SOLUÇÕES DE EDO LINEARES DE 2 A ORDEM NA FORMA INFINITA

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1 SOLUÇÕES DE EDO LINEARES DE A ORDEM NA FORMA INFINITA Coforme foi visto é muito simples se obter solução gerl de um EDO lier de ordem coeficietes costtes y by cy em termos ds fuções lgébrics e trscedetes elemetres Já o cso ão-homogêeo e t t t t te e cos t e set y by cy f t isso em sempre é possível pois depede de f t Nos csos em que f t ão é um quse-poliômio utilizdo-se o método d vrição dos prâmetros o que se obtém é solução gerl form de um itegrl defiid De modo que já seri de se esperr um umeto o gru de dificuldde pr se obter solução gerl de um EDO lier de ordem coeficietes vriáveis mesmo o cso homogêeo t y b t y c t y Isso tlvez ão teh ficdo muito evidete pois o cso muito prticulr d equção de Euler solução gerl id pode ser dd em termos de fuções elemetres Etretto o cso gerl ivrivelmete solução gerl tem de ser dd trvés de ovs fuções trscedetes deomids fuções especiis s quis só podem ser epresss um represetção ifiit: sej em séries ifiits sej em frções cotíus ou sej trvés de itegris defiids N verdde s fuções trscedetes podem ser dividids em dus clsses: s quecomo s fuções de Bessel são soluções de EDO s e s que como fução Zet de Riem ão stisfzem ehum EDO No presete cpítulo os teremos s EDO s cuj solução gerl pode ser represetd trvés de séries ifiits mis especificmete séries de potêci Pulo Mrcelo Dis de Mglhães - UFOP Pági

2 Algus eemplos importtes de EDO s d Físic-Mtemátic são Equção de Cuchy-Euler y b y cy b c R Equção de Bessel R y y y Equção de Legedre y y y R Pulo Mrcelo Dis de Mglhães - UFOP Pági 7

3 Equção de Airy y y R Equção de Hermite y y y N Equção de Chebyshev y y y N Pulo Mrcelo Dis de Mglhães - UFOP Pági 8

4 Equção Hipergeométric y c b y by b c R OBS: Tods s EDO s cim possuem coeficietes poliomiis Isso ocorre miori ds EDO s d Físic-Mtemátic De modo que poderímos os restrigir s EDO s com coeficietes poliomiis pesr do método ds séries de potêcis se plicr EDO s com coeficietes ão poliomiis Defiição: Dd EDO y b y c y LH Pulo Mrcelo Dis de Mglhães - UFOP Pági 9

5 ode b c ão possuem ftores comum d form iteiro positivo Tem-se que i é um poto ordiário se ii é um poto sigulr k ode k é um OBS: Como queremos proteção do T E U estmos supodo que LH possui coeficietes cotíuos em lgum itervlo comum ] [ De modo que se é um poto ordiário e tão eiste um subitervlo o qul Neste subitervlo pode ser post form orml y p y q y e plicdo o T E U obtemos eistêci e uicidde de solução pr qulquer pr de ddos iiciis y y y y tomdos em OBS: Se é um poto sigulr etão pelo meos um dos o b c é diferete de zero De modo que pelo meos um dos coeficietes p q fic ilimitdo qudo e ão se pode plicr o TEU REVISÃO DE SÉRIES DE POTÊNCIAS A mis simples série de potêcis é um fução poliomil f Est é um represetção fiit Do Cálculo predemos que s fuções elemetres podem ser represetds form ifiit trvés de séries de potêcis Algus eemplos são Pulo Mrcelo Dis de Mglhães - UFOP Pági

6 Pulo Mrcelo Dis de Mglhães - UFOP Pági e se cos Um represetção mis gerl é f Neste cso diz-se que fução foi epdid em série em toro do poto Ns epsões cim tem-se que Relembrmos os seguites resultdos Um série de potêcis coverge um poto ~ se m m ~ lim Tod série coverge em podedo covergir em todo R ou pes em lgus Um série coverge bsolutmete um poto se série for covergete Tem-se que cov bsolut covergêcia recíproc ão é ecessrimete verddeir Teste d Rzão: critério pr verificção d covergêci bsolut Se e se pr lgum vlor de L lim lim

7 Pulo Mrcelo Dis de Mglhães - UFOP Pági etão série coverge bsolutmete o poto se L e diverge se L Se L o teste ão é coclusivo Itervlo de Covergêci: eiste um rel deomido rio de covergêci tl que série coverge bsolutmete em e diverge em Se série só coverge em o rio de covergêci é zero Se série coverge em todos os reis o rio de covergêci é ifiitose o itervlo [ ] é o itervlo de covergêci A série pode covergir ou divergir em Se e b forem covergetes em Etão temse que b b e k k k b b são covergetes em Além disso se b etão c b ode c pode ser obtido trvés de k k k b c b c sedo que o rio de covergêci pode ser meor que Supoh que f coverge em Etão d d d d f d d d d f e ssim sucessivmete sedo que cd série coverge bsolutmete em Além disso tem-se seguite relção

8 f e série é chmd série de Tylor de f em toro de OBS: Dd um fução f cotíu possuido derivds de tods s ordes em f pode sempre ser represet- d por um série de potêcis covergete em? Ou sej qudo se tem que f f em? Defiição: Um fução cuj série de Tylor coverge em em é dit ser lític SOLUÇÃO EM SÉRIE NA VIZINHANÇA DE UM PONTO ORDINÁRIO Dd EDO y b y c y d lisremos o problem de su resolução em um vizihç de um poto ordiário trvés do emprego de séries de potêcisno cso de coeficietes e ldo direito poliomiis o cdidto turl seri um poliômiono cso gerl ssumido que os coeficietes ldo direito são líticos em toro de o cdidto será um série de potêcis De modo que eistem dus questões que precism ser cosiderds: Como determir formlmete os coeficietes d série? Qul será o rio de covergêci d solução obtid? Utilizdo o fto de ser um poto ordiário EDO pode ser post form orml y p y q y r Pulo Mrcelo Dis de Mglhães - UFOP Pági

