Uma figura plana bem conhecida e que não possui lados é o círculo. Como determinar o perímetro de um círculo?

Transcrição

1 erímetro A defiição de erímetro de um figur l muits vezes ode ser ecotrd do seguite modo: é som ds medids dos ldos d figur. Ms será que ess defiição é bo? or exemlo, um figur como que segue bixo ossui erímetro do modo como está cim defiido? É clro que defiição cim ão se lic à figur irregulr resetd, ois el ão ossui ldos. El é delimitd or um curv fechd, que defie o seu cotoro. Como determir o erímetro, esse cso? (Você tem lgum sugestão?) recismos de um defiição mis brgete r erímetro que dê cot de situções mis irregulres e que sej comtível com defiição r olígoos. r isso, bst defiirmos erímetro de um figur l como medid do comrimeto de seu cotoro. Um figur l bem cohecid e que ão ossui ldos é o círculo. Como determir o erímetro de um círculo? Ddo um círculo de rio, odemos iscrever e circuscrever olígoos regulres este círculo. Vmos observr um sequêci de rorieddes. roriedde 1. Ddo um círculo qulquer, o erímetro de qulquer olígoo covexo ele iscrito é meor que o erímetro de qulquer olígoo ele circuscrito. r observrmos o orquê d vercidde dess firmção fçmos o seguite rciocíio (que ão é um demostrção). Iicie circuscrevedo e iscrevedo um qudrdo esse círculo, como figur bixo. Observe que o ldo do qudrdo iscrito tem medid 2 e seu 2 ótem tem medid. Já o qudrdo circuscrito tem ldo com medid 2 e ótem com 2 medid. Desse modo, o erímetro do qudrdo iscrito 4 é meor do que o erímetro do qudrdo circuscrito 4. Isto é, 4 < 4.

2 Ao dobrrmos o úmero de ldos, obtemos um olígoo de oito ldos iscrito o o círculo e outro olígoo de oito ldos circuscrito o círculo com erímetros 8 e 8, resectivmete. Observe que 4 < 8 e 8 < 4. Segue que: 4 < 8 < 8 < 4. eetido oerção de dobrr o úmero de ldos dos olígoos iscritos e circuscritos, temos: 4 < 8 < 16 < 32 <... < 32 < 16 < 8 < 4 Aid, odemos reetir o mesmo rciocíio rtido de olígoos iscrito e circuscrito com ldos, o ivés de começr com qudrdos. Sejm e o erímetro e o ótem, resectivmete, do olígoo iscrito; e sejm e o erímetro e o ótem do olígoo circuscrito. or semelhç de triâgulos (vej figur seguir), temos: L l Desse modo, tmbém temos que: 6 < 12 < 24 < 48 <... < 48 < 24 < 12 < 6

3 De modo gerl, mtedo o erímetro do círculo costte, umetdo-se o úmero de ldos o erímetro dos olígoos iscritos ( ) cresce, equto que o erímetro dos olígoos circuscritos ( ) decresce, ermecedo semre <. roriedde 2: Dd um circuferêci qulquer e fixdo um segmeto k, rbitrário, odemse costruir dois olígoos, um iscrito e outro circuscrito à circuferêci, tis que difereç etre seus erímetros sej meor que o segmeto k fixdo. Cosidere: e o erímetro e o ótem do olígoo iscrito, resectivmete e o erímetro e o ótem do olígoo circuscrito, resectivmete. Novmete, or semelhç de triâgulos, vem:

4 Usdo rorieddes de roorções, odemos escrever: ( ) Aid, r todo mior do que 4, vle: 8 4 Segue que: ) 8( ) ( 8 Ms, coforme umetmos o úmero de ldos dos olígoos, - tede r o segmeto ulo, de modo que < k, sedo k fixdo. Dests dus rorieddes odemos cocluir o seguite: Ddo um círculo qulquer, existe um úico segmeto que é mior que o erímetro de qulquer dos olígoos covexos iscritos e

5 meor do que o erímetro de qulquer dos olígoos circuscritos esse círculo. A esse segmeto chmmos de erímetro do círculo. roriedde 3: A rzão etre o erímetro do círculo e seu diâmetro é um úmero costte reresetdo or. Sejm dois círculos com erímetro C e C e rios e, resectivmete, e cosidere olígoos regulres de mesmo úmero de ldos iscritos e circuscritos esses círculos. el semelhç de triâgulos, temos: e ' ' ' ' Já vimos, els outrs rorieddes, que: Segue que: C e ' C' ' 2 C 2 e 2 ' C' ' 2' 2' 2' Logo: C C 2 2' Chmdo ess rzão de (ou melhor, observdo- umericmete), temos que: C C 2 2 eferêci: DOLCE, O.; OMEO, J. N. Fudmetos de Mtemátic Elemetr: geometri l. V.9. São ulo: Atul, 1993.