UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA UNIVERSIDADE VIRTUAL DO ESTADO DO MARANHÃO DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA UNIVERSIDADE VIRTUAL DO ESTADO DO MARANHÃO DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA CURSO DE ESPECIALIZAÇÃO EM MATEMÁTICA NA MODALIDADE À DISTÂNCIA SÉRIES NUMÉRICAS E SÉRIES DE POTÊNCIAS CAXIAS - MA SETEMBRO - 9

2 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA UNIVERSIDADE VIRTUAL DO ESTADO DO MARANHÃO DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA CURSO DE ESPECIALIZAÇÃO EM MATEMÁTICA NA MODALIDADE À DISTÂNCIA SÉRIES NUMÉRICAS E SÉRIES DE POTÊNCIAS Este trblho foi presetdo o curso de pós-grdução em mtemátic d Uiversidde Federl de St Ctri, como TRABALHO DE CONCLUSÃO DE CURSO, pr obteção do gru de especilist em Mtemátic Frcisco Portel Moris Jdherso Mour Silv

3 Est moogrfi foi julgd dequd como TRABALHO DE CONCLUSÃO DE CURSO o curso de Especilizção em Mtemátic e provd em su form fil pel Bc Emidor em 6/9/9 Bc Emidor Drª Silvi Mrtii de Hold Jesch (CFM \ UFSC - Orietdor) Dr Roberto Corre d Silv (CFM \ UFSC - Emidor) Drª Soi Ele Plomio Be (CFM \ UFSC - Emidor)

4 AGRADECIMENTOS A Deus pelo dom d vid e pel eter proteção ós cocedid que se torou essecil pr ess vitóri Aos ossos pis, mord (Espos) pel pciêci, criho, dedicção e etero icetivo E cim de tudo por terem creditdo em ós E os ossos irmãos e fmilires pelo eemplo de perseverç Aos ossos professores do curso de especilizção d UFSC, que form esseciis pr costrução do osso cohecimeto E em especil professor Silvi Jesch pel pciêci, icetivo e determição que form de fudmetl importâci costrução deste trblho de moogrfi e tmbém pr o osso crescimeto com ser humo Aos ossos colegs do curso de especilizção, que tmbém estão est fse de grde importâci em osss vids Efim, por todos s pessos que cotribuírm de form diret e idiret pr oss formção pessol e profissiol

5 SUMÁRIO INTRODUÇÃO 6 SÉRIES NUMÉRICAS 9 Série Geométric Covergêci e Divergêci de Séries Série Hrmôic 8 CRITÉRIOS DE CONVERGÊNCIA Séries de termos ão egtivos Séries Alterds 9 Covergêci Absolut Covergêci Codiciol Rerrjo de Séries SÉRIES DE POTÊNCIAS Derivção e Itegrção de Séries de Potêcis Séries de Tylor 8 Série de Mcluri Combido Séries de Tylor Covergêci d Série de Tylor Aplicção ds Séries de Potêcis 7 CONCLUSÃO 6 BIBLIOGRAFIA 6

6 INTRODUÇÃO Dremos iício o osso estudo de séries umérics, lembrdo de um dos prdoos formuldos, há mis de os, pelo o filósofo grego Zeão O filósofo imgiou um tlet, deslocdo-se de um poto P té outro poto Q, e rciociou de meir que pode eprimir-se os seguites termos: chmremos de P o poto médio do segmeto PQ, por P o poto médio do segmeto P Q e de P o poto médio do segmeto P Q e ssim por dite Geerlizdo divisão de cd segmeto restte em seu poto médio, pr todo N, P, desigrá o poto médio do segmeto bio; P Q como mostr figur P P P P Q Se dissermos que t será o tempo gsto pelo tlet percorrer distâci que vi de P té P, será t o tempo gsto de P P, t o tempo ecessário pr ir de P P, etc O tempo totl ecessário pr completr corrid, T, equivleri ssim à som de um ifiidde de tempos prciis: T t t t t Dqui julgv Zeão poder deduzir que esse tempo totl er ecessrimete ifiito e que, portto, o corredor jmis poderi tigir met A prtir dí, surgiu à teori ds séries ifiits que foi estudd mis fudo por vários mtemáticos que o sucederm, tis como: Isc Newto (6-77), sucessor de Brrow (6-677), teve sus descoberts iiciis dtd dos primeiros meses de 66 qudo estudv o Triity Colege de Cmbridge Detre els, podemos destcr represetção de fuções por meio de termos de séries ifiits Após est descobert, Newto icsvelmete cotiuou seus estudos, dest vez só, pois um peste fez com que escol fosse fechd A prtir dí retorou su terr tl, cidde de Woolsthorpe Iglterr, ode fez descoberts icríveis tis como: o teorem biomil, que possibilitou Newto verificr que s operções efetuds com séries ifiits erm muito semelhtes s que erm usds pr epressões poliomiis ifiits 6

7 Outros mtemáticos de destques como Leibiz (66-76) resposável pel som ds séries ifiits e Jcques Beroulli (6-7) que se preocupou em ecotrr o limite com de epressões do tipo Porém, foi Euler (77-78) quem reuiu em um de sus obrs à su idéi e s de Newto, Leibiz e Beroulli, mipuldo s séries ifiits e obtedo ssim, resultdos que ehum de seus tecessores coseguiu chegr, pois, tomv cuiddo em ão trblhr com séries divergetes O estudo ds séries ifiits torou se um istrumeto muito importte pr o etedimeto do cálculo Neste trblho estudremos séries umérics e séries de potêcis com o objetivo de clculr itegrl de fuções que ão possuem primitivs epresss trvés de fuções elemetres Eemplos de tis fuções são 7 e, se e se O trblho está dividido em qutro cpítulos No Cpítulo, presetmos s séries umérics prtir de um eemplo prático, defiição de séries ifiits e em seguid estudmos s séries geométrics e série hrmôic, ode lismos covergêci dests séries No Cpítulo, estudmos os critérios de covergêci ds séries de termos ão egtivos utilizdo os testes de comprção e comprção por limite Aid form borddos os testes d itegrl, d série lterd, d rzão e d riz pr idetificr se s séries são covergetes ou ão Trtmos tmbém d covergêci bsolut Mostrmos trvés de um eemplo importâci d covergêci bsolut Iicimos o Cpítulo com o estudo ds séries de potêcis, que são séries que geerlizm oção de poliômio Apresetmos o Teorem d Covergêci de Série e ilustrmos este teorem trvés de eemplos Trblhmos com o importte teorem sobre séries de potêcis, que diz que sob determids codições, podemos derivr e itegrr termo termo série de potêcis E represetmos certos tipos de fuções como série de potêcis pel mipulção d série geométric, ou por derivção e itegrção de tis séries O Cpítulo trt de um técic mis gerl pr costrução de séries de potêcis Estudmos série de Tylor, ecotrremos represetções em séries de potêcis pr lgums fuções que ão possuem primitivs epresss por fuções elemetres e estudremos um cso especil d série de Tylor chmd de série de Mcluri, ode úic difereç etre ests séries é o cetro dels, pois série de Mcluri está cetrd em Ddo cotiuidde o Cpítulo, usmos teori de séries de potêcis pr clculr vlor

