Quando o polinômio divisor é da forma x + a, devemos substituir no polinômio P(x), x por a, visto que: x + a = x ( a).

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1 POLINÔMIOS II. TEOREMA DE D ALEMBERT O resto d divisão de um poliômio P(x) por x é igul P(). m m Sej, com efeito, P x x x..., um poliômio de x, ordedo segudo s potecis m m decrescetes de x. Desigemos o quociete dess divisão por Q(x) e o resto por R. O resto tedo gru iferior o divisor, que é do primeiro gru, será de gru zero, isto é, idepedete de x. Podemos, pois, estbelecer seguite idetidde:. P x x Q x R Substituido est idetidde x por, teremos:. P Q R P. Q R P R Este resultdo os mostr que R é um costte, isto é, equivle o vlor umérico P() de Poliômio P(x), pr x =. OBSERVAÇÃO Qudo o poliômio divisor é d form x +, devemos substituir o poliômio P(x), x por, visto que: x + = x ( ). CONSEQUÊNCIA : Pr que um poliômio em x sej divisível por x, é codição ecessári e suficiete que ele se ule pr x =. CONSEQUÊNCIA : Pr que um poliômio em x sej divisível por x +, é codição ecessári e suficiete que ele se ule pr x = -. EXEMPLO I Clculr o resto d divisão 5x 4 8x 3 3x x 7 : x

2 RESOLUÇÃO: 4 3 R R R 5 EXEMPLO II Clculr o resto d divisão x 3 x 5x : x 5 RESOLUÇÃO: 3 R R REGRA DE RUFFINI O quociete d divisão de um poliômio completo e ordedo em relção x do gru m por um biômio d form x, é um poliômio e, ordedo em relção x, é do gru m, o qul: O coeficiete do primeiro termo é o mesmo do primeiro termo do poliômio dividedo; O coeficiete de cd termo é igul à som do coeficiete de mesm ordem do dividedo com o coeficiete do termo terior multiplicdo por ; 3 O resto d divisão é igul à som do coeficiete do último termo do dividedo com o coeficiete do último termo do quociete multiplicdo por. EXEMPLO I Clculr o quociete e o resto d divisão x 3 5x x : x 5 RESOLUÇÃO: b b 5 5 b 5 R ( 5) Q x x e R -6.

3 EXEMPLO II Clculr o quociete e o resto d divisão x 4 3x 3 x x 6 : x 3 RESOLUÇÃO: b 3 b b 3.3 b.3 3 R Q x x 3x x 3 EXEMPLO III: Usdo o dispositivo prático Dividir x 3 5x + 3x 4 por x Iicilmete locr o dispositivo os coeficietes do dividedo e o segudo termo do biômio com o sil trocdo e etão proceder como cim: (5) ()+3 +(4) Q(x) = x x + e R = Vmos detlhr bixo o dispositivo. DISPOSITIVO PRÁTICO DE BRIOTT-RUFFINI Pr dividir um poliômio Px x x x x por x, devemos seguir o seguite lgoritmo: º) primeir lih do digrm, dispomos riz do divisor colu à esquerd e seguir os coeficietes de Px, iclusive os ulos; 3

4 º) segud lih do digrm, dispomos o coeficiete do primeiro termo do dividedo que será o coeficiete do primeiro termo do quociete; q 3º) à direit do termo terior colocmos q q, coeficiete do segudo termo do quociete; q q q 3 4º) repete-se operção descrit o item terior té tigirmos q P x x kx px 9 q q q q q3 q q q q 5º) repetido o procedimeto mis um vez obtemos o resto r q d divisão. q q q q q3 q q q q q r 4

5 3. TEOREMA FUNDAMENTAL DA ÁLGEBRA Todo poliômio de gru mior ou igul dmite pelo meos um riz rel ou complex. 4. TEOREMA DA DECOMPOSIÇÃO Se o úmero complexo é riz de um poliômio P, etão P(x) é divisível por (x ) Todo poliômio Px de gru Px x x x x ftores do primeiro gru de meir úic, meos d ordem, como segue: P x x r x r x r ode r,r,,r são s rízes (complexs) do poliômio. pode ser decomposto em TEOREMA: Um poliômio de gru possui extmete rízes complexs. Dest form, qutidde de rízes reis é o máximo igul. 5

6 EXERCÍCIOS DE COMBATE. O resto d divisão de ) b) c) 4 d) e) por é:. (CMRJ 3) Dividido o triômio x x por x 3, obtém-se quociete x b e resto 3b, com e b iteiros. A som desses vlores iteiros de eb é: ) 5 b) 3 c) d) e) Qudo o poliômio x x 7x bx 49 é dividido por x 3 o resto é 53, e qudo é dividido por x o resto é 87. Clcule b ) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) (CN 5) Sbedo-se que equção x x 3 6x x 4 pode ser escrit como um produto de biômios do primeiro gru, som de dus ds sus rízes reis distits é igul ) 3 b) c) d) e) 3 6

