Congruências de grau 2 e reciprocidade quadrática. Seja p > 2 um número primo e a,b,c Z com a não divisívelpor p. Resolver

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1 Polos Olímicos de Treinmento Curso de Teori dos Números - Nível 3 Crlos Gustvo Moreir Aul 9 Congruêncis de gru e recirocidde qudrátic 1 Congruêncis de Gru Sej > um número rimo e,b,c Z com não divisívelor. Resolver equção qudrátic x +bx+c 0 (mod ) é o mesmo que resolver (comletndo qudrdos) (x+b) b 4c (mod ) (note que e são invertíveis módulo ). Assim, estmos interessdos em encontrr critérios de existênci de soluções d equção X d (mod ). Se equção cim dmite solução (i.e. se d é um qudrdo erfeito em Z/Z) então dizemos que d é um resíduo ou resto qudrático módulo. Há extmente ( + 1)/ resíduos qudráticos módulo, sber ( ) 1 0,1,,3,..., mod já que todo inteiro x é congruente ±i mod r lgum i tl que 0 i ( 1)/, de modo que x é congruente um dos números d list cim. Note que módulo estes números são todos distintos: de fto, temos que i j (mod ) (i j)(i+j) i j ou i+j i ±j (mod ) Ms como 0 i,j ( 1)/ 0 < i+j 1 ou i j 0, temos que únic ossibilidde é i j (mod ). Embor sibmos list comlet dos resíduos qudráticos, n rátic ode ser difícil reconhecer se um número é ou não resíduo qudrático. Por exemlo, você sbe dizer se é resíduo qudrático módulo 1019? Veremos seguir o teorem d recirocidde qudrátic, que ermite resonder ests questões de mneir bstnte eficiente.

2 POT 01 - Teori dos Números - Nível 3 - Aul 1 3CONGRUÊNCIAS - Crlos Gustvo DEMoreir GRAU 1.1 Resíduos Qudráticos e Símbolo de Legendre Sej > um número rimo e um inteiro qulquer. Pr simlificr cálculos e notções definiremos o chmdo símbolo de Legendre: ( ) 1 se e é um resíduo qudrático módulo 0 se 1 cso contrário Proosição 1 (Critério de Euler). Sej > um rimo e um inteiro qulquer. Então ( ) ( 1)/ (mod ). Demonstrção. Pr 0 (mod ) o resultdo é clro, de modo que odemos suor. Pelo teorem de Fermt temos que 1 1 (mod ), donde ( 1 1)( 1 +1) 0 (mod ) 1 1 ou ±1 (mod ). Assim, devemos mostrr que 1 1 (mod ) se, e só se, é um resíduo qudrático módulo. Se é um resíduo qudrático, digmos i (mod ), novmente elo teorem de Fermt temos que 1 i 1 1 (mod ). Assim, os resíduos qudráticos 1,,...,( 1 ) módulo são rízes do olinômio f(x) x 1 1 em Z/()[x]. Ms Z/() é coro, logo f(x) ode ter no máximo degf ( 1)/ rízes em Z/(). Isto mostr que s rízes de f(x) são extmente os resíduos qudráticos não congruentes zero módulo e que, ortnto, 1 1 (mod ) se, e só se, é um resíduo qudrático módulo. Corolário. O símbolo de Legendre ossui s seguintes rorieddes: 1. se b (mod ) então ( ) ( b ).. ( ) 1 se. 3. ( ) 1 1 ( 1), ou sej, 1 é resíduo qudrático módulo se, e só se, 1 (mod 4). 4. ( b ) ( )( b ). Demonstrção. Os itens 1 e são imeditos rtir d definição e 3 segue do critério de Euler: ( ) 1 1 ( 1) (mod ) ( ) 1 1 ( 1) já que >

