MÉTODO NUMÉRICO FACULDADE DE ENGENHARIA QUÍMICA DE LORENA PROF OSWALDO COBRA.

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1 MÉTODO NUMÉRICO FACULDADE DE ENGENHARIA QUÍMICA DE LORENA PROF OSWALDO COBRA INTERPOLAÇÃO Vmos supor que possuímos seguite tbel de ddos: X,5, 4,5 6, Y,,6,8,46,57 Ao procedermos plotgem dos ddos obtemos: Nosso problem? A obteção de um ddo ão tbeldo! È clro que este problem poderi ser resolvido pelo método dos qudrdos míimos Ms qudo ão possuímos muitos ddos plicção de juste de curvs por qudrdos míimos, poderimos ser coduzidos erros de justes E visto que estmos iteressdos pes obteção de vlores itermediários, podemos plicr métodos de iterpolção Portto, iterpolr um tbel de ddos sigific clculr o vlor de um fução, sem cohecer form lític de um fução ou justr um

2 fução os ddos A iterpolção poliomil cosiste obteção de um poliômio que psse por todos os potos tbeldos e, lembrmos que os métodos de juste est crcterístic ão é regr gerl O poliômio é chmdo de poliõmio iterpoldor Vmos cosiderr potos distitos x, x, x e os correspodetes vlores d fução f(x) ddos por: f ( x), f ( x), f ( x) O problem d iterpolção cosiste em se obter um determid fução g(x) que igule os vlores d fução f(x) os potos tbeldos Dest form, ddos os potos ( x, f ( x )),( x, f ( x ))( x, f ( x)) queremos proximr f(x) por um poloômio P (x) de gru meor ou igul represetdo por i P ( x) i x x x x i Com cosiderção que os potos iterpoldos P (x)f(x ), teremos: P ( x) P ( x ) P ( x) x x x x x x x x x f ( x ) f ( x ) f ( x ) Portto, determir o poliômio iterpoldor pss pel determição dos coeficietes,,, Teorem d Uicidde: Existe um úico poliômio iterpoldor p (x) de gru meor ou igul, tl que P (x)f(x ) Porém, há diverss forms de se obter o poliômio iterpoldor Exemplo: Um empres despej poluetes o leito do rio Príb segudo tbel: Hor Qutidde de poluetes (kg/h) 8: : : 4 7: Reescrevedo os ddos, motmos um tbel com o úmero de hors decorrids pós 8: hors: Número de hors pós 8: hors Qutidde de poluetes (kg/h)

3 5 4 9 Os ddos podem ser represetdos grficmete por: kg/h hors Supodo que o processo de poluição ocorr de form cotíu, podemos iterpolr por um poliômio de gru máximo ddo por - Como possuímos qutro potos temos - Portto poderímos iterpolr todos os potos por um poloômio do terceiro gru i X i F(x i ) 5 4 9

4 Resolvedo o sistem pelo MtLb: ; 475; 6; -49 Plotdo os potos reis e o poliômio de iterpolção: hors kg/h Dest form, o poliômio de iterpolção de terceiro gru é ddo por: P(x)475x6x -49x E qulquer vlor que ão coste d tbel é obtido por um simples substituição lgébric

5 5 Exemplo : Vmos cosiderr o limir d udição hum, isto é, o ível míimo de som perceptível o ouvido humo, que vri com frequêci Medids típic são: % frequ^eci em hertz hz [:: :: 5 ::]; % ivel de presso do som ps[ ]; semilogx(hz,ps) grid ps - 4 hz Com ests iformções, vmos estimr por iterpolção lier o ível de pressão do som em um frequêci de,5 khz siterp(hz,ps,5e) s -55 Iterpoldo por um fução cúbic obtemos: siterp(hz,ps,5e,'cubic')

6 6 s Utilizdo splies: siterp(hz,ps,5e,'splie') s INTERPOLAÇÃO POR POLINÔMIOS DE LAGRANGE O poliômio iterpoldor é expresso form: P ( x) j i j ( xi x j ) j i yi ( x x ) ou O poliômio iterpoldor de Lgrge ão ecessit d resolução de sistems! Vmos voltr o exemplo : Número de hors pós 8: hors Qutidde de poluetes (kg/h) 5 4

7 7 9 ( x )( x 5)( x 9) ( x )( x 5)( x 9) ( x )( x )( x 9) ( x )( x 5)( x ) P( x) 4 ( )( 5)( 9) ( )( 5)( 9) (5 )(5 )(5 9) (9 )(9 )(9 5) Obs: A simplificção dest expressão fic crgo dos luos POLINÔMIO INTERPOLADOR DE NEWTON-GREGORY Este método pode ser utilizdo pr potos igulmete espçdos em x, ou mis corretmete, vriável idepedete Sejm x o,x,x potos que se sucedem com psso costte h Vmos defiir um operdor deomido operdor difereçs ordiáris vçds: f ( x) f ( x h) f ( x) f ( x) f f ( x) ( x h) f f ( x h) ( x) f ( x) Estes vlores podem ser costruídos seguite tbel: x F(x) f (x) f ( x) f ( x) X F(x ) f x ) f x ) f x ) ( ( X F(x ) f ( x ) f ( x ) X F(x ) f ( x ) X F(x ) (