7 5. (ITA 7) Sedo c um úmero rel ser determido, decompoh o poliômio 3 3 difereç de dois cubos x x b. Neste cso, b c é igul : 9x 63x c, um ) 4 b) 4 c) 4 d) 34 e) (ITA 987) Cosidere Qx e R x, respectivmete, o quociete e o resto d divisão de um poliômio Ax pelo triômio Bx x 5x 6. Admit que o gru de Ax é qutro e que os restos d divisão de Ax por x e x são, respectivmete, 3 e. Supodo tmbém que Qx é divisível por x, podemos firmr que Rx é igul : ) 4x 5 b) 4x 5 c) 4 5 x 3 3 d) 4 x e) x (EsPCEx ) Os poliômios Ax e Bx são tis que Ax Bx 3x x x. Sbedo-se que é riz de Ax e 3 é riz de Bx, etão A3 B é igul ) 98 b) c) d) 3 e) 5 8. Determir e b pr que o poliômio x 3 x + bx sej divisível por (x+)(x). 9. (Escol Nvl-9/9) O resto d divisão de + x + x + + x por x é: ) 7

8 b) x + c) 5x + 5 d) 5x + 5 e) 5x + 5. (ITA) Se Px é um poliômio do 5 gru que stisfz s codições P P P3 P4 P5 e P6, etão temos: ) P 4 b) P 3 c) P 9 d) P e) P. (ITA ) Se é um riz de multiplicidde d equção é igul : ) 64 b) 36 c) 8 d) 8 e) 7 4 x x x b, com, b, etão b 3 3. (CN 984) Se divisão 6 x 6x x 8 x 8x K x 4x 4 ) 3 é ext, o vlor de K é: b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 3. (IME ) Cosidere o poliômio, ode é um úmero turl, pode-se firmr que: 3 5x 3x 6x 36. Sbedo que ele dmite um solução d form 8

9 ) 5 b) 6 c) 5 d) 5 e) 3 4. (ITA ) Com bse o gráfico d fução poliomil y fx de fx por x x. esboçdo bixo, clcule o resto d divisão ) x b) c) d) e) x x 4 x 4 x (EFOMM ) Sbedo que o poliômio Px x kx px 9 é divisível por Dx x 3, podemos firmr que: ) p k 3 b) p k c) p k 9 d) p e k e) k 4 p 3 9

10 6. Ddo um poliômio P com coeficietes iteiros, divide P(5), 5 divide P() e P() =. Mostre que divide P(7). 7. O produto ( + x + x + + x )( + x + x + + x 5 ) é um poliômio vriável x. O coeficiete de x 5 é: 8. Ecotre A, B e C que torm verddeir idetidde A B C e utilize esse resultdo pr clculr o vlor d som. O vlor ecotrdo será proximdmete igul : ) b),5 c),5 d),75 e) 9. Um poliômio Px de gru 9 tem propriedde Pk kk pr k,,3,,. Clcule P.

11 GABARITO. x x x 8x 4x x 4 3 O resto de Px 6x 8x 4x x por x é 4 3 P RESPOSTA: D. x x x 3x b 3b x 3 bx 3b 3b 3 b b 3 3b 3b ão covém b 34b 4 5 RESPOSTA: A px x x 7x bx p b b p 7 b b 3 9 b 8 4 b 3 3 b b 3 RESPOSTA: A

12 4. x x 3 6x x x 6x 3x x 4 Por ispeção, vemos que é riz (pois som dos coeficietes é zero). Aplicdo o lgoritmo de Briott-Ruffii, temos: Dí, cocluímos que equção pode ser escrit como 3 x x 5x 8x 4. Ispeciodo o ftor do terceiro gru, vemos que é riz. Aplicdo ovmete o lgoritmo de Briott- Ruffii, temos: x x x 3x. Assim, cocluímos que equção iicil pode ser escrit como É fácil ver que o ftor do segudo gru possui rízes e. Assim, equção resultte é x x. As sus rízes são (dupl) e (dupl), e som de dus rízes distits é 3. Outr solução pode ser obtid ftordo-se diretmete (se você vir o cmiho...). x x 3 6x x x 6x 3x x x 9x 4 6x 4x x x 3x 3x x x 3x x 3x x x RESPOSTA: E 5. 9x 63x c x 3x 3 x x 3bx 3b x b

13 3 3 9x 63x c 3( b)x 3( b )x b b 3 b b c b c b ( b)( b) Logo b c RESPOSTA: B b 3 b 7 b b c c ( ) ( 5) 7 6. Como B x é do segudo gru, Rx x b. Como x divideqx, pelo teorem de D Alembert, Q. Pelo lgoritmo de Euclides, Ax x x 3Qxx b. A 3Q R R b 3 A 3Q R R b 4 5 e b R x x 3 3 RESPOSTA: C R x é o máximo do primeiro gru e pode ser represetdo como 7. Como é riz de 3 Ax Bx 3x x x A x e 3 é riz de 3 A B 3 B B 3 A3 B A3 3 3 A3 B 3 RESPOSTA: C Bx, temos A e B3. 3

