retangular: Corte: 2 Fatias: 4 Corte: Fatias: 7 Corte: 4 Fatias: 11 com n cor a definição função. Isto n+ a n 2.

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1 Métodos de Cotgem e Esttístic Cristi Pol e Luverci Nscimeto. RELAÇÕES DE RECORRÊNCIA. Itrodução Algums relções mtemátics podem ser deiids por recorrêci. O objetivo dess ul cosiste em estudr esses tipos de relções. Observe seguite situção: Vmos cortr tis de um bolo retgulr: Qudo zemos um corte obtemos tis. Qudo zemos cortes obtemos 4 tis. O terceiro corte produz 7 tis. Com o qurto corte teremos tis. Com o quito corte teremos quts tis? Corte: Ftis: Corte: Ftis: 4 Corte: 3 Ftis: 7 Corte: 4 Ftis: Pr respoder à pergut cim podemos relizr mis um corte o bolo ou observr o que está cotecedo com o úmero de tis do bolo medid que umetmos o úmero de cortes. Dess orm será possível respoderr um pergut mis gerl: quts tis hverá o bolo qudo izermos cortes? É possível observr que o ésimo corte cri ovs tis. Logo o úmero totl de tis obtido com cor tes deotdoo por ( ) é ddo pel seguite relção de recorrêci: ( ) ( ) ( ).. Deiição de Sequêcis Deiids por Recorrêci Um seqüêci é deiid por recorrêci qudo deiição d ução tmbém se reerir à própri ução. Isto é prtir de um primeiro vlor ddo (ou lgus poucos vlores) seqüêci podem se determir os vlores subsequetes. Por exemplo qulquer progressão ritmétic ( ) de rzão r e com primeiro termo pode ser deiid como r.

2 Métodos de Cotgem e Esttístic Cristi Pol e Luverci Nscimeto Pr que deiição de um relção de recorrêci ão sej circulr el deve stiszer às seguites proprieddes: ) Os vlores de bse ão podem se reerir à ução. b) Cd vez que ução se reerir si própri o rgumeto precis estr próximo um vlor de bse. É importte slietr que um recorrêci ão deie um seqüêci se o primeiro elemeto ão or deiido. Clssiicção ds sequêcis quto à ordem As sequêcis e são recorrêcis de primeir ordem pois cd termo é expresso em ução de seu tecessor imedito. A sequêci é de segud ordem pois cd termo é expresso em ução de dois tecessores imeditos. () ( ) ( ) r 0 Clssiicção ds sequêcis quto à lieridde Um relção de recorrêci pode ser clssiicd como lier ou ão lier. A sequêci é dit lier se os vlores teriores de que precem deiição tehm pes primeir potêci. Por exemplo s relções e são lieres já é dit ão lier um vez que o termo está elevdo o qudrdo. r 0 0 A orm gerl pr um relção de recorrêci lier é ( ) ( ) ( ) k k g ode os termos e podem ser expressões evolvedo. i g Clssiicção ds sequêcis quto à homogeeidde Cso sej ulo pr todo relção é dit homogêe. Cso cotrário é dit ãohomogêe. g Um relção de recorrêci lier de primeir ordem tem orm. Por exemplo ução toril é um relção de recorrêci pois é deiid d orm.! ( ) 0! 0!

3 Métodos de Cotgem e Esttístic Cristi Pol e Luverci Nscimeto 5! 5 4! 5 4 3! 5 4 3! Por exemplo 5 4 3! ! ! 0 Exemplo : Cosidere sequêci deiid por ) ordem d sequêci; b) se é lier ou ão lier; c) se é homogêe; d) o vlor de 5 ; e) um expressão pr em ução de. determie justiicdo su respost: 3 ) A sequêci é de ordem pois cd termo é expresso em ução de seu tecessor imedito. b) A sequêci é lier pois todos os termos que precem deiição tem pes primeir potêci. c) A relção é homogêe pois 0. d) Sbedo que 3 e que etão obtemos seguite sequêci: ( 3) [ ( 3) ] Logo 48. { [ ( )]} e) Alisdo sequêci terior é possível perceber que temos um progressão geométric de rzão ssim órmul pr pode ser escrit como 3..3 Solução de Relções de Recorrêci No exemplo terior expressão 3 permite determir cd termo d sequêci sem ecessidde de cohecer todos os vlores meores. Ess equção é chmd de 3 solução em orm echd pr relção de recorrêci em questão. Qudo ecotrmos um solução em orm echd pr um relção de recorrêci podemos irmr que resolvemos ess relção de recorrêci. Resolver um relção de recorrêci cosiste em determir um órmul explícit pr em termos de. Exemplo : Resolv s relções de recorrêci bixo: 3

