Anotações de Aula. Cursos: Análise e Desenvolvimento de Sistemas e Ciência da Computação

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1 Aotções de Aul Cursos: Aálise e Desevolvimeto de Sistems e Ciêci d Computção Discipli: Cálculo Numérico Computciol Série: ª Prof. Ms. Leoor F.F.Me Assis 6

2 Mtries Itrodução Muits vees, pr desigr com clre certs situções, é ecessário formr um grupo ordedo de úmeros que se presetm dispostos em lihs e colus um tbel. Mtemticmete, esss tbels são chmds de mtries. Podemos dier id que, mtries são tbels de úmeros, utilids pr rmemeto de ddos, bem como istrumetos de cálculo. Com o dveto d computção e crescete ecessidde de se gurdr muit iformção, s mtries dquirirm um grde importâci. Pr termos um idéi dess importâci, bst sber que o que vemos tel do computdor é um eorme mtri, sedo que cd vlor gurddo s lihs e colus d mtri represet um poto colorido mostrdo tel (piel). Atulmete s resoluções de imgem de 6 8 (6 lihs e 8 colus), ou (768 lihs e 4 colus) são muito utilids os moitores dos computdores. Outros eemplos de utilição de mtries áre d iformátic: plilhs eletrôics, editores de imges, produção de softwres pr idústri, gerção de movimetos e deformções que permitem produir efeitos especiis pr o ciem ou TV; produção de gmes, simulções cietífics, quisição de iformções sobre sistems de geoprocessmeto e meteorologi, etc. Nesse último cso, podemos destcr utilição do stélite LANDSAT que oper com um mtri que tem 7 lihs e 7 colus. É o sistem orbitl mis utilido Embrp Moitormeto por Stélite o mpemeto d diâmic espço/tempo do uso ds terrs e em tods s plicções decorretes. Defiição: Ddos dois úmeros m e turis e ão ulos, chm-se mtri m por (idic-se m ) tod tbel formd por úmeros reis distribuídos em m lihs e colus. Eemplos: A = B =, 7 -, OBS: ) Os úmeros que formm mtri são chmdos de elemetos d mtri; ) Os elemetos de um mtri podem estr dispostos em prêteses, colchetes ou dus brrs de cd ldo; ) Pr dr omes às mtries usmos s letrs miúsculs: A, B, C, D etc; 4) Os elemetos são represetdos por letrs miúsculs comphds de um ídice duplo (idicdo posição ocupd pelo elemeto mtri). Ode: A m Represetção Tbulr m A = ij m m m m

3 elemeto que ocup ª lih e ª colu elemeto que ocup ª lih e ª colu elemeto que ocup ª lih e ª colu elemeto que ocup ª lih e ª colu m elemeto que ocup m-ésim lih e -ésim colu Iguldde de Mtries Dus mtries são iguis qudo têm mesm ordem, ou sej, possuem o mesmo úmero de lihs e colus e, elemetos de mesm posição iguis. Dest meir: se mtri w é igul à mtri, etão devemos ter ecessrimete: = = = - w = Mtries Especiis Mtri Qudrd: É tod mtri cujo úmero de lihs é igul o úmero de colus (m = ). Digol secudári A Digol pricipl (i = j) Mtri Idetidde: Mtri qudrd de ordem em que todos os elemetos d digol pricipl são iguis e os outros elemetos são iguis ero (I): Eemplo: I Mtri Nul: Mtri que tem todos os elemetos iguis ero (Om): Eemplo: O

4 Mtri colu: Mtri que tem pes um colu: Eemplo: B = Mtri lih: Mtri que tem pes um lih: Eemplo: C =, 4 Operções com Mtries Adição: Dds dus mtries de mesm ordem, A=(ij)m e B=(bij)m, deomi-se mtri som, mtri obtid diciodo-se os elemetos correspodetes de A e B: A + B = (ij + bij)m Subtrção: Dds dus mtries de mesm ordem, A=(ij)m e B=(bij)m, deomi-se mtri difereç, mtri obtid subtrido-se os elemetos correspodetes de A e B: A - B = (ij - bij)m Eemplo: Dds s mtries A e B idicds bio, determie A + B e A B 9 A = e B = ) A + B = A + B = b) A B = A B = Multiplicção de úmero rel por um mtri: Dd um mtri A= (ij)m e um úmero rel, deomi-se produto do rel por, mtri obtid multiplicdo-se cd um dos elemetos de A por :.A = (.ij)m

