INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL
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- Octavio Cavalheiro Minho
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1 98 INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL Iterpolr um ução () cosiste em proimr ess ução por outr ução g() escolid etre um clsse de uções deiid priori e que stisç lgums proprieddes A ução g() é etão usd em substituição à ução () A ecessidde de se eetur est substituição surge em váris situções como por eemplo: são coecidos somete os vlores uméricos d ução pr um cojuto de potos e é ecessário clculr o vlor d ução em um poto ão tbeldo; ução em estudo tem um epressão tl que operções como dierecição e itegrção são diíceis (ou mesmo impossíveis) de serem relizds Iterpretção geométric Cosidere ( +) potos distitos cmmos ós d iterpolção e os vlores de () esses potos: () () () A orm de iterpolção de () cosiste em se obter um determid ução g() tl que: g g g g Pr = 4 (5 ós) temos represetção: Métodos Numéricos Computciois Pro Adri Cerri Pro Adré Vi Pro Atoio Blbo Pro Edmé Bptist
2 99 Métodos Numéricos Computciois Pro Adri Cerri Pro Adré Vi Pro Atoio Blbo Pro Edmé Bptist Iterpolção Poliomil A iterpolção por meio de poliômios cosiste em ddos (+) potos distitos (()) (()) (()) proimr () por um poliômio de gru ) ( p tl que: i p i i ) ( ) ( A represetção de p() é dd por: p() = Dest orm obter ) ( p cosiste em obter os coeicietes D codição p(k) = (k) k = temos o seguite sistem lier: com ( + ) equções e ( + ) vriáveis: A mtriz dos coeicietes do sistem é dd por: A = Est mtriz é coeci como mtriz de Vdermode e portto desde que sejm potos distitos temos det (A) e etão o sistem lier dmite solução úic
3 Teorem: Eistêci e uicidde do Poliômio Iterpoldor Sej () deiid em ( + ) potos distitos de um itervlo [ b] Etão eiste um úico poliômio p() de gru meor ou igul tl que p( i ) ( i ) yi i Form de Lgrge do Poliômio de Iterpolção Sej () deiid um itervlo [ b] e sejm ( + ) potos distitos em [ b] e yi = (i) i = Sej p() o poliômio de gru que iterpol em Podemos represetr p() orm p() = yl() + y l () + + y l () em que os poliômios lk() são de gru Pr cd i queremos que codição p(i) = yi sej stiseit ou sej: p() = yl() + y l () + + y l ()= yi A orm mis simples de se stiszer est codição é impor: lk (i) = se k i se k i Pr stiszer est codição deiimos: lk() = k k k k k k k k k Como o umerdor de lk() é um produto de tores d orm i i = i k etão lk é um poliômio de gru e ssim p() é um poliômio de gru A orm de Lgrge pr o poliômio iterpoldor é dd por: p() = k em que y k k Métodos Numéricos Computciois Pro Adri Cerri Pro Adré Vi Pro Atoio Blbo Pro Edmé Bptist j jk k j j jk k j
4 Eemplo: Sej tbel: - 3 () ) Determie o poliômio de iterpolção de Lgrge b) Clcule () Eercício: Dd tbel: 5 5 () costruir o poliômio de iterpolção de Lgrge de () e clculr (6) Poliômio: p 3() = 3 e p 3(6) (6) = -48 Métodos Numéricos Computciois Pro Adri Cerri Pro Adré Vi Pro Atoio Blbo Pro Edmé Bptist