4 Métodos de Cotgem e Esttístic Cristi Pol e Luverci Nscimeto 3 ) b) ) Escrevedo os termos de 3 té exergr um pdrão: M 3 M de A expressão pr termos. é obtid trvés d órmul d som de um progressão geométric (PG) b) Escrevedo os termos de té exergr um pdrão: 3 ( ) [ ( ) ] { [ ( ) ] } M M ( ) ( ) A solução é dd por. Fórmul geerlizd pr solução d relção de recorrêci lier de primeir ordem É possível obter um órmul geerlizd pr solução d relção de recorrêci lier de primeir ordem ode o termo é cohecido? Sim pr isso usmos relção de recorrêci repetidmete isto é escrevemos: 4

5 Métodos de Cotgem e Esttístic Cristi Pol e Luverci Nscimeto Depois de k expsões observ se que órmul gerl pode ser. Se o primeiro termo d equção or cohecido etão expsão termi qudo ou sej ou em um otção mis compct:. Pr tod e qulquer relção de recorrêci orm com o termo deiido o processo relizdo cim ão precis ser repetido. No exemplo s resposts poderim ser obtids trvés d órmul obtid cim. Pr o e 3 item temos logo 3 3 cujo resultdo é obtido 3 usdo som de um progressão geométric (PG) de termos. E cheg se..4 Recorrêcis Lieres de Segud Ordem.4. Recorrêci lier de segud ordem homogêe com coeicietes costtes Um recorrêci lier de segud ordem homogêe com coeicietes costtes tem orm 0 pr 0. A cd recorrêci desse tipo pode se ssocir um equção do segudo gru 0 que é chmd de equção crcterístic. O cálculo ds rízes dess equção permite determir solução d recorrêci dd. Ao eetur esse cálculo obtemos s rízes e e podemos chegr um ds seguites situções: ) Dus rízes reis distits: ) Dus rízes reis iguis: 3) Dus rízes complexs cojugds: e ode Situção : Dus rízes reis distits 0 Teorem : Se s rízes d equção crcterístic são e etão é solução d equção de recorrêci 0pr quisquer vlores de e. Demostrção: A im de veriicr se é solução d recorrêci 0 precisse obter um idetidde o substituí l relção. Psso : Clculr e : 5

6 Métodos de Cotgem e Esttístic Cristi Pol e Luverci Nscimeto Psso : Substituir e relção de recorrêci 0: 0 Psso 3: Agrupr os termos de orm coveiete: Colocdo e em evidêci obtém se: 0. Como e são rízes d equção crcterístic etão é um idetidde. Exemplo 3: Cosidere recorrêci determie: ) Su ordem; b) Se é homogêe ou ão; c) Su equção crcterístic; d) Su solução. ) A recorrêci é de segud ordem pois há depedêci de dois tecessores. b) É homogêe pois todos os termos depedem de. c) A equção crcterístic é 450 que é equção do segudo gru ssocid à recorrêci dd. d) As rízes d equção crcterístic são e 5 etão solução d recorrêci é 5 ode e são costtes rbitráris que poderão ser determids qudo os orem orecidos dois vlores pr recorrêci. Exemplo 4: Determie solução d recorrêci A equção crcterístic dess recorrêci oi costruíd o exemplo terior bem como oi relizdo o cálculo de sus rízes (reis e distits). Com isso é ecessário pes substituir os vlores de bse recorrêci pr obter os vlores de e trvés d resolução do sistem de equções resultte. A prtir de 5 substituido obtemos 0 e e 5 5 o que result o sistem cuj solução é 5 e. Logo solução d relção de recorrêci dd é 5. Teorem : Se s rízes d equção crcterístic 0 são distits etão tods s soluções de recorrêci 0 são d orm ode e são costtes. Situção : Dus rízes complexs cojugds Se s rízes d equção crcterístic orem complexs e solução de 0 pode ser escrit de modo evitr cálculos com úmeros complexos. Escrevem se s rízes em su orm trigoométric e solução ic 6

7 Métodos de Cotgem e Esttístic Cristi Pol e Luverci Nscimeto θ θ ode correspode o módulo ds rízes e θ é o rgumeto do úmero complexo. Por que isso cotece? O úmero complexo pode ser escrito orm polr. Observe igur o ldo represetção vetoril de ode é possível loclizr e θ. A orm polr do úmero complexo é θ θ e de seu complexo cojugdo θ θ. Esss represetções devem ser substituíds em isto é θ θ θ θ. As potêcis de e são clculds como θ θ e θ θ. Assim θ θ θ θ. R egrupdo os coeicietes de θ e de θ obtém se θ θ. Escrevedo e cheg se θ θ. Exemplo 5: Determie solução d recorrêci 0. Psso : Escreve se equção crcterístic: 0. Psso : Resolve se equção crcterístic: s rízes são. θ. Sedo s rízes clculm se o módulo e o rgumeto correspodete isto é Psso 3: Escrever solução d recorrêci:. Situção 3: Dus rízes reis iguis Teorem: Se s rízes d equção crcterístic 0 são iguis etão tods s soluções de recorrêci 0 são d orm ode e são costtes. 7

