5- Método de Elementos Finitos Aplicado às Equações Diferenciais Parciais.

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1 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS 5- Método de Elemetos Fiitos Aplicdo às Equções Difereciis Prciis Breve Itrodução Históric Solução de Equções Difereciis Ordiáris: Prolem de Vlor de Cotoro Solução de Equções Difereciis Prciis: Prolem de Vlor de Cotoro.

2 5.1- Breve Itrodução Históric. - Glerki ( ) foi o primeiro estudr soluções proximd (soluções em espços de dimesão fiit) de prolems vriciois defiidos em espços de dimesão ifiit. Este método é cohecido como Método de Glerki. - Argyris e Kelsey (1954) presetrm o Método de Elemetos Fiitos em trlhos relciodos egehri eroáutic. - Etre os os 1960 e 1990 form desevolvidos os pricipis Métodos de Elemetos Fiitos cohecidos hoje. Iicilmete form desevolvidos MEF pr prolems d mecâic dos sólidos e egehri civil. Posteriormete, estes MEF form plicdos à mecâic dos fluidos. Juto todo este desevolvimeto form se solidificdo s ses mtemátics do MEF. Atulmete, o desevolvimeto de MEF é feito detro d teori do Aálise Fuciol plicd Prolems Vriciois (semelhte os trlhos iiciis de Glerki).

3 5.2- Solução de Equções Difereciis Ordiáris: Prolem de Vlor de Cotoro. Atulmete o MEF é usdo um vst gm de plicções. Aqui presetremos os fudmetos deste método pr um Prolem de Vlor de Cotoro em Um Dimesão. Especificmete, pr um prolem determido por um EDO lier de segud ordem com codições de cotoro (Equção d difusão-dvecção-reção uidimesiol). Chmremos este Prolem de Vlor de Cotoro (PVC) de Prolem Modelo. Trdiciolmete o PVC é descrito Formulção Forte: d du( x) du( x) { L( u) k + ω + { σ u( x) = { g( x) x Ω = ], [ EDO dx dx dx erecil Reção Fote Exter Operdor Dif Difusão u( ) = u, Codição u( ) = u. de Dirichlet Advecção

4 5.2- Solução de Equções Difereciis Ordiáris: Prolem de Vlor de Cotoro. Ou sej, Formulção Forte do PVC cosiste em ecotrr fução u S Forte tl que stisfz: d du( x) du( x) { L( u) = { g( x) ou k + ω + { σ u( x) = { g( x) x ], [ EDO dx dx dx Operdor Fote Exter Reção Fote Exter Difusão Advecção u( ) = u, Codição u( ) = u. de Dirichlet ode k( x), ω( x), σ ( x), g( x) são fuções regulres cohecids e u são dois úmeros reis. O cojuto S Forte é o espço solução d formulção forte. Defiição (Bem Posto de Hdmrd): Um prolem é dito ser Bem Posto se: - tem um úic solução, - e solução depede cotiumete dos ddos do prolem. Cso cotrário se diz que é um prolem Ml Posto., u

5 5.2- Solução de Equções Difereciis Ordiáris: Prolem de Vlor de Cotoro. Etão, solução clássic d Formulção Forte do PVC terior é fução u C 2 ( Ω) C( Ω) SForte que stisfz EDO x Ω e s codições de cotoro x Γ. Se ssume que s fuções k( x), ω( x), σ ( x), g( x) são ddos do prolem e que,, e. g( x) C( Ω ) k( x) C 1 ( Ω) ω ( x ) C 1 ( Ω ) σ ( x ) C ( Ω ) Aqui Ω deot o fecho do cojuto Ω. Ou sej, Ω = Ω Γ é uião do cojuto Ω e seu cotoro Γ. Pr este Prolem Modelo o fecho correspode Ω = ], [ {, } = [, ]. m O símolo C ( Ω) deot o espço ds fuções cotius com derivds té ordem m cotius em Ω. Note que solução clássic d Formulção Forte deve ser um fução cotiu com derivd primeir e segud cotiu o itervlo erto ], [.

