Matemática JOSÉ AUGUSTO DE MELO. Matemática I

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1 Mtemátic Mtemátic I Fução Eoecil... Logritmo... 7 Poliômios... Aálise Combitóri... Biômio de Newto... 9 Mtri... Determite... 7 Sistems Lieres... Progressão Aritmétic e Progressão Geométric... Mtemátic II Geometri Escil... 8 I Prism... 8 II Pirâmide... III Cilidro... IV Coe... V Esfer... 6 A rerodução or qulquer meio, iteir ou em rte, ved, eosição à ved, luguel, quisição, ocultmeto, emréstimo, troc ou muteção em deósito sem utorição do detetor dos direitos utoris é crime revisto o Código Pel, Artigo 8, rágrfo e, com mult e e de reclusão de os. JOSÉ AUGUSTO DE MELO M

2 Aotções

3 FUNÇÃO EXPONENCIAL Tecologi DEFINIÇÃO Sej um úmero rel tl que > e. Chmmos de fução eoecil à fução f : R R * defiid or f() Eemlos: ) f() b) f() GRÁFICO º cso: > ; fução é crescete º cso: < < ; fução é decrescete PROPRIEDADES P.) Domíio R Imgem { R : > } P.) A fução eoecil, f() ão tem ri. P.) A iterseção do gráfico de f() com o eio é o oto (,) P.) A fução eoecil é bijetor ) (UFMG) A figur é um esboço do gráfico d fução. A orded do oto P d bsciss ) c. d b) c d b é: c) c d d) (cd) e) cd b ; b ; b ; c d Res: e Mtemátic M

4 Tecologi ) Um colôi de bctéris tem, um certo istte (t ), bctéris. Observções subseqüetes revelrm que ess oulção dobrv semre, em relção à observção imeditmete terior. ) Qul oulção de bctéris ª observção ós t? b) Em que observção colôi lcçou 7. bctéris? Não é difícil você cocluir que o úmero de bctéris é ddo or f()., ode é observção relid ós t. ) N ª observção, oulção de bctéris é f(). ; f(). b) Queremos que f() 7. ; ; ; ; Res: N ª observção. EQUAÇÕES EXPONENCIAIS As codições imosts à bse de um fução eoecil, torm um fução bijetor. Desse modo, se, etão. Ess roriedde os ermite resolver um série de equções cuj vriável rece o eoete, e or isso são chmds de equções eoeciis. Pr resolver um equção eoecil, tete trsformr equção dd em um outr eqüivlete, d form. Pr isso use iicilmete s rorieddes d otecição. m. m m : m b b ( m ) m. (. b). b m/ m Cso isso ão sej ossível, utilie os rtifícios ddos s questões cometds seguir. Observção: As equções redutíveis à form b com b você rederá resolver o cítulo sobre logritmos. ) Resolv equção: ; 6. 8 ( ). ( ) ( ) ; ; Res: ) Resolv equção: 8 Solução... 8 ;. ( ) 8 ;. 8 ; 6 ; Res: Mtemátic M

5 ) Resolv equção:... ; Como ( ), se fiermos obteremos:, cujs ríes são ou Tecologi ) Resolv equção: ; 7. ( ) ; 7 Res: ; ; Pr vem: ; Pr vem: (ão dmite solução) Res: ) (MACK SP) O úmero de soluções distits d equção K, K rel é: ), qulquer que sej K d), somete se K b), somete se K > e), somete se K < c), qulquer que sej K K. Sej. Etão: K ; K. Pr ess equção K >. Logo, el tem dus ríes reis distits. Além disso, o roduto desss ríes é (relções de Girrd). Etão, um dels é ositiv e um é egtiv. Como ri egtiv ão forece solução r, resost corret é C. Res: c INEQUAÇÕES EXPONENCIAIS Ns codições imosts à bse de um fução eoecil, temos: *Se >, fução é crescete, ortto: > > < < *Se < <, fução é decrescete, e etão: > < < > Resumido: o resolver um iequção eoecil, roced como s equções, ou sej, igule s bses. Ms, o comrr os eoetes, lembre se: *Se >, comre os eoetes, mtedo o setido d desiguldde. *Se < <, o comrr os eoetes, ivert o setido d desiguldde. Mtemátic M

6 Tecologi ) Resolv iequção: Como bse é meor que, devemos ter: ; ríes: e digrm: ) Resolv iequção: >.. > ;. (9 ) >. > ; > ; > Res: > ) Resolv iequção: < ª hiótese: > Nesse cso: < ; < A iterseção com codição > os dá S { R : < < } ª hiótese: < < Teremos > ; > Como esses vlores de ão ertecem < <, esse itervlo ão temos ehum solução. Res: S { R : < < } ) (UF VIÇOSA) Determie os vlores de r que equção., dmit ríes reis. Pr equção dd dmitir ríes reis,. Logo > ; ; ; 6 Mtemátic M

7 LOGARITMO Tecologi DEFINIÇÃO Sej >, e b >. Chm se logritmo de b bse o úmero log b tl que b Em símbolos bse log b b b logritmdo Eemlos: logritmo ) log 8, ois 8 b) log /, ois ( ) CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA Eiste log b se e somete se BASES MAIS USADAS. LOGARITMO DECIMAL > e b > Utili bse. Covecio se que, o omitir bse, seu vlor é. Assim: log b log b. LOGARITMO NATURAL Us como bse o úmero e (úmero de Euler). Aot se or log e b ou l b PROPRIEDADES ELEMENTARES Decorrem imeditmete d defiição s rorieddes seguir: ) log b) log c) log m m b d) log b É clro que estmos dmitido >, e b >. PROPRIEDADES OPERATÓRIAS Pr >, e b >, c >, temos P.) log (b. c) log b log c b P.) log log c b log c P.) log b m m log b, m R Mtemátic M 7

8 Tecologi ) Sbedo que log, e log,7, clcule: ) log 8 b) log ) log 8 log (. ) log log log log Portto: log 8,.,7 log 8, b) log log (.) log log log log ( ) Etão: log log log log log,7, ; log,7 ) (PUC SP) São ddos log, e log,8. Determie o úmero rel que stisf à equção: ;. e dí: log ( ) log (. ) ( ). log log log Ms log log ( ) log log,,7 Logo: ( ).,.,8.,7 e dí:, ; 6, ) (VUNESP) A figur rereset o gráfico de log. Sbe se que AO BC. Etão, ode se firmr que: ) log b c b) b c c) c b d) b c e) b c Observe que: OA log ; OB log b e OC log c Ms BC OC OB ; logo BC log c log b. Como OA BC, temos c c log log c log b ; log log ; ; b c b b Res: d 8 Mtemátic M

9 6 MUDANÇA DE BASE Tecologi Sejm >,, c >, c e b >. Etão log b log log b c c Eemlos: ) log log log b) log 7 log log 7 log 7 log... Coseqüêcis: ) log b log b b) log B log b 7 EQUAÇÕES LOGARÍTMICAS Assim deomimos s equções que evolvem logritmos. Pr resolvê ls, teh semre em mete s codições de eistêci e rocure reduir equção dd, usdo s rorieddes, à form log f() log g() ou à form log f() b. No rimeiro cso, lembre se de que f() g(). E, o segudo cso, defiição dá que f() b. ) Resolv equção log ( ) ( ). Se você quiser, che s codições de eistêci, deois resolv equção e verifique quis ríes stisfem às codições de eistêci. Aqui, o etto, r ecoomir temo, vmos resolver equção e verificr or substituição diret quis ríes servem. log ( ) ( ) ( ) o que dá cujs ríes são e. Observe que o f bse vler, logo ão serve. Já o stisf às codições de eistêci e etão: S {} ) Resolv: log ( ) log ( ). De log ( ) log ( ) vem ;, cujs ríes são e. Desss, es serve. S {} ) log log Observe que log (log ). Sej etão log. A equção dd fic:, cujs ríes são e. Se, vem : log ; Se, vem : log ; Como mbs s ríes servem, S {, }. Mtemátic M 9

