Capítulo 5.1: Revisão de Série de Potência

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1 Cpítulo 5.: Revisão de Série de Potêci Ecotrr solução gerl de um equção diferecil lier depede de determir um cojuto fudmetl ds soluções d equção homogêe. Já cohecemos um procedimeto pr costruir soluções fudmetis qudo equção tiver coeficietes costtes. Pr grde clsse ds equções com coeficietes vriáveis ós devemos procurrr por soluções lém ds fuções elemetres do cálculo. A pricipl ferrmet que vmos utilizr é respresetção de um fução dd por um série de potêci. Etão similr o método dos coeficietes idetermidos vmos supor que s soluções têm represetções em série de potêci e determim etão os coeficietes que stisfzem à equção.

2 Cpítulo 5.: Covergêci d Série de Potêci Um série de potêci sobre o poto tem form e é dit covergete em um poto se lim m eiste o limite pr todo. m Note que série coverge pr. Pode covergir pr todo o poto ou pode covergir pr lgus vlores de e outros ão.

3 Cpítulo 5.: Covergêci Absolut Um série de potêci sobre o poto é dit Absolutmete Coverge o poto se série coverge. Se um série covergir bsolutmete etão série coverge tmbém. O iverso etretto ão é ecessrimete verddeiro.

4 Cpítulo 5.: Teste d Rzão Um dos testes os mis úteis pr covergêci bsolut de um série de potêci é o teste d rzão. Se e se pr um vlor fio de etão série de potêci coverge bsolutmete pr esse se - L < e diverge se - L >. O teste é icoclusivo se - L. lim lim L

5 Cpítulo 5.: Rio de Covergêci Eiste um úmero ão egtive ρ chmdo de rio de covergêci tl que Σ - coverge bsolutmete pr todo stisfzedo - < ρ e diverge pr - > ρ. Pr um série que coverge somete em defiimos ρ. Pr um série que coverge pr todo dizemos que ρ é ifiito. Se ρ > etão - < ρ é chmdo de itervlo de covergêci. A série pode covergir ou divergir qudo - ρ.

6 Cpítulo 5.: Eemplo Ecotrr o rio de covergêci d série bio. Usdo o Teste d Rzão obtemos lim lim < pr < < Em - e correspodete séries são respectivmete Ambs s séries diverge pois o -esimo termo ão proim de zero. Portto o itervlo de covergêci é - e ssim o rio de covergêci é ρ.

7 Cpítulo 5.: Eemplo Ecotrr o rio de covergêci d série bio. Usdo o Teste d Rzão obtemos lim lim < pr - < < Em - e correspodete séries são respectivmete Ests séries são série covergete lterd e série geométric respectivmete. Coseqüetemete o itervlo de covergêci é [- ] e ssim o rio de covergêci é ρ.

8 Cpítulo 5.: Eemplo Ecotrr o rio de covergêci d série bio. Usdo o Teste d Rzão obtemos lim!! lim!!! < pr - < < Portto o itervlo de covergêci é - e ssim o rio de covergêci é ifiito.

9 Cpítulo 5.: Series de Tlor Supoh que Σ - coverge pr f em - < ρ. Etão os vlores de é ddo por e série é chmd de series de Tlor pr f sobre. Tmbém se f f! f! etão f é cotiu e possuem tods s derivds de tods s ordes o itervlo de covergêci. Além disso s derivds de f podem ser clculds derivdo termo termo d série.

10 Cpítulo 5.: Fuções Alítics Um fução f que tem um série de Tlor epdid em f f! com um rio de covergêci ρ > é dit lític em. Tods s fuções elemetres do cálculo são lítics. Por eempo se e e são lític em todo poto equto / é litic eceto em e tg é lític eceto os multiplos impres de π /. Se f e g são lítics em etão tmbém são f ± g fg e f /g :

11 Cpítulo 5.: Iguldo Séries Se dus séries de potêci são iguis isto é pr cd em lgum itervlo berto com cetro etão b pr Em prticulr se b etão pr

12 Cpítulo 5.: Deslocdo o ídice do Somtório O ídice do somtírio de um série ifiit é um prâmetro mudo ssim como vriável d itegrção em um itegrl defiitiv é um vriável mud. Assim ão import com que letr é usd pr o ídice d som: k Assim como ós fzemos mudçs vriável d itegrção em um itegrl defiitiv ós tmbém vmos fzer mudçs coveietes o ídice d som d série de equções difereciis. k k

13 Cpítulo 5.: Eemplo : Deslocdo o ídice do Somtório Podemos verificr que fzedo m - série d esquerd. Etão correspode m e ssim Substituido o ídice mudo m pelo obtemos como querimos. m m m

14 Cpítulo 5.: Eemplo 5: Reescrevedo o termo geerico Podemos escrever série como um som cujo o termo geérico evolv deido m. Etão correspode pr m e igul m. Segue que m m m Substituido o ídice mudo m pelo obtemos m como querimos.