8 proimdo pr fução logrítmic, clculr limite de fução e clculr itegris que ão possuem primitivs epresss por fuções elemetres E filizdo com coclusão ode será eposto o que foi feito o trblho ssim como s dificulddes que tivemos o decorrer de su escrit 8

9 CAPÍTULO SÉRIES NUMÉRICAS Neste primeiro cpítulo estudremos s séries umérics, prtido de um situção problem que eemplific um situção semelhte que foi propost pelo filósofo Zeão pr formlizção do coceito de série ifiit (ver Itrodução) Em osso estudo veremos Série Geométric e Série Hrmôic prtido de sus defiições té chegrmos à álise de su covergêci e de sus proprieddes Prtiremos d seguite situção: Smuel Blustei possui um dívid o vlor de R$, que desej liquidr efetudo pgmetos d dívid sempre à metde do que deve Por eemplo, o primeiro mês efetu o pgmeto o vlor de R$,, o segudo mês R$, e o terceiro mês R$, e ssim por dite Problem como este os dei seguite idgção, será que em lgum mometo est dívid será liquidd? Se observrmos est divisão sucessiv do sldo o meio, teremos um ifiidde de resultdos como mostr o esquem bio: º Pgmeto, º Pgmeto, º Pgmeto, º Pgmeto 6, 9

10 Se cotiurmos dividir o sldo idefiidmete, som dests prcels será cosiderd um som ifiit, isto é; ou id;, 6,, Est som os lev pesr que o fil teremos sdo dívid, ms verdde temos: um som ifiit e ssim, ão será possível efetur o pgmeto totl, pois sempre eistirá um vlor ser pgo Podemos cosiderr cd vlor d som terior como elemeto de um seqüêci { } escrit d seguite form: ou id;,,,,,,,,,,, Cosidere sequêci { S } dd pel som dos pgmetos sucessivos efetudos pelo Sr Smuel Blustei, dí vem: S S S S S A sequêci { S } formd prtir d sequêci { } No que segue presetmos defiição forml de série ifiit é chmd de série ifiit Defiição Sej { } um sequêci de úmeros reis Chm-se de série ifiit sucessão { S } defiid d seguite form S Os úmeros,,,, são chmdos de termos d série ifiit O úmero diz-se termo gerl d série

11 O símbolo é usdo pr deotr série ifiit Os úmeros S, S, S, S, chmm-se soms prciis e S diz-se termo gerl ds soms prciis Eemplo Ecotre os qutro primeiros termos d sequêci de soms prciis { S } obteh um fórmul pr S em termos pr s séries bio: ) b ) l Solução ( )( ) O termo gerl d série é d seguite form Etão Como S ( ) ( ) ( )( ) S ( ) ( ) S S S S 7 7 S S, e Podemos reescrevê-lo usdo frções prciis ( )( ) ( ) ( ), temos:

12 ,, 7 ( ) ( ), Assim, como S vem que: S 7 ( ) ( ),, 7 9 ( ) ( ) ( ) ( ) Elimido os termos simétricos e simplificdo epressão, obtemos: fórmul que defie S, isto é, S ( ), ou id, S b) Como l, podemos reescrever o termo gerl d série utilizdo s proprieddes dos logritmos d seguite form, Etão S l l S l l S S ( l l ) ( l l ) l l l S S ( l l ) ( l l ) ( l l ) l l l S S ( l l ) ( l l ) ( l l ) ( l l ) l l l Como l l( ), temos: ( l l ), ( l l ), ( l l ), ( ) l l, l( ) l, l l

13 Assim, como S vem que: S ( l l ) ( l l) ( l l ) ( l l),, [ l( ) l ] [ l l( ) ] Elimido os termos simétricos e simplificdo epressão, obtemos: fórmul que defie S, isto é, S l l( ), ou l S, ou id l ( ) S Série Geométric Defiição : Chm-se série geométric, série d form q q q q q ode e q são úmeros reis diferetes de zero O úmero q é chmdo de rzão Eemplo Ecotre os qutro primeiros elemetos d sequêci de soms prciis { S }, e obteh um fórmul pr S em termos de pr série ( ) Solução Como S S, ( ) S S,, 8,9 ( ) ( ) S S,,8,96,6 ( ) ( ) ( ) S S,, 8,96,9,9968 ( ) ( ) ( ) ( ) temos:

14 ,,,,,, Assim, como S vem S, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) podo o umerdor em evidêci obtemos: S Portto, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) PG de rzão S Covergêci e Divergêci de Séries Defiição Cosideremos um série ifiit { }, e su seqüêci de soms prciis S Se lim S eistir e for igul S etão série é dit covergete e coverge pr S Cso lim S ão eist, ou ted pr o ifiito série será divergete Eemplo Determie se série ifiit é covergete ou divergete Se for covergete, ecotre su som ) b ) l ( )( ) Solução Do Eemplo sbemos que fórmul ds soms prciis é dd por Clculdo o limite de S, temos: S

15 lim lim lim D Defiição podemos cocluir que série ifiit é covergete e ( )( ) su som é b) Do Eemplo sbemos que fórmul ds soms prciis é dd por S ( ) Clculdo o limite de S, temos: ( ) lim l De cordo com Defiição temos: que série ifiit l é divergete l Teorem (Codição Necessári pr Covergêci) Se série ifiit é covergete, etão, o limite do termo gerl d série será ulo, isto é, lim Demostrção Sej { S } sequêci ds soms prciis pr série dd, e sej S som d série Etão lim S S Temos: tmbém que lim S S D defiição de limite de seqüêci, temos: que pr todo ε > eiste um úmero N tl que pr todo > implic S S < ε e S S < ε Etão pr todo > temos: S S S S S S S S S S < ε ε ε Portto, lim