5 Métodos Numéricos Computciois Pro Adri Cerri Pro Adré Vi Pro Atoio Blbo Pro Edmé Bptist Form de Newto Pr costrução do poliômio de iterpolção pelo método de Newto precismos do coecimeto de diereç dividid de um ução Diereç dividid Sej () um ução cotíu ( + ) vezes diereciável e deiid em potos distitos de um itervlo [ b] Deiimos diereç dividid por: Podemos tbelr de orm coveiete s diereçs dividids otdo que s diereçs de ordem são clculds prtir d diereç de ordem zero s diereçs de ordem prtir d diereç de ordem e ssim sucessivmete como segue: (Ordem Zero) (Ordem ) (Ordem ) (Ordem 3) (Ordem )
6 3 Ordem Ordem Ordem Ordem 3 Ordem [] [ ] [] [ ] [ ] [ 3] [] [ 3] [ 3] [ 3 4] 3 [3] [ 3 4] [34] [4] [- - ] [- ] [] 4 [ ] [ ] Eemplo: Sej () tbeld: Costrução d tbel: - 3 () Métodos Numéricos Computciois Pro Adri Cerri Pro Adré Vi Pro Atoio Blbo Pro Edmé Bptist
7 4 Ordem Ordem Ordem Ordem 3 Ordem 4-3 Propriedde: [ ] é simétric os rgumetos ou sej [ ] = [j j j] em que j j j é qulquer permutção dos iteiros Por eemplo [ ] = Pr k = teremos: [ ] = [ ] = [ ] = [ ] = [ ] = [ ] Form de Newto do Poliômio de Iterpolção Cosidere um ução () cotíu deiid em ( + ) potos distitos de um itervlo [ b] Determido s diereçs dividids de () os potos e temos: Métodos Numéricos Computciois Pro Adri Cerri Pro Adré Vi Pro Atoio Blbo Pro Edmé Bptist
8 5 Métodos Numéricos Computciois Pro Adri Cerri Pro Adré Vi Pro Atoio Blbo Pro Edmé Bptist ) () por p (erro cometido o proimr () p E E p o D mesm orm cosiderdo os potos e temos: E p Veriicção: p() iterpol () em e em? p() = () p() = () + ( ) Pr costruir p() poliômio de gru que iterpol () em temos: [ ] = [ ] =
9 6 Etão p() = e p q E() = ( )( )( )[ ] Aplicdo sucessivmete o mesmo rciocíio pr todos os potos tbeldos temos orm de Newto pr o poliômio de gru que iterpol () em : p() = () + ( )[ ] + ( )( )[ ] ( )( ) ( )[ ] e o erro é ddo por: E() = ( )( ) ( )[ ] Teorem: Sej () um ução cotíu Sejm ( + ) potos distitos de [ b] etão: p() = () + ( )[ ] + ( )( )[ ] ( )( ) ( )[ ] é o poliômio iterpoldor de Newto pr ução () sobre os potos Eemplo: Usdo orm de Newto costruir o poliômio que iterpol () os potos tbeldos e clculr (3) 4 () 4 Métodos Numéricos Computciois Pro Adri Cerri Pro Adré Vi Pro Atoio Blbo Pro Edmé Bptist
10 7 Eercício: Dd tbel: 5 5 () costruir o poliômio de iterpolção de Newto de () e clculr (6) Form de Newto-Gregory pr o poliômio iterpoldor No cso em que os ós d iterpolção são igulmete espçdos podemos usr orm de Newto-Gregory pr obter p() Sej () um ução cotíu o itervlo [ b] e sejm os ( + ) potos de [ b] que se sucedem compsso isto é j = +j Cmmos operdor de diereçs ordiáris: Desde que coecemos () e seus vlores sejm coecidos em podemos costruir um tbel de diereçs ordiáris: () () () Métodos Numéricos Computciois Pro Adri Cerri Pro Adré Vi Pro Atoio Blbo Pro Edmé Bptist
11 8 () 3 (3) Eemplo: Costruir tbel de diereçs ordiáris d ução () prtir d tbel: - () 3 - () 3 - Teorem: Sej () um ução cotíu e ( + ) vezes diereciável em um itervlo [ b] Sejm os ( + ) potos distitos e igulmete espçdos em [ b] Etão [ ] =! Demostrção (por idução) Métodos Numéricos Computciois Pro Adri Cerri Pro Adré Vi Pro Atoio Blbo Pro Edmé Bptist
12 9 Métodos Numéricos Computciois Pro Adri Cerri Pro Adré Vi Pro Atoio Blbo Pro Edmé Bptist Pr =! Supodo que [ ] =! temos [ ] =!!!! Poliômio iterpoldor de Newto-Gregory O poliômio iterpoldor de Newto-Gregory é ddo por: p() = () + ( ) + ( )( ) ( )( ) ( )! OBS: A orm de Newto-Gregory pr p() pode ser simpliicd se usrmos um mudç de vriáveis: s = = s como os potos são equidisttes j = +j Dest orm temos: ( j) = s + ( + j) = (s j) Assim temos seguite orm gerl pr p():
