Progressões 16 2, 32 2 e por aí vai. outubro. julho a10. janeiro a7

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1 Progressões Itrodução Ao lçrmos um moed, teremos dois resultdos possíveis: cr ou coro. e lçrmos dus moeds diferetes, pssmos ter qutro resultdos diferetes: (cr, cr), (cr, coro), (coro, cr) e (coro, coro). e lçrmos três moeds, serão oito os resultdos possíveis, e ssim por dite. A relção etre o úmero de moeds e o úmero de resultdos é mostrd tbel: Número de moeds Número de resultdos Vemos que 0, e por í vi.,,, 6, Etão se é o úmero de moeds, o úmero de resultdos é. Nesse cso, temos um sequêci: (,, 8, 6,,...). Qul o totl de resultdos se lçrmos 8 moeds? Neste cpítulo profudremos o estudo ds sequêcis e ds progressões, otdmete s progressões ritmétic e geométric. sequêcis Em muits situções em osso cotidio prece idei de sequêci ou sucessão. Por exemplo: A sequêci dos dis d sem. (domigo, segud,..., sábdo) A sequêci dos úmeros turis. (0,,,,,...) A sequêci dos os em que ocorrem s Olimpíds, desde 988. (988, 99, 996,..., 0,...) Em tods esss situções observmos um cert ordem os elemetos d sequêci. Esses elemetos são tmbém chmdos termos d sequêci ou sucessão. N sequêci dos meses do o, temos: º termo: jeiro º termo: fevereiro... º termo: dezembro e represetrmos o º termo de (lê-se ídice ), o º termo por, o º termo de, e ssim por dite, té o eésimo termo ( ), ess sequêci pode ser represetd por: Nesse exemplo, temos: jeiro 7 (,,,,..., e ssim pr os outros meses. DEFINIÇÃO ) julho 0 outubro Um sequêci fiit de termos é um fução cujo domíio é o cojuto umérico,,,,..,. Os úmeros do cotrdomíio são idicdos por,,,,...,. Um sequêci ifiit é um fução f cujo domíio é,,,,..,,..., e o cotrdomíio é idicdo por,,,,...,,.... Assim, temos: f(), f(), f ( ). Exemplos: A sequêci dos úmeros ímpres positivos é ifiit: (,,, 7, 9,...,,...) ode,,, 7, etc. Prof. Diego Medeiros Álgebr II Escol Preprtóri d UFABC

2 Cpítulo Progressões Álgebr II A sequêci dos qutro primeiros múltiplos de é fiit: (0,, 0, ). Nesse cso,,, 0 e. 0 7,, 7,,, 8 é um sequêci fiit de 6 termos. DETERMINAÇÃO DE UMA EQUÊNCIA As sequêcis podem ser letóris ou regrds, ou sej, possuem um pdrão de costrução. Esses pdrões, regrs ou leis mtemátics que s regem são chmdos de leis de formção, que permitem que explicitemos todos os termos d sequêci. Vmos um exemplo: Costru sequêci prtir de su lei de formção, pr *. Pr = Pr = Pr = Pr = 7 Etão temos sequêci (,,, 7,...) Vejmos outro exemplo: Vmos escrever sequêci defiid por, Pr = Pr = Pr = 7 Pr = 7 9 Etão temos sequêci (,, 7, 9,...) EXERCÍCIO DE TREINO. Escrev o termo gerl ds sequêcis: ) (,,,,, 6,...) b) (,,,, 6,...) c) (, 6, 9,,,...) d) (,, 8,,, 7,...) e) Dd um sequêci em que e, qutos dos dez primeiros úmeros são primos? Progressão ritmétic (PA) é tod sequêci de úmeros qul difereç etre cd termo ( prtir do segudo) e o termo terior é costte. Ess difereç costte é chmd rzão d progressão, e é represetdo pel letr r. Exemplos: A sequêci (, 7,, 7,...) é um progressão ritmétic ifiit de rzão, em que e r =. Ess é um PA crescete, pois r > 0. A sequêci (0, 0, 0, 0, 0) é um PA de cico termos em que o º termo é 0 e rzão é r = 0. Ess é um PA decrescete, pois r < 0. A sequêci (,, ) é um PA de termos ode o º termo é e rzão é r = 0. Qudo r = 0, PA é chmd de costte ou estcioári. Como rzão se mtém costte, ddos três termos cosecutivos de um PA, por exemplo,, e, temos que:, ou sej, qudo temos três termos cosecutivos em um PA, o termo do meio é médi ritmétic dos outros dois. Em um progressão ritmétic (,,,..., de rzão r temos o seguite: ) Temos o termo começdo sequêci. O termo d mis é do que somdo à rzão, ou sej, progressão ritmétic (PA) fórmul do termo gerl de um p r. O termo é r, ms como já vimos, 6 Prof. Diego Medeiros Álgebr II Escol Preprtóri d UFABC

