FUNÇÃO EXPONENCIAL. a 1 para todo a não nulo. a. a. a a. a 1. Chamamos de Função Exponencial a função definida por: f( x) 3 x. f( x) f 2.

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1 49 FUNÇÃO EXPONENCIAL Professor Lur. Potêcis e sus proprieddes Cosidere os úmeros ( 0, ), mr, N e, y, br Defiição: vezes por......, ( ), ou sej, potêci é igul o úmero multiplicdo Proprieddes 0 pr todo ão ulo y y. y y y ( ) y y. y (. b). b b b m m, clro pr todo b ão ulo 2. Fução Epoecil Defiição j R, 0, e. Chmmos de Fução Epoecil fução defiid por: f : R R tl que f ( ) Eemplos: f( ) 3 ; f( ) 2 ; y (3,75) Observe que codição é ecessári, pois, costte. Já codição 0 R. Por eemplo, se f( ) ( 2), ão eistiri f( ) seri um fução é ecessári pr grtir que epoecil teh domíio f 2 ou 3 f 4 e ssim por dite.

2 50 Gráfico d Fução Epoecil f : R R tl que f ( ) Cso: 2 Cso: 0 Obs.: Vej que o primeiro cso fução é crescete, já o segudo el decresce. Note id que em mbos os csos o gráfico d fução disso epoecil sempre toc o eio-y o poto Pricipis proprieddes d Fução Epoecil f ( ) y, isso ocorre pois ão toc o eio- e lém 0. (I) (II) (III) (IV) (V) Domíio: Imgem: D( f ) Im( f ) etão 0 R f etão R R (ou sej, é crescete f y 0) é decrescete 0 Não eiste, tl que, ou sej fução epoecil ão tem riz. Assim o gráfico se proim do eio, ms ão o itercept. Dizemos etão que o eio é um ssítot horizotl. A fução epoecil é bijetor. Como coseqüêci é iversível (dmite fução ivers). (VI) A iterseção do gráfico d fução epoecil com o eio y é o poto (0,). (VII) A fução epoecil é muito útil pr descrever feômeos os quis os vlores serem clculdos depedem do vlor eistete em um determido istte. Assim por eemplo, o crescimeto populciol depede do úmero de idivíduos em um ddo mometo, desitegrção rdiotiv depede d qutidde eistete de substâci um ddo istte. A fução epoecil é útil Biologi (produção de bctéris), Arqueologi (determição d idde dos fósseis, Ecoomi (jurus compostos), etc. 3. Equções Epoeciis

3 As codições imposts à bse de um fução epoecil torm um fução y y bijetor. Desse modo, se. Est propriedde os permite resolver um série de equções cuj vriável prece o epoete, e por isso são chmd de equções epoeciis. Pr resolver um equção epoecil tete trsformr equção dd em outr equivlete, d form y. Pr isso use iicilmete s proprieddes d potecição. 5 Eemplos: Resolv s equções. ) b) c) d) e) f) g) h) I) (0,) 5 (0,) O NÚMERO e (úmero de EULER) Dd seqüêci bio, clculremos o seu vlor pr lgus vlores de. etão 2 2 etão 2 2,25 3etão 3 2, etão 0 2, etão 000 etão 0000 etão 00 2, , ,7828

4 Quto tede pr o ifiito, o vlor de represetmos por e. u vlor proimdo é bstte utilizdo como bse d fução epoecil 52 tede se estbilizr em um úmero que. O úmero e é irrciol e é e 2,7828 f ( ) e 5. EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO ) j fução f( ) 2. Etão f : R R f ( ) f ( ), defiid por é igul : ) 2 b) c) d) e) f( ) f () 2. f( ) f ( ).3 b 2) j f de R em R um fução defiid por, ode e b são costtes reis. Ddo f(0) = 900 e f(0) = 300, clcule k tl que f(k) = 00 3) ) 40 b) 25 c) 5 d) 30 e) 20 cos y 3 ) b), etdo: y 3 3 y y c) d) y 3 4) Clcule em : ) 2 b) c) 0 d) e) 5) O produto ds rízes d equção é: ) 2 b)