6 5.2- Solução de Equções Difereciis Ordiáris: Prolem de Vlor de Cotoro. A Formulção Frc correspodete à Formulção Forte do PVC terior permite reduzir s restrições de regulridde exigids pr solução do PVC. Pr oter Formulção Frc prtido d Formulção Forte do PVC devemos relizr os cico pssos seguir: Psso 1. Multiplicr EDP por um fução Teste v C ( Ω). O símolo C 0 ( Ω) deot o espço ds fuções cotius com derivds té ordem cotius em Ω e que se ulm o cotoro. Psso 2. Itegrr sore o domíio Ω. Ω Γ d du( x) du( x) k + ω + σ u( x) vdω = g( x) v dω dx dx dx d du( x) du( x) k + ω + σ u( x) vdx = g( x) vdx Cso Uidimesiol dx dx dx Ω 0

7 5.2- Solução de Equções Difereciis Ordiáris: Prolem de Vlor de Cotoro. Psso 3. Use Itegrção por Prtes (ou use formul de Gree ou teorem de Guss) pr reduzir derivd de mior ordem d EDP. udv = uv vdu Ω i Ω i Γ 1 2 d (Itegrção por Prtes) u v vdω = u dω + uvidγ (Teorem de Guss) x x r = (,, L, ) vetor uitário orml o cotoro Γ o setido d sid de Γ. du( x) dv( x) du( x) k + ω v( x) + σ u( x) v( x) dx uv = g( x) v( x) dx dx dx dx Psso 4. Como v C ( Ω), v se ul os extremos do itervlo [, ] e otemos 0 du( x) dv( x) du( x) k + ω v( x) + σ u( x) v( x) dx = g( x) v( x) dx dx dx dx

8 5.2- Solução de Equções Difereciis Ordiáris: Prolem de Vlor de Cotoro. Psso 5. Ecotrr o mior espço de fuções pr u, v e s outrs fuções que precem o Psso 4 tl que tods s itegris sejm fiits. Se u C 2 ( Ω) C( Ω) SForte (restrições de regulridde pr Formulção Forte do PVC) e v C 0 ( Ω), etão tods s itegris serão fiits. Etretto, tods s itegris serão fiits tmém se u S = 1 1 { φ H ( Ω): φ = u( Γ) em Γ } e v V = { φ H ( Ω): φ = 0 em Γ } Ode os seguites espços de fuções são defiidos: 2 L ( Ω) = φ : ( φ, φ ) φφdω < (Espço ds Ω 1 2 dφ 2 1 H ( Ω ) = φ L ( Ω) e L ( Ω) e H 0( Ω) = dx fuções qudrdo 1 { φ H ( Ω) : φ = 0 em Γ} itegrvei s) Com isto podemos eucir Formulção Frc correspodete à Formulção Forte do PVC como segue:

9 5.2- Solução de Equções Difereciis Ordiáris: Prolem de Vlor de Cotoro. Formulção Frc (Vriciol): Ecotrr u S que stisfz du( x) dv( x) du( x) k + ω v( x) + σ u( x) v( x) dx = g( x) v( x) dx dx dx dx Note que est formulção do prolem solução ão precis possuir derivd segud. Apes prece primeir derivd d solução. As exigids pr que exist solução d Formulção Frc são meos restritivs que s d Formulção Forte. Equivlêci etre Formulção Frc e Forte: 1- A solução d Formulção Forte é tmém solução d Formulção Frc. 2- Qudo solução d Formulção Frc é suficietemete regulr u C 2 ( Ω) C( Ω) SForte tmém será solução d Formulção Forte. Formulção Forte Formulção Frc ou Equção Diferecil Prcil Equção Vriciol v V