5 4 Eemplo: = = 4 Multiplicção de Mtries Dds s mtries A = (ij)m e B = (bij)p, mtri produto (C = A.B), do tipo mp, é obtid d seguite meir : multiplicm-se os elemetos d lih i d mtri A pelo seu correspodete d colu j d mtri B e somdo-se os resultdos. Am. Bp = Cmp OBS: O produto só eiste qudo o úmero de colus d primeir mtri é igul o úmero de lihs d segud mtri. Eemplo: Cosideremos s mtries: A = 4 e B = C B A (eiste o produto) Vejmos, etão, como fic o produto A.B A.B = 4. ª lih ª colu. +.(-) + 4. = ª lih ª colu. +.(-) +. = 4 Logo mtri resultte será: C 4 Cosiderdo s mtries A e B dds cim, podemos observr que ão eiste o produto B.A, pois o úmero de colus d mtri B (um) ão é igul o úmero de lihs d mtri A (dus). Logo, podemos firmr que multiplicção de mtries ão é comuttiv, ou sej, A.B em sempre é igul B.A.

6 Eercícios ) Dd mtri A = (ij)4, em que ij = i j², determie o vlor de 4. ) Costru mtri B = (bij), em que bij = i-j. i j, se i = j ) Costru mtri C = (cij), em que cij = j + i, se i j 4) Dds s mtries: A = ) A + B c) A + B 8 e B = 8, clcule: 4 b) B A d) A - B ) Dds s mtries A = ( 4 ), B = ( ) e C = (, ), clcule:,8 4 ) A + B C b) A B + C c) ( A B + C) 6) ) Efetue, cso eist, os produtos idicdos bio: ) ( 4 ) ( ) b) ( ) ( 4 ) c) ( 6 ) ( ) d) ( ) ( ) 4 7) Um peque empres cofeccio três tipos de roups msculis: cmisets, cmiss e clçs. A produção de cd rtigo eige o corte dos tecidos, costur e cbmeto. A tbel bio mostr o úmero de hors que cd tipo de trblho gst cofecção de cd roup: Cmiset Cmis Clç Corte,,8,4 Costur,8,, Acbmeto,6,4, A empres recebeu pedidos pr os meses de mrço e bril, coforme preset tbel bio: Mrço Abril Cmiset Cmis 6 8 Clç 8 7

7 Complete tbel seguir, de modo idicr os totis de hors de trblho de cd setor os meses de mrço e bril Mrço Abril Corte Costur Acbmeto 8) A empres possui três oficis de trblho em diferetes locliddes, um em cd região: sul, leste e cetro d cidde. A tbel mostr o vlor em reis d hor de trblho de cd tipo de serviço em cd ofici. Corte Costur Acbmeto Sul, 7, 6,4 Leste, 6,,6 Cetro 6,4 8, 8, ) Utilido s tbels: custo por serviço e hors de serviço por tipo de roup efetue os cálculos ecessários e complete tbel dd bio: Cmiset Cmis Clç Sul Leste Cetro b) O que represetm os ddos iseridos tbel? 6

8 7 Determites Tod mtri qudrd tem, ssocido el, um úmero rel chmdo determite d mtri, obtido prtir de operções que evolvem todos os elemetos d mtri. Determite ssocido mtri qudrd de ordem A = det A = Eemplo: A = ( - ) det A = - = Determite ssocido mtri qudrd de ordem A = det A = =.. (produto dos elemetos d digol pricipl meos o produto dos elemetos d digol secudári) Eemplo: A = 8 det A = det A = = ( -. 4 ) (8. ) = - 4 Determite ssocido mtri qudrd de ordem A = det A = = = Podemos obter esse resultdo plicdo Regr de Srrus, que cosiste o seguite: - Acrescetr s dus primeirs colus à direit d terceir; - Adicior os produtos dos elemetos d digol pricipl e ds digois prlels; - Subtrir os produtos dos elemetos d digol secudári e ds digois prlels Eemplo: Clculdo o determite ssocido à mtri A = 4, temos: 4 det A = (-6) 6 = - 8