15 Cpítulo 5.: Soluções em Séries N Vizihç de um Poto Ordiário No Cpítulo vimos métodos pr resolver EDO de ordem com coeficietes costtes. Agor cosidermos o cso ode os coeficietes são fuções d vriável idepedete que ós deotremos por. É suficiete cosiderr equção homogêe d P d d Q R d sedo que o método pr o cso ão homogêeo é similr. Primeirmete cosiderremos o cso qudo P Q R são poliomiis e tmbém cotíus. Etretto veremos que o método de resolução é tmbém plicável qudo P Q e R são fuções lítics geris.

16 Cpítulo 5.: Potos Ordiários Assumido que P Q R são poliomios com ehum ftor comus e ós queremos resolver equção bio em um vizihç de um poto de iteresse: d P d d Q R d O poto é chmdo de poto ordiário se P. Desde que P é cotíu P pr todo em lgum itervlo em. Pr este itervlo dividimos equção diferecil por P d d d p d q ode Sedo p e q cotíus o Teorem.. diz que eiste um úic solução ddo s codições iiciis ' ' p Q P q R P

17 Cpítulo 5.: Potos Sigulres Supoh que queremos resolver equção bio em lgum vizihç de um poto de iteresse : d d p d d q where p Q P q R P O poto é chmdo de poto sigulr se P. Sedo P Q R poliomiis com ehum ftor comum isto siguiific que Q ou R ou mbos. Etão pelo meos um deles p ou q tor-se ilimitdo qudo e portto ão podemos plicr o Teorem.. pr est situção. As seções trtm dos métodos pr ecotrr soluções vizihç de um poto sigulr.

18 Cpítulo 5.: Soluções em Séries Vizihç de um Poto Ordiário A fim resolver equção perto de um poto ordiário d P d d Q R d ós suporemos um represetção d série d fução descohecid d solução : Cotto que ós estmos detro do itervlo d covergêci est represetção de é cotíu e tem tods s derivds de tods s ordes.

19 Cpítulo 5.: Eemplo : Solução em Séries Ecotrdo um solução em série pr equção Ode P Q R. Assim cd poto é um poto ordiário. tomdo. Assumido que um solução em series é d form Diferecido termo termo obtemos Substituido ests epressões equção temos < <

20 Cpítulo 5.: Eemplo : Combido s séries A equção é Deslocdo os ídices obtemos [ ] ou

21 Cpítulo 5.: Assim Eemplo : Relção Recursiv [ ] Pr est equção ser vlid pr todo o coeficiete de cd potêci de deve ser zero e ssim ou Este tipo de equção é chmd de um relção recursiv. Vmos ecotrr idividulmete os coeficietes

22 Pr ecotrr. procedemos d seguite form: Cpítulo 5.: Eemplo : Coeficietes Pres...! 5 5 k k k k

23 Pr ecotrr 5 7. procedemos d seguite form: Cpítulo 5.: Eemplo: Coeficietes Impres...! k k k k

24 Cpítulo 5.: Eemplo : Solução Nós temos gor seguite iformção: Assim k ode k k! k k k!!! Note: e são determidos pels codições iiciis. Tmbém pelo teste d rzão pode-se mostrr que ests dus séries covergem bsolutmete sobre - e dqui s mipulções que ós eecutmos série em cd etp são válids.

25 Cpítulo 5.: Eemplo : Defiido s Fuções pelo PVI A solução ecotrd é!! Por cálculos os sbemos que est solução é equivlete cos se Ateriormete ós vimos que cos e o si são certmete soluções fudmetis d oss equção diferecil origil < <

26 Cpítulo 5.: Eemplo : Gráfico!! Os gráficos bio mostrm s proimções ds soms prciis de cos e se. Equto o úmero dos termos umet o itervlo umet e proimção tor-se stisftóri por um logo trecho e pr cd este itervlo que etidão melhor. Etretto série de potêci trucd forece somete um proimção locl vizihç de.