3 Cpítulo Progressões Álgebr II é r, etão podemos reescrever como r r. Esquemtizdo, temos: r r r r r r r r r r r r e geerlizrmos pr termos, temos que o termo gerl de um PA é: Ode ( ) r é o eésimo termo, é o termo de ordem e r rzão d PA. Vmos lgus exemplos: Ecotre o termo gerl d PA (,9,...). Temos e r 9. Colocdo expressão do termo gerl: ( ) r ( ) Est é expressão do termo gerl Determie o décimo termo d PA (,8,,...). ; r 6; 0 9r Em um progressão ritmétic, o décimo termo é e o décimo segudo é. Quto vle o sétimo termo dess sequêci? bemos que 0 r, temos que: 0 r r r 7 bemos tmbém que se o vçr os termos ós sommos rzões, o retroceder termos ós subtrímos rzões. Etão: r Num PA crescete, sbemos que 6 0 e 9. Determie o termo gerl dest PA Pr resolver esse exercício, vmos colocr os termos d sequêci em relção e r r r 6 r 9 8r r r 0 r 8r 6r 0 r Temos etão dus equções com dus icógits. Podemos resolver um sistem de equções: 6r 0 r E obtemos como respost e r. Pr descobrir o termo gerl d PA, utilizmos fórmul: ( ) r ( ) EXERCÍCIO DE TREINO. Escrev PA de: ) cico termos, em que o primeiro termo é 7 e rzão é. b) qutro termos, em que o primeiro termo é 6 e rzão é 8. Prof. Diego Medeiros Álgebr II Escol Preprtóri d UFABC 7

4 Cpítulo Progressões Álgebr II. Determie o sétimo termo de um PA qul o qurto termo é e rzão é.. Qul é fórmul do termo gerl d sequêci dos úmeros pres positivos?. Num PA em que o 0º termo é 7 e o º termo é, clcule rzão. 6. Num PA, o 8º termo é e o 0º termo é 66. Clcule o 9º termo e rzão dess PA. A iterpolção ritmétic cosiste em iserir termos, chmdos de meios ritméticos detro de um progressão. Pr explicr melhor, vmos os exemplos: No primeiro semestre de um ddo o, produção mesl de um motdor está em PA crescete. Em jeiro, produção foi de 8000 crros e, em juho, foi de crros. Qul foi produção dess motdor os demis meses do período jeiro-juho? Nesss codições, o problem cosiste em formr um PA qul: jeiro 8000 juho ` (8000,,,,,78000) 6 Pr iterpolr qutro meios ritméticos (,, e ), devemos iicilmete clculr o vlor d rzão r: iterpolção ritmétic ( ) r (6 ) r r r r 000 Descobert rzão, bst prtir do º termo ir somdo s rzões membro membro: fevereiro mrço bril mio Qutos são os múltiplos de compreedidos etre 0 e 999? Podemos fcilmete verificr que o primeiro múltiplo de mior que 0 é 0, e que o último múltiplo de meor que 999 é 99. Logo, os múltiplos de etre 0 e 999 seguem PA (0, 0,,..., 99). O exercício requer que ós sibmos qutos meios estão iterpoldos sequêci d PA. Etão, temos: 0, r e 99. Pr clculr o úmero de termos iterpoldos, temos: ( ) r 99 0 ( ) ão 79 os múltiplos de detro do itervlo ddo. 6 om dos termos de um p Krl Friedrich Guss foi um mtemático que viveu de Corre históri que qudo ele tih 7 ou 8 os, seu professor, visdo que sl permecesse em silêcio, ordeou os luos que fizessem som de todos os úmeros de té 00. Pr surpres do professor, pós poucos miutos, Guss deu respost: 00. Vej seu rciocíio: Prof. Diego Medeiros Álgebr II Escol Preprtóri d UFABC