16 Observção : Se lim, podemos cocluir que é divergete Este resultdo é cohecido como Teste d Divergêci Eemplo Alise covergêci d série Solução Sej o termo gerl d série, temos: lim lim lim lim Como lim, pelo Teste d Divergêci cocluímos que série é divergete Observção : Se o lim, ão implic ecessrimete covergêci d série, pois eistem séries divergetes pr qul o lim O eemplo bio ilustr est observção Eemplo Cosidere série l O termo gerl d série é l Temos: lim l l lim l lim l lim l Portto, lim, ms como vimos o Eemplo -b série é divergete, mostrdo ssim que recíproc do Teorem ão é válid 6

17 Proposição Cosideremos série geométric q Se q < etão série é covergete e covergirá pr som divergete S Por outro ldo, se q série será q Demostrção Sej q série geométric, ode su -ésim som prcil S q q q q q S é dd por: () Multiplicdo os dois membros por q temos: qs q q q q q Subtrido os termos de () por () membro membro temos: ( S qs ) ( q q q q q ) ( q q q q q ) () Observe que os termos irão se ulr, resultdo pes em ( q) S ( q ) ou id ( q) S ( q ) ( q ) Portto, com q S q ( q ) Alisdo o comportmeto d seqüêci de soms prciis S q temos: Se q <, observmos que q tede pr zero qudo tede Etão S tede pr q Logo série geométric é covergete Se q > observmos que q tede pr o ifiito, ssim como S tmbém tede pr o ifiito Logo série geométric é divergete Se q etão -ésim som prcil será S, ou sej, S Se Etão lim S, se > ou lim S se < Como série é divergete, se for pr q temos S Assim, se for ímpr Logo série geométric diverge 7 lim S lim S ão eiste, ão eiste

18 Série Hrmôic É tod série d form Eemplo 6 Mostre que série hrmôic é divergete Solução Pr mostrr que série divergete Temos: S S > é divergete, mostrremos que subseqüêci { S } S > S 8 9 > Geerlizdo chegmos S > N desiguldde cim, fzedo divergete 6 temos: S Assim subsequêci { } Como { S } possui um subseqüêci divergete etão sequêci { } S é divergete é S é Portto, série é divergete Teorem Se e b são séries ifiits covergetes com soms R e S, respectivmete, etão 8

19 é covergete e su som é S ) A série ( b ) b) A série ( b ) R é série covergete e que som é S c) Cosideremos c um costte ão-ul, série cs R c será covergete e su som será Demostrção ) Sejm R e S b b b s soms prciis ds séries e b, respectivmete Etão T ( b ) ( b ) ( b ) ( ) ( b b b ) R S, são s prciis d série ( b ) Como série lim R coverge pr R e série R e lim S S Assim, limt lim R S lim R lim S R S Portto, série ( b ) é covergete e su som é R S b) A demostrção é álog o item ) b coverge pr S, temos que c) Sejm R s soms prciis d série Etão ct c c c cr, c e c um costte ão ul são s soms prciis d série c Como série lim R R Assim, coverge pr R temos que 9

20 lim ct lim cr clim R cr Portto, série c é covergete e su som é cr Eemplo 7 Ecotre som d série Solução Sejm e b os vlores que formm o termo gerl d série, ou sej, [ b ] b Vmos chmr R e b S Temos: R, série geométric ode que é dd por e R q < Logo pel Proposição, série possui um som A série S, que pode ser escrit como, S é tmbém um série geométric ode possui um som que é dd por e q < Logo pel Proposição, série S Portto, som d série é O próimo teorem diz que o cráter de um série ão se lter qudo se crescet ou se retir um úmero fiito de termos

21 Teorem Sejm e b dus séries ifiits, diferido por um úmero fiito de termos Etão mbs s séries são divergetes ou covergetes Eemplo 8 Alise covergêci d série Solução A série dd é: A série é covergete, pois é série geométric com rzão q < A série difere d série geométric de rzão Teorem, série dd é covergete pes por um termo Logo, pelo

22 CAPÍTULO Neste cpítulo serão trblhdos os critérios de covergêci pr série de termos ão egtivos, ode bordremos os testes de comprção, comprção por limite e o teste d itegrl Estudremos s séries lterds, seu critério de covergêci e su estimtiv do resto Além disso, estudremos os testes d rzão e d riz que os permitem lisr covergêci de séries que possuem termos egtivos CRITÉRIOS DE CONVERGÊNCIA Séries de termos ão egtivos Defiição Um série N diz-se de termos ão egtivos se pr qulquer Teorem (Teste d Comprção) Sejm egtivos tis que b, N i) Se série ii) Se série b é covergete etão série é divergete série b é divergete e é covergete b séries de termos ão Observção : Pelo Teorem podemos observr que omissão de um úmero fiito de termos ão lter turez d série Assim, podemos plicr o teste d comprção lisdo codição b pr, ode é um úmero turl fido Eemplo 9 Determie se s séries ifiits são covergetes ou divergetes ) ) 6 b

23 Solução ) A série dd é: Comprdo o -ésimo termo dess série com o -ésimo termo d série geométric covergete, Temos: ( 6 < 6, Pr todo iteiro positivo q < ) Assim sedo, pelo Teste de Comprção, (Teorem i), série dd é covergete b) A série dd é: Comprdo o -ésimo termo dess série como o -ésimo termo d série hrmôic que é divergete, temos: > pr todo iteiro positivo Logo, pelo Teste de Comprção (Teorem ii), série dd é divergete Teorem (Teste de Comprção por Limite) Supohmos e b dus séries ode > e b >, pr qulquer que sej N i) Se lim c, com c > etão e b mbs covergem ou mbs divergem b ii) Se lim b e b coverge, etão coverge iii) Se lim b e se b diverge, etão diverge

24 Eemplo Determie se s séries ifiits são covergetes ou divergetes: ) c 6 b ) e ) Solução ) Chmremos de b o -ésimo termo d série geométric 6 que sbemos ser covergete, e de o termo gerl d série 6 Etão, 6 6 lim lim lim lim lim lim 6 6 b Assim sedo, (pel prte i) do Teste de Comprção por Limite, segue que série dd é covergete b) Sej b o -ésimo termo d série geométric e com rzão q e que é meor que, portto é covergete (Proposição ), e o -ésimo série lim b e lim e lim e e Etão, Assim sedo, (pel prte ii) do Teste de Comprção por Limite, segue que série dd é covergete c) Sej o -ésimo termo d série dd por e sej b o -ésimo termo d série que sbemos ser hrmôic que é divergete Etão, lim b lim lim lim