3 POT 01 - Teori dos Números - Nível 3 - Aul 1 3CONGRUÊNCIAS - Crlos Gustvo DEMoreir GRAU e mbos os ldos d congruênci são iguis ±1. D mesm form, licndo o critério de Euler temos que ( ) ( )( ) b (b) b b (mod ), o que mostr que ( b ) ( )( b ), ois novmente mbos os ldos d congruênci são iguis ±1. Exemlo 3. Mostre que o olinômio f(x) x 4 10x +1 é irredutível em Z[x], ms é redutível módulo r todo rimo. Solução: Vejmos que f(x) é irredutível em Z[x]. Observe inicilmente que s rízes de f(x) são tods irrcionis: se,q Z são tis que mdc(,q) 1 e f(/q) q + q 4 0, temos d últim iguldde que q 4 q ±1 e q 4 ±1 já que e q são rimos entre si, logo /q ±1, nenhum ds quis é riz de f(x) (cujos zeros são ± ± 3). Logo se f(x) for redutível ele é o roduto de dois olinômios de gru, que odemos suor mônicos. Como o roduto dos coeficientes indeendentes destes dois ftores deve ser igul o coeficiente indeendente de f(x), que é 1, temos ens dus ossibiliddes: f(x) (x +x+1)(x +bx+1) f(x) (x +x 1)(x +bx 1) ou com,b Z. Em mbos os csos, temos +b 0 (coeficiente de x 3 ). Logo, no rimeiro cso, comrndo o coeficiente de x temos b+ 10 1, o que é imossível. O segundo cso é nálogo. Agor, r e 3 temos f(x) (x+1) 4 (mod ) e f(x) (x +1) (mod 3). Agor se > 3 é um rimo, temos que ou ( ( ) 1, ou 3 ( ) 1 ou 6 ) 1 já que ( )( 3 ) ( 6 ). No rimeiro cso, se (mod ) temos f(x) (x +x 1)(x x 1) (mod ). Já no segundo cso, se b 3 (mod ) temos f(x) (x +bx+1)(x bx+1) (mod ). Finlmente, no último cso, se c 6 (mod ) temos f(x) (x +c 5)(x c 5) (mod ). Isto mostr que f(x) é redutível módulo r todo rimo. 3

4 POT 01 - Teori dos Números - Nível 3 - Aul 1 3CONGRUÊNCIAS - Crlos Gustvo DEMoreir GRAU 1. Lei de Recirocidde Qudrátic O critério de Euler já nos fornece um mneir de identificr resíduos qudráticos. Entretnto, vmos rovr um resultdo muito mis forte, que é fmos Teorem 4 (Recirocidde Qudrátic). 1. Sejm e q rimos ímres distintos. Então ( )( ) q ( 1) 1 q 1. q. Sej um rimo ímr. Então ( ) { ( 1) 1 1 se ±1 (mod 8) 8 1 se ±3 (mod 8). Antes de resentr rov, vejmos lgums licções. Exemlo 5. Determinr se 90 é resíduo qudrático módulo 1019 ou não. Solução: ( ) ( )( )( )( ) ( ) 1019 ( 1) ( 1) 1 5 ( ) ( ) Ou sej, 90 é resíduo qudrático módulo Exemlo 6. Sej um número rimo. Mostre que 1. se é d form 4n+1 então n n 1.. se é d form 4n 1 então n n +( 1) n+1 n. Solução: No rimeiro item, 4n 1 (mod ), donde elevndo n obtemos (4 n n n n ( 1) n (mod ). Por outro ldo, elo critério de Euler e el recirocidde qudrátic temos n 1 ( 1) 1 8 ( 1) n(n+1) ( 1) n (mod ). Portnto n n 1 (mod ), como querímos demonstrr. No segundo item, temos 4n 1 (mod ) e ssim (4 n n n n 1 (mod ), ms n 1 1 ( 1) 1 8 ( 1) n(n 1) (mod ), donde n ( 1) n (mod ). Concluímos que n n ( 1) n (mod ) e multilicndo or n e utilizndo 4n 1 (mod ) obtemos n n n ( 1) n (mod ), como desejdo. 4

