( ) E( X) = µ (desconhecido) V( X) = σ 2 (conhecido) ( ) se X ~ N µ,σ 2 ( ) se X qq e n grande

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1 Cpítulo 7 - Estimção por itervlos 7. Itervlos de cofiç Pr lém dum estimtiv potul de um prâmetro é, em muits situções, importte dispôr de lgum form de itervlo que idique cofiç que se pode depositr estimtiv potul. Um itervlo de cofiç (I.C.) pr um prâmetro descohecido θ é do tipo l θ u, ode l e u depedem do vlor observdo ˆθ (estimtiv potul), e d distribuição por mostrgem d esttístic ˆΘ, usd pr estimr θ. Not: o I. C. l θ u é chmdo bilterl. Em lgus csos pode ser mis importte um itervlo uilterl (superior ou iferior) do tipo l θ, θ u itervlo iferior itervlo superior 7. Itervlo de cofiç pr médi, vriâci cohecid X populção tl que: E( X) = µ (descohecido) V( X) = σ (cohecido) (X,, X ).. de dimesão ˆµ = X (estimdor potul de µ ) Sbemos já que Z = X µ σ ~ N 0, ~ N 0, se X ~ N µ,σ se X qq e grde ode o cso X qq é justificdo pelo T. L. C. Distribuição de Z: α/ b α 0 α/ Pr miimizr b deve ter-se b =. P X µ σ = = P σ X µ σ = = P X σ µ X + σ = = P X σ µ X + σ = = P µ X σ ; X + σ = α Podemos determir potos, e b, tis que Pb X µ σ = α = γ ode α 0 e γ. 3 com : P( Z > ) = α. Not: Z = X µ σ chm-se vriável letóri fulcrl (deve ter distribuição cohecid e depeder pes do prâmetro descohecido). 4

2 X σ ; X + σ é um itervlo letório, qudo substituímos X por x (vlor observdo d médi dum mostr letóri) pssmos ter um itervlo cocreto chmdo itervlo de cofiç. Defiição (Itervlo de cofiç pr médi com vriâci cohecid): Se x for médi observd dum mostr letóri de dimesão dum populção orml (ou dum populção qulquer desde que grde, ms esse cso o itervlo é pes proximdo) com vriâci cohecid σ, um itervlo de cofiç 00 α % pr µ é ddo por x σ µ x + σ com : P ( Z > ) = α Iterpretção: Não podemos dizer que µ pertece o itervlo de cofiç com probbilidde α ; o que podemos dizer é que se fizermos um grde úmero de itervlos ests codições, proximdmete 00 ( α)% desses itervlos coterão de fcto o verddeiro vlor de µ (que permece descohecido), é est Nots: idei que é trduzid por "cofiç". ) O comprimeto do itervlo de cofiç está ssocido à precisão, quto meor for o comprimeto mis precis é médi. (ou = z α, otção do Motgomery). 5 6 ) Se dimiuímos α, isto é, umetrmos α (gru de cofiç), mtedo fixo, vi umetr e cosequetemete o comprimeto do itervlo. Não é possível fzer α = 0 pois esse cso = +. 3) Qudo umetmos, mtedo α fixo, dimiui o comprimeto do itervlo. 4) Qul deve ser dimesão d mostr pr que se teh um ddo erro máximo (com cofiç fix)? Pr termos um cofiç de 00 ( α)% em que x µ E deve ter-se = σ E, (visto que σ = E). (qudo ão der iteiro rredod-se por excesso). 7 Exemplo: X ~ N ( µ,σ ) com σ =. ) um mostr letóri de dimesão 0 coduziu x = 0.. Clculr um itervlo de cofiç 95% pr µ : α = 0.05 P( Z > ) = 0.05 P( Z < ) = = Φ ( 0.975) =.96 Logo o itervlo pedido é ; = [ 9.48;0.7] b) Qul deve ser pr que se poss grtir com 95% de cofiç que x µ 0.5?.96 = 0.5 = 6.47 Respost: = 6. 8