10 Tecologi ) Resolv equção: log ( ) log ( ) Iicilmete, coloque todos os logritmos um mesm bse. log ( ) log ( ) log log( ) log ( ) (tirdo o m.m.c.) ( ) log ( ) log ( ) ; log ( ) ; 9 8 cujs ríes são e. Porém ão covém. Logo, S {} INEQUAÇÕES LOGARÍTMICAS log Se > log f ( ) f ( ) < log g < K ( ) f ( ) f ( ) < < K g ( ) Ateção: Não se esqueç de clculr o domíio d iequção. log f Se < < log ( ) f ( ) < log g < K ( ) f ( ) f ( ) > > K g ( ) ) Resolv iequção: log / ( ) > log / ( ). > ;. ) Codição de eistêci > ; > b) Resolução d iequção log / ( ) > log / ( ) < ; > c) Resost fil: é obtid fedo se iterseção etre os itervlos obtidos em e b. Fç isso e você terá: S { R : > }. ) Resolv iequção: log log >. ) Domíio: > b) Resolução: Fç log. Etão, >, que resolvid dá < ou >. Se <, etão log < ; <, Se >, etão log > ; > c) Resost: iterseção os mostr que S { R : < <, ou > }. Mtemátic M

11 9 A FUNÇÃO LOGARÍTMICA Tecologi Como vimos, fução eoecil é bijetor e, ortto, dmite ivers. Por outro ldo, se log, temos que, ou sej, ivers d eoecil é fução logrítmic que defiiremos seguir: Sej >, e > úmeros reis. Chm se fução logrítmic à fução f: R* R, defiid or f() log. Como os gráficos de um fução e su ivers são simétricos em relção à ret, o gráfico d fução logrítmic é: º cso: > º cso: < < DEFINIÇÃO POLINÔMIOS Chmremos de oliômio em R, vriável, tod eressão d form: P() o, ode é um úmero turl, e. Eemlos: São oliômios: ) P() Não são oliômios: ) b) P() c) P() b) 7 Ddo o oliômio P() o com, é chmdo de gru do oliômio. Assim: ) P(), tem gru. c) P(), tem gru. b) P(), tem gru. d) P(), tem gru ero. O oliômio P() é chmdo de oliômio ulo ou oliômio ideticmete ulo. Pr ele, ão se defie o gru. VALOR NUMÉRICO Se K é um úmero rel, chm se vlor umérico do oliômio P() r K o úmero obtido substituidose or K e efetudo s oerções idicds. Idicremos o vlor umérico or P(K). Cso P(K), diremos que K é ri ou ero do oliômio. Assim, se P() P(). P(). Mtemátic M

12 Tecologi IGUALDADE DE POLINÔMIOS Sejm os oliômios: P () o e Diemos que P () P () se: P () b. b.... b. b o b ; b ;..., b e o b o ) Determie, b, c r que os oliômios P () ( ) b e P () (c ) sejm idêticos. Queremos que: ( ) b (c ) Logo: ; c ; c b ; b ) Clcule e b, de modo que: 6 b º modo: 6 b ( 6 )( ) ( ( ) b ( ) )( ) e dí vem: º modo: N iguldde: 6 ( ) b ( ) fç:..b;b b.; 6 ( ) b( ) 6 b b 6 ( b) ( b) e etão: b cuj solução é e b b 6 Ateção: escolh r os vlores que ulm os deomi dores ds f rções dds origilmete. DIVISÃO DE POLINÔMIOS Se A() e B() são dois oliômios, com B(), dividir A or B é ecotrr dois outros oliômios Q() e R(), tl que: I) A() B().Q() R() II) Gru de R() < gru B() ou R() Qudo R(), diemos que A() é divisível or B(). Observe que o gru de Q() é ddo el difereç etre o gru de A() e B(). Mtemátic M

13 Tecologi Pr efetur divisão etre dois oliômios, temos dois métodos: Método d chve Método de Descrtes Sej efetur divisão ( ) : ( ) Iicilmete, ordee o oliômio dividedo em ordem decrescete e comlete o. No cso do divisor, bst que ele estej em ordem. Fçmos mesm divisão: ( ) : ( ) Iicilmete, determie o gru do quociete. Q() é do º gru, cocord? Logo Q() b. O gru do resto, sedo meor que o gru do divisor será um oliômio cujo gru é o máimo. Sej etão R() c d. Divid o rimeiro termo do dividedo elo rimeiro termo do divisor r obter o rimeiro termo do quociete (). Multilique o rimeiro termo do quociete elo divisor e subtri o resultdo do dividedo, r obter o resto rcil ( 6 ). 6 6 Se o gru do resto rcil for meor que o gru do divisor, divisão termiou. Cso cotrário, reit s oerções cim, usdo o resto rcil como dividedo c d b Usdo idetidde A B. Q R obtemos: ( )( b) c d Efetudo e reduido os termos semelhtes, teremos: (b ) ( b c) b d Portto: b ; b b c ; c b d ; d 6 Etão, filmete: Q() R() 6 O DISPOSITIVO DE BRIOT RUFFINI Se, um divisão, o divisor for do º gru, lém dos métodos ddos teriormete, eiste um outro, cuj descrição será feit seguir. Sej efetur ( ) : ( ) Desehe o esquem seguir À esquerd do rimeiro trço verticl, colocmos ri do divisor (o osso cso, ). À direit desse trço, colocmos os coeficietes do dividedo (já ordedo), comletdo com ero os termos fltosos. Mtemátic M

14 Tecologi Abimos o rimeiro desses coeficietes e o multilicmos el ri do divisor (), somdo o resultdo obtido () o róimo coeficiete () e ecotrmos. Reit tudo isso, gor, r o. Cotiue té chr o último úmero (à direit do trço verticl trcejdo). 8 Q() Observe que o resto será ulo, ou um oliômio de gru ero. No osso eemlo, R(). Como Q() é de gru, temos: Q() Ateção: Se o divisor for do tio ± b, roced como teriormete. Cotudo, hor de dr resost, o determir Q(), divid os coeficietes obtidos o disositivo or (es os coeficietes reservdos Q()). O resto fic ilterdo. 6 TEOREMA DO RESTO OU DE D ALEMBERT O resto d divisão de um oliômio P() or é P(). Demostrção: N divisão de P() or, sej Q() o quociete e R() o resto. Observe que o gru de R é ero ou R(). P() ( ). Q() R P() R Q() Fedo, vem: P() ( ). Q() R e etão R() P() R Como coseqüêci dess roriedde, um oliômio P() é divisível or se e só se P(). De modo semelhte, rov se que: 7 DOIS TEOREMAS IMPORTANTES Se o divisor for, o resto é P( ). Se o divisor for b, o resto é P(b/). Se o divisor for b, o resto é P( b/). Dremos, sem demostrr, dois teorems que fcilitm em muito osso trblho com oliômios. Teorem : O oliômio P() é divisível elo roduto ( )( b) com b se e só se P() é divisível serdmete or e or b. Teorem : Se P() é divisível or ( )( b), etão P() é divisível or, e o quociete dess divisão é divisível or b. Mtemátic M

