Somatórios e Recorrências

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1 Somtórios e Recorrêcis Uiversidde Federl do Amzos Deprtmeto de Eletrôic e Computção

2 Exemplo: MxMi () Problem: Ddo um vetor de iteiros A, ecotrr o mior e o meor elemetos de A O úmero de comprções etre elemetos de A é ddo por T() 2 (-) pr qulquer cso MxMi(A[ ]) Mx Α[]; Mi Α[]; for i 2 if A[i] > Mx the Mx Α[i ]; if A[i] < Mi the Mi Α[i ]; ed_for () (-) (-)

3 Exemplo: MxMi (2) Versão 2 Melhor cso: A está em ordem crescete T() - Pior cso: A está em ordem decrescete T() 2(-) Cso médio: T() - (-)/2 3/2 3/2 MxMi2(A[ ]) Mx Α[]; Mi Α[]; for i 2 if A[i] > Mx the Mx Α[i ]; else if A[i] < Mi the Mi Α[i ]; ed_for

4 Exemplo: MxMi (3) MxMi3(A[ ]) if ( mod 2)>0 the u ; A[]A[] else u -; if A[]>A[2] the Mx Α[]; Mi Α[2] else Mi Α[]; Mx Α[2] i 3; while i u do if A[i]>A[i] the if A[i] > Mx the Mx Α[i]; if A[i] < Mi the Mi Α[i]; else if A[i] < Mi the Mi Α[i]; if A[i] > Mx the Mx Α[i]; i i2; ed-while

5 Exemplo: MxMi (4) Cotém o máximo Cotém o míimo T() /2 (-2)/2 (-2)/2 3/2 2 O ()

6 Resolvedo somtórios Algums técics úteis Procurr respost e coferir Vle priciplmete pr o di--di Idução Perturbção Usr itegris

7 Prov por idução () Desej-se mostrr que um propriedde P é verddeir pr todo iteiro 0 Bse: provr que P é verddeiro pr 0 Psso idutivo: provr que se P é verddeiro pr todo tl que 0 etão P é verddeiro pr

8 Prov por idução (2) Exemplo ( ) S( ) i for 2 i 0 Bse: Provr que S( 0 ) é verddeiro S() i i 0 ( ) 2 0

9 Prov por idução (3) Psso idutivo Cso bse provou pr o limite ( ) S ( ) i for, 2 i 0 S ( ) i i S ( ) i 0 i 0 2 ( ) ( 2 ) ( ) 2 2 ( ) 2 Provr pr o limite -

10 Exercício: Prov por idução Prove que S i pr Bse: Provr que S( 0 ) é verddeiro S. i 0

11 Exercício: Prov por idução Psso idutivo ( ) ( ) S S i i i. S - pr

12 Somtórios () O tempo de execução d ordeção por iserção é determido pelos loops ihdos: for j 2 to legth(a) ey A[j] i j- while i>0 d A[i]>ey A[i] A[i] i i- A[i] ey Loops ihdos correspodem somtórios ihdos

13 Somtórios (2) Progressão ritmétic i 0 i Progresão geométric Sej um iteiro 0 e um rel 0 < i 0 i 2... Progressões geométrics presetm crescimeto expoecil

14 Algums proprieddes K p P K K K K K K b b c c ) ( ) ( ) ( Comuttiv (P é um permutção) Associtiv Distributiv

15 Exercício: Prov por idução () Demostrr que série geométric Vmos provr que Bse: Codição iicil 0 0, temos: 0 3 c Ο 3 ( 3 ) c3 c Psso idutivo: Supodo que o limite se mteh válido pr, vmos provr que ele é válido pr

16 Exercício: Prov por idução (2) Psso idutivo: Provr pr 2 3 de modo equivlete, ou, 3 desde que c c c c c c c3 3 0

17 Exemplo Ordeção por Iserção for j 2 to A ey A[j] i j- while i>0 d A[i]>ey A[i] A[i] i i- A[i] ey A 2 A 3 2 A A 2 3 -

18 Perturbção () Escrever S tirdo o primeiro termo e igulr S tirdo o último termo Ecotrr S dos dois ldos d equção Isolr S pr ecotrr fórmul fechd pr o somtório

19 Perturbção (2) S S S S O truque gor cosiste em quebrr o termo do somtório pr chegr S Tirdo o último termo Tirdo o primeiro termo

20 Perturbção (3) c c S c S cs cs c c c c c S c S S c S

21 Exercício: Perturbção 2 S S S S S S S S Ecotre fórmul fechd pr

22 Itegris Itegris podem ser usds pr ecotrrmos o vlor proximdo de um somtório, idicdo seu comportmeto ssitótico Exemplo: i O( i) i 0 0 O( 2 )

