Aula 9 Limite de Funções

Transcrição

1 Alise Mtemátic I Aul 9 Limite de Fuções Ao cdémico 017

2 Tem 1. Cálculo Dierecil Noção ituitiv e deiição de ite. Eemplos de ites. Limites lteris. Proprieddes.

3 Bibliogri Básic Autor Título Editoril Dt Stewrt, Jmes Cálculo, Volume 1 Zum Medeiros, Vléri Dem, Frkli... et l. Lrso, Ro Pré-Cálculo ª edição revist ctulizd Pré-Cálculo Cálculo Aplicdo 5t. Edição, Pioeir Thompso Lerig CENGAGE Lerig Perso Eductio do Brsil 1 Edição, Pioeir Thomso Lerig

4 Em oss vid depedemos d plvr LIMITE

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8 Loge, o orte, um terr chmd INFINITO, eiste um roch. Possui 100 Km de ltur, 100 Km de lrgur e 100 Km de comprimeto. A cd milêio um pássro vem el ir o seu bico. Assim, qudo roch estiver totlmete gst pel ção do pássro, um di eteridde terá se pssdo. Hedrick V Loo

9 Noção ituitiv de ite. Ao trblhr com um ução, oss primeir preocupção deve ser o seu domíio codição de eistêci, il, só z setido utilizá-l os potos ode estej deiid e su epressão mtemátic, portto, teh sigiicdo. Aid, em muitos csos, é importte sber como ução se comport qudo vriável está muito próim de um poto que ão pertece o seu domíio. E pr este estudo, os vlemos d teori de ites, qul permite álise de um ução em um vizihç muito próim de um poto, sem se preocupr com o vlor d ução este poto.

10 Noção ituitiv de ite. Em Mtemátic o coceito de ite é usdo pr descrever o comportmeto de um ução medid que seu rgumeto proim-se de um determido vlor, ssim como o comportmeto de um sequêci de úmeros reis, à medid que o ídice d sequêci vi crescedo.

11 Noção ituitiv de ite Sucessões umérics 1,, 3, 4, 5,... 1, 3, 3 4, 4 5 1, 0, -1, -, -3,..., ,,3,,5, ,...,7,... Os termos torm-se cd vez miores, sem tigir um ite Os úmeros proimm-se cd vez mis de 1, sem uc tigir esse vlor Os termos torm-se cd vez meor, sem tigir um ite Os termos oscilm sem teder um ite Dizemos que: + 1 -

12 Noção ituitiv de ite O ite d ução = qudo tede é 4.

13 Deiição iorml de ite Sej um ução deiid em um itervlo berto em toro de 0, ecepto, possivelmete em 0. Se ic rbitrrimete próim de L pr todos os vlores de suicietemete próimos de 0, etão dizemos que ução tem ite L qudo tede pr 0 e escrevemos: L 0 0

14 Deiição Forml de Limite O ite de um ução y = ƒ, qudo tede, R, idicdo por ƒ é costte rel L, se pr qulquer épsilo, R, 0, por meor que sej, eistir delt, R, > 0, tl que: I I < I ƒ - L I <.

15 Limites Sej y = = + 1 Aproimção à direit Aproimção à esquerd y y 1,5 4 1,3 3,6 1,1 3, 1,05 3,1 1,0 3,04 1,01 3,0 0,5 0,7,4 0,9,8 0,95,9 0,98,96 0,99,98

16 Limites 4,0 3,5 3,0 y,5,0 0,4 0,6 0,8 1,0 1, 1,4 1,6

17 Limites Not-se que qudo tede pr 1, pelos dois ldos, o mesmo tempo, y tede pr 3, ou sej, 1 implic em y 3. Assim, diz-se que: Neste cso o ite é igul o vlor d ução. = 1 = 3 1

18 Limites No cso d ução = é dierete pois ão é deiid pr = 1. Porém o ite eiste e é igul 3. Ver gráico seguir: 1

19 Limites 4,0 3,5 3,0 y,5,0 0,4 0,6 0,8 1,0 1, 1,4 1,6

20 Limites Lteris Qudo z-se teder pr, por vlores meores que, estáse clculdo o ite lterl esquerdo. - Qudo z-se teder pr, por vlores miores que, está-se clculdo o ite lterl direito. + Pr o ite eistir, os ites lteris devem ser iguis: [] = []