15 ANÁLISE COMBINATÓRIA Tecologi PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DE CONTAGEM Cosideremos o seguite roblem: As ciddes A e B são iterligds or lihs de ôibus e or comhis éres. De qutos modos um esso ode ir de A B, usdo ôibus e voltdo de vião? Observe que o eveto, ir de A B e retorr, ode ser decomosto em dus ets: ª et: vigem de id ª et: vigem de volt. Como vigem de id tem que ser de ôibus, eistem três meirs dess vigem ser feit. Já r vigem de volt, temos ossibiliddes. Como r cd vigem de id, eistem modos de esso fer vigem de volt, é fácil ver que esso frá s viges de id e volt de. modos diferetes. Esse roblem ilustr o ricíio fudmetl de cotgem ou Regr do Produto. Se um eveto é formdo or dus ets sucessivs e ideedetes, de tl modo que rimeir et se reli de modos e segud de q modos, etão o eveto ocorre de.q meirs. Podemos esteder ess regr um eveto formdo or um úmero K de ets. ) Qutos úmeros de três lgrismos distitos odemos formr com os lgrismos,,,,,e? O eveto, formr um úmero de três lgrismos, ode ser decomosto em três ets: ª et: escolh do lgrismo ds cetes. ª et: escolh do lgrismo ds dees. ª et: escolh do lgrismo ds uiddes. Pr ª et eistem ossibiliddes (es o ero ão ode ser escolhido). Pr ª et eistem tmbém ossibiliddes, ois o úmero escolhido ª et ão ode ser reetido, orém o ero já ode ser usdo. Pr ª et, eistem ossibiliddes (só ão odemos escolher os dois lgrismos que form escolhidos ª e ª ets. Logo, el regr do roduto odemos formr.. úmeros. ) Disõe se de 6 cores r itr um bdeir de fis. Cd fi deve ser itd de um só cor e dus fis cosecutivs ão odem ter mesm cor. De qutos modos ode ser feit itur? O eveto, itr bdeir, ode ser decomosto em ets. Pr ª et eistem 6 ossibiliddes, ois odemos escolher qulquer um ds 6 cores. Pr ª et eistem ossibiliddes, ois cor usd fi terior ão ode ser usd. O mesmo úmero de ossibiliddes teremos r ª e ª ets. Portto, itur oderá ser feit de: modos Mtemátic M

16 Tecologi ) Qutos úmeros de lgrismos distitos formdos elos dígitos,,, e 6 são miores que? ª ª ª ª ª ª et: ossibiliddes: ou 6 (só ssim o úmero será mior que ) ª et: ossibiliddes (lembre se: os lgrismos devem ser distitos) ª et: ossibiliddes ª et: ossibiliddes ª et: ossibilidde Resost:... 8 UMA NOVA ABORDAGEM Eistem lgus roblems de álise combitóri cuj resolução, usdo se regr do roduto, é muito comlicd. Pr eles, dremos um ov bordgem. Assim, se um determido grumeto cd elemeto rece um úic ve, o grumeto é simles. Cso cotrário, ou sej, se um elemeto uder recer mis de um ve, o grumeto é dito com reetição. Desse modo, se queremos sber qutos úmeros de lgrismos distitos eistem o sistem deciml, devemos cosiderr cd úmero como um grumeto simles. Cso ão recesse lvr distitos o roblem, etão deverímos levr em cot tods s ossibiliddes e terímos úmeros com ou sem reetição. TIPOS DE AGRUPAMENTOS Bsicmete os grumetos que se formm com elemetos de um cojuto odem ser clssificdos em dois tios. Arrjos: grumetos que se distiguem um do outro el ture e el ordem de seus elemetos. Combições: grumetos que se diferecim es el ture de seus elemetos. Observção: Se em um grumeto do tio rrjo, usrmos todos os elemetos do cojuto cosiderdo, o grumeto ss ser chmdo de ermutção. Pr firmos bem esss oções, vmos clssificr os grumetos seguites: ) úmeros formdos or lgrismos o sistem deciml. Sej um tl úmero. Se mudrmos ordem de elo meos dois de seus lgrismos, o úmero mud de vlor. Logo, cd úmero é um rrjo. b) Triâgulos formdos com os cico otos tomdos sobre um circuferêci. Um triâgulo é obtido uido se três otos quisquer dos que form ddos. Como o triâgulo ABC e o triâgulo ACB ou BAC, etc. são o mesmo triâgulo, ordem dos elemetos ão mud o grumeto e temos um combição. c) Fils que odemos formr com essos Um fil se difereci de outr es el ordem de seus elemetos. Além disso, em cd fil todos os elemetos à oss disosição são usdos. Logo, cd fil é um ermutção. 6 Mtemátic M

17 A NOÇÃO DE FATORIAL Tecologi No róimo item, rederemos como clculr o úmero de grumetos que odemos formr com os elemetos de um cojuto. Necessitremos etão defiir oção de ftoril. Defiição: Sej um úmero turl. Etão:!!!. ( )......, se, ode o símbolo! lê se ftoril do úmero. Vej os eemlos:!.. 6!... 6! Observe que:!. ( )!. ( ). ( )! etc. Assim teremos: 7! 7. 6! 7. 6.! ! etc. CÁLCULO COMBINATÓRIO AGRUPAMENTOS SIMPLES. Arrjos simles Cosidere o seguite roblem: qutos úmeros de três lgrismos distitos odemos formr com os dígitos,,,,? Que cd úmero é um rrjo é óbvio, ois ordem dos lgrismos o úmero lter o grumeto. Queremos etão sber qutos rrjos tomdos odemos formr com lgrismos ddos. Esse vlor será reresetdo or: A.Usdo regr do roduto, temos que: A.. 6 Agor, observe: De um modo gerl, A...(. ).!! (! )! A! ( )!. Permutção Simles Como já foi dito, o úmero de ermutções de elemetos, (P), é igul o úmero de rrjos de elemetos tomdos. Logo: P!! A!,ou sej P! ( )!!. Combições Simles Reresetdo or C o úmero de combições simles de elemetos tomdos, teremos: C!!( )! Observe que: C. P A Mtemátic M 7

18 Tecologi.(MACK SP) O totl de úmeros, formdos com lgrismos distitos, miores que e meores que 9 e que são divisíveis or é: ) 96 d) 788 b) e) c) 686 ª hiótese 8! _; A 8 6! ª hiótese _ 6,7 ou 8 ou ;.. A 8 6 Resost: 6 6.(FUVEST SP) O úmero de grms d lvr FUVEST que começm e termim or vogl é: ) b) 8 c) 96 d) e). (UNESP) Sobre um ret mrcm se otos e sobre outr ret, rlel à rimeir, mrcm se otos. O úmero de triâgulos que obteremos uido quisquer desses 8 otos é: ) 6 b) 9 c) d) e) Cd triâgulo é um combição. Se ão houvesse otos lihdos, os 8 otos os drim C 8 triâgulos. Os otos sobre rimeir ret deim de determir C triâgulos e os outros otos deim de determir C triâgulos. Logo resost fil será: C C C CÁLCULO COMBINATÓRIO AGRUPAMENTOS COM REPETIÇÃO 6. Arrjos com reetição Se AR rereset qutidde de grumetos do tio rrjos com reetição, que odemos formr com os elemetos de um cojuto, tomdos, etão: 6. Permutção com reetição AR Um ermutção é dit com reetição se determidos elemetos recem mis de um ve. Assim, or eemlo, qulquer grm d lvr CASA é um ermutção com reetição, ois letr A rece vees. Prov se que: P,,..., k!!!...! totl de elemetos em cd ermutção.,,..., k k qutidde de vees em que os elemetos que se reetem recem em cd grumeto. 6. Combição com reetição Se CR rereset o úmero de combições com reetição de elemetos, tomdos, etão: CR C Eistem dus ossibiliddes: U _ E _ E _ U _. P.! 8 8 Mtemátic M

19 Tecologi. Qutos úmeros de três lgrismos odem ser formdos com os dígitos de 9, se o lgrismo é semre o lgrismo d cete? Como o roblem ão di que os lgrismos do úmero formdo são distitos, isso sigific que s reetições são dmitids. Portto, o totl rocurdo será: ; AR. Qutos são os grms d lvr ARARA? Letrs que se reetem: A: vees R: vees! Logo, o úmero de grms será:.!!. Podedo escolher etre os sbores hortelã, lrj e limão, de qutos modos um criç ode comrr bls? Cd gruo de bls ode ser cosiderdo como um combição de elemetos reetidos, escolhidos 7! etre os três sbores. Logo, resost será: CR C C 7!! BINÔMIO DE NEWTON NÚMERO BINOMIAL Sejm e úmeros com. Chmmos de úmero biomil de umerdor e clsse o úmero reresetdo or ( ) defiido or: ( ) Observe que ( ) C!!( )! PROPRIEDADES DOS NÚMEROS BINOMIAIS. Prorieddes Direts ( ) ; ( ) ; ( ) Esss rorieddes decorrem diretmete d defiição de úmero biomil.. Biomiis Comlemetres Dois biomiis são ditos comlemetres se tiverem o mesmo umerdor e se som dos deomidores for igul o umerdor. Assim, são comlemetres os biomiis: 8 8 ( ) e ( ); ( ) e ( ) Mtemátic M 9

