Exemplo: As funções seno e cosseno são funções de período 2π.

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1 4. Séries de Fourier 38 As séries de Fourier têm váris plicções, como por eemplo resolução de prolems de vlor de cotoro. 4.. Fuções periódics Defiição: Um fução f() é periódic se eistir um costte T> tl que f(t)f() pr qulquer pertecete o domíio de f. T é chmdo o período de f(). Eemplo: As fuções seo e cosseo são fuções de período. Not: o período de um fução ão é úico. Se T é período de f(), tmém T, Z é período. 4.. Defiição de série de Fourier Vmos começr por ver lgums coiss sore séries de fuções. Cosideremos série de fuções f ( ) A série é covergete pr qulquer se sucessão ds soms prciis s ( ) f ( ) for covergete pr um fução s(). A série é uiformemete covergete um itervlo [,] se ε >, N, : N, s( ) s ( ) ε Teste de covergêci uiforme: Se série de úmeros positivos M M... M... coverge e [ ],, f ( ) M pr um ddo, etão série f ( ) uiformemete (e solutmete) em [,]. coverge Eemplo: A série coverge. si coverge uiformemete em [ ],, pois si e

2 4. Séries de Fourier 39 Teorem: Se os termos d série f ( ) são fuções cotíus em [,] e se série é uiformemete covergete em [,], etão i)a som d série é cotíu ii)a som pode ser itegrd termo termo, isto é f ( ) d s( ) d f ( ) d Defiição: Chm-se série trigoométric de período um série d form A cos si, ode A, e (,, )são os coeficietes d série. Se est série covergir, su som é um fução de período. Pode gor colocr-se questão: Será que dd um fução de período, el pode ser sempre represetd como som de um série trigoométric? Not: Supohmos que fução f() de período se pode escrever como som de um série trigoométric, isto é, Podo t, temos que tem período. f() A cos si () t ϕ ( t) f ( ) A ( cost si t) () Se f() de período se pode escrever como som d série trigoométric (), etão eiste um fução ϕ(t) de período que se escreve como som d série () e vice-vers. Assim vmos estudr pes o cso d epsão em séries trigoométrics de fuções de período.

3 4. Séries de Fourier 4 Ates de vermos como determir os coeficietes d série, vmos clculr os itegris: si cos d cos si d cos cos d d cos si d d cos cos md [ cos( m) cos( m) ] d si si md [ cos( m) cos( m) ] d m si cos md [ si( m) si( m) ] d Comecemos por supor que f(), de período, se pode escrever como som de um série trigoométric, isto é f ( ) ( cos si ) (3) Not: Cosider-se A por coveiêci de cálculos. Pretedemos clculr os coeficietes,, (, ). Supohmos que est série e tods s que precerem, gor podem ser itegrds termo termo. Itegrdo etão mos os memros de (3) de -, otemos dode f ( ) d d cos d si d

4 4. Séries de Fourier 4 f ( ) d, isto é f ( ) d Multiplicdo gor mos os memros de (3) por cos e itegrdo de -, otemos dode f ( )cosd cosd coscosd si cosd f ( ) cos d, logo f ( ) cos( )d,,, De modo álogo se coclui que f ( ) si( )d,,, Etão se f() é itegrável e se puder epdir em série trigoométric, e se est série e tods s que se otém del multiplicdo- por cos e si (,,..) forem itegráveis termo termo etão os coeficietes e são ddos como vimos trás. Os coeficietes e chmm-se Coeficietes de Fourier de f() e série trigoométric (3), série de Fourier de f() Critério de covergêci de séries de Fourier Até qui suposemos que f() se podi escrever como som de um série trigoométric. Vmos gor ver que proprieddes terá de ter f() pr que se poss epdir em série de Fourier, covergido est série pr f(). Not: A fução, desde que itegrável, pode sempre epdir-se em série de Fourier. Defiição: Um poto diz-se poto de descotiuidde de ª espécie se for um poto de descotiuidde e os limites, lim f ( ) e lim f ( ), eistirem. o Notção: lim f ( ) f ( ) ; lim f ( ) f ( ) o Defiição: Um fução f() diz-se suve por troços o itervlo [,] se tto f() como su derivd são cotíus em [,] ou têm pes um úmero fiito de potos de descotiuidde de ª espécie em [,].

