ALGUMAS CONSIDERAÇÕES TEORICAS 1. Sistema de equações Lineares

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1 LGUMS CONSIDERÇÕES TEORICS. Siste de equções Lieres De fo gerl, podeos dier que u siste de equções lieres ou siste lier é u cojuto coposto por dus ou is equções lieres. U siste lier pode ser represetdo d seguite for: Ode:,,, são s icógits,,,, são os coeficietes e,,, são os teros idepedetes Resolver o siste sigific ecotrr os vlores ds icógits que resolve, siulteete, tods s sus equções. Por eeplo: ddo o siste de equções: Podeos firr que su solução será tripl =, = e =, pois:. + - = - +. = = - Coptiilidde de Sistes Lieres O úero de soluções de u siste lier deteri su clssificção de dus eirs co relção à su cosistêci: - Siste possível ou coptível: Qudo te pelo eos u solução. i) Se te u úic solução, o siste é deterido. ii) Se te is que u solução, o siste é ideterido.

2 - Siste icoptível: Se ão dite qulquer solução. Sistes equivletes Dois sistes são equivletes se dite es solução. Eeplo: São equivletes os sistes S e S idicdos io: S S pois eles dite es solução = e =. Notção: Qudo dois sistes S e S são equivletes, usos otção S ~S. Sistes equções lieres e Mtries Podeos escrever o siste u for tricil ou B X Ode: é tri dos coeficietes, X tri ds icógits e B tri dos teros idepedetes.

3 U outr tri que podeos ssocir o siste é que chos de tri plid. Podeos ver que cd lih dest tri é siplesete u represetção revid d equção correspodete. Por eeplo: O siste Te seguite for tricil Resolução de sistes de equções étodo de Guss O ojectivo deste cpítulo é estudr os étodos pr resulução de sistes lieres. Vos lerr u técic que foi utilid o o esio secudário que jud resolver sistes co grde úero de icógits. Té pr efeito de visulição colocreos o ldo de cd siste u tri ssocid ele. Cosidereos o siste tri plid será: (i) º Psso: Eliios ds equções () e (). Pr o efeito, ultiplicos equção () por - e soos equção otid co equção (), otedo u ov equção( ). D es eir produireos equção ( ), otid o ultiplicros equção () por -, sodo est ov equção equção (). Isto result o seguite siste: (ii)

4 º Psso: Toros o coeficiete de d equção ( ) igul. Pr isto, ultiplicos equção ( ) por. O siste resultte é: (iii) º Psso: Eliios ds equções ( ) e ( ). Pr o efeito, ultiplicos equção ( ) por - e soos equção otid co equção ( ), otedo ( ). logete oteos ( ), ultiplicdo equção ( ) por e dicioos est ov equção: (iv) º Psso: Toros o coeficiete de d equção ( ) igul. Pr o efeito, ultiplicos equção ( ) por -. Resultde o seguite siste: (v) º Psso: Eliios ds dus prieirs equções do siste (v). Multiplicdo equção ( iv ) por e soos equção otid co equção ( iv ). logete oteos ( iv ), ultiplicdo equção ( iv ) por e dicioos est ov equção: (vi)

5 Ou sej: ssi, cd siste foi otido prtir do siste terior, por operções que preserv s igulddes. O poto fudetl deste procedieto é que s etps são tods reversíveis. Por eeplo prtido do Siste (ii) podeos oter o siste (i). Operções eleetres sore s lihs de u tri trvés de operções equivletes s efectuds s equções dos sistes podeos defiir s operções eleetres sore s lihs de u tri. São três s operções eleetres sore s lihs de u tri:. Perut ds i-ési e j-ési lihs ( L i L j ). Eeplo: L L. Multiplicção d i-ési lih por u esclr ão ulo k (L i kl i ). Eeplo: L -L. Sustituição d i-ési lih pel i-ési lih is k vees j-ési lih (L i L i + kl j ). Eeplo: L L + L Teore : Dois sistes que possue tries plids equivletes são equivletes. Mtri Reduid à for Escd Defiição:U tri é lih reduid à for escd se:. O prieiro eleeto ão ul de u lih ão ul é.. Cd colu que coté o prieiro eleeto ão ulo de lgu lih te todos os seus eleetos iguis ero.. Tod lih ul ocorre io de tods s lihs ão uls.. Se s lihs,,..., r são s lihs ão uls, e se o prieiro eleeto ão ulo d lih i ocorre colu k i etão k < k <... < k r. Est codição ipõe for

6 escd, isto é, o úero de eros precededo o prieiro eleeto ão ulo de u lihuet cd lih, té que sore pes lihs uls, se houver. Eeplos. ) Não é for reduid à escd porque ª codição ão é stisfeit. ) B Não é for reduid à escd pois ª e ª codições ão são stisfeit. c) C Não é for reduid à escd porque ão stisf ª e ª codição. d) 9 D É for reduid à escd porque tods s codições são stisfeits. Teore : Tod tri é lih equivlete u úic tri-lih reduid for escd. Defiição:Dd tri, sej B tri-lih reduid for escd lih equivlete de. O posto de, deotdo por p, é o úero de lihs ão uls de B. ulidde de é o úero - p. Oservção: Pr chr o posto de u tri dd é ecessário prieiro ecotrr su tri-lih reduid for escd, e depois cotr sus lihs ão uls. E ulidde é difereç etre colus de e o posto. Eeplo: Ddo o Siste ) Deterie tri plid. ) che tri-lih reduid à for escd equivlete tri plid. c) Ecotre o posto e ulidde d tri plid. d) Resolv o siste.