3 7.3 Itervlo de cofiç pr difereç de dus médis, vriâcis cohecids X, populção, com E X X, populção, com E X ( X e X idepedetes) = µ e V( X ) = σ (cohecid) = µ e V( X ) = σ (cohecid).. d populção ( X, X,, X ) com médi X = X i i=.. d populção ( X, X,, X ) com médi (e.. ( X, X,, X ) é idepedete d.. ( X, X,, X ) ) Como costruir um I.C. 00 ( α)% pr µ µ? Not: um itervlo deste tipo é útil pr comprr dus experiêcis ou dois métodos. O estimdor potul de µ µ é X X. Já sbemos que se X ~ N µ,σ X ~ N µ,σ etão e se X ~ N µ, σ e X ~ N µ, σ pelo que X = X i i= X X ~ N µ µ, σ + σ 9 0 logo v.. fulcrl é: ( µ µ ) Z = X X σ + σ ~ N( 0,) Nots: distribuição terior tmbém é válid, proximdmete, pr X e X com outr qulquer distribuição, ão ecessrimete orml, desde que e sejm elevdos (pelo T.L.C.) Fzedo, do mesmo modo que secção terior, P( Z ) = α, com P( Z > ) = α Nots: Mtêm-se s ots ) ) e 3) d secção 7., reltivs à iterpretção e vrição do comprimeto do itervlo. 4) Dimesão d mostr tl que ( X X ) ( µ µ ) E com 00 ( α)% de cofiç? Não tem solução úic pr e geris, ms se quisermos = = obtém-se = E σ ( + σ ) obtém-se um I.C. 00 ( α)% pr µ µ : x x σ + σ ;x x + σ + σ

4 7.4 Itervlo de cofiç pr médi de um populção orml, vriâci descohecid X populção tl que: E( X) = µ (descohecido) V( X) = σ (descohecid) (X,, X ).. de dimesão ˆµ = X (estimdor potul de µ ) Não se pode usr Z = X µ σ porque σ é descohecido. Um procedimeto lógico cosiste em substituir σ por S (desvio pdrão mostrl), ou sej, em cosiderr v.. fulcrl X µ S. 3 Ms qul será o efeito de fzer isto? Não é mesm v..! Qul su distribuição? Se for grde ( > 30, em gerl) pode mostrr-se que o efeito é pequeo e tem-se Z = X µ S ~ N( 0,), quer pr X ~ N ( µ,σ ), quer pr X qulquer (com E( X) = µ e V( X) = σ ). Ou sej, o I.C. clcul-se exctmete como Secção 7. substituido σ por s (desvio pdrão mostrl observdo). Se 30 o problem ão é solúvel o cso gerl (isto é, descohecedo o tipo de distribuição d populção). Se X ~ N µ,σ o teorem seguite forece o resultdo que se pretede. 4 Teorem: Sej ( X,, X ) um.. dum populção X ~ N ( µ,σ ). A vriável letóri T = X µ S tem distribuição t com grus de liberdde ( T ~ t ). ) Fução Gm Γ r +, r > 0 = x r e x dx 0 se r iteiro Γ( r) = ( r )!. Est fução pode ser vist como um geerlizção do fctoril (defiido só pr iteiros) os reis positivos. Nots: ) Um v.. com distribuição t tem fução de desidde de probbilidde = Γ ( k + ) πkγ( k ) f x [ ] + x k k + ode k > 0 é o úmero de grus de liberdde. Pode mostrr-se que se T ~ t k etão E( T) = 0 ( k > ) e V( T) = k ( k ) ( k > ) 5 3) Represetção gráfic f(x) k = k = 3 k = 4) É fácil ver que qudo k + f ( x) x π e (f.d.p. de N( 0,)) x 6

5 5) Os percetis d distribuição t k ecotrm-se tbeldos P µ X S ; X + S = α Tbels d discipli: No livro: com : P( T > ) = α. q t k,q α t α,k Obtém-se etão o I.C. pr médi de um populção orml com vriâci descohecid x s µ x + s = q P( T > t α,k ) = α P T < t k,q t k, q = t k,q t α,k = t α,k Voltdo à costrução do I.C. e procededo d form hbitul: Observções: ) A iterpretção é semelhte à que foi feit em 7.. ) Se α dimiuir, com fixo, umet o comprimeto do itervlo. P X µ S = α 7 8 3) Se umetr, com α fixo, esper-se que dimiu o comprimeto do itervlo, ms ão há certez, pois s vri de mostr pr mostr. 4) Determição de pr um ddo erro (com α fixo): Dificulddes: x µ E = s E i) tmbém depede de ; Solução: resolução por tettiv-erro. ii) s é descohecido tes de se ter mostr; Solução: obter um mostr prelimir pr ter um idei do vlor que s pode vir ter. 9 Exemplo: Determição d costte de cidez do ácido orto-hidroxibezóico. ) (Reltório ) Temos 4 observções d costte de cidez: x = x = x 3 =.4970 x 4 =.3396 ( 0 3 ) x = = 4 s x = Admitido que se trt de observções idepedetes e ideticmete distribuíds de um mesm vriável (X) com distribuição N µ X,σ X tem-se I.C. 95% ( µ X ) = x s ;x + s 0