14 8. b 4++b 8b= 3+b= +b = 8 e b+3 = b = 3 e = 6 9. Sej p(x)= x x x p(x) q(x) (x ) r(x) com r(x) x b x (x )(x ) fremos o cálculo de p() e p(-) p() e p(-)= Substituido em p(x)=q(x) (x ) r(x) temos b 5, b 5. b r(x) 5x 5. RESPOSTA: D. Pxx x x 3x 4x 5 P P x x x x 3x 4x 5 P RESPOSTA: D. Utilizdo o dispositivo de Briot-Ruffii: 4

15 b + +b Se é um riz de multiplicidde d equção 4 x x x b, etão: b 6 6 b b ( 6) RESPOSTA: C. 3 6 x 6x x 8 x 8x K x 4x x x 4x 4 7 K x 48 x x 7 K x 46 K 7 x x Se divisão é ext, etão K 7 K 7. RESPOSTA: D 3. 5x 3x 6x 36 5x x 3x 5x 3x x x 5 3 3,5 RESPOSTA: C 4. A prtir do gráfico coclui-se que f 8 e f. Sej r x x b, o resto d divisão de y fx por x x. 5

16 f x x x Q x x b f Q b b f Q b b 8 8 x b r x RESPOSTA: E 5. D x x 3 x 3 x 3 Pelo teorem de D Alembert, Dx divide P k 3p 9 3k 3p P k 3p 9 3k 3p p 6k 8 3p 6 3 k 3 p 3 k P 3 P 3. Assim, Px se, e somete se, 6. Sej P(x) = A(x x )(x x )(x x 3 )(x x 4 ) (x x ), etão: P(5) = A(5 x )(5 x )(5 x 3 )(5 x 4 ) (5 x ) e P() = A( x )( x )( x 3 )( x 4 ) ( x ) Etão: P(7) = A(7 x )(7 x )(7 x 3 )(7 x 4 ) (7 x ) Se divide P(5) e 5 divide P() etão divide P(5)P() P()P(5) = A [(5 x )( x )][(5 x )( x )][(5 x 3 )( x 3 )+ *(5 x )( x )] => P()P(5) = A [ 7x + x ][ 7x + x ][ 7x 3 + x 3 + * 7x + x ] P()P(5) = A [ x (7 x )][ x (7 x )][ x 3 (7 x 3 )+ * x (7 x )] => P()P(5) = A [ (x (7 x ) + x (7 x ) + + x (7 x )) + (x x (7 x )(7 x ) + x x 3 (7 x )(7 x 3 ) + + x x (7 x )(7 x )) x x x (7 x )(7 x ) (7 x )] (*) Podemos tirr s seguites coclusões: i) Se A é divisível por e por 5, etão A é divisível por. Como P(7) = A(7 x )(7 x ) (7 x ) e todos os coeficietes de P(x) são iteiros => P(7) é divisível por ; ii) Se A ão é divisível por temos que lisr (*). Como A ão é divisível por temos que lisr expressão (x (7 x ) + x (7 x ) + + x (7 x )) + x x x (7 x )(7 x ) (7 x ) 6

17 Notemos que todos os termos (com excessão do último) são produtos de potêcis de com termos em x, x,, x. Etão pr que este expressão sej divisível por, temos que impor que o último termo sej divisível por. Ou sej, x x x (7 x )(7 x ) (7 x ) é divisível por. Como P() = e P() = x x x => x x x = => (7 x )(7 x ) (7 x ) é divisível por => P(7) é divisível por 7. ( + x + x x )( + x + x x 5 ) pode ser escrito como multiplicção de dus PG's x x x x x ( x x... x )( x x... x ). x x (x ) Dividido dus vezes por trvés do dispositivo de Briot-Ruffii x 7 x x x x 7 x 6 x 5 x x 6 x x x 6 x 5 x Etão o coeficiete de x 5 é A B C A B C A B C 3A B C A A B C B C 3A B C B C A A 3 B C 3 7

18 3 3 3 S S S S 4, RESPOSTA: B 9. Sej um poliômio Qx de gru defiido por Qx xx Px. Como kk Pk prk,,3,,, etão esses vlores de k são rízes de Qx, que pode ser Qx xx Px escrito como: x bx x x Fzedo x e x, temos: Q b b! b! Q b3 Qx xx Px b! x x x x!!!!!!! Q P 9!! 3P!! 5 P 3 66 RESPOSTA: 5 P 66 8

MÓDULO IV. EP.02) Determine o valor de: a) 5 3 = b) 3 4 = c) ( 4) 2 = d) 4 2 = EP.03) Determine o valor de: a) 2 3 = b) 5 2 = c) ( 3) 4 = d) 3 4 =

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