5 Cpítulo Progressões Álgebr II e reuirmos 00 termos, dois dois, etão temos 0 prcels cuj som result 0. Assim, O rciocíio de Guss tmbém serve pr qulquer progressão ritmétic de rzão r. e reuirmos termos, dois dois, etão temos termos cuj som result em :... Logo, som de termos é: Ode é o primeiro termo, ( ). o eésimo termo, som de termos e é o úmero de termos. Vmos os exemplos: Clcule som dos 0 primeiros termos d ifiit (, 6,...) PA Ness PA ifiit, os 0 primeiros termos formm um PA fiit, ode, r e 0. Devemos etão clculr, ou o cso, 0 : A som dos dez termos de um PA é 00. e o º termo dess PA é, qul rzão r d PA? Ness PA sbemos que 0 00, e 0. Devemos clculr 0 utilizdo fórmul d som: ( ) ( 0) Podemos etão clculr r: r r 9r 6 r A rzão procurd é. EXERCÍCIO DE TREINO 7. Qutos múltiplos de existem etre 00 e 000? 8. Qutos úmeros iteiros existem de que ão são divisíveis por 7? ( ) r (0 ) Agor plicmos fórmul: ( ) ( 98) Isir sete meios ritméticos etre 0 e Clcule som: ) dos 0 primeiros termos d PA (, 0,...); b) dos 0 primeiros termos d um PA em que o º termo é 7 e rzão é ; c) dos 00 primeiros úmeros pres positivos; d) dos 0 primeiros múltiplos de ; e) de todos os múltiplos de que tehm lgrismos; f) dos primeiros úmeros pres. Prof. Diego Medeiros Álgebr II Escol Preprtóri d UFABC 9

6 Cpítulo Progressões Álgebr II. Num PA, som dos seis primeiros termos é. bedo que o último termo dess PA é 7, clcule o º termo.. A som dos 0 primeiros termos de um PA fiit é igul 70. e o º termo dess PA é 7, clcule seu 0º termo.. Num PA, 6 e 9 0. Clcule som dos 0 primeiros termos.. be-se que um som. Clcule som dos termos dess PA.. Um ciclist percorre 0 km primeir hor, 7 km segud hor, e ssim por dite, em progressão ritmétic. Qutos quilômetros o ciclist percorrerá em hors? 7 progressão geométric (PG) Progressão geométric (PG) é tod sequêci de úmeros ão ulos qul é costte o quociete d divisão de cd termo ( prtir do segudo) pelo termo terior. Esse quociete costte é chmdo rzão (q) d progressão. Ou sej, um progressão geométric é um sequêci qul tx de crescimeto reltivo de cd termo pr o termo seguite é costte. Vmos lgus exemplos: A sequêci (, 0, 0, 0) é um PG de qutro termos, em que e rzão é q : A sequêci (6,,, 8, 96) é um PG de cico termos, em que 6 e rzão é q : ( ) ( ) ( ) ( ) TAXA DE CRECIMENTO RELATIVO As txs de crescimeto reltivo são muito utilizds em álises qutittivs em diverss áres d ciêci, e muito plicd em Mtemátic Ficeir, que veremos o Cpítulo 6. Dds dus grdezs e b quisquer, tx de crescimeto reltivo i é dd por: b b i, ou em porcetgem: i 00. A relção etre tx de crescimeto reltivo e rzão é dd por q i. Vmos usr os mesmos exercícios teriores: Pr sequêci (, 0, 0, 0), temos: b 0 8 i ou 00% Pr sequêci (6,,, 8, 96), temos: b 6 8 i ou 00% 6 6 Como rzão se mtém costte, ddos três termos cosecutivos de um PG, por exemplo,, e, temos que:, ou sej, qudo temos três termos cosecutivos em um PG, o termo do meio é médi geométric dos outros dois. CLAIFICAÇÃO DA PROGREÕE GEOMÉTRICA Depededo d rzão q, um PG pode ser: Crescete: A PG é crescete qudo q e os termos são positivos ou qudo 0q e os termos são egtivos. Por exemplo: (, 6, 8,,...), com q =. ( 0, 0, 0,...) com q =. Decrescete: A PG é decrescete qudo 0q e os termos são positivos ou qudo q e os termos são egtivos. Por exemplos: (,, 6, 08,...), em que q =. (00, 00, 0,,...), em que q =. Costte: A PG é costte qudo q =. (,,,...) é um PG de rzão 0 Prof. Diego Medeiros Álgebr II Escol Preprtóri d UFABC