20 Tecologi Mtemátic M Tmbém são comlemetres: ( ) ( ) e ; ) ( ( ) ( ) e ; ) ( Alicdo defiição de úmero biomil dois biomiis comlemetres, coclui se que: Dois úmeros biomiis comlemetres são iguis. Desse modo: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6 ( ) ( ) Como coseqüêci dess roriedde, temos que: ( ) ( ) q q ou q Eemlo: Resolv equção: ª hiótese: ; ª hiótese: ; Resost: ou. Relção de Stifel Ess relção cotece etre dois biomiis cosecutivos. Assim, são cosecutivos: ( ) e ( ) ; ( ) 8 e ( ) 9 e ; e e ssim or dite. A relção de Stifel os ermite somr dois biomiis cosecutivos. El ode ser dd de váris forms; um dels é: Eemlo: ) b) biomiis comlemetres. Relção de Fermt É tmbém um relção etre biomiis cosecutivos. Permite os clculr o vlor de um biomil em fução do biomil tecedete. Su demostrção é feit licdo se defiição de úmero biomil. Eemlos: ) b)

21 Tecologi Mtemátic M O DESENVOLVIMENTO DO BINÔMIO DE NEWTON Você sbe que: Agor, rere: Os coeficietes obtidos o desevolver esses biômios coicidem com os úmeros ds lihs do Triâgulo de Pscl. Assim, os coeficietes de, or eemlo, são chdos lih do Triâgulo de Pscl. Prov se que os coeficietes de estão lih do Triâgulo de Pscl. Além disso, os eoetes de decrescem de, e os de crescem de. Esss observções os ermitem etão escrever que: TRIÂNGULO DE PASCAL Pr torr osso trblho mis meo, vmos disor os úmeros biomiis form seguite:... Observe que os úmeros biomiis de mesmo umerdor estão mesm lih, e os úmeros biomiis de mesmo deomidor estão mesm colu. Além disso, os biomiis d rimeir colu vlem, ois têm o deomidor igul ero. O mesmo cotece com o último biomil de cd lih, que tem o umerdor e deomidor iguis. Além disso, relção de Stifel os ermite clculr os demis elemetos do triâgulo. Vej o triâgulo terior, ode se mostr que:, e ssim or dite. Usdo esss rorieddes chegmos fcilmete os vlores ssocidos o triâgulo, obtedo: lih ; lih ; lih ; lih ; lih ; 6 lih ;... A rtir dí, você ode, usdo s mesms rorieddes, obter quts lihs quiser. ) ( ) ( ) ( ) (.... ) (. ) (. ) ( ) ( Assim, temos que: Usdo lih do Triâgulo de Pscl r obter os coeficietes biomiis, teremos: ( ) 6 Pr desevolver ( ), use o mesmo rocedimeto, orém ltere os siis e, começdo semre com o sil de. Assim: ( ) 6 ) ( ) (. ) (. ) (. ) ( ) ( ) ( ) (

22 Tecologi UM RESULTADO INTERESSANTE Já vimos que: ( ) ( ). ( ). ( ).... ( ). Fedo, obtemos: ( ) ( ) ( ) ( )... ( ) ou ( ) ( ) ( )... ( ) Isso sigific que som dos elemetos d lih o Triâgulo de Pscl é. 6 O TERMO GERAL É muito rro ecessitrmos do desevolvimeto comleto do Biômio. O que gerlmete ocorre é recisrmos determir um termo do Biômio que resete lgum crcterístic como, or eemlo, o termo em 7, ou o termo ideedete de, e ssim or dite. Pr resolvermos um tl roblem, ão recismos de todo o desevolvimeto, ms sim do termo geérico do Biômio. Se você observr mis um ve fórmul do Biômio de Newto, verá que cd termo é d form: Além disso, se, temos o rimeiro termo; se, temos o segudo termo; ( ). e ssim sucessivmete. Logo: T ( ). rereset o termo que ocu osição (), e é fórmul do termo gerl do biômio ( ), segudo s otêcis decrescetes de. Ness fórmul, observe que: : rereset o eoete do biômio : rereset o rimeiro termo do biômio : rereset o segudo termo do biômio : úmero que é igul à osição do termo, meos um. Assim, se queremos T,. Pr o biômio ( ), temos T ( ) ( ).. Clcule o º termo o desevolvimeto de ( ). Como queremos o º termo ( T ), 9. Além disso, o rimeiro termo é, o segudo é e. Logo, el fórmul do termo gerl temos: T ( )( ). T... ; T Clcule, se eistir, o termo ideedete de, o desevolvimeto de: ( ) T ( )( ).( ). ( ) T ( ).... ( ) T ( )..( ) P P 8 8 P P P P P P 8 8 Termo ideedete é o termo em. Logo, queremos que: 8 ; 8. Como é turl, tl resost ão stisf, e etão o biômio ddo ão reset termo ideedete de. Observção: Se fosse edido, or eemlo, o termo em 7, o rciocíio seri semelhte, simlesmete colocrímos 8 7, terímos, e etão bstri substitui lo eressão do termo gerl. Mtemátic M

23 Tecologi. Clcule o termo médio, o desevolvimeto de ( ) 6. No desevolvimeto de ( ), obtemos termos. Logo, o biômio ddo tem 7 termos, e etão o termo médio é o º termo. Portto, e teremos: T ( 6 ) ( ). ( ). ( ) T ( ); T. Clcule som dos coeficietes o desevolvimeto de ( ). Pr obtermos es os coeficietes, o desevolvimeto de um biômio, bst fermos s vriáveis que recem ele iguis um. Etão, fedo teremos: S (.. ) ; S ; S MATRIZ DEFININDO MATRIZ Sejm m e iteiros ositivos. À tbel formd or m. elemetos disostos em m lihs e colus chmmos de mtri m (lê se mtri m or ).... M... ou M ( ij ) m m m m Observção: ij rereset o elemeto que está lih i e colu j. Eemlo: A ; um mtri or ( lihs e colus) Pr el, temos: ; ; ; Ess mtri ode tmbém ser reresetd dos modos seguir: A ou A PRINCIPAIS TIPOS DE MATRIZES ) Mtri Lih É quel que tem um úic lih. A ( ), B [ ] b) Mtri colu É quel que tem um úic colu. A B Mtemátic M

24 Tecologi Mtemátic M d) Mtri Digol Mtri qudrd cujos elemetos situdos for d digol ricil são ulos. c) Mtri Qudrd Tod mtri cujo úmero de lihs é igul o úmero de colu. Eemlo: A A f) Mtri Trigulr Mtri qudrd qul todos os elemetos colocdos em um mesmo ldo d digol ricil são ulos. A O X Os elemetos ij de um mtri qudrd com i j formm digol ricil. A outr digol é digol secudári. Assim, r mtri terior: digol ricil:,, digol secudári:,, e) Mtri Idetidde É tod mtri digol cujos elemetos d digol ricil são iguis. Um mtri idetidde de ordem é reresetd or I. g) Mtri Nul Todos os seus elemetos são ulos. IGUALDADE DE MATRIZES Defiição Dus mtries A e B são iguis (AB) se forem de mesm ordem e se seus elemetos corresodetes forem iguis. Observção: Elemetos corresodetes são elemetos de mesmo ídice. Em símbolos: Se A ( ij )m e B (b ij )m, etão: A B ij b ij, r i {,,..., m } e j {,,..., } Desse modo, temos que se A, B e C, etão: A B, orém A C (ois c ) MATRIZ TRANSPOSTA Dd um mtri A ( ij )m, chm se trsost de A, à mtri A t (b ij ) m tl que b ij ji Eemlos: ) Se A etão A t I I

