Lista 5. Funções de Uma Variável. Antiderivadas e Integral. e 4x dx. 1 + x 2 dx. 3 x dx

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1 List 5 Fuções de Um Vriável Atiderivds e Itegrl O gráfico d fução f é presetdo bio. Idetifique o gráfico d tiderivd de f. i j k l m o p q e cos + e 5 + cos cos + se 7 + sec se Clcule s seguites tiderivds: f + g h 7 + cos Um prtícul se desloc sobre o eio com um fução posição = t. Determie = t sbedo que: = t e = dt dt = + t e = d = e v = e = dt d dt = e t e v = e = d = cost e v = e = dt Ache os vlores uméricos ds seguites soms:

2 r= r+ 6 i + i= 5 = 5 Prove por idução s seguites proprieddes do somtório: k + b k = k + b k ditividd k= k= k= c k = c k homogeeidd k= k= k k = telescópic k= = k= 8 Defi precismete prtição de um itervlo. Defi precismete som de Riem. 6 Use s proprieddes do eercício terior pr mostrr que: k = Dic: Use que k = k= k k k= k= k = + k k k + k= Dic: Use o item terior = Dic: k k = k = Usdo s figurs bio che estimtivs iferiores e superiores pr áre bio do gráfico de f pr usdo primeirmete 5 retâgulos e posteriormete retâgulos. 9 Use um som de Riem com etremos direit e = 8 pr chr um proimção d itegrl 5 Use um som de Riem cetrdo o poto médio pr chr proimções d itegris se = = O gráfico de g cosiste de dois segmetos de rets e um semi-circulo, coforme figur bio. Clcule 6 6 g g g

3 Fudmetl do Cálculo. Clcule prtir d defiição s seguites itegris: f g h b b b + + e Epresse s seguites itegris como ite de somtório π 5 cos e cose 5 Clcule f g h i j k l m π/ π/ π π π/ π/ π/ cos se + t dt se e e e cos sec 6 O gráfico bio represet velocidde de um crro em fução do tempo. Esboce o gráfico d posição do crro em fução do tempo. Eucie primeir e segud prte do Teorem

4 Resposts dos Eercícios. + c b. + c c. + c d c e. + c f. + c g. 7 + c h se + c i. e + c j se + c k. e 5/5 + / + /Si + c l. se 7cos 7 + c m. Substituição = seu. Substituição = tgu, etão = sec udu. Assim = sec u + +tg u du = sec u sec u du = du = u + c = rctg + c. o. Substituição u =, etão du = l. Assim = du l. Portto, du = l = u l + c = l + c q. se = cos = cos = se + c = se cos. Acim fizemos substituição u =, etão du =. 7 A respost ão é úic. Um respost:. Iferior Superior = = 5 9 Prticiodo o itervlo de modo obter 8 subitervlos de tmhos iguis, i.e., = 5 8, temos que os potos d prtição são ddos por =, = 5 8,..., k = k. 5 8,..., 8 = 5. Como utilizremos o etremo direito pr proimção, ltur do i-ésimo retâgulo é dd por f i. Assim, som de Riem em questão é dd por. t = t + t b. t = rctgt c. t = + t + t d. t = e t + t. 7 b. 9 c. 5 5 c. Bse de idução: = k k =. k= Portto o fto é válido pr bse de idução. Provemos tese de idução. Hipótese de idução: k k =. Tese: k= k k =. k= Note que k k = k k + +. k= k= Usdo hipótese de idução, temos que k k + + = + + =. k= Como querímos demostrr. 6. Como sugere o eucido, k = k= k k. k= Note que, se tomrmos k = k, podemos usr som telescópic item c do eercício 5 pr obtermos seguite iguldde, k k = =. k= k= f k = k= fk = k= k. 5 k = k k= c. Note que 6 Aid, g = Not, k k= k= k 5 8 k = k= = = , se g =, se 6 6, se g g = π = π. + + = π por se trtr d metde d áre do círculo de rio. Ms poderímos fzer pel substituição = sey. Assim, = cosydy. Logo, 6 rcse = se y cosydy = rcse 6 π π cos ydy = + cosydy = y + π π π sey = π. π

5 . Vmos começr subdividido o itervlo, b em subitervlos de tmho = b Dest form os potos d prtição são: = = + b, = + b,... k = + k b,... = b Agor escolheremos c k como o etremo direito do subitervlo, isto é, c k = k. E logo b k= = k= = = = fc k k k k= k k= = k + k= k= b k= k= fc k = b = b + k b k= k= b + k b + b k k= = b + b + = b + b + = b + b + = b + b = b c. Vmos começr subdividido o itervlo, em subitervlos de tmho = Dest form os potos d prtição são: = =, =,... k = k,... = Agor escolheremos c k como o etremo esquerdo do subitervlo, isto é, c k = k. E logo = 6 d. Vmos começr subdividido o itervlo, em subitervlos de tmho = Dest form os potos d prtição são: = =, =,... k = k,... = Agor escolheremos c k como o etremo direito do subitervlo, isto é, c k = k. E logo b k= k= fc k k k= k + + = h. Vmos começr subdividido o itervlo, b em subitervlos de tmho = b Dest form os potos d prtição são k = + k Agor escolheremos c k como o etremo direito do subitervlo, isto é, c k = k. E logo 5

6 . b. b e k= k= fc k e +k e k= e k e e e e e eb e e b e e / = e b e k= k= cos k. π π e k. c. k= cos k. 5 e k g. Fzedo substituição t = tg temos que dt = sec. Assim, π + t dt = π sec. sec = = π i. Substituição y =. Etão = y e, portto, = dy. Logo, e = e y. dy = e e j. Substituição y =, etão dy =. Logo, e = e = e y dy = e y = e k. Fç substituição y =.. Substituição y =. Assim, dy = l = y l. Portto, = dy y l. Logo, = y dy y l = l dy = l 6