9 8 Eercícios ) Clcule o vlor dos determites idicdos bio: ) c) b) d) e) 4 - f)

10 Sistems Lieres Deomi-se sistem lier de m equções e icógits,,,...,, todo sistem d form:... b... b m m... m b m 9 Clssificção quto à eistêci de soluções Impossível: Não eiste solução; Possível: Determid o : Eiste um úic solução ou Idetermi do : Eistem ifiits soluções. Eemplos: ) Sistem possível determido: 6 (-,-) é úic solução do sistem 7 Grficmete s equções represetm rets cocorretes b) Sistem possível idetermido: Qulquer que sej R, (,-) é solução do sistem. Grficmete s equções represetm rets coicidetes. c) Sistem impossível: Não eistem IR e IR, tis que torem o sistem verddeiro. Grficmete s equções represetm rets prlels. Obs. Se um sistem lier possui o úmero de equções igul o úmero de icógits e o determite d mtri dos coeficietes diferete de ero, ele pode ser resolvido plicdo Regr de Crmer. Nesse cso, solução do sistem é dd por:,,,...,. Sedo: o determite d mtri dos coeficietes;,,,...,, os determites obtidos d mtri dos coeficietes, qudo substituímos colu dos coeficietes d icógit procurd pel colu dos termos idepedetes.

11 Eemplos: Resolv os sistems, usdo Regr de Crmer: ) = 4 - = ; = = ; = = b) 4 = = = = 4 4 = = - = = 4 - Eercício: Resolv os sistems idicdos bio, pel Regr de Crmer: ) b) 8 4 OBS.: ) Embor o método sej simples, ele é coveiete pes pr csos prticulres, portto devemos procurr outrs forms mis geris de resolução de sistems lieres. ) Um sistem lier tmbém pode ser represetdo su form mtricil que é dd por: A = b, sedo A mtri dos coeficietes, o vetor ds icógits e b o vetor dos termos idepedetes. Desse modo, temos:. m. m m. b b = bm

12 Sistems Trigulres Um sistem lier A = b é dito trigulr superior, se mtri A for trigulr superior, isto é, qudo ij = pr i > j. Neste cso, tl sistem terá o seguite specto:... b b b Retro-solução Pr resolver esse tipo de sistem, usmos retro-solução, ou sej, determimos o vlor d icógit que prece últim equção. Em seguid, substituímos esse vlor peúltim equção e, clculmos o vlor de um ov icógit. Repetimos o processo té clculrmos o vlor de tods s icógits do sistem. Eercício. Resolv os seguites sistems trigulres superiores: ) b) c) w w w 4w 8 Solução

13 Sistems Equivletes Sejm dois sistems S: A = b e S : A = b. Diemos que S e S' são equivletes se são icomptíveis (impossíveis) ou têm s mesms soluções. Trsformções Elemetres Defiição. Deomimos trsformções elemetres plicds às equções de um sistem lier s seguites operções: (I) Permutr dus equções do sistem; (II) Multiplicr um equção do sistem por um costte ão ul; (III) Adicior um múltiplo de um equção outr equção do sistem. Ddos dois sistems: S e S', se S' puder ser obtido de S trvés de um úmero fiito de trsformções elemetres etão S e S' serão equivletes. Resolução Numéric de Sistems Lieres Itrodução. Cosiderdo otção mtricil de um sistem lier, ele pode ser resolvido, utilido-se métodos diretos ou itertivos. Métodos Diretos: São queles que, meos de erros de rredodmeto, forecem solução et do sistem lier, cso el eist, pós um úmero fiito de operções ritmétics. Métodos Itertivos: São queles que permitem obter solução do sistem, com dd precisão, trvés de um seqüêci de proimções d solução, cd um ds quis obtids ds teriores pel repetição do mesmo processo. Métodos Diretos pr Solução de Sistems de Equções Lieres. Eemplos: Método de Elimição de Guss Simples ) Iicilmete, devemos ecotrr um sistem equivlete o sistem ddo, ms que sej trigulr. Pssos: ) Copir primeir equção. ) Multiplicr primeir por ( resultdo de: 7 ) Resolver o sistem obtido, usdo retro-solução. 6 7 = e = ) e dicior à segud.