25 lim lim lim Assim sedo, (pel prte iii) do Teste de Comprção por Limite, segue que série divergete é Teorem 6 (Teste de Itegrl) Cosideremos série um úmero turl p e um fução f :[, ) f pr p Nests codições temos: p i) Se p ii) Se e supohmos que eistem p R, cotíu, positiv e decrescete tl que f d for covergete etão série tmbém covergete p f d for divergete etão série é divergete p Observção : Nosso estudo bordrá eemplos que trtm de fuções f cotíu, decrescete e com vlores positivos pr todo Etão, série ifiit, f f f f f ou id f será covergete, se itegrl imprópri f d eistir e será divergete se itegrl imprópri f d for divergete Eemplo Use o Teste d Itegrl pr determir se s séries são covergetes ou divergetes ) b) Solução f Etão f ' ) Sej

26 Como ' < f pr >, segue que f é decrescete pr > Além disso, f é cotíu e seus vlores são positivos pr todo > Assim, s hipóteses do Teste d Itegrl estão verificds Temos: Logo, ou sej, d d c c lim b f d f d, b d lim b b Portto, d covergete lim b b Dess form, com utilizção do (Teorem 6), série é f Etão f ' b) Sej Como ' < f pr >, segue que f é decrescete se > Além disso, f é cotíu Assim, s hipóteses do Teste d Itegrl são stisfeits Temos: Logo: Isto é, d d c lim b f d f d b c c b d lim d lim lim b b b b b Portto, pelo Teorem 6, série é divergete 6

27 Eemplo Mostre que série hiper-hrmôic p, é covergete pr p > e divergete pr p Solução Se pr p < temos: divergete Se pr p temos: divergete Vmos lisr qudo > lim p, etão pelo Teste d Divergêci série p lim p etão pelo Teste d Divergêci, série p p Cosideremos um fução f :[, ) é é R tl que f É fácil ver que f é cotíu e positiv o seu domíio Aid, f é decrescete p p p p pr todos os potos do domíio, pois f '( ) ( )' p é meor que zero pr p Lembrdo, o Teste d Itegrl diz que série imprópri Se p <, temos: f d coverge (diverge) b p p b f b p b p b p p p coverge (diverge) se itegrl d lim d lim lim b Logo, série Se p >, temos: p é divergete b p b p b p b b p b p p p f d lim d lim lim Logo, série p é covergete Pr p, ecotrmos série, que sbemos ser divergete (Eemplo 6) 7

28 Portto, série p > p (hiper-hrmôic) será divergete pr p e será covergete se Eemplo Determie se série ifiit é covergete ou divergete: Solução Sej dd por f fução cotíu e positiv em R, com f A derivd de f é ( ) f ' < pr > Assim, f é decrescete pr > Temos: s 6 ( ) hipóteses do Teste d Itegrl stisfeits Ecotrdo fmíli de primitivs pr fução f, temos: Etão, Ou sej, ( ) d lim b f d f d, b b d lim b ( ) ( ) ( ) d ( ) c ( ) c lim b lim b ( ) d b ( b ) ( ) 8

29 Portto, d é divergete Dess form, com utilizção do Teorem 6, série ( ) dd é divergete Séries Alterds Defiição Um série é dit lterd se seus termos são positivos e egtivos, lterdmete Assim, se >, pr todo iteiro positivo, etão podemos dizer que série lterd pode ser escrit de dus forms ( ) ou ( ) Eemplo Dê lgus eemplos de série lterds ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) l l l l l l l l l l l ( ) b) ( ) ( ) 6 8 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 7 ( ) ( ) ( ) c) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Teorem 7 (Teste de Séries Alterds) Se série ( ) ou ( ), ode > stisfz s seguites codições: 9

30 i), ii) lim, etão série dd será covergete Eemplo Determie se série é covergete ou divergete, pelo método ds séries lterds: ( ) b ) ( ) c ( ) ( ) ) ) Solução ) A série dd é 6 7 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) Comprdo os termos e d série, observmos que codição i) foi stisfeit, pois ou sej, ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 7 9 ( )( ) ( ) pr todo iteiro positivo Clculdo o limite do -ésimo termo, temos: lim lim ( ) lim Como lim, codição ii) do Teorem 7, tmbém foi stisfeit Portto, segue do Teste de Séries Alterds, que série dd é covergete b) A série dd é ( ) ( ) ( ) 6

31 Comprdo os termos e pois 6 ( )( ) ( )( 6 ) ( 6 )( ) ( )( ) ( )( 6 ) ( 6 )( ) etão > ( 6 ) ( ) Clculdo o limite do -ésimo termo, temos: lim lim lim d série, observmos que codição i) ão foi stisfeit, Como lim, codição ii) do Teorem 7 ão foi stisfeit, segue do Teste de Séries Alterds, que série é divergete c) A série dd é Comprdo os termos e Ou sej, ( ) ( ) ( ) Pr todo iteiro positivo Clculdo o limite do -ésimo termo, temos: lim lim d série, observmos que codição i) foi stisfeit, pois Como lim, codição ii) do Teorem 7, tmbém foi stisfeit

32 Portto, segue do Teste de Séries Alterds, que série dd é covergete Observção : A série do eemplo terior recebe um ome especil de série hrmôic lterd Defiição 6 (Defiição de Resto) Se um série ifiit for covergete e su som for S, etão o resto obtido qudo proimmos som d série pel k-esim som prcil S k, deotdo por R k, será ddo por R k S S k Teorem 8 (Estimtiv de Resto) Cosidere série lterd ( ) ( ) ou, ode > e pr todo iteiro positivo, e lim Etão, se R k for o resto obtido qudo proimmos som d série pel som dos k primeiros termos, Rk k Eemplo 6 Ecotre um proimção pr som d série ( ), com precisão de! té css decimis Solução Como podemos observr, série dd é um série lterd em que o termo de ordem é meor que o termo de ordem, e id o limite de seu termo gerl é igul à zero, stisfzedo s codições do Teorem 7 Logo, série dd é covergete Sejm S ( ) e! S k Clculdo os termos d série ( ) ( ) k -ésim som prcil k k! ( ) temos:! ;! ( ), ;! ( ),66 ;! 8 ( ),66 ;! 8

