Transformada z. A transformada z é a TFTD da sequência r -n x[n] e a ROC é determinada pelo intervalo de valores de r para os quais.

Transcrição

1 Trsformd A TFTD de um sequêci é: Pr covergir série deve ser solutmete somável. Ifelimete muitos siis ão podem ser trtdos: A trsformd é um geerlição d TFTD que permite o trtmeto desses siis: Ζ Defiição: [ ] Os vlores de pr os quis som coverge defiem ROC região de covergêci.

2 Trsformd A trsformd é TFTD d sequêci r - [] e ROC é determid pelo itervlo de vlores de r pr os quis. Oserve que pr circuferêci de módulo :, T é igul TF

3 Trsformd uitos siis de iteresse tem trsformds que são fuções rciois de : Ftordo o um. e o de., temos de form evidete que β são eros e α são os pólos. Em gerl ROC é um el α< < β. Um sequêci de comprimeto fiito tem um trsformd cuj região de covergêci é o plo iteiro, eceto possivelmete e. Se [] pr < o poto será icluído. Se [] pr > o poto será icluído

4 Eemplo Cosidere os seguites siis e clcule sus trsformds : [ ] [ ] u [ ] [ ] u [ ] u u 3 [ ] [ ] [ ] u u 3 [ ] [ ]

5 EEPLO < > < < < : ríes de : ríes de etão Se.: :, se ;, Sej pólos A eros B A B Os RC u R R Re[] Im[] Digrm de pólos e eros o RC

6 EEPLO < < < < < R R RC u :, se ;, Sej Digrm de pólos e eros o Re[] Im[] RC

7 EEPLO : ;,, Sej RC RC RC u u < > Digrm de pólos e eros o Re[] Im[] RC 3

8 Outro eemplo Cosidere o sil [ ], -, cso cotrário

9 PROPRIEDADES DA ROC. A ROC é sempre limitd por um circuferêci.. Se somete p/ < : seqüêci à direit ROC: for de R. Se, é tmém cusl. 3. Se somete p/ > : seqüêci à esquerd ROC: detro de R Se, é tmém ticusl.. Im[] Im[] R Re[] Re[] R - seqüêci à direit seqüêci à esquerd

10 PROPRIEDADES DA RC 4. Pr seqüêcis ilteris : ROC é el, se eistir. 5. Se p/ < e > : seqüêci de durção fiit, ROC é o plo iteiro. Se <, ROC ão iclui o limite. Se >, RC. 6. Os pólos RC. B 7. pelo meos um pólo froteir d RC se. A 8. A RC é sempre cotíu.

11 Eemplos de qutro ROCs de trsformds com os mesmos pólos e eros. Sequêci direit Sequêci esquerd Sequëcis ilteris

12 PROPRIEDADES DA TRASFORADA Z. Lieridde :. Deslocmeto : RC : RC RC : RC 4. Espelhmeto : RC : RC [ ] RC [ ], eceto 3. Esclometo o domíio : Z Z Z se RC : RC [ ] Z ; > ou [ ] ; esclodo por se ivertid "for" "detro" ou "detro" "for" ; ; <

13 [ ] [ ] [ ] [ ] RC RC : RC ; 8. Covolução: ivertid RC RC : RC ; ultiplicção: 7. RC : RC ; : Diferecição o domíio 6. RC : RC ; Cojugção comple : 5. * * C * Z d j Z d d Z Z υ υ υ υ π PROPRIEDADES DA TRASFORADA Z

14 Eemplo Clcule trsformd de [ ] u[ ] u[ ], > u[ ], > u[ ], < d u[ ], < d

15 TABELA DE TRASFORADAS Z u - u - u - u - u > < > < > δ Seqüêci Trsformd RC

16 TABELA DE TRASFORADAS Z - se u se - - u - se u se - - u u > > > > < cos cos cos cos cos cos cos cos Seqüêci Trsformd RC

