1- SOLUÇÃO DE SISTEMAS LINEARES E INVERSÃO DE MATRIZES

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1 - SOLUÇÃO DE SISTEMAS LINEARES E INVERSÃO DE MATRIZES.- Métodos etos pr solução de sistems lieres Métodos pr solução de sistems de equções lieres são divididos priciplmete em dois grupos: ) Métodos Etos: são queles que forecerim solução et, ão fossem os erros de rredodmeto, com um úmero fiito de operções; e ) Métodos Itertivos: são queles que permitem oter s rízes de um sistem com um dd precisão trvés de um processo ifiito covergete. Veremos este cpítulo somete métodos etos...- Métodos pr Sistems Trigulres Iferiores. Sej o sistem trigulr iferior: ode ii, i,,...,..... Por sustituição progressiv podemos resolvê-lo pels fórmuls: i i ( i - j j ) / ii ; i,,...,...- Métodos pr Sistem Trigulres Superiores. Sej o sistem trigulr superior ode ii ; i,,...,.

2 Por sustituição Retrotiv podemos resolvê-lo pels fórmuls: i ( i - i j j ) / ii i -,..., Eemplo..: ) Resolver o sistem trigulr iferior, / / y y y 9 Por sustituição progressiv tem-se: y 9 e y y y y y y 9 ) Resolver o sistem trigulr superior 9 Por sustituição retrotiv: - 9 solução deste sistem é.

3 .- O Método de elimição de Guss ou Método de Guss Simples. Sej o sistem lier A, ode A tem tods s sumtrizes pricipis ão sigulres. O método de elimição de Guss cosiste em trsformr o sistem ddo um sistem trigulr equivlete pel plicção repetid d operção: sutrir de um equção outr equção multiplicd por um costte diferete de zero. É clro que tl operção ão lter solução do sistem, isto é, otem-se com el outro sistem equivlete o origil. Descrição do lgoritmo: Cosideremos o sistem: cuj mtriz dos coeficietes chmremos A (). ode: Motmos tel : () () () () () () () () () () () () () ; i () i ; i, j,,..., Por hipótese temos que (), pois det ( A ). Primeiro Psso: Elimir icógit d,,..., equções ( isto é, zerr os elemetos d primeir colu io d digol) ; pr isso: Sutrímos d. equção. equção multiplicd por () ()

4 Sutrímos d. equção. equção multiplicd por () Sutrímos d. equção. equção multiplicd por ) Pssmos etão d tel iicil à tel : () () () () () () () () () () () () () N () () ( ode: () () i () () () j ; i,,..., () i () i () () () i j,,..., Temos por hipótese que ( ), pois det ( A ). Segudo psso. Elimir icógit d.,.,...,. equções (isto é, zerr os elemetos d segud colu io d digol) ; pr isso () Sutrímos d. equção. equção multiplicd por () Sutrímos d. equção. equção multiplicd por Sutrímos d. equção. equção multiplicd por Otemos etão tel : () () () () () () () () () () () () () () () () () () ()

5 ode () () i () () () j ; () i () i () () () i ; i,,..., ; j,,..., E ssim sucessivmete, chegremos o: ( -) º Psso (), Temos por hipótese que,poisdet( A ). Elimir icógit - d. equção (isto é, zerr o elemeto d (-)ª colu io d digol); pr isso: () Sutrímos d,. equção, (-)ª. equção multiplicd por. () E ssim, otemos tel :, ode: () () () () () (), () () () () (), () () () (), () () (),, () () () () i ( ) i ( ) - (), j. ( ) () i, (), ( ) i,. ; i ; j,. ( ), Assim, o sistem trigulr superior otido será:

6 6 () () ) ( ) (, ) (, () () (), () () () (), () () () () (), () () () é equivlete o Sistem Lier origil. Eemplo..: Resolver o sistem: 8 6 usdo o método de Elimição de Guss. Temos tel : 8 6

7 () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 9 Assim otemos tel : 6 / / / / 9/ º Psso: () () ) () () () () () () () () () () 8 () () () () 8. () Omitido qui tel, diretmete, otemos o seguite sistem trigulr superior:

8 6 / / 8/ / 8/ Solução: Portto, solução de : 6 8 é.. O Método de Guss com Pivotemeto Prcil ) O elemeto (k) kk é o pivot do K º psso. ) Se em lgum psso K ecotrrmos ( k) kk isso sigific que det (A k ). Nesse cso, o sistem id pode Ter solução determid (st que det (A) ). O método pode ser cotiudo simplesmete permutdo k ª equção com qulquer outr io cujo coeficiete d K ª icógit sej. ) Aálise de propgção de erros de rredodmeto pr o lgorítmo de Guss idicm (k) (k) coveiêci de serem todos multiplicdores ( s costtes ik / kk do k º psso) meores que em módulo; ou sej o pivot deve ser o elemeto de mior vlor soluto d colu, d digol (iclusive) pr io. Podemos etão em cd psso, escolher colu correspodete o elemeto de mior vlor soluto, d digol (iclusive) pr io, e fzer um permutção s equções do sistem, de modo que esse elemeto veh ocupr posição digol. O eemplo io ilustr s oservções de º e. Eemplo..: 8

9 9 Resolver usdo o método de Elimição de Guss o sistem: Motmos tel Em vist d oservção ) : pssmos d tel iicil à tel isto é, colocmos posição do pivot o mior elemeto d colu, e plicdo o º psso, otemos: 8 / / / / Vemos qui que o elemeto ) ( (como já dissemos (os.) isso sigific que det(a ). De fto: det( A ) ). Como o elemeto (), permutmos ª equção com ª equção e ssim otemos tel: / / 8 / / qul correspode um sistem trigulr. Portto, temos: / 8 / / / Assim

10 8 Logo, solução de: é.. O Método de Guss com Pivotemeto Totl Neste método é dotd seguite estrtégi: - o k-ésimo psso é escolhido pr pivô o elemeto de mior módulo etre todos os elemetos que id tum o processo de elimição, ou sej, o elemeto pivô será: (k ) i m.,j k - est estrtégi ão é usulmete empregd pois evolve um comprção etre os elemetos evolvidos troc de lihs e colus, o que, evidetemete crret um esforço computciol mior que estrtégi de pivotemeto prcil...- Eercícios...) Resolver pelo método de Elimição de Guss, o sistem:

11 6...) Cosidere o sistem: Pede-se: ) Resolver pelo Método de Elimição de Guss. ) Clculr o determite de A, ode A é mtriz dos coeficietes....) Verificr usdo Elimição de Guss que o seguite sistem ão tem solução:...) Eercícios complemetres: fzer eercícios reltivos os tópicos vistos dos livro: Brroso, L.C. e Ruggiero, M. A. G. (ver o lik Coclusão )

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