5 POT 01 - Teori dos Números - Nível 3 - Aul 1 3CONGRUÊNCIAS - Crlos Gustvo DEMoreir GRAU O rimeiro sso d demonstrção d lei de recirocidde qudrátic é o seguinte Lem 7 (Guß). Sejm > um número rimo e um inteiro ositivo rimo reltivo com. Sej s o número de elementos do conjunto {,,3,..., 1 } tis que seu resto módulo é mior do que 1. Então ( ) ( 1) s. Demonstrção. A idei é imitr rov do teorem de Euler-Fermt. Como o conjunto {±1,±,...,± 1 } é um sistem comleto de invertíveis módulo, r cd j 1,,..., 1 odemos escrever j ǫ j m j (mod ) com ǫ j { 1,1} e m j {1,,..., 1 }. Temos que se i j então m i m j donde {m 1,m,...,m 1} {1,,..., 1 }. De fto, se m i m j temos i j (mod ) ou i j (mod ); como é invertível módulo e 0 < i,j ( 1)/, temos que rimeir ossibilidde imlic i j e segund é imossível. Assim, multilicndoscongruêncis j ǫ j m j (mod ), obtemos ( 1)( ) ( 1 ) ǫ 1ǫ ǫ 1m 1 m m 1 (mod ) ( 1 1 ) ( 1 )! ǫ 1 ǫ ǫ 1! (mod ) ( ) ǫ 1 ǫ...ǫ 1 (mod ), donde ( ) ǫ 1ǫ...ǫ 1, ois mbos os ldos ertencem { 1,1}. Assim, ( ) ( 1)s já s é o número de elementos j de {1,,..., 1 } tis que ǫ j 1. OlemdeGußjánosermiterovrfórmulr ( ). Se 1 (mod 4), digmos 4k + 1, temos 1 k. Como 1 j 1 r j k e 1 < j 1 r k +1 j k, temos ( ) { ( 1) k 1, se 1 (mod 8), 1, se 5 (mod 8). Se 3 (mod 4), digmos 4k +3, temos 1 k +1. Pr 1 j k temos 1 j 1 e r k +1 j k +1 temos 1 < j 1, donde ( ) { ( 1) k+1 1, se 3 (mod 8), 1, se 7 (mod 8). Agor, r rovr o item 1 d lei de recirocidde qudrátic, vmos mostrr que 1 q 1 i + iq ( ) q 1 i q 1 1 i 1 5

6 POT 01 - Teori dos Números - Nível 3 - Aul 1 3CONGRUÊNCIAS - Crlos Gustvo DEMoreir GRAU e que ( ) i 1 i ( 1) q 1 q q e ( ) q iq 1 i ( 1) 1. ( ) A fórmul ( ) é ens um contgem: o ldo esquerdo é o número de ontos com mbs s coordends inteirs no interior do retângulo de vértices (0,0), (/,0), (0,q/) e (/,q/). (0, q/) x y q x i 1 i q 1 q ontos qi 1 i 1 ontos y (/, 0) Por outro ldo, o rimeiro somtório do ldo direito cont o número de tis ontos que estão cim d digonl x qy do retângulo, enqunto o segundo somtório cont o número de tis ontos bixo dest digonl (note que como eq sãorimos, nãoháontoscommbsscoordendsinteirsndigonl). Por exemlo, no rimeiro somtório cd termo i q reresent quntidde de ontos n ret y i cim d digonl x q y. Finlmente,rmostrr( ),bstchecrque iq 1 i 1 s (mod ), onde s é como no lem de Guß licdo r q. Sej r i o resto d divisão de iq or, de modo que iq iq +ri. Somndo e utilizndo notção d demonstrção do lem de Guß, obtemos iq q i + m i + ( m i ). 1 i 1 1 i 1 1 i 1 1 i 1 r i </ Como e q são ímres, módulo temos i iq + m i + e como {m 1,m,...,m 1 i 1 i 1 1 i 1 iq 1 i 1 r i </ r i >/ r i >/ (1+m i ) (mod ), } {1,,..., 1 }, concluímos ssim que iq + i+ 1 (mod ) 1 i 1 r i >/ s (mod ) 6

