Resolução Numérica de Sistemas Lineares Parte II

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1 Cálculo Numérico Resolução Numéric de Sistems Lieres Prte II Prof Jorge Cvlcti MATERIAL ADAPTADO DOS SLIDES DA DISCIPLINA CÁLCULO NUMÉRICO DA UFCG - wwwdscufcgedubr/~cum/

2 Sistems Lieres Métodos Itertivos É bstte comum ecotrr sistems lieres que evolvem um grde porcetgem de coeficietes ulos Esses sistems são chmdos de sistems esprsos Pr esses tipos de sistems, o método de Elimição de Guss ão é o mis proprido, pois ele ão preserv ess esprsidde, que pode ser útil por fcilitr resolução do sistem Meir mis proprido pr esse tipo de sistem métodos itertivos

3 Cosistem em ecotrr um seqüêci de estimtivs i (dd um estimtiv iicil i ) que pós um úmero suficietemete grde de iterções covirj pr solução do sistem de equções Métodos Itertivos M M M M

4 Métodos Itertivos Outr vtgem destes métodos ão são tão suscetíveis o cúmulo de erros de rredodmeto como o método de Elimição de Guss É importte lembrr que: Como todo processo itertivo, estes métodos sempre presetrão um resultdo proimdo, que será tão próimo do resultdo rel coforme o úmero de iterções relizds Além disso, tmbém é preciso ter cuiddo com covergêci desses métodos

5 Métodos Itertivos Trsform o sistem lier Ab em Cg A: mtriz dos coeficietes, m : vetor ds vriáveis, ; b: vetor dos termos costtes, C: mtriz g: vetor Métodos utilizdos: Guss-Jcobi Guss-Seidel 5

6 Método de Guss-Jcobi Cohecido () (proimção iicil) obtém-se cosecutivmete os vetores: () () C C () () g, g, (primeir (segud proimção) proimção), etc De um modo gerl, proimção é clculd pel fórmul: C g,,, São gerds ovs proimções té que um dos critérios de prd sej stisfeito: Má i - i ε (Tolerâci), com i, ou: > M, com MNúmero máimo de iterções 6

7 Método de Guss-Jcobi D primeir equção do sistem b obtém-se b - ( ) logmete b ( ) Ou: (/ ) (b - - -,- - ) 7

8 Método de Guss-Jcobi Dest form pr C g C - / - / - / - / - / - / (/ ) (b - - -,- - ) g (b / b / b / ) T 8

9 Método de Guss-Jcobi Etão como C g C - / - / - / - / - / - / (/ )(b ) (/ )(b ) (/ )(b - - -,- - ) g (b / b / b / ) T 9

10 Método de Guss-Jcobi EXEMPLO Sej o sistem e ε,5 C - / - / - / - / - / - / C - / - / -/5 - /5 -/5 / g 7/ -8/5 6/

11 Método de Guss-Jcobi EXEMPLO O Processo itertivo é: (/ )(b ) (/ )(b ) (/ )(b - - -,- - ) Equções de Iterção (/)(7 - ) (,7) (/5)(-8 - ) (- 6) (/)(6 - - (- 6)

12 Método de Guss-Jcobi EXEMPLO Com,7 -,6,6 Obs: X estimdo por (b / ), muito embor poss ser dotdo qulquer vlor iicil, como por eemplo [ ] T Pr :,7 -(-6)-(6), (7)-(6) (7)-(-6)69 Obtemos etão: () C () g,96 -,86,9

13 Método de Guss-Jcobi EXEMPLO Avlido o critério de prd pr ε,5 : Má i - i ε (Tolerâci), com i, ou: () C () g,96 -,86,9 () (),6 () (),6 () (), Má i - i, > ε Prosseguido com s iterções, pr : () () () (),7 -(-86)-(9),7978 () - () () () 6 -(96)-(9)-6-98 () - () () () 6-(96)-(-86)6966

14 Método de Guss-Jcobi EXEMPLO () Pr : (),978 -,98,966,9997 -,9888,98 () (),8 () (), () (),6 Má i - i, > ε () (), () (),8 () (),8 Má i - i,8 < ε *,9997 -,9888,98

15 Método de Guss-Jcobi Resumido: Escolhe-se proimção iicil () : () [ (), (),, () ] T Clculm-se s proimções sucessivs, prtir d iterção: C g Cotiu-se gerr proimções té que um dos critérios de prd sej stisfeito: Má i - i ε (Tolerâci), com i, ou: K > M, com MNúmero máimo de iterções Observr que os elemetos do sistem origil ii, i Cso isso ão ocorr, deve-se reorgizr s equções pr que se cosig ess codição É importte tmbém que digol pricipl estejm os miores vlores bsolutos, pr celerr o processo de covergêci e dr mis precisão o resultdo fil 5

16 Método de Guss-Jcobi EXEMPLO Resolver o sistem bio, com ε - ou >: - Ecotrdo s equções de iterção: ½( ) - ½( - ) Etão: ½( ) ½(- ),,,, 6

17 Método de Guss-Jcobi EXEMPLO Fzedo () [ ] T como solução iicil: Etão, pr : ½( ) () ½( () ) ½( ),5 ½(- ) () ½(- () ) ½( - ),5 Pr : () ½( () ) ½(,5),5 () ½(- () ) ½(,5),5 ε Má i - i ε,5,5,75 > - 7