33 ( ), ; 6! 8 ( ),8 7! 8 ( ) 6 6,7; 6 6! 68 ( ) 7 7, 7 7! 6 Pr que possmos ecotrr som dos termos com proimção de qutro css decimis, devemos descosiderr o termo 6 o somtório ds soms prciis, pois este termo possui qutro css decimis uls pós vírgul o que ão fet o somtório Temos, S S, Portto, S, 66 com precisão de qutro css decimis Assim podemos observr que R 6 Covergêci Absolut Defiição 7 Um série ifiit é dit bsolutmete covergete se série que é formd por vlores bsolutos tmbém for covergete Eemplo 7 Verifique se s séries bio são bsolutmete covergetes ) ( ) b) ( ) Solução ) A série dd é ( ) ( ) E série de vlores bsolutos é dd por Como visto o Eemplo 7, série de vlores bsolutos é covergete Portto série dd iicilmete coverge bsolutmete,

34 b) A série dd é 8 7 ( ) ( ) E série de vlores bsolutos é dd por 8 7 é, est série ode, multiplicdo desiguldde por Como visto o Eemplo ) série, qulquer que sej IN, com, o seu deomidor, ecotrmos é covergete ssim temos: que pelo Teste d Comprção, série e covergete, e ssim série ( ) será bsolutmete covergete Covergêci Codiciol Defiição 8 Um série diz-se codiciolmete covergete se for covergete, ms ão bsolutmete covergete Eemplo 8 Verifique se série ( ) coverge codiciolmete Solução A série dd é ( ) ( ) ( ) Comprdo os termos e d série, observmos que codição i) do Teorem 7 foi stisfeit, pois 6

35 ou sej, ( 6) ( 6 )( ) ( 6 )( ) < pr todo iteiro positivo Clculdo o limite do -ésimo termo, temos: lim lim Como lim, codição ii) do Teorem 7, tmbém foi stisfeit Portto, segue do Teste de Séries Alterds, que série dd é covergete Ms plicdo do Teste de Comprção por limite série módulo série hrmôic, temos: lim lim lim, em relção à Como série hrmôic é divergete, cocluímos que série módulo tmbém diverge, logo série ( ) é codiciolmete covergete Rerrjo de Séries Defiição 9 Por rerrjo de um série, queremos dizer um série obtid simplesmete muddo ordem dos termos, possivelmete um úmero ifiito deles, ou sej, em um série qulquer, se modificrmos posição de seus elemetos, obtemos um ov série chmd de série rerrjd em relção origil Teorem 9 i) Dd um série, se el for bsolutmete covergete com som R, etão qulquer mudç de posição em relção seus elemetos tmbém terá som R

36 ii) Se um série, for codiciolmete covergete, etão podemos rerrjá- l e ecotrr um ov som O Teorem 9 poderá ser verificdo fzedo-se lgums operções série hrmôic lterd observdo o seu comportmeto Como visto o Eemplo, série hrmôic lterd é covergete e pel Defiição 8 el é codiciolmete covergete Etão sej, R () Multiplicdo série por e iserido três zeros etre cd elemeto, temos: R () 8 6 Adiciodo () com () ecotrmos R, ssim podemos observr plicção do Teorem 9 observdo que est ov série possui os mesmo elemetos d série (), só que orgizdos de outr form com som diferete d série origil Teorem Se série ifiit for bsolutmete covergete, el será covergete e Teorem (Teste d rzão) Sej i) Se lim L <, etão série com é bsolutmete covergete; ii) Se lim L > ou lim, etão série será divergete; 6

37 iii) Se lim, série poderá ser covergete ou divergete, ão podemos firmr d Eemplo Determie se s séries são covergetes ou divergetes: ) ( ) ) ( )! c b ) Solução ) Sejm ( ) e ( ) Temos, ( ) lim lim lim ( ) ( ) ( ) < Segue, pelo Teste d Rzão, que série dd é bsolutmete covergete e, portto, pelo Teorem, el é covergete b) Sejm ( ) e ( ) Temos: lim ( )!! ( ) ( ) ( )!! ( )! ( ) lim lim ( ) lim! Etão, lim Portto, série dd é divergete c) Sejm e Temos, ( ) 7

38 ( ) lim lim lim lim Portto, ehum coclusão quto à covergêci pode ser tird do teste Ms podemos observr que série correspode um série do tipo dit hiperhrmôic (Eemplo ), ode p >, logo série coverge p Teorem (Teste d Riz) Sej um série qulquer i) Se lim L < etão é bsolutmete covergete; ii) Se lim L > ou lim etão é divergete; iii) Se lim L ehum coclusão reltiv à covergêci pode ser tird do teste Eemplo Use o Teste d Riz pr determir se s séries são covergetes ou divergetes: ) ) b c) Solução ) Sej o termo gerl d série Aplicdo o Teste d Riz teremos; lim lim lim lim < Portto, série é covergete b) Sej o termo gerl d série Aplicdo o Teste d Riz temos, 8

39 lim lim lim Portto, série dd é divergete c) Sej o termo gerl d série Aplicdo o Teste d Riz, temos; lim lim lim Temos um idetermição do tipo o l, etão; Chmremos o limite de um úmero L e plicremos lim L l lim l L lim l l L lim l ( ) l L lim l ( ) l L l lim l L Aplicdo regr de L Hospitl pr o cálculo do limite temos, l lim l L lim l L l L lim l L L Portto, ehum coclusão quto à covergêci pode ser tird do teste Agor, observemos que série dd é série hiper-hrmôic, e como visto o Eemplo, série é covergete 9

40 CAPÍTULO SÉRIES DE POTÊNCIAS As séries de potêcis de são um geerlizção d oção de poliômio Defiição Chm-se série de potêcis de com coeficietes,,,,,,, qulquer epressão d form Um eemplo muito importte pr os estudos ds séries de potêcis é série, ode pr qulquer que sej Como visto Seção, temos: um série geométric ode o primeiro termo é e rzão é, dí podemos verificr pel Proposição, se < < < série será covergete e covergirá pr divergete, se série será De form gerl, podemos represetr um série de potêcis por ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) que é deomid série de potêcis cetrd em (ou id o redor de ), Se cosiderrmos pr todo série ( ), temos: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) que é um série geométric ode o primeiro termo é e rzão é Alisdo covergêci d série, temos: de cordo com Proposição, que el será covergete pr < < < < < e divergete pr ou