25 Tecologi b) Se A etão A t Um mtri qudrd A se di simétric se A t A. Se A for simétric, os elemetos colocdos simetricmete em relção à digol ricil devem ser iguis. ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE MATRIZES Defiição Se A ( ij ) m e B (b ij ) m, som de A e B é mtri C (c ij ) m, tl que c ij ij b ij. Defiição Se A ( ij ) m, chm se oost de A, mtri A ( ij ) m Defiição Se A ( ij ) m e B (b ij ) m etão A B A ( B). As riciis rorieddes d dição são I) A B B A II) (A B) C A (B C) III) A A IV) A ( A) Observção: A e B são mtries m e é mtri ul m Se A é mtri qudrd com A t A, diemos que A é ti simétric. 6 MULTIPLICAÇÃO DE UMA MATRIZ POR UM NÚMERO REAL Defiição Sej A ( i j ) m e K IR Etão: K. A (b i j ) m tl que b i j k. i j Assim, se 6 A teremos A e A MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES ) Multilicção de um Mtri Lih or um Mtri Colu Sej A m e B m ode o úmero de colus de A é igul o úmero de lihs de B. Defiimos o roduto de A or B como sedo mtri C, obtid multilicdo se o º elemeto d lih de A elo º elemeto d colu de B, o º elemeto d lih de A elo º elemeto d colu de B e ssim sucessivmete té o último, e somdo se os rodutos ssim obtidos. Eemlo: Sej A ( ) e B Pr chr A. B, clculmos:.. ( ). ( ) 6, logo C ( ) Mtemátic M

26 Tecologi 6 Mtemátic M b) Multilicção de Mtries Codição de eistêci: Se A m e B q, só eiste A. B se q. O roduto será m. Pr efetur o roduto, multilicmos cd lih de A or cd colu de B, como já mostrdo o item A. Eemlo: Se A e 7 B A B será e etão C C C C C C.. 7 ( ). 9 C. ( ). ( ). C.. 7 ( ). 8 C. ( ). ( ). Etão: 8 9 C c) Prorieddes d Multilicção I) A multilicção de mtries ão é comuttiv. Se A. B B. A, diremos que A e B comutm. II) (A.B). C A. (B. C); III) A. (B C) A. B A. C IV) A. I I. A A V) Se A. B ão se ode cocluir que A ou B VI) Não vle lei do corte, ou sej se A. B A.C ão se ode cocluir que B C. 8 MATRIZ INVERSA Sej um mtri qudrd de ordem. Chm se ivers de A (se eistir) à mtri reresetd or A tl que A. A A. A I. Eemlo: Ache, se eistir, ivers de A Se eistir, d c b A Como queremos que A. A I, teremos: d c b. d b c d b c e etão: c c d b d b Resolvedo esses sistems, teremos:, b, c, d e etão A

27 9 PROPRIEDADES DA INVERSA ) (A ) A b) (A t ) (A ) t c) (A. B) B. A Tecologi PROPRIEDADES DA TRANSPOSTA ) (A t ) t A b) (A B) t A t B t c) (A. B) t B t. A t d) (K. A). A K DETERMINANTE DEFINIÇÃO DE DETERMINANTE Chmmos de determite de um mtri qudrd A o úmero ssocido A e defiido seguir. ) Determite d ª ordem Se A ( ), etão o determite de A, que idicremos or det A ou, será: det A b) Determite de ª ordem Se A etão det A.., ou sej, det A é o roduto dos elemetos d digol ricil meos o roduto dos elemetos d digol secudári. Eemlo:.. ( ) c) Determite de ª ordem Regr de Srrus Reetimos ª e ª colus. Multilicmos os elemetos d digol ricil e os elemetos ds digois que lhe são rlels e sommos. Multilicmos os elemetos d digol secudári e ds digois que lhe são rlels. Sommos esses rodutos e subtrímos d som chd teriormete. Eemlo: Clcule ( 6 ) ( 6 ) DEFINIÇÃO GERAL DE DETERMINANTE Pr defiir determite de ordem qulquer, recismos tes eteder o que é coftor. Coftor: sej A um mtri qudrd de ordem e ij um elemeto de A. Chm se coftor de ij e rereset se or A ij o úmero defiido or: A ij ( ) i j. D ij, ode D ij é o determite d mtri obtid surimido se de A, lih i e colu j. Eemlo: Sej A etão: A ( ). A ( ). Mtemátic M 7

28 Tecologi Podemos gor defiir o determite de ordem, o que é feito elo: Teorem de Llce O determite de um mtri qudrd A, de ordem, é igul à som dos rodutos dos elemetos de um fil qulquer (lih ou colu), elos resectivos coftores. Eemlo: Clcule É vtjoso tomrmos um fil que teh o mior úmero ossível de eros. Usremos etão ª colu deta. A. A. A. A. A. A. A Como A ( ). 7, teremos: det A. 7 Sugiro que você, utilido o teorem de Llce, rove que, se A é um mtri trigulr, seu determite é obtido multilicdo se os elemetos d digol ricil. PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES Os cálculos evolvedo determites ficm muito mis simles se usrmos s rorieddes seguir. P.) O determite de um mtri é igul o determite de su trsost: det A det A t P.) Se um mtri qudrd tem um lih ou colu de eros, seu determite é ulo. P.) Sej A um mtri qudrd de ordem. Se mtri B é obtid de A, trocdo de osição dus lihs (ou dus colus) quisquer, etão: det B det A P.) Se um mtri A ossui dus lihs (ou colus) iguis etão det A. P.) Multilicdo se um lih (ou colu) de um mtri A, or um úmero rel K, ão ulo, seu determite fic multilicdo or K. Coseqüêci: det (K.A) K. det A P.6) Se um mtri ossui dus lihs (ou colus) roorciois, etão det A. P.7) Teorem de Cuch A som dos rodutos dos elemetos de um lih (ou colu) de um mtri elos resectivos coftores de outr lih (ou colu) é igul ero. P.8) Teorem de Jcobi Se multilicrmos um lih (ou colu) de um mtri A or um úmero diferete de ero e diciormos o resultdo outr lih (ou colu), obtemos um mtri B, tl que det A det B. P.9) Teorem de Biet Se A e B são mtries qudrds de mesm ordem, etão det (A. B) det A. det B. Ess últim roriedde tem um coseqüêci imortte. Sej A um mtri iversível. Etão: A. A I. Logo: det (A. A ) det I e usdo P.9 e lembrdo que det I, teremos: det A. det A Portto, se A dmite ivers, det A, e esse cso, det A det A. 8 Mtemátic M

29 Tecologi 9 Mtemátic M ABAIXAMENTO DA ORDEM REGRA DE CHIÓ Sej A ( ij ) um mtri qudrd, e q um elemeto de A, tl que q. Pr clculr o det A, el regr de Chió, rocede se do seguite modo: surime se lih e colu q. dos elemetos resttes subtrímos o roduto dos elemetos que se ecotrm s erediculres trçds do elemeto cosiderdo às fils que form surimids. formmos um mtri B com s difereçs ssim obtids. det A ( ) q. detb. Observção: Se mtri A ão houver ehum elemeto igul, usdo s rorieddes é ossível fer tl elemeto recer. Eemlo: Clcule, usdo CHIÓ ). (.. ) )( ( ). ( ). ( ). (... ) ( MATRIZ DE VANDERMONDE Um mtri qudrd, de ordem, se di mtri de Vdermode se el for d form: A os elemetos de um mesm colu formm um P.G. os elemetos d ª lih são chmdos de elemetos crcterísticos. Se,,..., são elemetos crcterísticos de um mtri de Vdermode, seu determite é obtido multilicdo se tods s difereçs i j com i > j. Eemlo: Clcule D Como s colus formm um P.G., trt se de um mtri de Vdermode, de elemetos crcterísticos,,,. Etão: D ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 8

