Á R E A, S O M A D E R I E M A N N E A I N T E G R A L D E F I N I D A

Transcrição

1 Á R E A, S O M A D E R I E M A N N E A I N T E G R A L D E F I N I D A Prof. Beito Frzão Pires - hors. áre A oção de áre de um polígoo ou região poligol) é um coceito bem cohecido. Começmos defiido áre do retâgulo de bse b e ltur h como sedo o produto b h. Dest defiição result que áre de um triâgulo de bse b e ltur h é b h. Mis gerlmete, áre de um polígoo qulquer é som ds áres dos triâgulos que o compõem. Aqui usmos o fto de que todo polígoo é trigulrizável, isto é, pode ser decomposto como uião de um úmero fiito de triâgulos com iteriores disjutos. A região ão-poligol mis simples é quel obtid substituido-se hipoteus de um triâgulo retâgulo por um prábol, coforme mostr Figur.). Est região, deotd por R, é descrit por: { R =, y) }, y. y = y = y = ) b) c) Figur : Clculdo áre de um região ão-poligol Vmos clculr áre A de R usdo um processo de proimção sucessiv. Divid o itervlo [, ] em itervlos de mesmo comprimeto: [ I =, ] [, I =, ] [, I =, ], I = [, ] [ ], I =,.

2 ) i Pr cd i, cosidere o retâgulo de bse I i e ltur, coforme mostr Figur.b). A áre d região cobert pelos cico retâgulos é: ) + ) + ) + ) A. ) ) i Alogmete, pr cd i, cosidere o retâgulo de bse I i e ltur, coforme mostr Figur.c). A áre d região cobert pelos cico retâgulos é: De ) e ) segue que ) + ) + ) + ) ) A ). ) A. ) Se o lugr de itervlos, dividirmos o itervlo [, ] em itervlos, vmos obter um epressão do tipo: Usdo idetidde ) ) A + + ). com k = e k =, obtemos Assim, Fzedo, obtemos k = kk + )k + ), 6 ) ) A + ) + ). 6 6 Portto, áre d região R é A =. ) ) A + ) + ). 6 6 A. Note que primeir estimtiv escolhemos o vlor fução o etremo esquerdo i = i do itervlo I i = [ i, i ] como ltur. N segud estimtiv, escolhemos o vlor d fução o etremo direito i = i do itervlo I i como ltur. Em gerl, se escolhêssemos o vlor d fução um poto qulquer c i do itervlo I i irímos obter seguite estimtiv pr som ds áres dos retâgulos ver Figur ): A = lim c + c + + c ). Ests soms são chmds Soms de Riem d fução f) = e tmbém covergem pr áre d região R.

3 y = c c c c c Figur : Usdo os potos médios dos itervlos como potos mostris. itegrl defiid Vmos geerlizr o cálculo feito teriormete pr estimr áre d região compreedid etre o gráfico de um fução cotíu f, defiid o itervlo [, b], e o eio, coforme esboçdo Figur. Est região é descrit pel equção R = {, f)), b, y f)}. Primeiro, vmos cosiderr um coleção de + potos = < < < < = b que dividem o itervlo [, b] em itervlos de comprimeto b : I = [, ], I = [, ],..., I = [, b]. Em cd itervlo I i, escolh um poto c i, isto é, i c i i pr todo i. A som ds áres dos retâgulos R i que têm bse I i e ltur fc i ) é i= fc i ) b, coforme mostr Figur.b). Est som é chmd Som de Riem d fução f. Qudo fução f é cotíu, s soms de Riem d fução f covergem pr um mesmo vlor, chmdo itegrl defiid de f o itervlo [, b]. Defiição.. Sej f : [, b] R um fução cotíu. A itegrl defiid d fução f sobre o itervlo [, b] é o úmero f) d = lim i= fc i ) b.

4 y = f) y = f) b b ) b) Figur : A itegrl defiid com c i = i i )/. Os úmeros e b são os limites ou etremos de itegrção, fução f) é o itegrdo e é vriável de itegrção. Note que itegrl de um fução ãoegtiv f sobre um itervlo [, b] forece áre delimitd pelo gráfico de f, pelo eio e pels rets = e = b, coforme mostr Figur.). Se pr todo i, escolhermos c i = i, temos um Som de Riem à esquerd e se c i = i pr todo i, etão temos um Som de Riem à direit. As soms de Riem de um fução f covergem pr o mesmo vlor, idepedetemete d escolh dos c i s. Assim, temos o seguite resultdo. Teorem.. Sej f : [, b] R um fução cotíu, etão f) d = lim i= f i ) b = lim i= f i ) b.. estimdo itegrl defiid O próimo resultdo permite estimr itegrl de um fução cotíu e crescete f trvés de um tbel de vlores eperimetis d fução f: f ) f ) f ) Tbel : Ddos mostris ou eperimetis d fução f

5 Teorem.. Sejm f : [, b] R um fução cotíu e crescete e = < < < < = b um coleção de + potos do itervlo [, b]. Etão f i ) i i ) i= f) d f i ) i i ). i= Observção.. No Teorem.., os potos ão precism ser igulmete espçdos. Se este for o cso, etão podemos trocr i i por b )/. Eemplo.. Um crro umet grdtivmete su velocidde os primeiros segudos de fuciometo, coforme mostr Tbel. Sbedo que o crro prtiu d posição iicil = m, dê um estimtiv pr posição fil do veículo. t s) vt) Km/h) 8 6 Tbel : Velociddes de um crro os primeiros segudos Resolução. O deslocmeto = do veículo etre os isttes e s é ddo por: = Pelo Teorem.., /6 vt) dt, logo = + /6 vt) dt. ), m i= vt i ) /6 /6 vt) dt i= vt i ) /6 68, m. Portto, de ), obtemos que o istte t =, posição do veículo stisfz 6, m 8, m. Atulizdo em 9 de Agosto de 6.