9 Etão se os coeficietes e ldo direito puderem ser epdidos em séries de potêcis em lgum itervlo em toro de ou sej se p p Tetremos um solução form q q r r Eemplo: Obter solução gerl d EDO y y y Como etão EDO ão possui potos sigulres em De modo que podemos tomr e Derivdo termo termo obtém-se que y Substituido EDO segue-se que y e y Trslddo o ídice primeir série de pr + obtém-se ou sej Pulo Mrcelo Dis de Mglhães - UFOP Pági

10 Pulo Mrcelo Dis de Mglhães - UFOP Pági O que ocorre se só se Est equção se chm relção de recorrêci Como um descompsso de etre os ídices dos coeficietes os coeficietes pres e ímpres são determidos seprdmete Tem-se que e Utilizdo-se idução fiit coclui-se que Portto solução gerl será dd por y ou sej y Agor que obtivemos solução forml devemos estudr covergêci ds séries obtids Utilizdo o Teste d Rzão obtemos que

11 / / lim lim lim lim R e / lim lim lim R / De modo que podemos defiir dus soluções d EDO em tod ret Observmos que y e y y y e y y Etão plicdo Abel obtém-se que d W [ y y ] W[ y y ] e De modo que y e y formm um cojuto fudmetl pr EDO e portto solução gerl é relmete dd por N verdde tem-se que y y y R y y Logo coclui-se que y é úic solução do seguite e que y é úic solução do seguite y y PVI : y y Pulo Mrcelo Dis de Mglhães - UFOP Pági

12 y y PVI : y y Por outro ldo predemos o Cálculo que y é série de Tylor pr cos em e y é série de Tylor de se em De modo que s fuções cos e se podem ser defiids trvés de PVI s N verdde miori ds fuções especiis d Físic-Mtemátic é defiid como soluções de PVI s Pr miori desss fuções ão eiste form mis simples de defii-ls Eemplo: Obter solução gerl d Equção de Airy Tem-se que y y p q etão EDO ão possui potos sigulres Podemos tomr e como cdidto solução e supor que série em y sedo determido posteriori Derivdo e substituido EDO obtém-se pós deslocmeto do ídice ou sej Deslocdo ovmete o ídice segud série substituido por - obtém-se que Filmete soltdo o primeiro termo d primeir série Pulo Mrcelo Dis de Mglhães - UFOP Pági 7

13 Pulo Mrcelo Dis de Mglhães - UFOP Pági 8 De modo que relção de recorrêci é dd por sedo que Agor o descompsso etre os ídices é de três uiddes e tem-se que 8 Novmete obtém-se um dicotomi etre os coeficietes ou sej Por outro ldo ou sej 7 De modo que y dode obtém-se ovmete que y e y Aálise d covergêci ds séries: utilizdo o teste d rzão coclui-se que

14 / [ ][ ] lim lim / Logo lim R primeir série coverge em tod ret O mesmo cotecedo com segud série Defiido s fuções lítics y e y obtém-se que y é úic solução do seguite e y é úic solução do Além disso tem-se que y y PVI : y y y y PVI : y y W[ y y ] W[ y y ] R De modo que y } é um cojuto fudmetl pr EDO de Airy e solução gerl é { y dd por As fuções ye y ão são fuções trscedetes elemetres do Cálculo Eemplo: Obter solução gerl d EDO de Airy em um vizihç de Como é poto ordiário podemos tomr como cdidto y em lgum itervlo de covergêci Tem-se que y Pulo Mrcelo Dis de Mglhães - UFOP Pági 9

15 Pulo Mrcelo Dis de Mglhães - UFOP Pági e y Substituido obtém-se que Tomdo o desevolvimeto de Tylor de em toro de obtém-se que Substituido obtém-se ] [ ou sej Soltdo o primeiro termo s dus primeirs séries e trslddo o ídice últim série cheg-se De modo que relção de recorrêci é dd por Logo O que lev seguite solução gerl

16 y ou sej y OBS: Em gerl qudo fórmul de recorrêci possui mis de dois termos determição de em fução de e pode se torr muito difícil e té mesmo impossível Sem est depedêci ão podemos verificr covergêci ds séries trvés de um método direto como por eemplo o teste d rzão OBS: Qudo se tet um solução form de série de potêcis de etão os coeficietes d EDO devem ser represetdos tmbém em potêcis de O seguite resultdo devido Immuel Lzrus Fuchs obtido em 8 delimit o que pode ser feito o cso de potos ordiários pr um vst clsse de EDO s Teorem: Fuchs Dd um EDO lier orml de ordem y y y f LN Hipóteses: Tese: H f lítics em H Eiste tl que s epsões em série de potêcis de f são covergetes em Tod solução de LN é lític em com itervlo de covergêci Pulo Mrcelo Dis de Mglhães - UFOP Pági

17 OBS: No cso = o teorem pode ser posto do seguite modo: A solução gerl de LN é dd por y y y ode são rbitrários e y y são soluções form de séries ifiits liermete idepedetes lítics em sedo que o rio de covergêci de cd série é pelo meos tão grde quto o meor dos rios de covergêci ds séries represetdo os coeficietes e o ldo direito Pulo Mrcelo Dis de Mglhães - UFOP Pági