7 Cpítulo Progressões Álgebr II Alterte: A PG é lterte qudo q 0. Por exemplo: (, 8, 6,,...), em que q. ( 8, 7, 9,,...), qul q. Em um progressão geométric (,,,..., de rzão q temos o seguite: ) Temos o termo começdo sequêci. O termo d mis é do que multiplicdo pel rzão, ou sej, q. O termo é q, ms como já vimos, é q, etão podemos reescrever como q ². Esquemtizdo, temos: 8 fórmul do termo gerl de um pg q q qq q q q q q q q q q e geerlizrmos pr termos, temos que o termo gerl de um PG é: Ode q é o eésimo termo, é o termo de ordem e q rzão d PG. Vmos ver lgus exemplos: Ecotre o termo gerl d PG (,,...). Temos e q. Colocdo expressão do termo gerl: q Est é expressão do termo gerl. Determie o décimo termo d PG,,,,.... ; q ; 0 q q Em um progressão geométric crescete, o qurto termo é e o oo é 6. Quto vle o sétimo termo dess sequêci? bemos que 9 q (o pssr do º pr o 9º, vçmos termos), temos que: q q q q 9 6 q Num PG, 60 e Determie o termo gerl dest PG Pr resolver esse exercício, vmos colocr os termos d sequêci em relção e q. q q q q q ( ) 60 q Prof. Diego Medeiros Álgebr II Escol Preprtóri d UFABC

8 Cpítulo Progressões Álgebr II q 6 q q 6 q q ( q ) 080 q q ( q ) 080 Dividido por, temos: ( q q ) q q ( q ) q q Podemos etão descobrir pr descobrir o termo gerl: ( ) 60 (9 8) q EXERCÍCIO DE TREINO 6. Determie fórmul do termo gerl de cd PG: ) (, 8,...) b) (, 9,...) c) (,,...) 7. Clcule: ) o º termo d PG (,,...) b) o 0º termo d PG (9, 7,...) 8. Num PG ifiit, temos e é o 6º termo dess PG? q. Qul 9. As rízes d equção do º gru x² x + = 0 são o º e o º termo de um PG crescete. Determie o 6º termo dess PG. 0. Determie x pr que s seguites sequêcis sejm PG: ) (, x, 9) b) (, x, b²) c) (x, x, x + 6 ) d) (x +, x 6, x 8) 9 iterpolção geométric A iterpolção geométric cosiste em iserir termos, chmdos de meios geométricos detro de um progressão. O processo é muito semelhte à iterpolção ritmétic. Pr explicr melhor, vmos um exemplo: No primeiro semestre de 0, produção mesl de um idústri cresceu em PG. Em jeiro, produção foi de 00 uiddes e, em juho, foi de 8000 uiddes. Qul foi produção dess idústri os demis meses do período jeirojuho? Nesss codições, o problem cosiste em formr um PG qul: jeiro 00 juho 8000 ` (00,,,,,8000) 6 Pr iterpolr qutro meios geométricos (,, e ), devemos iicilmete clculr o vlor d rzão r: q q q q q 6 Descobert rzão, bst prtir do º termo ir somdo s rzões membro membro: Prof. Diego Medeiros Álgebr II Escol Preprtóri d UFABC

9 Cpítulo Progressões Álgebr II fevereiro mrço bril mio EXERCÍCIO DE TREINO. Isir qutro meios geométricos etre 6 e 9. Etre os úmeros 8 e x form iseridos dois meios geométricos, gerdo um PG de rzão. Qul é o vlor de x?. A produção de um empres os meses de jeiro, fevereiro e mrço, respectivmete, form um PG. e produção em jeiro foi de 000 uiddes e em mrço foi de 7000 uiddes, quts uiddes form produzids em fevereiro? 0 om dos termos de um PG A som dos termos de um progressão geométric fiit de rzão q é: Vmos ver um exemplo: q q Determie som dos dez primeiros termos d PG (, 6,,...) Cohecemos, q e 0. 0 q (0 ) 069 q Ms e se q =? e q =, PG será costte, e pr sber som de seus termos bst multiplicr qulquer um dos termos pelo úmero de termos d PG, ou sej,. primeiro termo é e q. Observe: 0, 0,7 7 0, , Você deve ter otdo que cd vez mis som fic próxim de, ms uc chegrá. Dizemos que, pr est som, é situção-limite, ou simplesmete limite d som. Isto cotece qudo o vlor bsoluto, ou módulo d rzão fic etre 0 e, ou sej, 0 < q <. Pr estes csos, fórmul d som será igul : Vejmos dois exemplos: q Determie mtriz gertriz: ) d dízim periódic simples 0,... b) d dízim periódic compost 0,... ) A dízim periódic pode ser escrit como um som de frções: 0,... 0, 0,0 0, Esss frções formm um PG, com e 0 q. O úmero 0,... é o limite máximo d som 0 desss frções. Etão temos: OMA DO TERMO DE UMA PG INFINITA Vmos cosiderr seguite PG:,,,, Podemos fcilmete ver que é um PG cujo q Prof. Diego Medeiros Álgebr II Escol Preprtóri d UFABC