7 Resolução: ) Mtri plid ) Efectudo s seguites operções co s lihs podeos ecotrr tri-lih reduid for escd equivlete. O posto de é e uliddede é - = tri-lih reduid à for escd é lih equivlete Mtri plid do siste ddo, etão el represet: que é equivlete o siste iicil, possuido es solução. Solução do siste:,,

8 Teore : U siste de equções e icógits dite solução se, soete se o posto d tri plid é igul o posto d tri dos coeficietes. Teore : Se o posto ds tri plid é igul o posto d tri dos coeficietes e é igul o úero ds icógits ( p = ), etão solução do siste é úic. Teore : Se s Mtries plid e dos coeficietes de u ddo siste tê o eso posto p e p<, podeos escolher -p icógits, e s outrs p icógits serão dds e fução dests, isto é, o siste te ifiits soluções. Eeplos: ) Ddo o siste cuj tri plid é, p c = p = o siste te solução e coo = p=, Etão ess solução é uic, isto é =, = - e =

9 ) Ddo o siste tri plid é Reduido à for escd teos: p c = p = o siste te solução e coo p > o siste te ifiits soluções. Podeos escolher -p = = icógits, isto é e são livres pode tor qulquer vlor. Fedo = e =, oteos ou sej Portto solução gerl do siste é Se cosiderros = e = ecotros u ds soluções do Siste.. c) tri ssocid é Reduido à for escd teos: p c = e p =, isto é p c p O siste é ipossível.. Equções Hoogêes

10 U siste lier é hoogêeo qudo os teros idepedetes de tods s equções são ulos. Todo siste lier hoogêeo dite pelo eos solução trivil (,,...,, ), que é solução ideticete ul. ssi, todo siste lier hoogêeo é possível. Este tipo de siste poderá ser deterido se ditir soete solução trivil ou ideterido se ditir outrs soluções lé d trivil. Eeplo: O siste cuj tri ssocid é Reduido à for escd teos: p c = e p =, isto é p c = p O siste é possível e coo = p = é deterido, isto é, possui solução trivil (,, ).

11 Eeplo: O siste cuj tri ssocid é Reduido à for escd teos: p c = p = o siste te solução e coo p > o siste te ifiits soluções. Podeos escolher -p = = icógit, isto é é livre pode tor qulquer vlor. Fedo =, oteos Portto solução gerl do siste é Eercícios. Resolv o siste de equções, escrevedo s tries plids, ssocids os ovos sistes.. Descrev tods s possíveis tries, que estão for escd reduid por lihs.. Redu s tries à for escd reduid por lihs: 9 C B

12 . Clcule o posto e ulidde ds tries d questão.. Reduir cd tri seguite à for esclod e depois à su for côic por lihs. Clcule té o posto ) ( r de cd u ) ) c) d). Deterie o posto ds seguites tries pr os diferetes vlores do prâetro. ) ). Ddo o siste Escrev tri plid, ssocid o siste e redu- à for escd reduid por lihs, pr resolver o siste origil. Solução:,,. Resolv os sistes seguites chdo s tries plids lih reduids à for escd e ddo té seus postos, os postos ds tries dos coeficietes:

13 ) ) c) d) e) f) g) h) Solução: ) ( -) ) c) d) (- +- ) f) ( - -) g) ( ) h) 9. Resolv os seguites sistes de equções lieres por eio do lgorito de Guss, ou sej, pssdo-s prieiro à for esclod ) ). 9 c). 9 d). 9 e). f). g). 9 h). 9 i). j) w w

14 Solução )., c)., e),, g).,, i),,. j). w w w, w- ritrário. Deterie os vlores de e, de odo que o siste dit: ) Solução úic ) Nehu solução c) Ifiidde de soluções. Solução: ) - ) = - e c) = - e =. Deterie k, pr que o siste dit solução k Solução : k = -. Cosidere o siste: Pr que vlores de o siste: ) É possivel e deterido. ) É ipossivel. Deterie o vlor de k, de odo que o siste seuite sej: ) Coptível e deterido. ) Icoptível c) Coptível e ideterido deterido. k k k Solução: ) k e k - ) k= - c) k =. Deterie solução gerl do siste: ) ) c) d) e) f) g) h) i) j) Soluções:

15 -) S {()} -) S {} -c) S {( )} -d), - ritrário -f), - ritrário -h), -ritrário -j), - ritrário. Deterie o vlor de, de odo que o siste hoogéeo dit u solução ão ul. Solução:. Deterie o vlor de k, de odo que o siste hoogéeo dit u solução ão trivil. k Solução : k =