41 Um série de potêcis pode covergir pr lgus vlores de e divergir pr outros, como pode ser observdo série presetd cim A série de potêcis covergete defie um fução, cuj som é dd por f cojuto de todos os pr os quis série coverge, e o seu domíio de covergêci é o Teorem (Teorem d covergêci pr série de potêci) Sej série: ( ) um série de potêcis Eistem três possibiliddes pr covergêci d i) A série coverge pes qudo ; ii) A série coverge pr todo R ; iii) Eiste um úmero rel positivo R tl que série coverge se < R e divergete se > R O úmero R é chmdo de rio de covergêci Covecio-se que o rio R, qudo série coverge pes qudo todo R, e o rio R qudo série coverge pr O cojuto de todos os vlores de pr os quis série coverge é chmdo de itervlo de covergêci Eemplo 9 Ecotre o rio e o itervlo de covergêci de cd um ds séries dds ) ( ) b ) Solução ) Pr série dd temos: c) d ( ) ( l ) )! e Assim, plicdo o teste d rzão, lim lim lim lim lim ( )

42 Logo, pelo Teste d rzão série de potêcis é bsolutmete covergete qudo < A série é divergete qudo > O rio de covergêci é R Se ±, o Teste d Rzão flh Qudo, série de potêcis dd tor-se: que é divergete, pois correspode um série hrmôic Qudo temos: ( ) que é covergete, pois correspode um série hrmôic lterd do tipo ( ) Cocluímos, etão que o itervlo de covergêci d série de potêcis dd é < A série é bsolutmete covergete qudo < < e é codiciolmete covergete qudo Se < ou, série é divergete b) Pr série ( ) temos:, ( ) ( ) e Assim, plicdo o teste d rzão vem que lim lim ( ) ( ) lim Logo, série de potêcis é bsolutmete covergete qudo < ou equivlete < <, isto é, < < A série será divergete qudo < O rio de covergêci é R Pr os csos em que e, temos: se série é > > ou

43 ( ) ( ) ( ) ( ) que correspode um série geométric de rzão q Logo pel Proposição série é divergete Se série será ( ) que correspode um série geométric de rzão q Logo pel Proposição série é divergete, c) Vmos utilizr o Teste d Riz pr obter: lim lim lim lim, l l ( l ) pelo Teorem podemos observr que lim < e ssim cocluir que série coverge pr todos os vlores de, logo o itervlo de covergêci é ], [ e o rio de covergêci é R d) Como vimos o Teorem, série coverge em coverge pr, pois est cetrd este vlor, ou sej, série ( )! Vmos utilizr o Teste d Rzão pr verificr se série coverge pr vlores de Etão,! e! dí ( ) ( )!( )! lim lim lim ( )( ) Portto, série é divergete pr todos os vlores de e covergete pes pr e o seu rio de covergêci R

44 Derivção e Itegrção de Séries de Potêcis Vimos Seção que série, coverge e coverge pr qudo < < < Em gerl dd um série de potêcis, coseguimos determir o itervlo de covergêci, ms ão ecotrmos um epressão pr fução som E prtir d mipulção d série geométric poderemos represetr lgums fuções trvés ds séries de potêcis, ou id utilizdo diferecição e itegrção de séries de potêcis cohecids Mipuldo série geométric () com substituição de por lgus vlores e dmitido < < < temos, se substituirmos por, obtemos iguldde 6 8, () Assim podemos observr série cim cotém os termos d série (), em que o epoete é pr, ms se multiplicrmos série por obtemos um som de potecis ímpres, ou sej 7 9 Se substituir por em (), temos ( ), < < < Se substituirmos por em (), temos 6 8, < < < Outro eemplo de mipulção d série geométric correspode determição de um série de potêcis pr represetr um fução Ou sej, dd fução f, podemos observr su semelhç com série (), etão vmos mipulr fução pr chegr série geométric Logo dividido umerdor e deomidor por temos,

45 f Podemos observr que epressão etre prêteses é semelhte fução represetção em série dd por ( ) Substituido por série cim e chegmos ( ) 8 6 que tem Portto, f ( ) itervlo de covergêci < < < f, ou id, ( ), com Teorem (Derivção e itegrção termo termo) Sej um série de potêci com R > Etão fução f defiid o itervlo R < < R é derivável, cotíu e podemos clculr, i) ; f ' ( ) ( ) f d C ii) Observção 6: O rio de covergêci d derivd e d itegrl é o mesmo rio d série determid pel fução f ( )

46 Eemplo Ecotre um represetção em séries de potêcis pr cd um ds fuções e determie o itervlo de covergêci ) f ( ) b) g l c) h rctg Solução ) Observdo fução g g '' ( ), se clculrmos su derivd segud, ecotrmos, cujo resultdo é semelhte fução f ( ) Como queremos represetr fução f ( ) como série de potêcis, etão vmos utilizr o Teorem e mipulção d série geométric como foi visto Seção Temos, ( ), cujo o rio de covergêci é < < < Derivdo mbos os membros d iguldde té segud ordem temos: ( ) ( ), ou sej, Logo, represetção em série de potêcis de f ( ) é < < < ( ) ( ), com b) A fução g l pode ser obtid prtir d d l C Etão pr que possmos represetr g( ) como série de potêcis, prtiremos do que foi visto Seção, ou sej, fução f ( ) com < < < Aplicdo o Teorem e itegrdo os dois membros d iguldde ( ), obtemos l C,com rio de covergêci ( ) < < < 6

47 Como represetção cim vle pr todos os vlores de pertecetes o itervlo < <, etão vmos fzer, temos l C l C ( ) l l Portto ( ) c) Clculdo derivd de h h ' Assim, ( ) ( ) rctg, pr elimirmos costte C Logo, pr, obtemos h ', h rctg d Substituirmos < < < itegrl temos ( ) ( ) d ( ) c Pr clculr o vlor d costte c, fremos Logo, h rctg ( ) c c Portto, série de potêcis pr fução h < < < D Seção temos rctg é ( ) com 7

48 CAPÍTULO Até o mometo, ecotrmos represetções em séries de potêcis pr cert clsse restrit de fuções Nest seção estudremos um técic mis gerl pr costrução de séries de potêcis Com o uílio de séries clculremos itegris de fuções que ão possuem primitivs epresss por fuções elemetres Séries de Tylor Como foi visto teriormete, um série de potêcis pode represetr um fução qudo for covergete Por eemplo:, pr < Trblhos otáveis relizdos o setido d ssocição de fuções e séries form desevolvidos pelos mtemáticos Brook Tylor (68-7) e Coli McLuri (698-76) A idéi propost por Tylor er supor que um fução poderi ser escrit form de um série de potêcis, ou sej, ou f f Como vimos o Teorem, s fuções defiids por séries de potêcis possuem derivds em tods s ordes, e s séries ds derivds covergem o mesmo itervlo de covergêci d série iicil Clculdo s derivds té ordem temos: f ' f '' f ''' f ( ) ( ) 8

49 Fzedo f, fução f e s derivds obtemos: f ' f '' f ''' f! Isoldo o -ésimo termo obtemos, ( f )! Assim, substituido o -ésimo termos fução f ( ) ou sej, f f!, ecotrmos f ' f '' f f f ( ) ( ) ( ),!!! est epressão é deomid de série de Tylor Eemplo Ecotre série de Tylor de ordem gerd por f em b) g ) f e π c) h cos π se d) f l Solução ) Clculdo s derivds de tods s ordes ecotrmos; ( ', f '' e, f ''' e ) f e Avlido f e e sus derivds em ( ) '( ) ' f f f f e A série de Tylor é dd por 9 f e pr, temos: f ' f '' f f f ( ) ( ) ( )!!!

