potos (, y e por ( a, b, isto é, y b + ( a =. Note que se a, também y se aproima de b, descrevedo o cada poto (, y um camiho curvilíeo. Aalogamete ao que vimos para camihos rectilíeos, ao calcular (, y a y= b+ ( a o resultado poderá ou ão depeder do parâmetro. No caso airmativo, coclui-se que ão eiste (, y cocluir. e, caso o resultado ão depeda de ada se pode Para um poto (, y V ε ( a, b, y b + ( a determiado camiho curvilíeo ligado (, y ao poto ( b poto (, y camihamos para ( b = é apeas um eemplo de um a,. Posicioado-os o a,, sobre uma parábola. No etato há uma iiidade de outros camihos curvilíeos descrevedo curvas dieretes da parábola. Eemplo: + Mostre que a ução ( ( y, y = ão tem ite quado (,y (, ( y. Cosidere-se o camiho ( y = + ( y (, y = + y, depedete de IR e aça-se y. = y = ( + ( y, y = ( y + ( y ( y y Como o ite calculado depede do parâmetro ( ( ( + y = y y IR, ão eiste ite. = +. Em cada eercício deve tomar-se o camiho mais coveiete, dada a epressão da ução. Todas estas deiições se geeralizam para uções de três ou mais variáveis.

14 Proposição: Sejam (,, L, e (,,, g L duas uções deiidas um domíio D IR, cotedo o poto ( a,a, L,.,, L, ( a,a, L,a,,, a Sedo ( (,, L, = 0 e (,,, g L é uma ução itada para ( L uma vizihaça Vε ( a,a, L,, (,,, ( a,a, L, etão (,, L, ( ( a,a, L,a a (,, L, g(,, L, = 0 L, a. Eemplo: y Veriique que = 0. 0,0 + y Como (,y ( 0,0 y = 0 e < + y (, y ( 0,0, é coveiete decompor a ução como o produto de duas uções (, y = e g(, y y y imediatamete que = = 0. 0,0 + y 0,0 + y 7. CONTINUIDADE y = veriicado-se + y Seja : D IR IR uma ução real de variáveis reais. Seja a = ( a,a,...,a um poto de a = ( a, a,..., a IR. Diz-se que (,,...,, se as duas codições seguites são veriicadas: a Eiste L = (,,..., a b ( a,a,...,a L = é cotíua o poto De outro modo podemos dizer que: Se δ > 0, ε > 0 : 0 < a < ε ( ( a < δ etão é cotíua o poto a. A epressão matemática acima ituitivamete diz-os que, quado está perto de a, ( está perto de ( a. 4

15 Dizemos que (,...,, é cotíua o cojuto D, se e só se, or cotíua em todos os potos de D. Se uma ução ão é cotíua um poto, diz-se que é descotíua esse poto. Propriedades das uções cotíuas: As uções reais cotíuas, de variáveis reais, gozam de propriedades aálogas às que se cohecem para uções de uma só variável a Se e g são cotíuas em ( a,a,..., uções cotíuas o poto ( a,a,..., a =. a =, ± g,. g a a são b Se e g são cotíuas em a = ( a,a,..., a, g é cotíua o poto a = ( a,a,..., desde que g( a,a,...,a 0 a. c Se é cotíua em ( a,a,..., ( a a a = e g é cotíua em a b =,,..., a, a ução composta g o é cotíua em ( a,a,..., a =. a d Se é cotíua em a = ( a,a,..., e ( a,a,...,a 0 vizihaça de a = ( a,a,..., ( a,a,..., a =. a a a, eiste uma, ode matém o sial que toma em Eemplos: a Seja (,y y = + y 0 se se Estude a cotiuidade de ( y (,y ( 0,0 (,y = ( 0,0, em IR. Para os potos de IR distitos da origem, a ução é cotíua, por ser o quociete de duas uções poliomiais, logo cotíuas, com deomiador sempre dierete de zero. Vejamos o que se passa a origem. Para isso, teremos de calcular, caso eista, o (,y ( 0,0 (,y. 5

16 Como obtém-se ( ( + y = y = + y + y = y + y + y Desde que, y 0 + y < ε, vem ε = δ + y Etão y δ > 0, ε = δ :0 < + y < ε + y O que sigiica que (,y 0 quado ( ( 0,0 Como (,y = 0 = ( 0,0 (,y ( 0,0 a origem. Logo é cotíua em IR.,y. < δ poderemos cocluir que a ução é cotíua y Note que 0,0 + y tiha sido já calculado ateriormete por um processo dierete. + 4 y se (, y ( 0,0 b Seja (, y = + y 0 se (, y = ( 0,0 Idique os potos de descotiuidade de (, y. { } Cosideremos o subcojuto (, y IR : (, y ( 0,0. Sedo a ução, este caso, um quociete de poliómios, será descotíua para todos os potos que aulem o deomiador, isto é, os potos situados sobre a recta y =. Para (, y = ( 0,0 a ução está deiida por imposição, ( 0,0 = 0. Com o objectivo de veriicar se ( 0,0 é uma descotiuidade, calcule-se (,y ( 0,0 (,y, utilizado os ites iterados 6

17 0 y y + y = 0 = 0 = y y + y = y 0 4 y y = y 0 4 = 4 Veriica-se que ão eiste (,y (,y ( 0,0 pelo que se pode cocluir que a ução é descotíua em ( 0,0, pelo que a ução é descotíua para todos os potos da recta y =. c Discuta a cotiuidade da ução (,y = 0 + y + se se + y + y 4 > 4 Note que o domíio da ução é IR e que, este caso é útil azer a decomposição sedo IR = A U B U C A = B = C = {(, y IR : + y < 4} {(, y IR : + y > 4} {(, y IR : + y = 4} Aalisado A, B e C veriica-se que: Para (, y A a ução é cotíua por ser deiida por um poliómio; Para (, y B a ução é cotíua por ser costate; Para (, y C a cotiuidade terá que ser aalisada. Seja etão ( 0, y0 C e (, y ( 0, y 0 (,. 0 y 0 pertecete a uma vizihaça de 7

18 Note que (, y A ou (, y B, uma vez que uma vizihaça de (, mais pequea que seja, itersecta sempre A e B. 0 y 0, por Cosideremos (, y A e calculemos (,y (,y (0,y0 (,y (,y (0,y0 = ( + y + (,y (0,y0 + y < 4. Vem = + y = 4 + = 5 Cosideremos (, y B e calculemos (,y (,y (0,y0 (,y (,y (0,y0 = 0 (,y (0,y0 + y > 4. Vem = 0. Como se veriica (, y = podemos cocluir que a codição (,y (0,y0 (,y = (,y 0 0 ão é satiseita para todos os elemetos do domíio, portato ão é cotíua em C. O gráico desta ução está represetado a igura ao lado ode se vê itidamete a descotiuidade demostrada. 8