27 Cpítulo 5.: Eemplo : Equção de Air Ecotre um solução em série d equção de Air em : Ode P Q R -. Assim todo poto é um poto ordiário. Tomdo. Assumido um solução em series e diferecido obtemos Substituido ests epressões equção obtemos < <

28 Cpítulo 5.: Eemplo : Combido s Séries A equção é Deslocdo os ídices temos [ ] ou

29 Cpítulo 5.: Eemplo : Relção de Recursividde Assim temos equção Pr que est equção sej vlid pr todo os coeficietes de cd potêci de deve ser zero; ssim e... ou... [ ]

30 Cpítulo 5.: Eemplo : Coeficietes Temos e... Pr est relção de recursividde ote que 5 8. Logo vmos ecotrr os coeficietes. Nós fzemos isto ecotrdo um fórmul Após isso ós ecotrmos 7 ecotrdo um fórmul pr

31 Cpítulo 5.: Eemplo : Ecotrdo Achdo 9. A fórmul gerl pr est seqüêci é

32 Cpítulo 5.: Eemplo : Ecotrdo Achdo 7 A fórmul gerl pr est seqüêci é

33 Cpítulo 5.: Eemplo : Series e Coeficietes Nós temos gor seguite iformção: ode são rbitrários e

34 Cpítulo 5.: Eemplo : Solução Assim oss solução é ode são rbitráriosdetermido pels codições iiciis. Cosidere dois csos ' ' A solução correspodete são Liermete Idepedetes desde que W ode W

35 Cpítulo 5.: Eemplo : Soluções Fudmetis Noss solução: Pr estes csos ' ' solução correspodete são liermete idepedetes e ssim são soluções fudmetis pr equção de Air com solução gerl c c

36 Cpítulo 5.: Eemplo : Gráfico Assim ddo s codições iiciis ' d ' s soluções são respectivmete O gráfico de e são ddos bio. Note precisão do itervlo de proimção pr cd som prcil

37 Cpítulo 5.: Eemplo : Equção de Air Ecotre um solução em série d equção de Air em : Ode P Q R -. Assim todo poto é um poto ordiário. Tome. Assumido um solução em séries e diferecido temos Substituido isto EDO e deslocdo os ídices obtemos < <

38 Cpítulo 5.: Eemplo : Reescrevedo Equção d Série Noss equção é O do ldo direito pode ser reescrito como ; e Assim [ ]

39 Cpítulo 5.: Eemplo : Relção de Recursividde Assim oss equção tor-se Portto relção de recursividde é Equciodo s potecis de - obtemos

40 Cpítulo 5.: Eemplo : Solução Nós temos gor seguite iformção: e rbitrário rbitrário

41 Cpítulo 5.: Eemplo : Solução e Recursividde Noss solução: A recursão tem três termos e determir um fórmul gerl pr os coeficietes pode ser difícil ou impossível. Etretto ós podemos gerr ttos coeficietes que quisermos preferivelmete com jud de um sistem de álgebr computciol. rbitrário rbitrário

42 Cpítulo 5.: Eemplo : Solução e Covergêci A solução: Desde que ão temos um fórmul gerl ão podemos usr um teste de covergêci isto é teste d rzão em oss série de potêci Isto sigific que osss mipulções d série de potêci pr chegr solução pode ser suspeito. Etretto os resultdos d seção 5. cofirmrão covergêci d oss solução.

43 Cpítulo 5.: Eemplo : Soluções Fudmetis Noss solução: ou Podemos mostrr que s soluções são LI e ssim são soluções fudmetis d equção de Air com solução gerl

44 Cpítulo 5.: Um outro Método Pr muitos problems o método que segue é mis simples do que o terior. Supohmos que eist um solução do PVI bio: que poss ser represetd em série de potêci em. Logo pelo Teorem de Tlor O que implic que os coeficietes são idetificdos por ' ' ' '' f ' ' '' '! d f d f e ode...!...! ''! '

45 Cpítulo 5.: Eemplo Cosidere o seguite PVI. e s seguites devivds '' ' vmos ecotrr série de potêci em. '' ''' ' '' 5 7 ''' 5 Pelo Teorem de Tlor os coeficietes são idetificdos por!! '! ''! '! 5 ''!... '' '''!! 5 ''' 5! 5! 5! '!!!... e ssim por dite. Assim por recursividde ecotrmos solução! 5 7!! 5! 7! 9! 9...!...