10 5.2- Solução de Equções Difereciis Ordiáris: Prolem de Vlor de Cotoro. Podemos reescrever Formulção Frc um form mis compct em termos de Forms Bi-Lieres e Lieres defiids como: A( o, o) : V = F( v) g( x) vdx (Form Lier) Formulção Frc (Vriciol): Ecotrr u S que stisfz A( u, v) 1 du dv du V R, ode V = H 0 ( Ω) e A( u, v) = k + w v + σuv dx dx dx dx = F( v) v V A solução deste prolem vriciol pertece um Espço de Dimesão Ifiit. Ou sej, dimesão tto de S quto de V é ifiit. Em gerl, soluções exts são difíceis de serem ecotrds. Glerki ( ) foi o primeiro estudr Soluções Aproximds (umérics) pr este prolem em Espços de Dimesão Fiit.

11 5.2- Solução de Equções Difereciis Ordiáris: Prolem de Vlor de Cotoro. Método de Glerki: O método de Glerki é sedo em seqüêci de suespços de dimesão fiit { V} V, V = 1 V + 1, que coverge pr o espço V o limite. Pode se provr que seqüêci de soluções proximds { u }, u S = 1 coverge pr solução ext do prolem. O método proximdo de Glerki é chmdo de Formulção Discret ou Prolem discreto d formulção vriciol. Formulção Frc Discret (dimesão fiit): Ecotrr S que stisfz A( u, v) = F( v) v. V u S u Como os espços S, V são de dimesão fiit ( N ) tem um se fiit. A solução proximd pode ser escrit como comição lier ds fuções ses com coeficietes determir u N = i= 1 c i v i { v, v2,, } 1 L v N 1 Bse Glol Método de Glerki Origil 2 Bse Locl Método de Elemetos Fiitos de Glerki

12 5.2- Solução de Equções Difereciis Ordiáris: Prolem de Vlor de Cotoro. Sustituido comição lier formulção discret otemos: N A c jv j v, = F( v) v V j= 1 Fzedo uso d lieridde d Form Bi-Lier segue N j= 1 c j ( j, v) = F( v) v V A v Est equção é válid v V, logo é válid pr todos os elemetos d se. Pr cd elemeto d se vi V otemos um equção N j= 1 c j ( j, vi ) = F( vi ) i = 1, L, N A v Note que isto é um Sistem Lier de Equções Algérics. Se deotmos por ij = A( v j, v i ) os elemetos d mtriz A, f i = F( v i ) os elemetos do vetor F e U i = c i os elemetos do vetor icógit U podemos escrever o sistem terior form mtricil A U = N N F

13 5.2- Solução de Equções Difereciis Ordiáris: Prolem de Vlor de Cotoro. Resumido: Prtimos d Formulção Forte do Prolem e trsformmos o PVC em um Prolem Vriciol (Formulção Frc). A Formulção Vriciol é defiid em um Espço de Dimesão Ifiit. Aproximmos este Espço de Dimesão Ifiit por um Espço de Dimesão Fiit e com isto otemos um Prolem Vriciol Discreto. Escolhedo um Bse pr este Espço de Dimesão Fiit vi V trsformmos o Prolem Vriciol Discreto um Sistem Lier de Equções Algérics. A U = N N F Aqui se destcm dois csos pr escolh d se. 1 Bse Glol (Método de Glerki Origil) mtriz A é des (chei). 2 Bse Locl (Método de Elemetos Fiitos de Glerki) mtriz A é esprs. Us meos memóri e mis fácil de resolver umericmete.

14 Frse do Di Although to peetrte ito the itimte mysteries of ture d thece to ler the true cuses of pheome is ot llowed to us, evertheless it c hppe tht certi fictive hypothesis my suffice for expliig my pheome. Leohrd Euler (A mesm ds Aul 9, 11, 12,13 )... the study of Euler s works will remi the est for differet fields of mthemtics d othig else c replce it. Friedrich Guss