13 p(s) = () + s + s(s ) + + s(s ) (s +)! Eemplo: Determie o poliômio de iterpolção de Newto-Gregory d ução tbeld e clcule (5): - - () () Métodos Numéricos Computciois Pro Adri Cerri Pro Adré Vi Pro Atoio Blbo Pro Edmé Bptist
14 Eercício: Determie o poliômio de iterpolção de Newto-Gregory d ução tbeld e vlie (35): 3 4 () 5 3 p3(s) = 7s 3 +99s +84s+ e (35) = 694 Iterpolção Lier A iterpolção lier é um cso prticulr de iterpolção pois ocorre em pes potos distitos Cosidere um ução () deiid em dois potos e Sej ( (o)) e ( ()) dois potos distitos ssim = e por isto iterpolção por dois potos é cmd iterpolção lier y Usdo orm de Lgrge podemos costruir o poliômio iterpoldor de gru que é ddo por: y em que l() = y p() = l() = Métodos Numéricos Computciois Pro Adri Cerri Pro Adré Vi Pro Atoio Blbo Pro Edmé Bptist
15 Assim p() = y y ou sej p() = que é etmete equção d ret que pss por ( ()) e ( ()) y y Eemplo : Cosidere ução ( ) () / /3 Determie o poliômio iterpoldor e vlie (5) Eemplo : Utilize iterpolção poliomil pr clculr um vlor proimdo de l(37) Fç iterpolção sobre e 3 potos 3 4 l() Métodos Numéricos Computciois Pro Adri Cerri Pro Adré Vi Pro Atoio Blbo Pro Edmé Bptist
16 3 Estudo do erro Iterpolção Embor o poliômio iterpoldor p() coicid com ução os potos de iterpolção esper-se que p( ) ( ) pr i i = ou sej estimdo () pelo poliômio iterpoldor cometemos um erro est proimção ddo por: E( ) ( ) p ( ) y Teorem: Resto de Lgrge Sej () um ução deiid em ( + ) potos distitos de um itervlo [ b] e ( + ) vezes diereciável Se p() iterpol () esses potos etão o erro cometido E() é ddo por: E() = () p() = ( )( )( ) ( )! Métodos Numéricos Computciois Pro Adri Cerri Pro Adré Vi Pro Atoio Blbo Pro Edmé Bptist
17 4 em que ( ) Limitte Superior pr o erro N epressão do erro (E()) o prâmetro uc é coecido o itervlo I = [ ] e portto ão é possível clculr o vlor umérico de (+) () Dest orm um limitte superior pr o erro é ddo por: em que M + = E M p! má I Se os potos orem igulmete espçdos ou sej = = = = etão p < M 4 Eemplo: Sej () = e + tbeld bio Obter (7) por iterpolção lier e um LS pr o erro 5 5 () Métodos Numéricos Computciois Pro Adri Cerri Pro Adré Vi Pro Atoio Blbo Pro Edmé Bptist
18 5 Estimtiv pr o erro Se ução () é dd orm de tbel o vlor bsoluto do erro E só pode ser estimdo pois ão é possível clculr M+ Etretto se costruirmos tbel de diereçs dividids té ordem + podemos usr o mior vlor (em módulo) dests M diereçs como um proimção pr o itervlo [ ]! Neste cso dizemos que: E (má diereçs dividids de ordem + ) Eemplo: Sej () dd orm: () ) Obter (47) usdo um poliômio de gru b) estimr o erro Ordem Ordem Ordem Ordem 3 Ordem Métodos Numéricos Computciois Pro Adri Cerri Pro Adré Vi Pro Atoio Blbo Pro Edmé Bptist
19 6 6 Eercícios Clcule um vlor proimdo pr cos(5) utilizdo Fórmul de Lgrge pr os potos - e Cosidere ução y = () deiid pel tbel: - 3 () Clcule um vlor proimdo pr (6) 3 As desiddes do sódio pr três temperturs são dds seguir: i Tempertur Ti Desidde 94 o C 99 kg/m 3 5 o C 9 kg/m 3 37 o C 86 kg/m 3 i Utilizdo Fórmul de Iterpolção de Lgrge estime o vlor proimdo d desidde pr T = 47 o C 4 Um pár-quedist relizou seis sltos sltdo de lturs distits em cd slto Foi testd precisão de seus sltos em relção um lvo de rio de 5m de cordo com ltur A distâci presetd tbel bio é reltiv circuerêci Métodos Numéricos Computciois Pro Adri Cerri Pro Adré Vi Pro Atoio Blbo Pro Edmé Bptist