30 Tecologi SISTEMAS LINEARES EQUAÇÃO LINEAR Chmmos de equção lier tod equção d form... b Um seqüêci (,,..., ) é um solução d equção. Se substituição de, or, or, or torr seteç verddeir. Eemlo: Sej equção lier 7 (,, 8) é solução ois. ( 8) 7. Já (,, ) ão é solução ois. ( ) e 7. Observe que: equção... b, com b ão dmite solução. equção..., tem qulquer seqüêci (,,..., ) como solução. SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES Chmmos de sistem de equções lieres ou sistem lier um cojuto de dus ou mis equções lieres. Eemlo: S m m m b b b m A seqüêci (,,..., ) é solução do sistem S, se for solução de tods s equções de S. Um sistem se clssific em: A) Sistem ossível ou comtível: é quele que ossui solução. se ess solução é úic, o sistem é comtível determido. se tivermos mis de um solução, o sistem é idetermido. B) Sistem imossível ou icomtível: é quele que ão ossui solução. Se todos os termos ideedetes de um sistem (b j ) forem ulos, o sistem se di homogêeo. Se um sistem é homogêeo, seqüêci (,,..., ) é solução, chmd solução trivil. REGRA DE CRAMER A regr de Crmer é um técic que os ermite resolver es sistems qudrdos, ou sej, sistems em que o úmero de equções é igul o úmero de icógits. Sej o sistem: S b b b Chmremos de D o determite formdo elos coeficietes de cd equção do sistem. D Mtemátic M

31 Tecologi D( i ) é o determite d mtri que se obtém, substituido se colu i de D, el colu dos termos ideedetes. A regr de Crmer firm que, se D, etão Eemlo: i D ( i ) D Resolver o sistem D D D D 6 Como D, o sistem é comtível e determido. D Logo: D D D D 6 D Resost: (,, ) O MÉTODO DO ESCALONAMENTO O método do esclometo é um método gerl de resolução de sistems lieres, ão resetdo s restrições d Regr de Crmer. Um sistem se di esclodo qudo umet de um equção r seguite o úmero de coeficietes iiciis ulos, té que sobrem, evetulmete, equções ode todos os coeficietes iiciis são ulos. Num sistem esclodo, um equção do tio ode ser surimid, ois qulquer seqüêci (,,..., ) é solução. Já se um sistem tivermos um equção do tio... b, com b, o sistem é icomtível, ois tl equção ão tem solução. Num sistem esclodo, s icógits que ão recem o iício de ehum ds equções são chmds de vriáveis livres, e qutidde dels chm se gru de idetermição do sistem. Eemlo: Sej o sistem: S Esse sistem está esclodo, é vriável livre, e o seu gru de idetermição é. Dois sistems S e S são equivletes (S S ) se ossuem o mesmo cojuto solução. Pr obtermos sistems equivletes, usmos s trsformções elemetres, que são oerções efetuds sobre s equções do sistem, que o trsformm em outro equivlete. São els: T.) Trocr ordem ds equções. T.) Trocr ordem ds icógits. T.) Multilicr um ds equções do sistem or um úmero ão ulo. T.) Substituir um ds equções do sistem, el som del com um outr, revimete multilicd or um úmero ão ulo. Mtemátic M

32 Tecologi Mtemátic M. Resolv o sistem Iicilmete troque de osição ª e ª equções, ois ssim o rimeiro elemeto d ª equção será. ; Agor, r err os termos em ª e ª equção, multilicmos ª equção or e sommos com ª e deois multilicmos ª equção or e sommos com ª equção. ; 6 7 Dí vem: 6 7 ; ; 6 6 De 6 6 vem e substituido em, obtemos,, e dí: ; ; Resost: (,, ) 7 7. Trocdo ª e ª equção de osição vem: 7 7 ; ; últim equção mostr que o sistem é icomtível. 7

33 Tecologi Mtemátic M. Resolv: ; 8 8 ; Logo, o sistem tem um vriável livre, que é. Se fiermos, teremos: ;. ( ) ; 7 Logo solução é: ( 7,, ) DISCUSSÃO DE SISTEMAS LINEARES Discutir um sistem é clssificá lo em determido, idetermido ou icomtível, em fução do(s) râmetro(s) que rece(m) s equções do sistem. Pr discutir um sistem, utiliremos o esclometo. Vej lgus eemlos: ) Discutir o sistem: m m m m m m 9 m m Logo: Se 9 m ou sej, se m 9, o sistem é icomtível. Se 9 m, ou sej, se m 9, o sistem terá um vriável livre e será comtível idetermido. b) Discutir o sistem b ) ( 6 8 b b ) ( 6 8 b 8 b ) ( b ) ( Como o sistem já está esclodo, temos: Pr, ou sej, r, o sistem será comtível e determido com 8 b e dí tir se e. Se, ou sej, se, últim equção se trsform em b 8. Logo: Se b 8, ou sej, se b, o sistem é icomtível. Se b 8, ou sej, se b, o sistem é idetermido. Em resumo: Se, o sistem é comtível determido. Se, e b, o sistem é idetermido. Se e b, o sistem é icomtível.

34 Tecologi PROGRESSÃO ARITMÉTICA E PROGRESSÃO GEOMÉTRICA SEQÜÊNCIA DE NÚMEROS REAIS Iformlmete fldo, um seqüêci é um cojuto cujos elemetos são cosiderdos em ordem. Eemlo: ) (,,, 7, 9...) seqüêci dos úmeros ímres. b) (,,, 6, 8, ) seqüêci dos úmeros turis res meores que. REPRESENTAÇÃO GENÉRICA DE UMA SEQÜÊNCIA (,,,..., ) : idic o º termo. : idic o º termo : idic o eésimo termo. Eemlos: Sej seqüêci (,,,,, ), temos que: ; ; 6 TERMOS EQÜIDISTANTES DOS EXTREMOS Dois termos de um seqüêci são eqüidisttes dos etremos se o úmero de termos que tecedem o rimeiro é igul o úmero de termos que seguem o segudo. É fácil erceber que dois termos são eqüidisttes dos etremos se som de seus ídices é igul à som dos ídices dos termos etremos. Eemlo: Sej seqüêci (,..., ) e 6 são eqüidisttes dos etremos ois 6 8 e ão são eqüidisttes dos etremos ois 8 REPRESENTAÇÃO DE UMA SEQÜÊNCIA Um seqüêci ode ser dd trvés d fórmul do termo gerl ou trvés de um fórmul de recorrêci. Vej: ) Escrev os três rimeiros termos d seqüêci, cujo termo gerl é:.,.. 8 Resost:,, 8 b) Sej seqüêci tl que e.. Escrev os três rimeiros termos del Resost:, 6, 8 Mtemátic M

35 PROGRESSÃO ARITMÉTICA (P.A.) Defiição Tecologi Chmremos de rogressão ritmétic (P.A.) à seqüêci ode cd termo, rtir do segudo, é igul o terior somdo com um costte, que deomiremos de rão (r) d P.A. Eemlos: ) (, 7,,,...) P.A. de rão r b) (6,,,,,...) P.A. de rão r c) (,,,...) P.A. de rão r Observe que, se (,,..., ) é um P.A., etão: r... Além disso, el defiição dd, teremos: r r ( r) r r r ( r) r r e de um modo gerl: ( ). r fórmul do termo gerl. Podemos chr um outr fórmul mis gerl. Sej (,,..., k,..., ) um P.A. de rão r. Pel fórmul do termo gerl temos: ( ) r r r k (k ) r k kr r Portto: k r r kr r ou Eemlos: k ( k). r A rimeir fórmul os ermite escrever: 7 6r, 9r etc. A segud os ermite escrever: r, 9 6 r, 7 r, etc. 6 PROPRIEDADES DE UMA P.A. P.) Ddos três termos cosecutivos de um P.A., o termo do meio é médi ritmétic dos outros dois. Demostrção: Sejm,, termos cosecutivos de um P.A. de rão r. Etão, el defiição, teremos: r r Somdo m..m. esss igulddes, ecotrmos: ou P.) A som de dois termos eqüidisttes dos etremos é igul à som dos etremos de um P.A. Demostrção: Dd P.A. (,...,,..., q,..., ) sejm e q termos eqüidisttes dos etremos. Etão, teremos q ou q (I). Além disso: ( ) r q ( q) r q ( ) r, ois q Logo, subtrido m..m., obteremos: q ( ) r ( ) r ou q e dí q Mtemátic M