5 4. Séries de Fourier 4 Eemplo de gráficos de fuções suves por troços Critério de covergêci de séries de Fourier: A série de Fourier de um fução f(), de período, suve por troços (cotíu ou descotíu) coverge pr todos os vlores de. A som d série é igul f() os potos de cotiuidde e igul ( ( ) f ( ) ) f os potos de descotiuidde. Se f() for cotíu pr todo o, etão série coverge solutmete e uiformemete Fuções pres e fuções impres Um fução f() é pr se f()f(-), Df. Se f() é um fução pr, etão temos que f( ) d f( ) d pr qulquer, desde que f() sej itegrável em [-,]. Um fução f() é impr se f()-f(-), Df. Se f() é um fução impr, etão temos que f( ) d pr qulquer, desde que f() sej itegrável em [-,]. Proprieddes: ) O produto de dus fuções pres ou impres é um fução pr; Com efeito, se f()g()h(),

6 4. Séries de Fourier 43 (i) se g() e h() forem pres, temos f(-)g(-)h(-)g()h()f() (ii) se g() e h() forem impres, temos f(-)g(-)h(-)(-g())(-h())f() ) O produto de um fução pr por um fução impr é um fução impr. Com efeito, se f()g()h(), em que por eemplo g() é pr e h() é impr, temos f(-)g(-)h(-)g()(-h())-f() 4.5. Séries de Fourier de seos e cosseos Sej f() um fução pr defiid o itervlo [, ] ; como fução cos,,, é um fução pr, f() cos é um fução pr e como fução si é um fução impr, f() si é impr. ogo f( d ) f( d ) f( ) cos d f( ) cos d,,,. f( )si d,,,. Etão série de Fourier de um fução pr cotém pes cosseos, isto é f ( ) ~ cos Sej gor f() um fução impr defiid o itervlo [, ] ; fução f()cos é um fução impr e fução f() si é pr. ogo f( ) d f( )cos d,,,. f( )si d f( )si d,,,.

7 4. Séries de Fourier 44 Etão série de Fourier de um fução impr cotém pes seos, isto é f( ) ~ si Eemplo: Cosidere fução f() periódic de período, f() (- <). Desevolv- em série de Fourier. O gráfico de f() é - - f é um fução suve por troços e cotíu em todo o seu domíio, logo série de Fourier correspodete é covergete pr f,. Como fução é pr, f ( ) cos, sedo f d ( ) e f ( ) cosd. Temos etão d e cosd si. si d. [ cos]. 4. ( cos ) impr pr ogo

8 4. Séries de Fourier f ( ) cos cos Eemplos de desevolvimeto de fuções em Série de Fourier Por vezes s plicções precismos desevolver em série de Fourier um fução defiid pes o itervlo [, ]. Não semos portto d cerc d periodicidde de f(), ms d os impede de clculr os coeficietes d série, um vez que s formuls evolvem o itervlo [, ]. Mis id, podemos esteder f() por periodicidde prtir de [, ]. Isto lev um fução periódic, g(), que coicide com f() em [, ]. Se série de Fourier de g() covergir pr g(), su restrição o itervlo [, ] coverge pr fução f(). ogo em [, ] série é igul f() como pretedímos. Etão st fzer o teste de covergêci pr séries de Fourier o cso de fuções periódics. Propriedde: Sej f() um fução de período. Tem-se que T f ( ) d f ( ) d pr todo o T. T Eemplo: Epdir fução f() (-<<). Vmos cosiderr etesão de f() por periodicidde de período, g(). Ess fução é suve por troços, descotiu em, Z. Sedo ssim, série de Fourier de g() será covergete pr g() em todos os potos, ecepto os potos de descotiuidde, ode vi covergir pr. ogo pr ], [ f(). Vmos etão determir série de Fourier de g(). série coverge pr g é um fução impr, logo g ( ) si, sedo f ( ) si d.

9 4. Séries de Fourier 46 Temos etão si d ( ) ogo g ( ) si si si dode, f ( ) si si si pr ], [ A série de Fourier de um fução f() de período, defiid em [, ] ode f d ( ) f ( ) cos d f ( ) si d cos si, é 4.7. Itegrção de séries de Fourier Por vezes cohecemos pes série de Fourier de um fução f() de período e precismos clculr o seu itegrl um itervlo [,] ou um su primitiv. Podemos fzê-lo poido-os o seguite teorem: Teorem: A série de Fourier de f() pode ser itegrd termo termo de, e série resultte coverge uiformemete pr f ( u) du, desde que f() sej suve por troços em e tto como perteçm o itervlo. Eemplo: Sedo que o desevolvimeto em série de seos de f ( ), < < é dd por 4 3 f ( ) si si si..., 3

10 4. Séries de Fourier 47 determie o desevolvimeto em série de Fourier de, ) ( < < f. d... 3 si 3 si si cos 9 8 cos cos 8