20 7 ALTURA (m) DISTÂNCIA DO ALVO (m) o slto: 5 35 o slto: o slto: 5 4 o slto: 75 5 o slto: 5 7 Levdo em cosiderção os ddos cim que provável distâci do lvo ciri o párquedist se ele sltsse de um ltur de 9m? 5 Um veículo de bricção ciol pós vários testes presetou os resultdos seguir qudo se lisou o cosumo de combustível de cordo com velocidde médi impost o veículo Os testes orm relizdos em rodovi em operção orml de tráego um distâci de 76 km Velocidde (km/) Cosumo (km/) Veriique o cosumo proimdo pr o cso de ser desevolvid velocidde de 8 km/ 6 Sej () dd orm tbelr () Obte (5) usdo um poliômio de gru 7 Dd tbel y = e Obte tl que e = Costru um tbel pr ução () = se() usdo os potos 8; 9; ; ; ; 3 Estime o vlor de se(5) usdo um poliômio de 3 o gru Métodos Numéricos Computciois Pro Adri Cerri Pro Adré Vi Pro Atoio Blbo Pro Edmé Bptist
21 9 Determie o vlor proimdo de (4) usdo todos os potos tbeldos d ução () Utilize Fórmul de Iterpolção de Newto y Dd tbel bio clcule e 9 usdo um poliômio de iterpolção sobre três potos e Durte três dis cosecutivos oi tomd tempertur (em o C) um região de um cidde por qutro vezes o período ds 6 às ors Determie usdo todos os ddos d tbel bio médi ds temperturs dos três dis às 9 ors Di Hor Determie usdo todos os vlores coecidos ds uções F() e G() o vlor de F(G(3)) F() G() Um utomóvel percorreu 6 km um rodovi que lig dus ciddes e gstou este trjeto ors e miutos A tbel bio dá o tempo gsto e distâci percorrid em lgus potos etre s dus ciddes Métodos Numéricos Computciois Pro Adri Cerri Pro Adré Vi Pro Atoio Blbo Pro Edmé Bptist
22 Tempo (mi) Distâci (km) Determie: ) Qul oi proimdmete à distâci percorrid pelo utomóvel os primeiros 45 miutos de vigem cosiderdo pes os qutro primeiros potos d tbel? b) Qutos miutos o utomóvel gstou pr cegr à metde do cmio? 4 Costru tbel de log() usdo 6 potos igulmete espçdos de tl orm que o= e 5=3 Determie o vlor proimdo de tl que log() = 45 5 N tbel bio está ssildo o úmero de bittes de Belo Horizote os cesos de e 98 Determie o úmero proimdo de bittes de Belo Horizote em 975 Ao N o de bittes se 6 Sej ução Determie: ) (/6) b) (/8) utilizdo pes os vlores dispoíveis tbel bio: i i se(i) /6 5 /4 7 3 / / 7 Use os vlores de e e e 4 pr determir o vlor proimdo de e 8 A velocidde v (m/s) de um oguete lçdo do solo oi medid qutro vezes t segudos pós o lçmeto e os ddos orm registrdos tbel bio Clcule usdo um 9 Métodos Numéricos Computciois Pro Adri Cerri Pro Adré Vi Pro Atoio Blbo Pro Edmé Bptist
23 poliômio de 4 o gru velocidde proimd do oguete pós 5 segudos do lçmeto Tempo (s) Velocidde (m/s) N tbel bio D é distâci em metros que um bl percorre o logo do co de um cão em t segudos Determie distâci percorrid pel bl 3 segudos pós ter sido disprd usdo todos os ddos bio Tempo (s) D (m) Métodos Numéricos Computciois Pro Adri Cerri Pro Adré Vi Pro Atoio Blbo Pro Edmé Bptist
Geometricamente, um esboço da interpolante g(x) sobre a função f(x) é visto na figura 3.1.
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