6 com = t 3;0.975 = 3.8, logo I.C. 95% = ; µ X [ ] b) (Reltório ) Temos gor 5 observções d costte de cidez: x = x = x 3 = 7.74 x 4 = x 5 = x = = 5 s x = Admitido mesm hipótese de trblho e com = t 4;0.975 =.776, obtém-se I.C. 95% = ; µ X [ ]. c) Em vez de se trblhr com os vlores de K tmbém se poderi ter trblhdo com os vlores de pk = log 0 K, obtedo-se etão: Reltório : Temos s seguites 4 observções de pk: y =.830 y =.883 y 3 =.8448 y 4 =.8730 y = = 4 s y = dode, dmitido que se trt de observções idepedetes e ideticmete distribuíds de um mesm vriável (Y) com distribuição N µ Y,σ Y se tem I.C. 95% = [.87;.8768] µ Y Reltório : Temos gor s seguites 5 observções de pk: y = y = y 3 = 3. y 4 = 3.3 y 5 = 3.6 y = = 5 s y = dode, dmitido que se trt de observções idepedetes e ideticmete distribuíds de um mesm vriável (Y) com distribuição N µ Y,σ Y se tem I.C. 95% = [ ;3.49] µ Y d) Ddo que Y = log 0 X X = 0 Y e sbemos que µ X 0 µ Y (ver Secção 5.7), dos itervlos obtidos líe c) tmbém podemos obter itervlos pr µ X, plicdo trsformção 0 y mbos os extremos dos itervlos, vem etão 3 Reltório : I.C. 95% ( µ X ) = [ ; ] Reltório : I.C. 95% ( µ Y ) = [ ; ] Estes itervlos são precidos (ms ão iguis) os obtidos s líes ) e b). Qul é resolução correct? A respost prede-se com um ds hipóteses de trblho colocds, isto é, que determid vriável tem distribuição N µ,σ. Devemos bser o I.C. vriável (K ou pk, este cso) em relção à qul melhor podemos grtir verificção dess hipótese de trblho. 4

7 7.5 Itervlo de cofiç pr difereç etre s médis de dus populções ormis, vriâcis descohecids X, populção, com E X X, populção, com E X ( X e X idepedetes) = µ e V( X ) = σ (descohecid) = µ e V( X ) = σ.. d populção X, X,, X X = i= X i e vriâci S (descohecid) com médi = i=.. d populção X, X,, X X = i= X i e vriâci S ( X i X ) com médi = i= ( X i X ) 5 (e.. ( X, X,, X ) é idepedete d.. ( X, X,, X ) ) Como costruir um I.C. 00 ( α)% pr µ µ? Qudo σ e σ erm cohecids usv-se v.. fulcrl ( µ µ ) Z = X X σ + σ ~ N( 0,) Se > 30 e > 30 pode-se substituir σ por S e σ por S obtedo-se ( µ µ ) Z = X X S + S ~ N( 0,) 6 quer pr X ~ N ( µ,σ ) e X ~ N ( µ,σ ) quer pr X e X com outr qulquer distribuição. Etão um I.C. clcul-se exctmete como Secção 7.4, pes substituido σ por s e σ por s. Qudo 30 ou 30 o problem só tem e e mesmo ssim pr se obter um solução o cso em que X ~ N µ,σ X ~ N µ,σ v.. fulcrl com distribuição exct é ecessário supor que (embor descohecids) σ = σ = σ (est suposição é rzoável em muits situções reis, e lém disso pode ser testd). X X cotiu ser o estimdor potul de µ µ e tem-se id que = σ V X X + σ = σ + Vi ser ecessário estimr σ. Um estimdor turl obtém-se combido s dus vriâcis mostris ˆσ = S p = ( )S + ( )S + Note-se que qudo = result ˆσ = S + S. Sbemos que ( µ µ ) Z = X X σ + ~ N 0, 7 8