21 Dd ução : IR IR, deiid por = + 3. Estudemos o comportmeto d ução qudo estiver próimo de 1, ms ão or igul 1. Pel esquerd = ,5 3,5 0,75 3,75 0,9 3,9 0,99 3,99 0,999 3, y 4 Limites Lteris 1 = ,5 4,5 1,5 4,5 1,1 4,1 1,01 4,01 1,001 4,001 1,0001 4, Pel direit 4

22 Limites Lteris Dd ução : IR IR, deiid por Determir, gricmete, 1 1, 3, pr pr Não eiste ite de, qudo tede pr 1 1

23 Proprieddes dos ites Sejm b e c dois úmeros reis, e sej um iteiro positivo. I b b c II c c III c c c IV c Obs.: Em IV, se or pr, c deve ser positivo.

24 Operção com ites Sejm b e c dois úmeros reis, um iteiro positivo e e g uções pr s quis e g M. c L c I [b.] bl c II [ g] L M c III [.g] L.M c L IV ; g 0 c g M c c V L VI L c Obs.: Em VI, se or pr, L deve ser positivo.

25 Operção com ites Proprieddes P 1 - O ite d ução idetidde =, qudo tede, é igul. Eemplos: 3 3 e e, 3 0 0,

26 Operção com ites P - O ite de um ução costte = K, qudo tede, é igul própri costte: K K Eemplos: e e

27 P 3 - O ite d som é igul som dos ites cso esses ites eistm: g g Eemplo: Operção com ites

28 P 4 - O ite d diereç é igul diereç dos ites cso esses ites eistm: g g 6. Eemplo: Operção com ites

29 Operção com ites P 5 - O ite do produto é igul o produto dos ites cso esses ites eistm: Eemplo:. g. g

30 Operção com ites P 6 - O ite do quociete é igul o quociete dos ites cso esses ites eistm: Eemplo: g g

31 Operção com ites P 7 - O ite d potêci de um ução, ode é um úmero iteiro positivo, é igul potêci do ite d ução cso eist: Eemplo:

32 Operção com ites P 8 - O ite d riz de um ução, é riz do ite d ução, se o ite eiste e é mior ou igul zero: Eemplo:

33 Limites Resumido: Proprieddes dos Limites Se L, M, e c são úmeros reis e iteiro L g M, e

34 Regr d somsubtrção: Regr do Produto: Regr d multiplicção por esclr: Regr do quociete: M L g g L M g g... c L c c... M L g g Limites

35 Regr d potêci: Regr d ríz se é impr. L L L 0, Limites

36 Regr do logritmo: log log c c L se log Limites 0 Regr do seo o mesmo pr o cosseo c se se sel Regr d epoecil: c c c L

37 Limites Se P é um ução poliomil e c é um úmero rel, etão c P P c Limite de um ução poliomil Teorem Os Limites de Fuções Poliomiis podem ser obtidos por Substituição: Se P etão c c c P P c

38 Limites Eemplo 1 Limite de Um Fução Poliomil

39 Limites Limites de Fuções Rciois Teorem 3 Os Limites de Fuções Rciois podem ser obtidos por Substituição, cso o ite do deomidor ão sej zero: P Q Q c 0 Se e são poliômios e, etão c P Q P c Q c

40 Limites Eemplo Limite de Um Fução Rciol

41 Limites Eemplo 3 Cceldo um Fctor Comum Solução: Não podemos substituir = 1 porque isso result em um deomidor zero. Testmos o umerdor pr ver se este tmbém é zero em = 1. Tmbém é, portto preset o tor 1 em comum com o deomidor. Ccelr o 1 result em um rção mis simples, com os mesmos vlores d origil pr 1: 1 1 Se 1

42 Limites Usdo rção simpliicd, obtemos o ite desses vlores qudo 1 por substituição:

43 Limites. Eercícios Clculr: + 3 = 5 b = c [3 + 3 / - 5] = 4 d [ + 3-3] = 4

44 Limites. Eercícios e Lim R: -3 Lim R: 0 g h Lim 0 4 Lim 1 3 Lim R: 3 6 R: 4/3 i R: /3

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