8 Métodos de Cotgem e Esttístic Cristi Pol e Luverci Nscimeto Exemplo 6: Determie solução d recorrêci Psso : Escreve se equção crcterístic: 860. Psso : Resolve se equção crcterístic: s rízes são 4. Psso 3: Escrever solução d recorrêci: Recorrêci lier de segud ordem ão homogêe com coeicietes costtes Estudremos um processo de solução de recorrêcis ão homogêes. Teorem: Se é um solução d equção etão substituição de trsorm equção em 0. Esse teorem idic que solução de um recorrêci ão homogêe cosiste de dus prcels: solução homogêe (já sbemos como clculr) e solução ão homogêe (vmos clculr por tettivs). Isto é podemos escrever. Demostrção do teorem: Substituido em obtemos. Ms é solução de logo 0. Exemplo 7: Resolv recorrêci 7. Como ess recorrêci é ão homogêe su solução será compost por dus prcels e será escrit orm. Etp : Resolve se equção homogêe: 7 0 com o ituito de determir.. Escreve se equção crcterístic: 70. Resolve se equção crcterístic: As rízes d equção são 3 e Escreve se solução homogêe : 4 3. Etp : Determir solução ão homogêe. Ess solução chmd de pode ser obtid por tettiv porém precis se levr em cot que o ser substituíd recorrêci 7 deve produzir um idetidde. Assim test se expressão que correspode à som de um poliômio completo do segudo gru com um ução expoecil de bse ou sej é um solução cujo ormto é semelhte o d ução.. Substitui se relção de recorrêci origil 7. 8

9 Métodos de Cotgem e Esttístic Cristi Pol e Luverci Nscimeto Clculm se os termos e : Fz se substituição de cd termo recorrêci e obtém se: 7. Expdem se os produtos otáveis relizm se s multiplicções grupm se os termos semelhtes: Comprm se os termos semelhtes os dois membros d equção e se cheg o sistem: R esolve se o sistem por substituição e obtém se e. 5. Substituem se os vlores ecotrdos expressão de : Ess é solução ão homogêe Etp 3: Escrever solução gerl d recorrêci: isto é: Pr mostrr que o resultdo ecotrdo é solução d relção de recorrêci dd bst substituí lo em 7. Exemplo 8: Resolv relção de recorrêci 4 3. Como ess recorrêci é ão homogêe su solução será compost por dus prcels e será escrit orm. Etp : Resolve se equção homogêe: com o ituito de determir.. Escreve se equção crcterístic: 430. Resolve se equção crcterístic: As rízes d equção são e Escreve se solução homogêe : 3 isto é 3 Etp : Determir solução ão homogêe. 9

10 Métodos de Cotgem e Esttístic Cristi Pol e Luverci Nscimeto Ess solução chmd de pode ser obtid por tettiv porém precis se levr em cot que o ser substituíd recorrêci 4 3 deve produzir um idetidde. Assim test se que correspode à som de um poliômi o completo do primeiro gru com um ução expoecil de bse ou sej é um solução cujo ormto é semelhte o d ução. 4. Substitui se relção de recorrêci origil 4 3. Clculm se e : Fz se substitui ção de cd termo recorrêci e obtém se: Expdem se os produtos otáveis relizm se s multiplicções grupm se os termos semelhtes: 6. Comprm se os termos semelhtes os dois membros d equção e se observ que ess iguldde é impossível. Logo recorrêci ão dmite solução d orm. 7. Observdo solução homogêe é possível perceber que costte já z prte d solução etão pode se zer um ov tettiv umetdo o gru do termo ou sej tet se.. Clculm se os termos d recorrêci prtir d solução escolhi d ou sej. b. Substituido cd termo relção de recorrêci e grupdo os termos semelhtes cheg se c. Obtém se o sistem d. Determim se os v lores 0 e. 8. Substituem se os vlores ecotrdos expressão de. Ess é solução ão homogêe. Etp 3: Escrever solução gerl d recorrêci: isto é: 3 4 0

11 Métodos de Cotgem e Esttístic Cristi Pol e Luverci Nscimeto Pr mostrr que o resultdo ecotrdo é solução d recorrêci dd bst substituí lo em 4 3. Observção: Nesse exemplo oss primeir tettiv de obteção d solução ão homogêe ão ucioou porque ão se lisou solução homogêe tes de escrever solução ão homogêe. As soluções devem ser distits por isso qudo houver repetição deve se umetr o gru do bloco ode ess repetição ocorre multiplicdo por.