8 substituido σ por S p obtém-se ( µ µ ) T = X X S p + ~ t + (sob s suposições, ou hipóteses de trblho, cosiderds). Etão de P( T ) = α com : P( T > ) = α obtém-se um I.C. 00 ( α)% pr µ µ : x x s p + ;x x + s p + ode s p = ( )s + ( )s. + Observções: ) A determição d dimesão d mostr é mis complicd (ver 7.3 e 7.4). ) E se ão for rzoável dmitir que σ = σ = σ? Este problem (cohecido por problem de Behres-Fisher) ão tem solução exct. Há soluções proximds, o Motgomery (pág. 397) preset um (ão fz prte do progrm). Exemplo: Comprção etre os resultdos obtidos pelos dois grupos determição d costte de cidez do ácido orto-hidroxibezóico (vmos usr os ddos reltivos pk) Reltório Reltório y = s y = = 4 y = s y = = 5 Admitimos que (hipóteses de trblho): A primeir mostr é um cocretizção de um.. de um populção Y ~ N µ,σ ; A segud mostr é um cocretizção de um.. de um populção Y ~ N µ,σ ; Y e Y são idepedetes; σ = σ = σ (prece rzoável porque s y e s y são d mesm ordem de grdez). 3 s p = = vmos fixr α = 0.0 (gru de cofiç = 99%) = t 7;0.995 = ( + = 7) etão I.C. 99% ( µ µ ) = [ 0.303; 0.09]. Como este itervlo ão cotém o poto µ µ = 0 cocluímos que os resultdos obtidos os permitem firmr (com um gru de cofiç de 99%) que µ µ. Se tivéssemos usdo um gru de cofiç de 95% er tudo idêtico excepto = t 7;0.975 =.365 e obtih-se I.C. 95% ( µ µ ) = [ 0.898; 0.34]. 3

9 7.6 Itervlo de cofiç pr vriâci de um populção orml X ~ N ( µ,σ ) ( X,, X ).. Queremos um I.C. 00 ( α)% pr σ. O estimdor potul de σ obtém-se do teorem seguite. Teorem: Sej X,, X populção X ~ N ( µ,σ ). A v.. é S. A v.. fulcrl um.. dum Nots: ) Um v.. com distribuição do chi-qudrdo tem fução de desidde de probbilidde f ( x) = k Γ( k ) x ( k ) e x, x > 0 ode k > 0 é o úmero de grus de liberdde. Pode mostrr-se que se Q ~ χ k etão = k e V( Q) = k. E Q ) Represetção gráfic Q = ( )S σ f(x) k = tem distribuição do chi-qudrdo com grus de liberdde ( Q ~ χ ). k = 4 k =6 x ) Os percetis d distribuição χ k ecotrm-se tbeldos Ddo que distribuição de Q ão é simétric é preciso determir e b. Fz-se etão Tbels d discipli: No livro: : P( Q < ) = α e b: P( Q > b) = α. q χ k,q χ α α, k S σ P Pσ b b = α S ; ( )S = α = q P( Q > χ α,k ) = α P Q < χ k,q Pr costruir um I.C. 00 ( α)% pr σ prte-se de P( Q b) = α 35 Um I.C. 00 ( α)% pr σ é etão ( )s b ; ( )s Exemplo: Vmos determir itervlos de cofiç 95% (α = 0.05) pr o desvio pdrão d vriável pk cosiderd trás. 36

10 Reltório : Y ~ N ( µ,σ ) = 4 s y = = χ 3;0.05 e = 0.6 b = χ 3;0.975 = I.C. 95% ( σ ) = [ ; ] [ ] I.C. 95% ( σ) = 0.0;0.076 Reltório : Y ~ N ( µ,σ ) = 5 s y = = χ 4;0.05 e = b = χ 4;0.975 =.4 I.C. 95% ( σ ) = [ ; ] [ ] I.C. 95% ( σ) = 0.009; Itervlo de cofiç pr um proporção ( X,, X ) mostr letóri de um populção muito grde ou ifiit. Sej Y( ) o úmero de observções dest mostr que pertecem um dd ctegori de iteresse. Sej p proporção de idivíduos populção que pertecem ess ctegori de iteresse. Exemplos: Populção Peçs Eleitores Ctegori ser defeituos vot o prtido X O estimdor potul de p é ˆP = Y Sbemos que Y ~ Bi(, p) e que se for grde ou id = E Y E ˆP Y ~ N( p,p( p) ) Y ˆP = ~ N p, p p = E Y Etão tem-se Z = P ˆP p p( p) e V ˆP ˆP p p( p) pois = V Y ~ N 0, = V Y α, : P( Z > ) = α Resolver em ordem p? Aproximção que dá resultdos stisftórios 39 ˆP p P ˆP ( ˆP α ) O I.C. (proximdo) 00 ( α)% pr p é: ˆp ˆp ˆp ; ˆp + ˆp ˆp Exemplo: Populção de eleitores portugueses. Sodgem (letóri) 00 eleitores revelou que 683 teciom votr o prtido ABC. Determir e.m.v. de p (proporção de eleitores populção que teciom votr o prtido ABC) e um I.C. proximdo 95% pr p. ˆp = = =.96 I.C. 95% ( p) = [ 0.54;0.597] 40