5 53 c) 0 d) ½ e) 3 6) Os úmeros iteiros e y stisfzem = 3 y y. Etão é: ) b) 0 c) d) 2 e) 3 7) Clcule m pr que equção em 2 + (2 m 2) + 9 = 0 teh rízes iguis. ) m é pr b) m é múltiplo de 6 c) m é um úmero primo d) m é múltiplo de 7 e) m é múltiplo de 0 8) A som ds rízes d equção = 0, vle: ) b) 0 c) 4 d) 5 e) 3 9) O preço de um utomóvel ovo é P 0 (em reis). Ele sofre um desvlorizção de 0% o o. Epresse lei que dá o preço P desse utomóvel pós os de uso. ) b) c) d) e) P = P 0. (0,8) P = P 0. (0,8) P = P 0. (0,) P = P 0. (0,9 ) P = P 0. (0,5) 0) Num certo o, um pssgem ére etre São Pulo e Pris custv mil dólres. Dão pr frete, esse preço vem sofredo rejustes uis de 0%. Epresse lei que dá o preço d pssgem ére etre São Pulo e Pris em fução do tempo t, em os. ) P = 000. (,) t b) P = 000. (,00) t c) P = 000. (,2) t d) P = 000. (,0) t + e) P = 000. (,0) t ) A tempertur iter de um geldeir (se el ão for bert) segue lei T(t) = 25. (0,8) t, ode t é o tempo (em miutos) em que permece ligd e T é tempertur (em grus Celsius). Qul é tempertur iter d geldeir o istte em que el foi ligd? Qutos grus Celsius ess tempertur lcçrá dois miutos depois que geldeir começr fucior? ) 200 e 25 b) 25 e 20 c) 20 e 30 d) 25 e 6 e) 6 e 25

6 54 2) A solução d equção = 6 é um úmero: ) etre 2 e 3 b) meor que 0 c) etre 0 e d) etre e 2 e) mior que 3 3) A figur bio é um esboço do gráfico d fução y = 2 o plo crtesio. Com bse esse gráfico, é correto firmr que: ) y 0 = y 2 y b) y = y 3 y 2 c) y = y 3 + y 0 d) y 2 = y. y 0 e) y 3 = y. y 2 Gbrito: ) c 2) e 3) 4) 5) d 6) c 7) c 8) d 9) d 0) ) d 2) d 3) d 6) EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES ) (Puccmp) Pesquisdores d Fudção Osvldo Cruz desevolverm um sesor lser cpz de detectr bctéris o r em té 5 hors, ou sej, 4 vezes mis rápido do que o método trdiciol. O equipmeto, que pot preseç de micro-orgismos por meio de um fich ótic, pode se torr um grde lido o combte às ifecções hospitlres. Supoh que o crescimeto de um cultur de bctéris obedece à lei ( ), qul N represet o úmero de bctéris o mometo t, medido em hors., o mometo iicil, ess cultur tih 200 bctéris, o fim de 8 hors o úmero dels er: ) b) c) d) e) 800 2) (Mckezie) O gráfico mostr, em fução do tempo, evolução do úmero de bctéris em cert cultur. Detre s ltertivs bio, decorridos 30 miutos do iício ds observções, o vlor mis próimo desse úmero é:

7 55 ) b) c) d) e) ) (UFSM) Um piscicultor costruiu um repres pr crir trírs. Iicilmete, colocou.000 trírs repres e, por um descuido, soltou 8 lmbris. Supoh-se que o umeto ds populções de lmbris e trírs ocorre, respectivmete, segudo s leis L(t)=L³0 T(t)=T³2, ode L³ é populção iicil de lmbris, T³, populção iicil de trírs e t, o úmero de os que se cot prtir do o iicil. Cosiderdo-se log 2 = 0,3, o úmero de lmbris será igul o de trírs depois de qutos os? ) 30 b) 8 c) 2 d) 6 e) 3 4) (PUC-SP) Em 996, um idústri iiciou fbricção de 6000 uiddes de certo produto e, desde etão, su produção tem crescido à t de 20% o o. Nesss codições, em que o produção foi igul o triplo d de 996? (Ddos: log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48) ) 998 b) 999 c) 2000 d) 200 e) ) (PUC-MG) Um populção de bctéris começ com 00 e dobr cd três hors. Assim, o úmero de bctéris pós t hors é ddo pel fução: ( ) ( ) Nesss codições, pode-se firmr que populção será de bctéris depois de: ) di e 3 hors. b) di e 9 hors. c) di e 4 hors. d) di e 9 hors. 6) (UFF ) A populção de mrlim-zul foi reduzid 20% d eistete há ciquet os (em 953). Cosiderdo que foi costte rzão ul (rzão etre populção de um o e do o terior) com que ess populção decresceu durte esse período, coclui-se que

8 56 populção de mrlim-zul, o fil dos primeiros vite e cico os (em 978), ficou reduzid proimdmete: ) 0% d populção eistete em 953 b) 20% d populção eistete em 953 c) 30% d populção eistete em 953 d) 45% d populção eistete em 953 e) 65% d populção eistete em 953 7) (UFLA) A tbel bio forece os ddos simuldos do crescimeto de um árvore. A vriável X é o tempo em os e Y, ltur em dm.o esboço do gráfico que melhor represet os ddos d tbel é 8) (UFRJ) O gráfico que melhor represet fução mostrd figur dite, é: Gbrito: ) B 2) B 3) E 4) E 5) A 6) D 7) C 8) B