50 Como temos, f '() f ''() f '''() f () f f () ( ) ( ) ( ) ( )!!!! Portto, e e e e f e ( ) ( ) ( ) ( )!!!! ou sej, e f ( )! b) Clculdo s derivds de tods s ordes ecotrmos; cos, g '' se, ''' g ' g cos g Avlido g cos, pr,,9, se, pr,6,, cos, pr,7,, se, pr,8,, se e sus derivds em pr π π g se, π, temos: g ' π cos π π π, g '' se, π π g ''' cos, A série de Tylor é dd por g π π se g ' g '' g g g ( ) ( ) ( )!!!, g π π cos π Como temos, π π π π g ' g '' g ''' g π π π π π g g!!!! Portto, π π π g π!!!!

51 π π π π π g ( )!!! ( )! ( )! c) Clculdo s derivds de tods s ordes ecotrmos; h ' se, '' ( h ) se h cos, ''' h se, ( ) h cos, h se, pr,,9, cos, pr,6,, se, pr,7,, cos, pr,8,, Avlido h cos e sus derivds em pr π h( π ) cosπ, h '( π ) seπ, ( π ) h ''' se π, A série de Tylor é dd por Como Portto, ou sej, ( ) h π cosπ,, temos: h '' π cosπ, h ( ) ( π ) seπ h ' h '' h h h ( ) ( ) ( )!!! π temos, h'( π ) h''( π ) h'''( π ) h ( π ) h h( π ) ( π ) ( π ) ( π ) ( π )!!!! h ( π ) ( π ) ( π ) ( π )!!!! ( π ) h ( π ) ( π ) ( )!!! d) Clculdo s derivds de tods s ordes ecotrmos; f ' f, f '', f ''' ( ) 6, f ( ), f, ( ) ( )!

52 Avlido f l e sus derivds em pr, temos: f l, f ' A série de Tylor é dd por f ''',, f '' ( ), f ' f '' f f f ( ) ( ) ( )!!! Como, temos ou sej, ou id, Portto, ( ) 6 f 6, f '() f ''() f '''() f f f () ( ) ( ) ( ) ( )!!!! ( ) ( )! f ( ) ( )!!!! ( ) ( ) ( ) ( ) f pr < ( ) Série de Mcluri ( ) f pr < A série de McLuri é um cso especil d fórmul de Tylor qudo, ou sej, prtido d série de Tylor f ' f '' f f f ( ) ( ) ( ),!!! e fzedo, temos form gerl d Série de McLuri que é dd por ou id f () f () f () f f ()!!! f () f! Eemplo Desevolver s fuções bio em série de McLuri b) g se c h ) f e ) cos

53 Solução ) Clculdo s derivds em tods s ordes d fução f e, e vlido em, temos:, f ' e f ' e, f e f e f e f e, f ''' e f ''' e f e f e f ''() f () e f () f '()!! e e e e e e ( ) ( ) ( )!!!! Logo série de McLuri é dd por e!!!! '' '', b) Clculdo s derivds em tods s ordes d fução g temos: se, e vlido em, g se g(), g ' cos g '(), g '' se g ''(), g ''' cos g '''(), g se, etão g (), Assim, g ''() g () g g!! se () '() Logo série de McLuri é dd por: 7 ( ) se!! 7!! ( ) c) Clculdo s derivds em tods s ordes d fução h cos temos:, e vlido em, h cos h(), h ' se h '(), h '' cos h''(), h ''' se h'''(), h cos h (), Assim, h''() h () h h!! cos () '() Logo série de McLuri é dd por:

54 ( ) ( ) cos ( )!!!! Combido Séries de Tylor Nest seção ecotrremos série de Tylor pr lgums fuções prtir de séries de Tylor obtids seção terior Eemplo Determie Série de Tylor pr cd um ds fuções bio b) g e c) h se d) i cos ) f e f ) l se g) m e) j se rctg Solução g ) Como vimos o Eemplo, represetção d fução Pr determir f e!!! vmos substituir por em e em séries de potêcis é, ou sej,! Portto, represetção em série de Tylor pr fução f e é g b) No eemplo terior os referimos fução potêcis é epressão Queremos represetr g e! dí vem que! g! ( )! e, cuj represetção em séries de, etão vmos substituir g e é Portto, represetção em série de Tylor pr fução! e, pel h c) Pr fução se, podemos utilizr idetidde trigoométric se cos e ssim como vimos o Eemplo fução

55 f cos ( )! Substituido por, temos Etão, cos g! ( cos ) ( cos ) h se h ( ) ( ) ( ) h ( )! ( )! h Portto, série de Tylor é h! d) Um idetidde trigoométric os uilirá determição d série de Tylor pr fução i cos ( se) Como visto o Eemplo fução se g Etão, Substituido por temos:! ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) se! cos i i!! i ( ) ( )! Portto, série de Tylor é i ( ) ( )! e) Vimos o Eemplo que se de Tylor pr fução j se, temos: Como queremos determir série! ( ) ( ) ( )! ( )! j Logo, represetção em série de Tylor é j! ( )

56 f) Pr ecotrrmos série de Tylor pr fução e substituir por ( )! se se ( ) ( )! ( )! l ode ecotrremos se, vmos cosiderr Portto, represetção em série de Tylor pr fução! l ( ) l se é g) Pr represetr m rctg como série de Tylor, vmos utilizr represetção pr ( ) vist o Eemplo Como m f rctg substituido rctg ( ) ( ) m, temos Portto, série de Tylor pr fução propost é m ( ) rctg rctg, Covergêci de séries de Tylor Dd um fução com derivds de tods s ordes, podemos escrever série de Tylor correspode Surge seguite questão: série, o seu itervlo de covergêci, represet fução? Isto é, fução é igul à som d série de Tylor o seu itervlo de covergêci? Em gerl, respost é egtiv No livro Thoms pági 6, o utor preset um eemplo, que mostr um fução cuj série de Tylor coverge pr todo, ms coverge pr f ( ) pes em O Teorem 6 forece codição suficiete pr que ocorr iguldde Ates de euciá-lo precismos d Defiição e do Teorem Defiição Cosideremos um fução f com tods s derivds té ordem e um itervlo cotedo Etão pr N defiimos Poliômio de Tylor por 6

