VA L O R M É D I O D E U M A F U N Ç Ã O. Prof. Benito Frazão Pires

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1 3 VA L O R M É D I O D E U M A F U N Ç Ã O Prof. Beito Frzão Pires 3. médi ritmétic A médi ritmétic (ou simplesmete médi) de vlores y, y 2,..., y é defiid como sedo o úmero y = y + y y. () A médi ritmétic de vlores y, y 2,..., y é tmbém cohecid como o cetro de mss, bricetro ou cetro de grvidde dos ddos. Isto é motivdo pelo seguite problem. Problem Supoh que pessos de mesmo peso estejm setds um ggorr o logo ds posições y, y 2,..., y. Assum que o eixo de sustetção d ggorr estej posição y 0. O que podemos dizer sobre o comportmeto d ggorr se y 0 = ȳ? Respost. A ggorr ficrá em equilíbrio posição horizotl (ver Apêdice). Se os vlores y, y 2,..., y forem vlores fuciois de um fução f sobre os potos x,..., x, etão médi () será chmd de médi mostrl de f sobre os potos x,..., x, sedo dd por f(x ) + f(x 2 ) + + f(x ). (2) Exemplo 3.. Clcule médi mostrl d fução f(t) = t 2 sobre os potos 2, 3, 5, 7. Resolução. A médi mostrl de f sobre os potos 2, 3, 5 e 7 é f(2) + f(3) + f(5) + f(7) 4 = = 87 4 = 2, 75.

2 N próxim seção vmos ver que se os potos x,..., x estiverem bem distribuídos o logo do itervlo [, b], etão médi mostrl de um fução cotíu f : [, b] R sobre os potos x,..., x estrá próxim de um mesmo vlor, idepedetemete dos potos mostris escolhidos. Este vlor será chmdo vlor médio d fução f o itervlo [, b]. 3.2 vlor médio de um fução Sejm f : [, b] R um fução e = x 0 < x < < x < x = b um prtição de [, b] formd por potos igulmete espçdos. A médi mostrl de f sobre os potos mostris x,..., x é médi ritmétic dos vlores f(x ),..., f(x ) dd por f(x ) + f(x 2 ) + + f(x ) = i= f(x i ) = i= f(x i ). O termo i= f(x i ) é um Som de Riem d fução f. Portto, sob hipótese de que f é cotíu, est som coverge pr Assim, f(t)dt qudo. f(x lim ) + f(x 2 ) + + f(x ) = (3) Isto motiv seguite defiição. Defiição 3.2. O vlor médio de um fução cotíu f : [, b] R sobre o itervlo [, b] é defiido como sedo o úmero f = Exemplo Dd fução f : [, ] R defiid por f(x) = x 2, clcule: () O vlor médio de f sobre o itervlo [, ]; (b) Ecotre um vlor proximdo pr π. Respost. () O gráfico d fução cotíu f é um curv que descreve metde superior d circuferêci de rio cetrd origem. De fto, os potos (x, y) que pertecem 2

3 o gráfico de f stisfzem equção y = x 2. Est equção é equivlete às equções x 2 + y 2 = e y 0, que é metde superior d circuferêci de rio cetrd origem. Portto, f(t)dt = π. Assim, o vlor médio de f sobre o itervlo [, ] é 2 f = f(t)dt = π ( ) 4. (b) Sejm x 0 < x < < x 20 os potos igulmete espçdos do itervlo [0, ] ddos pel tbel: x 0 x x 2 x 9 x Aplicdo equção (3), obtemos seguite proximção do vlor de π: f( 0.9) + f( 0.8) + + f(0.9) + f() π 4f = 4 = 3, o teorem do vlor médio O teorem eucido seguir tem tto plicções o mudo físico como tmbém detro d própri mtemátic. Teorem 3.3. (Teorem do Vlor Médio) Tod fução cotíu f : [, b] R ssume o vlor médio pelo meos um vez, isto é, existe c [, b] tl que f(c) = Um iterpretção do Teorem do Vlor Médio pode ser ddo em termos do coceito de velocidde médi. Defiição A velocidde médi de um veículo o itervlo de tempo [t, t 2 ] é rzão de seu deslocmeto pelo período de tempo, isto é, v med = s t = s(t 2) s(t ) t 2 t, ode s(t) deot posição do veículo o istte t. A relção etre velocidde médi e velocidde isttâe do veículo é dd pel seguite proposição. 3