8 8 Vmos um exemplo d costrução de um tbel de difereçs ordiáris vçds: x F(x) f (x) f ( x) f ( x) O Poliômio Iterpoldor de Newto-Gregory é ddo por: f ( x) f ( x) f ( x) P ( x) f ( x) ( x x) ( x x)( x x ) ( x x)( x x)( x x ) h h h! Voltdo o osso exemplo, ms com um lterção os ddos: Número de hors pós 8: hors Qutidde de poluetes (kg/h) 4, 6 Vmos ecotrr um poliômio de gru que iterpole os potos o itervlo [,] h Q f (x), 4, -, 6 X o este cso! P ( x) ( x ) x P ( x)

9 9 ESTIMATIVA DO ERRO COMETIDO NA INTERPOLAÇÃO O erro cometido o método d iterpolção pode ser estimdo por: Exemplo ser desevolvido em sl de ul: Sej f(x)e x x- tbeldo bixo Obteh o vlor de f(,7) por iterpolção lier e fzer um álise do erro cometido X,5,5, F(x),487,78 4,98 8,89 Exemplo : Dd tbel d fução f(x)x,5 obteh o poliômio iterpoldor de Lgrge e o seu vlor em x X 4 F(x),4 Resolução Procurmos por P (x) x x de tl form que p ( x) Li ( x) f i i

10 Pel tbel presetd y y,4 y,54,5, P (x) x x 6 O vlor do poliômio em x é P (x),74 ATIVIDADES ) A seguite tbel iform o úmero de crros que pssm por um determido pedágio em um determido di: Horário : : : : : : Número,69,64,9,4,49,44 (em mil) ) fç um gráfico de horário vs úmero de crros pr verificr qul tedêci d curv b) Estime o úmero de crros que pssrim pelo pedágio às : hors ) N fbricção de determids cerâmics é muito importte sber s codições de tempertur em que o produto foi ssdo o foro Supodo que ão sej possível medir tempertur do foro todo istte, el é medid em itervlos de tempo e esses ddos são iterpoldos pr o istte em que peç foi queimd fim de se cohecer tempertur do foro esse istte Em um di, este ddos form coletdos:

11 horário 7: : : 6: 9: : Tempertur(,,5,6,55,4,8 C) ) Pesquisdo em livros, costru tbel de difereçs dividids b) Estime tempertur do foro às 4: usdo form de Newto ds difereçs dividids, utilizdo dois potos INTERPOLAÇÃO BIDIMENSIONAL A iterpolção bidimesiol pode ser plicd em situções ode temos zf(x,y) Exemplo: Um comphi de explorção está utilizdo sor pr mper o solo do oceo Nos potos sobre um mlh retgulr, com espçmeto de,5 km, profudidde do oceo, em metros, é registrd pr álise posterior Um prte dos ddos foi coletd: % ddos d profudidde do oceo x:5:4; y:5:6; z [ ] mesh(x,y,z) xlbel( eixo x, Km ) ylbel( eixo y, km ) title( Medids de Profudidde do Oceo )

12 Utilizdo este ddos podemos utilizr fução iterp do MtLb Ziterp(x,y,z,,) Ziterp(x,y,z,,, lier ) Ziterp(x,y,z,,, cubic ) LISTA DE EXERCÍCIOS Um projétil é lçdo com um velocidde iicil v e com um âgulo em relção à horizotl igul ϕ (grus), descrevedo um trjetóri coforme figur bixo Sbe-se que 8 m do poto de lçmeto ltitude do projétil é de 6 m Um brreir m do poto de lçmeto itercept o projétil um ltitude de 4 m y v 6m 4m ϕ ` (,) 8m m x A equção d trjetóri é: x y x tgϕ g v cos ϕ dotr g98 m/s Pr um outr situção em que o projétil é lçdo com mesm velocidde v e com um âgulo ϕ de o, determie ltur qudo x5m Utilizr poliômio iterpoldor de Newto Ddos os seguites pres de potos (x,y): X y Determie:

13 Determie o poliômio de gru que pss pelos potos listdos Um brr de metl ecotr-se devidmete pres em dus predes seprds pel distâci de m A 5 m d prede A (ver figur), um corpo poido sobre brr fz com que est toque o solo Os potos de egte s dus predes estão 8 m (prede A) e m (prede B) do solo, respectivmete, coforme mostr figur bixo Pede-se: ) Determie ltur, em relção o solo, de um poto d brr loclizdo m d prede A, utilizdo iterpolção trvés d fórmul de Lgrge b) Cosiderdo-se s mesms codições descrits, qul deveri ser ltur d brr o poto loclizdo m d prede A, pr que o trecho compreedido té 5 m d prede A fosse perfeitmete represetdo por um poliômio de gru? Utilize fórmul de iterpolção de Newto m 8 m prede A prede B SOLO dm 4 Pr um tque de águ, são forecidos vlores de tempertur em fução d profudidde coforme tbel seguir: Profudidde (m), x Tempertur ( o C), T Pede-se: ) Sbe-se que um determid profudidde segud derivd de T em relção

14 4 x mud de sil O poto que idic est mudç é o poto em que d dx T Estime profudidde deste poto utilizdo fórmul de iterpolção de Newto, e meor qutidde de potos ecessári INTERPOLAÇÃO INVERSA Se f(x) for iversível um itervlo podemos determir xf - (y)g(y) Um codição pr que um fução sej cotíu um itervlo [,b] é que sej moóto crescete ou decrescete este itervlo Cosiderd est hipótese, bst cosiderr x como fução de y e plicr um método pertiete Exemplo: Sej tbel dd: X 4 5 y Obteh x, tl que y65