23 Exercício: Itegris Ecotre o vlor proximdo dos seguites somtório: i i i i i 3,, ( ) ( ) ( ) i i i i i i i l Ο Ο Ο Ο Ο Ο

24 Divisão e Coquist Método usdo pr projeto de lgoritmos: Divisão: Se o tmho d etrd é muito grde pr plicção de um solução simples, dividir o problem em dois ou mis subproblems disjutos Coquist: Usr o método recursivmete pr resolver os subproblems Combição: Obter s soluções dos subproblems e combiá-ls pr compor um solução pr o problem origil

25 MergeSort Divisão: Se S tem 2 elemetos, dividir seus elemetos em dus subsequêcis S e S 2 com respectivmete /2 e /2 elemetos Coquist: Orderr s subsequêcis S e S 2 usdo MergeSort Combição: Itercle os elemetos de S e S 2 de form obter um seqüêci orded

26 Merge Sort: Algoritmo Alogi com o jogo de crts Temos dus pilhs ordeds com s crts de meor vlor em cim Desejmos jutr s dus pilhs (fzedo iterclção) em um úic pilh de síd orded ) Escolher meor ds dus crts s pilhs 2) Removê-l de su pilh 3) Colocá-l sobre pilh de síd 4) Repetir os pssos,2,3 té um ds dus pilhs de etrd esvzirem

27 Merge Sort: Algoritmo Merge-Sort(A, p, r) if p < r the q (pr)/2 Merge-Sort(A, p, q) Merge-Sort(A, q, r) Merge(A, p, q, r) A é o rrjo p, q e r são ídices de umerção dos elemetos do rrjo p q < r Se p r, o subrrjo tem o máximo um elemeto e, portto, já está ordedo Merge(A, p, q, r) Retire o meor etre o meor dos elemetos de A[p q] e A[q r] e crescete o resultdo. Repit té que s dus sub-sequêcis estejm vzis

28 MergeSort (Exemplo) -

29 MergeSort (Exemplo) - 2

30 MergeSort (Exemplo) - 3

31 MergeSort (Exemplo) - 4

32 MergeSort (Exemplo) - 5

33 MergeSort (Exemplo) - 6

34 MergeSort (Exemplo) - 7

35 MergeSort (Exemplo) - 8

36 MergeSort (Exemplo) - 9

37 MergeSort (Exemplo) - 0

38 MergeSort (Exemplo) -

39 MergeSort (Exemplo) - 2

40 MergeSort (Exemplo) - 3

41 MergeSort (Exemplo) - 4

42 MergeSort (Exemplo) - 5

43 MergeSort (Exemplo) - 6

44 MergeSort (Exemplo) - 7

45 MergeSort (Exemplo) - 8

46 MergeSort (Exemplo) - 9

47 MergeSort (Exemplo) - 20

48 MergeSort (Exemplo) - 2

49 MergeSort (Exemplo) - 22

50 Recorrêcis Aschmds recursivs os lgoritmos podem ser descrits usdo-se equções(ou iequções) de recorrêci Recorrêci é um equção ou desiguldde que descreve um fução em termos dos seus vlores pr etrds meores

51 Recorrêcis (2) Exemplo: Busc Biári BuscBi(A[ ],q) if the if A[]q the retur else retur 0 ()/2 if q < A[] the BuscBi(A[ -],q) else BuscBi(A[ ],q)

52 Exemplo: MergeSort Suposição: O tmho do problem origil é um potêci de dois (simplificção) Dus subsequêci s de tmho /2 Merge-Sort(A, p, r) if p < r the q (pr)/2 Merge-Sort(A, p, q) Merge-Sort(A, q, r) Merge(A, p, q, r)

53 Procedimeto do Merge Θ() Θ() Merge(A, p, q, r) q-p 2 r-q crir rrjos L[0.. ] e R[0.. 2 ] for i0 to - do L[i]A[pi] Θ( ) for j0 to 2 - Θ( do R[j]A[qj] 2 ) L[ ] R[ 2 ] i0 j0 for p to r do if L[i] R[j] the A[]L[i] Θ() ii else A[K]R[j] jj

54 Complexidde do MergeSort Cso bse: ocorre qudo. Como lg 0, temos que lg forece o úmero correto Hipótese idutiv: um árvore de 2 i ós, temos lg 2 i i. Pr 2 i ós temos lg 2 i (i) c ( lg ) Θ( lg )

55 Exercícios Utilize s técics de idução, perturbção e itegris pr resolver os seguites somtórios:

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