36 Tecologi Coseqüêcis desss rorieddes: ª) Se q r s etão q r s Assim, odemos escrever: 6 ª) Num P.A. fiit, com um úmero ímr de termos, o termo cetrl é médi ritmétic etre os etremos, ou etre qulquer r de termos eqüidisttes dos etremos. 7 SOMA DOS TERMOS DE UMA P.A. Sej P.A. (, r, r,..., r, r, ). Etão: S r r... r r ou S r r... r r Somdo m..m. obtemos: S ( ) ( )... ( ) rcels Logo: S ( ). e etão ( ). s. 8 PROGRESSÃO GEOMÉTRICA (P.G.) Defiição Chm se rogressão geométric (P.G.) tod seqüêci ode cd termo, rtir do segudo, é igul o terior, multilicdo or um costte, que chmremos de rão (q) d P.G. Eemlos: (, 6,,,...), P.G. de rão q. (,, 9, 7,...), P.G. de rão q. (8, 6,,,...), P.G. de rão q. (,,,...) P.G. de rão q. Observção: Pr se chr rão de um P.G., bst dividir um termo qulquer elo terior. Se (,,..., ) é um P.G. temos:. q. q (. q). q. q. q (. q ). q. q e otdo que o eoete d rão é semre um uidde meor que o ídice do termo em questão, teremos:. q termo gerl d P.G. De modo álogo o que fiemos r P.A., rov se que: k. q k. Vej: 7. q 6,. q 9. q, 7. q 6 Mtemátic M

37 9 PROPRIEDADES DE UMA P.G. Tecologi P.) Ddos três termos de um P.G., o termo do meio é médi geométric etre os outros dois. Ou sej: Se, b, c estão em P.G., b c. P.) O roduto de dois termos eqüidisttes dos etremos é igul o roduto dos etremos de um P.G. Coseqüêcis de P.. ª) Se r s t etão. r s. t ª) Em um P.G. de úmero ímr de termos, o termo cetrl é médi geométric etre os etremos, ou etre dois termos eqüidisttes dos etremos. Tete rovr esss rorieddes. As demostrções são recids com o que fiemos r s P.As. SOMA DOS TERMOS DE UMA P.G. FINITA Sej (,,,...,,, ) um P.G. fiit de rão q. Etão: S... Multilicdo or q, obtemos: qs q q q.... q. q. q ou qs... q Portto: qs S q, e dí vem: S q q Usdo fórmul. q, rov se tmbém que: S SOMA DOS TERMOS DE UMA P.G. INFINITA ( q ) q Sej (,,...,,...) um P.G. ifiit cuj rão q é tl que q <. Já sbemos que: S ( q ). Fedo teder ifiito. q q tederá ero e S tede : S q Lembre se: ess fórmul só vle r P.Gs. ode q <. Mtemátic M 7

38 Tecologi GEOMETRIA ESPACIAL I PRISMA DEFINIÇÃO Sejm α e β dois los rlelos, R um região β P oligol em α, e r um ret cuj iterseção com α é um oto eterior R. Chm se rism, à reuião de todos os segmetos PP rlelos r, com P em R e P em β. α P R ELEMENTOS DE UM PRISMA Elemetos: C β r ABC e A B C : bses A B AB é um rest d bse (quis são s outrs?) AA é um rest lterl (quis são s outrs?) C h AA BB é um fce lterl (quis são s outrs?) h é ltur do rism (distâci etre os los d bse) A B α Obs.: Se s rests lteris são oblíqus em relção os los d bse, o rism é um rism oblíquo. Se s rests lteris são erediculres os los ds bses o rism é um rism reto (h rest lterl) h CLASSIFICAÇÃO Prism trigulr: s bses são triâgulos Prism qudrgulr: s bses são qudriláteros Prism etgol: s bses são etágoos e ssim or dite. Prism regulr: é o rism reto, cujs bses são olígoos regulres. SECÇÕES Prism regulr trigulr Prism regulr etgol Secção trsversl de um rism: é iterseção desse rism com um lo rlelo às bses. Secção ret de um rism: é iterseção desse rism com um lo erediculr às sus rests lteris. 8 Mtemátic M

39 PARALELEPÍPEDO Tecologi Prleleíedo é o rism cuj bse é um rlelogrmo. Prleleíedo retâgulo (ou reto retâgulo ou ortoedro) é um rism reto, cuj bse é um retâgulo. Cubo é um rleleíedo retâgulo o qul tods s seis fces são qudrdos. Eemlos: Prleleíedo oblíquo As seis fces são rlelogrmos Prleleíedo reto Fces lteris retâgulos bses: rlelogrmos Prleleíedo retâgulo As seis fces são retâgulos Cubo As seis fces são qudrdos 6 DIAGONAL DE UM PARALELEPÍPEDO RETÂNGULO Sejm, b, c s dimesões do rleleíedo retâgulo. No triâgulo ABC, temos: d f b No triâgulo ACC, temos: d d f c e substituido: d b c. Logo: d b c 7 ÁREA TOTAL DE UM PARALELEPÍPEDO RETÂNGULO (S t ) S t é áre de 6 retâgulos com dimesões, b com dimesões, c com dimesões b, c Logo: S t b c bc S t ( b c bc ) Mtemátic M 9

40 Tecologi 8 VOLUME DO PARALELEPÍPEDO RETÂNGULO (V) Um rleleíedo retâgulo de dimesões, b, c, tem um volume ddo or: V. b. c 9 DIAGONAL, ÁREA TOTAL E VOLUME DE UM CUBO Como um cubo é um cso esecil de rleleíedo retâgulo, s fórmuls teriores são válids r ele, bstdo fer b c. Teremos etão: d, Obs.: é rest do cubo. t S 6, V VOLUME DE UM PRISMA QUALQUER O volume de um rism qulquer é igul o roduto d áre d bse (B) el ltur (h) V B. h LEMBRETES IMPORTANTES A) Altur e áre de um triâgulo equilátero h S B) Áre de um heágoo regulr A áre do heágoo é seis vees áre do triâgulo equilátero de ldo S 6., S C) Aótem do heágoo regulr (m) O ótem do heágoo regulr coicide com ltur de um triâgulo equilátero. m DEFINIÇÃO E ELEMENTOS Mtemátic M II PIRÂMIDE Defiição: Sej α um lo, R um região oligol em α e V um oto ão ertecete α. Chm se irâmide à reuião de todos os segmetos com um ds etremiddes um oto de R e outr o oto V. Elemetos Vértice: é o oto V. Bse: é o olígoo ABCDE Arests d bse: são os ldos d bse: AB, BC,... Arests lteris: VA, VB,... VE Fces lteris: são os triâgulos VAB, VBC,... Altur: é distâci do vértice o lo d bse.

41 CLASSIFICAÇÃO Tecologi Pirâmide trigulr ou tetredro: bse é um triâgulo. Pirâmide qudrgulr: bse é um qudrilátero. Pirâmide etgol: bse é um etágoo e ssim or dite. Se bse é um olígoo regulr, e rojeção ortogol do vértice sobre o lo d bse for o cetro desse olígoo, irâmide é um irâmide regulr. Num irâmide regulr, s fces lteris são triâgulos isósceles cogruetes. A ltur de um fce lterl de um irâmide regulr em relção o ldo d bse chm se ótem d irâmide. VO ltur (h) OM ótem d bse () VM ótem d irâmide (m) VOLUME DE UMA PIRÂMIDE Em um irâmide cuj áre d bse é B e ltur é h, o volume é: SECÇÃO TRANSVERSAL DE UMA PIRÂMIDE Observe que: m h V B. h Chm se secção trsversl de um irâmide à iterseção d irâmide com um lo rlelo à bse. Sedo h ltur d irâmide V(ABCD) e d distâci d secção trsversl o vértice V d irâmide, temos: ) b) A ' B ' B ' C ' d... AB BC h VA ' VA VB ' VB... d h c) áre d seção áre d bse d h d) VolumeV ( A ' B ' C ' D VolumeV ( ABCD ) ' ) d h Observção: As relções cim são válids r qulquer irâmide. TRONCO DE PIRÂMIDE A secção trsversl de um irâmide divide em dois outros sólidos. O que cotém o vértice é um ov irâmide. O que cotém bse é um sólido que chmremos de troco de irâmide. Bse mior: é bse d irâmide origil Reresetremos su áre or B. Bse meor: é secção trsversl. Su áre será reresetd or b. Altur do troco: é distâci etre os los ds bses (h). h O volume do troco de coe é: V (B B. b b ) Mtemátic M