18 Método de Guss-Jcobi EXEMPLO Pr : () ½( () ) () ½(,5),5 () ½(- () ) () ½(- () ) ½(,5),875 ε,875 -,5,75 > - 8

19 Método de Guss-Jcobi - EXEMPLO Prosseguido com s iterções pr, : X ε -,6 -,5,5,5,98,5,5,875,98,5,75,75,88 Ou >? Etão pre!,998 5,969,,9, 6 7 8,6,8,996,6,99,996,7,,,998, 9,998,,6 9

20 Sistems de Equções Lieres Método de Guss-Seidel Cohecido () (proimção iicil) obtém-se,, j j j,, Ao se clculr,, vlores us-se todos os vlores que já form clculdos e os resttes

21 Descrição do Método Sej o seguite sistem de equções: b b b b M Métodos Itertivos Guss Seidel

22 Isoldo i prtir d lih i, tem-se: ( ) ( ) ( ) ( ) b b b b,,,, M Métodos Itertivos Guss Seidel

23 O processo itertivo é obtido prtir ds equções, fzedo: ( ) ( ) ( ) ( ),,,, b b b b Métodos Itertivos Guss Seidel

24 Métodos Itertivos Guss Seidel Critério de Prd Difereç reltiv etre dus iterções cosecutivs Defie-se por difereç reltiv epressão: d Má, i i i d r má d X ( ) i ( Difereç Reltiv) Fim do processo itertivo - vlor de d R pequeo o bstte pr precisão desejd

25 Métodos Itertivos Guss Seidel E: Resolv: 5 y y z z 5 6 y 6z Solução: com D R 5 y z 5 6 ( 5 y z) ( 6 z) ( y) z ( y) 5

26 Métodos Itertivos Guss Seidel D y D y z D z D R ,8,5,65 -,75,79,79,5,,9,9 -,967,5,9,9,6,985,66 -,997,,66,,7,998, -,,, y,998 z - Verificção (substituição o sistem): 5(,) (,998) (-) 5,8 5 o (,) (,998) (-) 5,998 6 o (,) (,998) 6(-) o 6

27 Método de Guss-Seidel Critérios de Covergêci Processo itertivo covergêci pr solução et ão é grtid pr qulquer sistem Eistem certs codições que devem ser stisfeits por um sistem de equções lieres pr se grtir covergêci do método As codições podem ser determids por dois critérios: Critério de Sssefeld Critério ds Lihs 7

28 Critério de Sssefeld Sejm s qutiddes β i dds por: β j j e β i i ij β j ii j j i ij pr i,,, - ordem do sistem lier que se desej resolver ij - são os coeficietes ds equções que compõem o sistem Este critério grte que o método de Guss-Seidel covergirá pr um ddo sistem lier se qutidde M, defiid por: M m β i for meor que (M<) i 8

29 Critério de Sssefeld Eemplo: Sej A, mtriz dos coeficietes e b o vetor dos termos costtes ddos por: b b b b β β β ( ) ( β ) ( β β ) β ( β β β ) 9

30 Eemplo: Mostre se solução do sistem lier ddo pels equções: covergirá pelo método de Guss-Seidel Critério de Sssefeld

31 Critério de Sssefeld M Solução: critério de Sssefeld Clculr os vlores ds qutiddes β i β β β β ( ) 7 ( ) ( 7 ) 58 ( ) 76 m i β i A B M é meor que solução desse sistem irá covergir usdo o método de Guss-Seidel

32 Critério ds Lihs Segudo esse critério, um determido sistem irá covergir pelo método de Guss-Seidel, se: ij < j j i ii, pr i,,,,

33 Critério ds Lihs Eemplo: O sistem do eemplo terior stisfz o critério ds lihs e ess verificção pode ser feit de meir quse imedit, observdo-se que: > > > > ij < j j i ii pr i,,,

34 Cosiderções Fiis É importte sber que: A covergêci de um sistem INDEPENDE dos vlores iiciis estimdos Os Critérios são codições suficietes, porém ão ecessáris, pr covergêci do método de Guss-Seidel pr um ddo sistem lier Isso sigific que um sistem pode ão stisfzer esses critérios e id covergir Um sistem pode ão stisfzer o critério ds lihs e stisfzer o critério de Sssefeld, o que grtirá su covergêci

35 Cosiderções Fiis Eemplo: Sej o sistem: 6 8 Note que esse sistem ão stisfz o critério ds lihs, pois: < porém, ele stisfz o critério de Sssefeld: 6 β M β i < i β ( 6 ) m Covergêci grtid 5

36 Cosiderções Fiis Outr observção importte A ordem com que s equções precem o sistem pode ser lterd pr se vlir covergêci Apesr d ordem ds equções ão lterr solução do sistem, el pode lterr covergêci do mesmo pelo método d Guss-Seidel 6

37 Cosiderções Fiis Eemplo: Sej o sistem: N form como o sistem está represetdo, ele ão stisfz o critério ds lihs (verifique isso), portto su covergêci ão é grtid Porém, trocdo-se ordem ds dus equções, o sistem stisfz esse critério, e su covergêci pelo método de Guss-Seidel é grtid (verifique isso tmbém) 7