7 POT 01 - Teori dos Números - Nível 3 - Aul 1 3CONGRUÊNCIAS - Crlos Gustvo DEMoreir GRAU o que encerr rov. Observção 8. O símbolo de Legendre ( ) ode ser estendido r o símbolo de Jcobi (, que está definido r inteiro rbitrário e n inteiro ositivo ímr or ( ) ( n ) α1 ( ) α 1... ( ) αk k se n α 1 1 α...α k k é ftorção rim de n (onde os ( ) ( j são ddos elo símbolo de Legendre usul); temos 1) 1 r todo inteiro. Não é difícil rovr s seguintes rorieddes do símbolo de Jcobi, que odem ser usds r clculr ridmente símbolos de Legendre (e de Jcobi): 1. Se b (mod então ( ( b.. ( ( 0 se mdc(, 1 e { 1,1} se mdc(, ( ( b b ) ( ( n ; em rticulr, {0,1}. 4. ( m ( m)( ; em rticulr, ( n ) {0,1}. 5. Se m e n são ositivos e ímres, então ( m n 6. ( ) n 1 1 n ( 1). 7. ( ) n n ( 1) 1 8. ) ( 1) m 1 n 1 ( n ) m. Os três últimos ftos, que generlizm lei de recirocidde qudrátic, odem ser rovdos usndo multilictividde em e em n do símbolo de Jcobi ( ) n e lei de recirocidde qudrátic r o símbolo de Legendre. Como r o símbolo de Legendre, se ( 1, não é resíduo qudrático módulo n, ms (diferentemente do que contece r o símbolo de Legendre) é ossível que ( sej igul 0 ou 1 sem que sej resíduo qudrático módulo n. Por exemlo, ( ( 15) ( 3)( 5) ( 1) ( 1) 1 e 3 ( 15) 3 3 3)( 5) 0 ( 1) 0, ms e 3 não são resíduos qudráticos módulo 15. Problems Proostos Problem 9. Clculr ( ) ( , 60 ) ( 1019 e ). Problem 10. Determine tods s soluções de x 10 1 (mod 49). Problem 11. Sejm um rimo ímr e c um inteiro que não é múltilo de. Prove que 1 ( ) (+c) 1. 0 Problem 1. Existem inteiros m e n tis que 5m 6mn+7n 1985? 7

8 Problem 13. Demonstrr que congruênci 6x +5x+1 0 (mod m) tem solução r todo vlor nturl de m. Problem 14. Demonstrr que existem infinitos rimos d form 3k+1 e 3k 1. Problem 15. Demonstrr que se mdc(,b) 1 o número +b não ode ter ftores rimos d form 4k 1 e se lém disso mdc(,3) 1 então o número +3b não ode ter ftores ímres d form 3k 1. Que odemos dizer sobre os ftores rimos de +b onde é um rimo? Problem 16. Demonstrr que, r 1093, 1 1 (mod ). Problem 17. ) (Euler) Sej F n n + 1 o n-ésimo número de Fermt. Prove que todo ftor rimo de F n é d form k n b) (Lucs) Prove que, se n, então todo ftor rimo de F n é d form k n+ +1. c) Mostre que 5 +1 é comosto. Problem 18 (IMO1996). Sejm,b inteiros ositivos tis que b e 16 15b sejm qudrdos erfeitos. Encontrr o menor vlor que ode tomr o menor destes qudrdos. Problem 19. Sej um número rimo ímr. Mostrr que o menor não resto qudrático ositivo de é menor que +1. Problem 0. Sejm M um número inteiro e um número rimo mior do que 5. Mostrr que sequênci M,M+1,,M+3 1 contém um resto não qudrático módulo. Problem 1 (Putnm 1991). Sej um rimo ímr. Quntos elementos tem o conjunto {x x Z/Z} {y +1 y Z/Z}? [Putnm 1991] Sej um rimo ímr. Quntos elementos tem o conjunto {x x Z/Z} {y +1 y Z/Z}? Problem (IMO008). Prove que existe um número infinito de inteiros ositivos n tis que n +1 tem um divisor rimo mior do que n+ n. Dics e Soluções Em breve. Referêncis [1] F. E. Brochero Mrtinez, C. G. Moreir, N. C. Sldnh, E. Tengn - Teori dos Números - um sseio com rimos e outros números fmilires elo mundo inteiro, Projeto Euclides, IMPA, 010.

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