14 Respost Sistem Trigulr Equivlete: 7 Solução: 6 7 b) 4 Pssos: ) Copir primeir equção. ) Multiplicr primeir por - (resultdo de ) Multiplicr primeir por - (resultdo de ) Copir primeir e segud equção. ) e dicior à segud. ) e dicior à terceir. 4 ) Multiplicr segud por - (resultdo de 4-6) Resolver o sistem obtido, usdo retro-solução. = = Respost: Sistem Trigulr Equivlete: 4 e = ) e dicior à terceir. Solução: 4

15 4 Computciolmete o método de Elimição de Guss Simples pode presetr problems por dois motivos, sber: Erro de rredodmeto qudo se tem que dividir por um úmero muito pequeo (próimo de ero); Divisão por ero. Eemplos: ) 9, b) 8 Eercício. Resolv os seguites sistems lieres: Sistem ser Sistem Trigulr Solução resolvido equivlete ) b) c) Método de Elimição de Guss com Pivotemeto Prcil Eemplos: ) Pssos: ) Loclir etre os coeficietes de, quele que tem o mior módulo. Esse coeficiete é chmdo de pivô e lih qul ele se ecotr é deomid lih pivô. pivô lih pivô

16 ) Cso o pivô, ão ocupe posição, troc-se posição ds lihs pr que isso coteç. ) Resolver o sistem, procededo d mesm meir utilid o Método de Guss Simples.. 7 = 7 e = 6 Respost: Sistem Trigulr Equivlete: 7 Solução: 6 7 b) 4 Pssos: ) Loclir etre os coeficietes de, o elemeto pivô e lih pivô. lih pivô pivô 4 ) Como o pivô, ão ocup posição, troc-se primeir e segud lih de posição. 4 ) Zerr os coeficietes de, segud e terceir equções. 4) Loclir o mior módulo etre os coeficietes de, cosiderdo segud e terceir equções.

17 6 ) Como o pivô ão ocup posição, trocr segud e terceir lih de posição 6) Zerr o coeficiete de, ª equção ) Resolver o sistem, usdo retro-solução. e Respost: Sistem Trigulr Equivlete: Solução: Eercício. Resolv os seguites sistems lieres: Sistem ser Sistem Trigulr Solução resolvido equivlete ) 7 9 9

18 7 7 b) c) Método de Elimição de Guss com Pivotemeto Completo Eemplos: ) Pssos: ) Loclir etre os coeficietes ds icógits, o cso:, e quele que tiver o mior módulo. Esse coeficiete será o pivô e lih qul ele se ecotrr será lih pivô. (lih pivô) pivô ) Trocr de posição primeir e segud colu, pr que o pivô ocupe posição pivô (lih pivô) ) Zerr o coeficiete de, segud equção:. - 4) Resolver o sistem usdo retro-solução. 6 7 = e =.

19 8 Respost: Sistem Trigulr Equivlete: Solução: 7 6 b) 4 Pssos: ) Loclir etre os coeficietes ds icógits, o cso:, e, quele que tiver o mior módulo (pivô). ) Cso o pivô, ão ocupe posição, troc-se iicilmete posição ds lihs. Se isso ão for suficiete, troc-se tmbém posição ds colus. 4 pivô 4 pivô ) Zerr os coeficietes de, segud e terceir equções ) Loclir etre s icógits de e, d segud e terceir equções, quel que possui mior módulo (pivô). Se ecessário, trocr posição de lihs e colus pr que o pivô ocupe posição.

