No que segue, apresentamos uma definição formal para a exponenciação. Se a 0, por definição coloca-se a a a, a a a a e assim por diante. Ou.

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1 MAT Cálculo Diferecil e Itegrl I RESUMO DA AULA TEÓRICA 3 Livro do Stewrt: Seções.5 e.6. FUNÇÃO EXPONENCIAL: DEFINIÇÃO No ue segue, presetos u defiição forl pr epoecição uisuer R e., pr 2 3 Se, por defiição coloc-se, e ssi por dite. Ou sej, pr todo { 2,3,4, } defie-se coo o produto de ftores iguis o úero. Nest defiição ão podeos icorporr o cso, pois pr clculros utilizos u produto, e pr isto é ecessário eistêci de dois 2 ou is ftores. Etretto, por logi os csos e, prece ser turl defiiros. Etretto eiste u outr eplicção pr ess defiição. A potecição ue cbos de defiir possui seguite propriedde: (*), {2,3,4, } 3 pr uisuer. Assi, pr defiiros coereteete, deveos escolher o vlor de de odo ue iguldde (*) tbé sej verddeir pr o cso e ue ou sej iguis. Se este é o osso desejo, 2 e prticulr, deveos ter:. Logo. Dest iguldde, tbé surge defiição turl de. O cso é álogo (id estos supodo ). Pr defiir esse úero é iteresste ue ele tbé obedeç propriedde (*). Dest propriedde, e prticulr deveos ter:. Est últi iguldde iplic ue. Portto s iguldde e são defiids de eir grtir ue iguldde (*) sej verddeir pr todos os vlores de, {,,2,3,4, }. A respeito d potecição, pode-se tbé pergutr sobre defiição do úero pr {,2,3,4, } e. Esse úero tbé é defiido de odo grtir ue iguldde (*) sej verddeir pr uisuer iteiros e positivos ou egtivos. Pr isto ser verdde, e prticulr deveos ter ( ). Dui segue ue pr todo iteiro positivo. Ates de cotiur, deveos respoder o ue cotece ests defiições se tetos colocr. Or, pr iteiro positivo, ão eiste proble lgu. Por outro ldo, se etão ão está defiido pois deveríos ter ue ão eiste. Ms id, tbé ão está defiido pois, por

2 eeplo, este cso eiste o seguite proble: por zero ão eiste., e divisão Até o oeto teos u defiição pr pr todo epoete iteiro. Agor uereos defiir pr epoetes rciois. Est defiição tbé será dd de odo grtir ue iguldde (*) sej verddeir pr todos os epoetes e rciois. Vejos: se etão: ( ). Portto é u úero positivo ue elevdo potêci result o úero. Dui segue ue. Neste cso, o úero, pr rciol diferete de zero e ão-iteiro, está defiido pes pr. Cso cotrário tereos, o cojuto dos úeros / 2 reis, ipossibiliddes coo por eeplo: ( 2) 2. Por esse otivo, fução epoecil está defiid pes pr bses. Observção: defiição de pr irrciol é dd por liites: se u seüêci de úeros rciois covergido pr r liite d seüêci. N Proprieddes: pr uisuer úeros reis e, e todo () (2), (3) (4) ( b) b, defiios, teos: N r é coo o FUNÇÃO EXPONENCIAL: GRÁFICOS Se o gráfico d fução te o specto d figur bio. Nesse cso, ess fução possui s seguites proprieddes: fução é crescete.. li li

3 Se o gráfico d fução te o specto d figur bio. Nesse cso, ess fução possui s seguites proprieddes: fução é decrescete. li. li O NÚMERO DE NAPIER: e Detre s váris bses pr fução epoecil, eiste u ue é is deud pr o cálculo diferecil e itegrl. Ess bse é o úero eperio e, ue pode ser iterpretdo d seguite eir. Vos lisr iclição d ret tgete o gráfico d fução epoecil ( ) o poto A (, ). As figurs seguir sugere ue ess iclição vri cotiuete co o úero e ue el uet cofore uetos o vlor de. Nesss figurs estão represetdos os gráficos ds fuções epoeciis de bses, 5, 2, 3 e 4 lé ds rets tgetes esses gráficos o poto A (, ) e o coeficiete gulr de cd u desss rets.

4 Esse rciocíio sugere ue deve eistir u vlor de tl ue o coeficiete gulr d ret tgete o gráfico d fução epoecil A sej o poto (, ) etete igul. Esse úero relete eiste: ele é úero de Npier, represetdo pel letr e. Pode-se ostrr ue esse úero é irrciol e vle proidete 2, 7828 e. N figur bio teos o gráfico d fução epoecil de bse tgete o poto A (, ). e lé de su ret FUNÇÃO LOGARÍTIMICA Sej e. U vez ue fução epoecil é crescete ou decrescete veos ue pr uluer úero eiste u, e soete u, úero rel tl ue. Tl úero é o logrito de bse. Ele é represetdo por log ( ). Isso defie fução logrític de bse, defiid e (, ) e cotr doíio (, ). Coo vios, tl fução é crcterizd pel euivlêci: Proprieddes operciois do logrito: () log ( ) log ( ) log ( ) (2) log log ( ) log ( ) p (3) log ( ) plog ( ) (4) log ( ) log ( ) (5). log ( ).

5 O LOGARITMO NATURAL OU NEPERIANO Detre tods s fuções logrítics, de bse e (o úero de Npier) é is iportte pr o cálculo diferecil e itegrl. Nesse cso, ess fução logrític é chd de o logrito turl e é deotd por. l( ) U vez ue fução l( ) é ivers d fução e, veos ue os gráficos desss dus fuções são siétricos e relção ret. No plo crtesio d figur seguir, estão represetdos os gráficos desss dus fuções, lé d ret. Eeplo: U objeto à 8 o C foi colocdo e u biete cuj tepertur é tid costte e 24 o C. Sbe-se ue, o pssr do tepo, tepertur do objeto decresce e tede tepertur do eio biete. Alé disso, sbe-se ue tepertur do objeto o istte de tepo t é dd pel epressão f () t 24 ce kt, sedo c e k costtes ue depede do eio e do objeto. Etretto, pssdos 3 iutos, verificou-se ue tepertur do objeto é de 5 o C. Deterie e ue istte tepertur do objeto será igul 3 o C. Observção: chr teção dos luos pr o fto d prieir list de eercícios coter lgus plicções iporttes de epoecil e logrito, tis coo: desitegrção rdiotiv e lei de resfrieto de Newto.

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