57 f ' f '' f P f ( ) ( ) ( )!!! Teorem Se f um fução derivável té ordem em um itervlo berto I, com I, etão pr todo I eiste um úmero c etre e tl que, f P R, ode R () f ( ) ( )! ( ) ( c) é chmdo de resto Teorem 6 Se f P R, ode P o poliômio de Tylor de gru e R ( ) o resto d série de Tylor de f em, e lim R pr < R, etão f é igul som d série de Tylor este itervlo, e escrevemos f ( ) f! Aplicções ds Séries de Potêcis Nest seção usremos teori de séries de potêcis pr clculr vlor proimdo pr fução logrítmic, clculr limite de fução e clculr itegris que ão possuem primitivs epresss por fuções elemetres Eemplo Clcule o vlor proimdo do l(,8) com precisão de css decimis Solução Como vimos o Eemplo, fução f l é represetd pel série de Tylor ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Desevolvedo o somtório obtemos 7 f l f l ( ) ( ) por,8, série Logo,, ou sej, Etão vmos clculr o vlor de l(,8), substituido ( ) (,8 ) ( ) (, ) f (,8) l,8

58 (,) (,) (, ) (,) l,8, l(,8),,, 667,,6 l(,8), Eemplo 6 Avlie itegrl idefiid Solução Como vimos o Eemplo série ( ) itegrl idefiid séries de potêcis Logo Portto, rctg d rctg d como um série de potêcis rctg, vmos substituir fução rctg ( ) rctg d ( ) d d itegrl ( ) ( ) ( ) rctg d em série de potêcis é Etão pr clculrmos, por su represetção em ( ) ( ) rctg d C Eemplo 7 Avlie s itegris bio utilizdo série de potêcis b) ) e d se d Solução f e ) No Eemplo vimos que, se substituirmos por!, obtemos g ( ) ( ), se substituirmos este vlor itegrl, temos; e!! 8

59 ( ) ( )!! e d d d ( ) ( d) ( )!!! Portto, itegrl idefiid é dd por e d b) Vimos seção terior que se ( ) ( ) Queremos clculr! se d, etão vmos mipulr epressão d série do seo, ou sej, multiplicdo mbos os membros d iguldde por, obtemos: se se Substituido itegrl temos Portto, ( )! ( )! se d ( ) d d ( )!! ( d)!! ( ) ( )! ( ) se d Eemplo 8 Clcule s itegris defiids como série de potêcis com precisão de té css decimis idicds, ) d, 6 ) b se d, Solução ) Como vimos itrodução de séries de potêcis série, pr < Substituido por, temos 9

60 8 6, pr <, ou sej, termo Etão, Vmos substituir est epressão itegrl e itegrá-l termo ou sej, d ( ) d ( ) C d ( ) C, Adotdo C e clculdo itegrl defiid obtemos 9 7 d ( ) 9 7 ( ) ( ) Negligecido prtir do terceiro termo do somtório temos,,, 6,99996 d b) Pr fução f se( ) potêcis ( ) termo termo Etão,, vimos o Eemplo que er represetd pel série de Etão vmos substituir est epressão itegrl e itegrá-l! ( ) 6 se d d C!! 7 ( ) ( ) ( ) se d C!! 7! 7!! Adotdo C e clculdo itegrl defiid obtemos; 7 se ( ) ( ) ( ) d!! 7! 7!! 7!! 7! 7!

61 Negligecido prtir do quito termo do somtório chegmos que se d,, 8,9 Eemplo 9 Use s séries pr vlir os limites bio rctg ) lim se 6 b) lim Solução ) Vimos o Eemplo que rctg 7 Etão vmos 7 substituir Portto, 7 rctg rctg, em lim, temos; lim lim rctg lim 7 b) No Eemplo mostrmos que se 7, etão!!! 7! ( ) substituido 7 se em!! 7! se lim 6, temos !! 7! 9! 6 lim lim! 7! 9! lim! 7! 9!! se Portto, lim 6 6

62 Eemplo Sej f ( ) ( ) f '' f Clcule série pr f ''( ) e verifique que! Solução 6 f, derivdo primeir vez obtemos;!!! 6! Como ( ) 6 f '( )!! 6!!! Derivdo ovmete temos f ''( )!! f ''!! f ''!! f Portto, verificmos que f '' f 6

63 CONCLUSÃO Nesse trblho form presetds s séries umérics e os procedimetos dotdos pr determição de um fórmul pr su som prcil, prtir de observções feits os termos de ordem e ordem Vimos id lgus tipos especiis de séries, tis como série geométric, série hrmôic, série lterd ode lismos su covergêci Estudmos estimtiv de resto pr série lterd Alismos covergêci de séries umérics usdo os testes de comprção, comprção por limite, teste d itegrl, teste d rzão e d riz N segud prte do osso trblho, tivemos oportuidde de trblhr com s séries de Tylor e McLuri Esss séries os possibilitm o cálculo de proimções ds fuções logrítmics, epoeciis e trigoométrics Clculmos itegris e limite de fuções com uílio de séries de potêcis Filmete, este trblho foi de grde importâci pr ós Percebemos deficiêci que osso curso de grdução os deiou e por cus dest deficiêci tivemos lgus problems o escrevê-lo, ms como tudo oss vid vem pr o bem, est moogrfi tmbém teve um grde ppel em oss formção, ssim cotiuremos em oss busc icsável pelo cohecimeto, efretdo brreirs e chegdo cd vez mis loge 6

64 BIBLIOGRAFIA LEITHOLD, L, O Cálculo com Geometri Alític, Vol, ª edição São Pulo, Hrbr, 99 STEWART, J, Cálculo, Vol, ª edição São Pulo, Editor Thomso, 6 THOMAS, GB, Cálculo, Vol, São Pulo, Perso Brsil, APOSTOL, T M, Cálculo, Vol, São Pulo, Ed Reverté Ltd, 6 GUIDORIZZI, H L, Um Curso de Cálculo, Vol, ª edição Rio de Jeiro, LTC Livros Técicos e Cietíficos, 6

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