10 Cpítulo Progressões Álgebr II Logo, frção gertriz é. b)... 8 b) Fzemos o mesmo procedimeto: 0,... 0, 0, 0 0, Note que esse cso, PG começ prtir d segud frção. É um PG em que 0 e q, etão: 0 q Pr descobrir gertriz, sommos ess mtriz que descobrimos com primeir frção que foi igord o cálculo d gertriz: Logo, frção gertriz é EXERCÍCIO DE TREINO. Clcule som: ) dos seis primeiros termos d PG (, 8,...) b) dos seis primeiros termos d PG (7,,...) c) (, 0,..., 80). Os termos do º membro d equção 6... x 8 formm um PG. Clcule o cojuto solução dess PG 6. Clcule o vlor limite ds seguites soms: ) Clcule frção gertriz ds seguites dízims periódics: ) 0,... b) 0,... c) 0,... c), LITA DE EXERCÍCIO. (Cefet-MG) A sequêci (m,, ) é um progressão ritmétic e sequêci (m,, 8) é um progressão geométric. O vlor de é: ) b) c) d) e) 8. (Cefet-MG) omdo-se um mesmo úmero cd elemeto d sequêci (,, ), obtém-se um progressão geométric. A rzão dess progressão ecotrd é igul : ) b) c) 8 d) e). (PUC-MG) Os úmeros iteiros ão ulos, b e c formm, ess ordem, um progressão geométric de rzão cico. Os úmeros, bx e c, ess ordem, formm um progressão ritmétic. O vlor de x é: Prof. Diego Medeiros Álgebr II Escol Preprtóri d UFABC

11 Cpítulo Progressões Álgebr II ) e) 8 b) 7 c) d). (PUC-MG) De segud sext-feir, um pesso cmih pist de 670 metros que cotor cert prç. A cd di, el percorre sempre um volt mis do que o di terior. e, pós dr cico dis, el tiver percorrido um totl de, km, pode-se firmr que, o terceiro di, ess pesso deu x volts em toro d prç. O vlor de x é: ) 6 b) 7 c) 8 d) 9. (Fuvest-P) Três úmeros positivos, cuj som é 0, estão em progressão ritmétic. omdose, respectivmete,,, e 9 os primeiro, segudo e terceiro termos dess progressão ritmétic, obtemos três úmeros em progressão geométric. Etão, um dos termos d progressão ritmétic é: ) 9 b) 0 c) d) e) 6. (Fuvest-P) ejm e b úmeros reis tis que: I),b e +b formm, ess ordem, um PA; II-), 6 e b formm, ess ordem, um PG. Etão o vlor de é: ) b) c) d) 7. (Fuvest-P) Os úmeros,, formm um progressão ritmétic de rzão r, de tl modo que,, estejm em progressão geométric. Ddo id que > 0 e =, coclui-se que r é igul : ) b) c) d) e) 8. Qutos termos cosidermos PG (, 6,...) pr obter um som que sej igul 76? 9. A sequêci,,, e sequêci é um PA de rzão b, b, b, b é um PG de rzão. bedo que b e b, escrev PA e PG. 0. bedo que os úmeros, log x, log y, ess ordem, estão simultemete em PA e PG, clcule x e y.. A espessur de um folh de ppel é 0,0 mm. Form-se um pilh de folhs de ppel colocdo-se ª vez um folh, e em cd um ds seguites, tts folhs quto já hvi pilh. Após operções iguis ess, qul ltur d pilh de ppel em cetímetros?. Um sitite estv perdedo su pltção de lgodão em decorrêci d ção de um prg. Ao cosultr um grôomo d Cs d Lvour, foi orietdo pr que pulverizsse, um vez o di, um determido grotóxico d seguite meir: litros o º di, litros o º di, 8 Prof. Diego Medeiros Álgebr II Escol Preprtóri d UFABC

12 Cpítulo Progressões Álgebr II litros o º di, e ssim por dite. bedo que qutidde de grotóxico pulverizdo foi de 6 litros, qutos dis esse trtmeto durou?. Clcule x e y sbedo que sequêci (x, y, 9) é um PA, e sequêci (x, y, ) é um PG crescete.. Um bol de borrch ci de um ltur. Após chocr-se com o solo, bol tige pes de ltur iicil. Quto bol percorrerá té que pre? 6 Prof. Diego Medeiros Álgebr II Escol Preprtóri d UFABC

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