42 Tecologi 6 TETRAEDRO REGULAR Chmmos de tetredro regulr à irâmide regulr qul s qutro fces são triâgulos equiláteros cogruetes. Áre totl do tetredro regulr ( S t ) S t vees áre de um triâgulo equilátero de ldo. Portto S t. ou S t Altur do tetredro regulr (h) Sej rest do tetredro. Como o tetredro é regulr, o oto O é o bricetro do triâgulo ABC, e como esse triâgulo é equilátero teremos: AO. Volume do tetredro regulr (V) No triâgulo VOA, temos: h e dí vem 6 h V. B. h, ode B é áre d bse. Ms B ; etão V. 6. V III CILINDRO DEFINIÇÃO E ELEMENTOS Defiição: Sejm α e β los rlelos, C um círculo cotido em α e r um ret que itercet α em A e β em B.. Chm se cilidro à reuião de todos os segmetos cogruetes e rlelos AB, que têm um etremidde o círculo C e outr o lo β. Elemetos de um cilidro Bses: são os círculos de cetro O e O. Altur (h): é distâci etre os los ds bses. Eio: é ret OO que cotém os cetros ds bses. Gertri: qulquer segmeto rlelo o eio e com etremiddes s circuferêcis ds bses. CLASSIFICAÇÃO Cilidro reto: s gertries são erediculres os los d bse. Cilidro oblíquo: s gertries ão são erediculres os los d bse. Observção: O cilidro reto é tmbém chmdo de cilidro de revolução. g r h Cilidro Cilidro Cilidro reto oblíquo equilátero Mtemátic M

43 Tecologi Secção Meridi É iterseção de um cilidro reto com um lo que cotém o eio. A secção meridi gerlmete é um retâgulo. Se el for um qudrdo, o cilidro é chmdo cilidro equilátero. ÁREA LATERAL Se você brir o cilidro obterá um retâgulo de bse π r e ltur h. h Logo, áre lterl do cilidro será S I π rh π r ÁREA TOTAL É áre lterl crescid d áre ds dus bses. Logo: S t π rh π r ou: S t π r ( h r ) VOLUME DE UM CILINDRO É ddo or: V π r. h IV CONE DEFINIÇÃO ELEMENTOS Defiição: Sej C um círculo de cetro O e rio r, cotido um lo α, e V um oto for desse lo. Chmmos de coe circulr ou coe à reuião de todos os segmetos cujos etremos são o oto V e um oto do círculo. Elemetos: Vértice: oto V Bse: círculo de cetro O Altur: distâci de V o lo d bse Eio: ret VO Gertri: segmetos com etremos em V e um oto d circuferêci d bse. o Mtemátic M

44 Tecologi CLASSIFICAÇÃO Coe oblíquo: o eio é oblíquo à bse Coe reto: o eio é erediculr à bse Observção: ) O coe reto tmbém é chmdo de coe de revolução. Ele ode ser gerdo el rotção comlet de um triâgulo retâgulo em toro de um de seus ctetos. Coe oblíquo Coe reto Observção: ) Num coe reto temos: g h r Secção meridi: é iterseção do coe com um lo que cotém o eio. A secção meridi de um coe reto é um triâgulo isósceles. Coe equilátero: é o coe cuj secção meridi é um triâgulo equilátero. Num coe equilátero g r e h r ÁREA LATERAL E ÁREA TOTAL DE UM CONE Áre lterl Destcdo bse de um coe, cortdo o direção de um gertri, obtemos um lificção do coe que será um setor circulr de rio g e cujo rco tem comrimeto π r. r l. r D geometri l, sbemos que áre de um setor circulr de rio r e rco de comrimeto l é S Portto, áre lterl do coe será: π r. g S S l π r g Áre totl ' S t S l S bse S t π r g π r S t π r ( g r ) π r Mtemátic M

45 VOLUME DO CONE V π r h, r rio d bse e h ltur SECÇÃO TRANSVERSAL DE UM CONE Tecologi É iterseção de um coe com um lo rlelo o lo de su bse. Um secção trsversl divide o coe em dus rtes: um coe meor e um troco de coe. São válids s relções: ) r h S secção h V b) h R H R c) ode: bse H V H V volume do coe de ltur h V volume do coe de ltur H r 6 TRONCO DE CONE Como já dissemos teriormete, é um ds rtes em que o coe fic dividido or um secção trsversl. Se o coe origil que foi secciodo for um coe reto, o troco é chmdo troco de coe reto de bses rlels. Áre lterl de um troco de coe reto de bses rlels Sej S it áre lterl do troco, S l áre lterl do coe de gertri G e S l áre lterl do coe de rio d bse r. Etão: S lt S l S l S lt π RG π r(g g) π RG π rg π rg S lt π (RG rg rg) π [G(R r) rg] D semelhç dos triâgulos VAO e VBO, tirmos: VA AO ' VB BO ou G g G r R gr e dí G. Substituido R r gr vem S lt π [. ( R r ) rg ] π ( gr rg ) e etão: R r A S It π ( R R rio d bse mior do troco r ) g r rio d bse meor do troco h ltur do troco Áre totl de um troco de coe reto de bses rlels. Mostre você que: S lt π [ R ( g R ) r ( g r )] Volume do troco de coe reto de bses rlels. π h V ( R Rr r R rio d bse mior do troco ) r rio d bse meor do troco h ltur do troco Mtemátic M

46 Tecologi V ESFERA ESFERA É o cojuto dos otos do esço, cuj distâci um oto ddo O, é meor ou igul R, ode R > O é o rio d esfer. SUPERFÍCIE ESFÉRICA É o cojuto dos otos do esço, cuj distâci um oto ddo O, é igul R, sedo R > O, o seu rio. Observção: A suerfície esféric é csc d esfer. SECÇÃO CÍRCULO MÁXIMO Secção d esfer: é iterseção d esfer com um lo secte. A secção de um esfer é um círculo. Círculo máimo: é iterseção d esfer com um lo secte que ss elo seu cetro. Observe que: d r R PÓLOS, EQUADOR, PARALELOS E MERIDIANOS Pólos: São s iterseções d suerfície esféric com o eio (P e P ) Equdor: é secção erediculr o eio que ss elo cetro d suerfície esféric (circuferêci máim) Prlelo: é tod secção d suerfície esféric rlel o equdor. Meridio: é um secção d suerfície esféric, cujo lo ss elo eio (é tmbém um circuferêci máim) DISTÂNCIAS POLARES Chm se distâci olr à distâci de um ólo um oto qulquer de um rlelo. Eemlo: P A e P A ' são distâcis olres. Cálculo d distâci olr. Sejm: R: o rio d esfer d: distâci do cetro d esfer o lo d secção. O triâgulo P AP é retâgulo. Etão, usdo s relções métrics os triâgulos retâgulos obtemos: P A P P. P O ' R. ( R d distâci do cetro O o lo secte R rio d esfer r rio d secção d ) P A P P. P O ' ' R. ( R d ) 6 Mtemátic M

47 6 O VOLUME DA ESFERA Tecologi O volume de um esfer de rio R é: V π R 7 ÁREA DA SUPERFÍCIE ESFÉRICA A áre d suerfície esféric de rio R é: S π R 8 FUSO ESFÉRICO É suerfície obtid elo giro de grus ( < α < 6 ) em toro do eio de um semicircuferêci com etremiddes os ólos. Áre do fuso esférico Como o fuso é um rte d suerfície esféric, odemos clculr su áre or um regr de três. Bst observr que, se α 6 (ou α π rd ), o fuso se trsform suerfície esféric. A) α é ddo em grus. 6º R S S B) α é ddo em rdios rd R S S Observção: O fuso é csc de um gomo de lrj. 9 CUNHA ESFÉRICA Se defiição terior, substituirmos semi circuferêci or um semi círculo obtemos um sólido que é chmdo de cuh esféric (gomo de lrj). Volume d cuh A) é ddo em grus. π R α 9 r α 6 π R V π R α V 7 B) é ddo em rdios π rd π R V R V α Mtemátic M 7