SISTEMAS LINEARES. Cristianeguedes.pro.br/cefet
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- Luiz Desconhecida Ramalho
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1 SISTEMAS LINEARES Cristieguedes.pro.r/cefet
2 Itrodução Notção B A X Mtricil Form. : m m m m m m m A es Mtri dos Coeficiet : X Mtri dsvriáveis : m B Termos Idepede tes :
3 Número de soluções Ddo um sistem lier, pes um ds situções io pode ocorrer: O sistem tem solução úic Sistem Possível e Determido (SPD) O sistem tem ifiits soluções Sistem Possível e Idetermido (SPI) O sistem ão dmite solução Sistem Impossível (SI)
4 y 3y Solução úic SPD
5 4 y 3 y Ifiits soluções SPI
6 4 y 3 y Não dmite solução SI
7 Grficmete: (o R ) Solução úic: SPD Rets cocorretes. A solução é o poto ode s rets se iterceptm. Ifiits soluções: SPI Rets coicidetes ou prlels iguis. Todos os ifiitos potos sore ret são soluções do sistem. O sistem ão dmite solução: SI Rets prlels distits. As rets ão se crum e, portto, ão eiste ehum poto que estej sore s dus o mesmo tempo.
8 Métodos de resolução Se mtri A é qudrd, por que ão fer X = A - B?
9 m m d c d c c d c c c () Elimição de Guss m m m m Qul sistem é mis fácil de ser resolvido? ()
10 Elimição de Guss (Esclometo) Cosiste em trsformr o sistem ser resolvido em um sistem trigulr equivlete, por meio de operções elemetres. A solução é etão otid, resolvedo-se um sistem trigulr.
11 Mtri Amplid do Sistem: Cd lih represet um equção. err estes elemetos
12 Operções elemetres: Trocr dus equções; (trocr dus lihs) Multiplicr um equção (um lih d mtri mplid) por um costte ão-ul; Adicior um múltiplo de um equção (um lih) um outr equção ( um outr lih). O sistem otido é equivlete o origil, portto possui s mesms soluções.
13 Um mtri está esclod qudo qutidde de elemetos ulos umet cd lih e tod lih ul ocorre io de tods s lihs ão uls. Chmmos posto d mtri esclod A, deotdo por p(a), o úmero de lihs ão uls d mtri A. O úmero (A) otido qudo sutrímos o posto de A do úmero de colus de A é chmdo de ulidde de A.
14
15 Elimição de Guss pivô Zerr esses elemetos utilido operções elemetres
16 Elimição de Guss () () () () () () () () () () 0 0
17 Elimição de Guss () () () () () () () () () () 0 0 Zerr esses elemetos utilido operções elemetres pivô
18 Elimição de Guss
19 Elimição de Guss () () () () () () () () () () () () () () m i i Multiplicdor L m L L m L L L... Iterção
20 Elimição de Guss () () () () () () () () () () 0 0 () () () () () () m m i i j ij ij
21 Teorem (i) Um sistem de m equções e icógits é possível se, somete se, o posto d mtri mplid do sistem for igul o posto d mtri dos coeficietes, isto é: p(a) = p(c) (ii) Se p(a) = p(c) e ulidde d mtri dos coeficietes é: ) (C) = 0, etão o sistem é possível e determido. ) (C) > 0, etão o sistem é possível e idetermido e (C) é o úmero de vriáveis livres do sistem.
22 Eemplo y 5 3y 3 - y 4 3 8
23 Eemplo: y 7 3y 3 4 y 3 5
24 Eemplo: y 6 3y 5 4y 4 5
25 w w y w y w y Eemplo:
26 Regr de Crmer Utilição de Determites resolução de sistems lieres: Vmos cosiderr um sistem de equções o qul o úmero de vriáveis é igul o úmero de equções. Defiimos D como o determite d mtri dos coeficietes e D i o determite d mtri otid prtir d mtri dos coeficietes, sustituido colu dos coeficietes d vriável i pel colu dos termos idepedetes. Se D 0, etão o sistem é SPD e, cd vriável i pode ser clculd fedo: i D D i
27 y y y w y w y y w y Eemplo: Eemplo: Prove que o sistem io é determido e clcule o vlor de.
28 Eemplo3:. se y.cos.cos y. se se cos
29 Sistems Lieres Homogêeos Um sistem lier é homogêeo qudo todos os termos idepedetes são ulos. Por eemplo: 3 4 3y y y Um sistem homogêeo sempre dmite pelo meos solução trivil (0, 0,..., 0). Portto, ele sempre é POSSÍVEL. Qudo o sistem possui pes solução trivil, ele é SPD. Qudo o sistem possui outrs soluções, lém d solução trivil, ele é SPI.
30 Discussão de um Sistem Discutir um sistem em fução de um ou mis prâmetros sigific dier pr quis vlores dos prâmetros o sistem é SPD, SPI ou SI. Eemplo: Determie relção etre, e c pr que o sistem io teh solução: c y y 3
31 Eemplo: Ecotre pr que o sistem io teh: ) Nehum solução. ) Mis de um solução. c) Um úic solução. y 3y 3 y 3 Eemplo3: Determie, e c pr que o sistem io teh solução: y y y 000 c
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