4 Proposição A velocidde médi v med de um veículo o itervlo de tempo [t, t 2 ] é igul o vlor médio v de su velocidde istâtâe v o mesmo período de tempo, isto é, v med = t 2 t t v(t)dt = v. Prov. Por defiição, v med = s(t 2) s(t ) t 2 t. (4) Pelo Teorem d Vrição Líquid, como v é tx de vrição d posição s, temos que Dividido (4) e (5), result t v(t)dt = s(t 2 ) s(t ). (5) v = t 2 t t v(t)dt = s(t 2) s(t ) t 2 t = v med. O próximo teorem é um plicção imedit do Teorem do Vlor Médio. Teorem (Teorem do Velocímetro) Um veículo prte de um poto A o istte t e cheg o poto B o istte t 2 > t. Se velocidde do veículo vrir cotiumete etre os isttes t e t 2, etão em lgum istte t [t, t 2 ], o velocímetro do veículo estrá mrcdo su velocidde médi, isto é, v(t ) = v med. Prov. Segue do Teorem do Vlor Médio e d Proposição que se = t e b = t 2, etão existe c = t [t, t 2 ] tl que v(t ) = t 2 t t v(t)dt = v med. O Teorem do Vlor Médio é usdo o pricípio de fuciometo dos rdres moderos, coforme mostr o seguite exemplo. Exemplo Um rdr modero é formdo por dois sesores que idetificm um veículo em dois potos de um rodovi, disttes 2 Km um do outro. O rdr tmbém registrou os isttes de tempo t = 6h40mi e t 2 = 6h4mi em que o veículo pssou por cd sesor. Sbedo que velocidde máxim permitid é 0 Km/h, pergut-se, o veículo deve ser multdo? 4

5 Resolução. A velocidde médi do veículo é: v med = s(t 2) s(t ) t 2 t = 2Km mi = 20Km h. Pelo Teorem do Velocímetro, o veículo tigiu su velocidde médi pelo meos um vez durte o percurso e, portto, deve ser multdo. 3.4 pêdice Resolução do Problem. O torque ou mometo d forç grvitciol em relção o peso i e o eixo colocdo posição y 0 é τ i = mg(y i y 0 ), ode m é mss de cd peso e g costte grvitciol. A ggorr ficrá em equilíbrio posição horizotl se o torque totl for igul zero, isto é, se τ = τ + + τ = 0. Em outrs plvrs, y 0 deve stisfzer seguite equção: 0 = τ = = m(y i y 0 ) = my i ( ) my 0 = m y i my 0. i= i= i= i= i= Portto, y 0 = i= y i = y + + y Assim, codição pr que ggorr fique em equilíbrio posição horizotl é que o eixo de sustetção d ggorr estej loclizdo o cetro de mss y dos vlores y,..., y. = y. Prov do Teorem do Vlor Médio. Como fução f : [, b] R é cotíu, sbese do Cálculo I que el tem um vlor míimo, deotdo por mi (f) e um vlor máximo, deotdo por mx (f). Isto pode ser trduzido s seguites desigulddes: mi (f) f(x) mx (f) pr todo x [, b]. (6) Cosidere gor um prtição = x 0 < x < < x < x = b do itervlo [, b] por potos igulmete espçdos. Pr cd poto x i, s desigulddes (6) são stisfeits, isto é, mi (f) f(x i ) mx (f) pr todo i. Somdo em i, obtemos: mi (f) f(x i ) mx (f) pr todo i. i= 5

6 Multiplicdo por, result em () mi (f) i= f(x i ) O fto de f ser cotíu implic que lim i= () mx (f) pr todo i. (7) f(x i ) = Pssdo o limite s desigulddes (7), obtemos: mi (f) f(t)dt mx (f). (8) Pelo Teorem do Vlor Itermediário do Cálculo I, temos que f ssume todos os vlores etre mi (f) e mx (f). Em prticulr, pel equção (8), existe c [, b] tl que f(c) = Atulizdo em 3 de Agosto de