17 Teorem do vlor iicil Se [] for igul ero pr <, [] pode ser ecotrdo prtir de []: [ ] lim [ ]

18 IVERSÃO DA TRASFORADA Z ou Epsão em frções prciis :. ~ ~ ~ própri : form rciol Epressr., Z precis ser um fução rciol Trsformd étodo prático : Epsão em frções prciis prte poliomil se própri prte rciol p R C p R C R R m m m < < <

19 Frções prciis A plicção d técic de Frções prciis cosiste em sitetir fução rciol em um som de fuções, cuj trsformd sej cohecid e teld. E.: A B [ ] A B A B A B A B A B A, B [ ] [ ] [ ] u[ ]

20 Série de potêcis A epressão que defie trsformd é um série de Luret e os vlores d sequêci [] são os coeficietes de -. Portto se trsformd é dd como um série de potêcis form: [ ] [ ]... [ ] [] [].. Pode-se determir qulquer vlor prticulr d sequêci chdo-se o coeficiete d potêci proprid de. [ ] log > epsão em séries de potêcis:

21 Fução de Trsferêci 3 forms de clculr H[] em fução d h[] prtir d h[] y [ ] [ ] y [ ] h [ ] u [ ] H prtir d covolução y[ ] h[ ]* [ ] y [ ] h [ ] [ ] se fiermos [] y [ ] h [ ] h [ ] H y [ ] H H y[ ]

22 Fução de Trsferêci 3 forms de clculr H[] em fução d h[] Determie H pr y[][]y[-] H H H prtir d equção de difereçs sustituido [] por e y[] por Y: Determie H pr y[][]y[-] - Y Y H Y

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24 REPRESETAÇÃO DE SISTEAS O DOÍIO Z [ ] h y h h RC RC RC H Y Y H R R h h Z H < < : ; Fução de Sistem :

25 FUÇÃO DE SISTEA A PARTIR DA REPRESETAÇÃO POR EQUAÇÕES DE DIFEREÇAS l l l l l l l l l l p H A B Y H Y Y l y y

26 FUÇÃO DE SISTEA E RESPOSTA E FREQÜÊCIA [ ] [ ]... ou em pricípio LIEAR ÃO j l j l LIEAR COSTATE j j j j j j j j j l l j j j p e e e H p e p e p e e e e e H p e e e e H π

27 ódulo de um Fução Trsferêci Fse de um Fução Trsferêci As sigulriddes pólos e eros tem tto mis ifluêci quto mis próimos de e jw. A ifluêci umet com proimidde à

28 Fse íim:todos os eros estão cotidos em. Ser um sistem de fse míim sigific que fse do sistem está cotid etre -π e π. Sistem Pss-Tudo:Os eros são colocdos de tl form que seus rios têm o iverso do rio dos pólos. Cd pr de pólo e ero possui o mesmo âgulo θ. Sistem Só pólos: estes sistems preseç de eros pode ocorrer com "" eros origem.

29 Fse Lier:Os eros são colocdos os pres de form que um ero tem o iverso do rio do outro ero. Os pólos são colocdos origem. Cd pr de eros possui o mesmo âgulo θ. Sistem em Csct: Qudo grupmos sistems em csct os root-loci de cd sistem são sorepostos. Sistem Cusl: O úmero de pólos é mior ou igul o úmero de eros.

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31 IPLEETAÇÃO O ATLAB [H,w]freq,, ou [H,w]freq,,, whole ou Hfreq,,w ou freq,,...

32 ESTABILIDADE E CAUSALIDADE Teorem já visto : Um sistem LIT é estável se e somete se su respost impulsiv é solutmete somável. Teorem : Um sistem LIT é estável se e somete se circuferêci uitári está cotid região de covergêci RC d fução de sistem H. Teorem 3 : Um sistem LIT estável é tmém cusl se e somete se fução de sistem H tem todos os seus pólos o iterior d circuferêci uitári.

33 Eemplos Clcule trsformd ds seguites seqüêcis. Clcule respost o impulso do seguite sistem.