20 9 ) Zerr o coeficiete de terceir equção ) Resolver o sistem, usdo retro-solução. e - Respost: Sistem Trigulr Equivlete: Solução: Eercícios. Resolv os seguites sistems lieres: Sistem ser Sistem Trigulr Solução resolvido equivlete )

21 b) c) Método de Jord Esse método tem por objetivo err todos os coeficietes que ão perteçm digol pricipl d mtri dos coeficietes. Eemplos: ) Pssos: ) Mter o coeficiete de primeir equção e err o d segud. (.) 7 ) Zerr o coeficiete de ª equção, mtedo o d segud ) Resolver o sistem digol obtido 6 = e = 7 Respost: Sistem Digol Equivlete: 6 7 Solução: 6 7 b) 4

22 Pssos: ) Zerr os coeficietes d icógit represetd ª colu, com eceção do coeficiete que ocup posição. (. - ) (. -) 4 4 ) Zerr os coeficietes d icógit represetd ª colu, com eceção do coeficiete que ocup posição. ) Zerr os coeficietes d icógit represetd ª colu, com eceção do coeficiete que ocup posição. 4) Resolver o sistem digol ecotrdo: = = e = Respost: Sistem Digol Equivlete: Solução: Eercício. Resolv os seguites sistems lieres: Sistem ser Sistem Digol Solução resolvido equivlete ) 9 6

23 b) c) Métodos Itertivos pr Solução de Sistems de Equções Lieres. Método de Guss Jcobi Eemplo: Resolv o sistem bio (Utilie um proimção de té três css decimis) ) Pssos: ) Isolr primeir icógit ª equção, segud icógit ª equção. - ) Escolher vlores rbitrários pr s icógits, por eemplo, escolh de Chute Iicil. = e =. Nomer ess ) Obter primeir iterção, substituido =, e e = o sistem ecotrdo o primeiro psso., Resultdo d ª iterção: 4) Obter segud iterção, substituido e o sistem ecotrdo o primeiro psso., = e =,67,67 ) Obter terceir iterção, substituido e o sistem ecotrdo o primeiro psso. Resultdo d ª iterção:,67,84 e,84, Resultdo d ª iterção:,

24 6) Repetir o processo, té o mometo que os resultdos ds iterções se torem fios. Nesse cso solução seri obtid ª iterção., Solução:, 4 Eercícios: ) Resolv o sistem bio pelos métodos de Guss Jcobi 6 Respost: 6 Chute Iicil:... Solução ) Ddos os sistems lieres idicdos bio, obteh um proimção d solução com té três css decimis, utilido três iterções. Obs.) Como eistem três equções e três icógits, devemos isolr primeir, segud e terceir ) Chute iicil :, e ) 8 Respost: 8 Chute Iicil: ª Iterção: ª Iterção: ª Iterção:,667,,969,6,87,9,6,9,88 b) 7 8 6

25 4 Respost: Chute Iicil: ª Iterção: ª Iterção: ª Iterção:,7,6,6,96,86,94,978,98,966 c) 4 6 Respost: 6 4 Chute Iicil: ª Iterção: ª Iterção: ª Iterção:,,7,7,,,88, 7 Método de Guss Seidel Eemplo: Resolv o sistem bio (Utilie um proimção de té três css decimis) ) Pssos: ) Isolr primeir icógit ª equção, segud icógit ª equção. - ) Escolher vlores rbitrários pr s icógits, por eemplo, escolh de Chute Iicil. ) Primeir iterção: Substituir psso, obtedo. Substituir = e =. Nomer ess primeir equção do sistem ecotrdo o primeiro segud equção obtedo.

26 , e,,67 Resultdo d ª iterção:,,67 4) Segud iterção: Substituir psso, obtedo. Substituir,67,84 e Resultdo d ª iterção: ) Terceir iterção: Substituir psso, obtedo. Substituir,6,8 e Resultdo d ª iterção: primeir equção do sistem ecotrdo o primeiro segud equção obtedo,84,6,84,6 primeir equção do sistem ecotrdo o primeiro segud equção obtedo,8,94,8,94 6) Repetir o processo, té o mometo que os resultdos ds iterções se torem fios. Nesse cso solução seri obtid 6ª iterção., Solução:, 4 Eercícios: ) Resolv o sistem bio pelo método de Guss Seidel 6.. Respost: 6 Chute Iicil:... Solução ) Ddos os sistems lieres idicdos bio, obteh um proimção d solução com té três css decimis, utilido três iterções. ) 8

27 6 Respost: 8 Chute Iicil: ª Iterção: ª Iterção: ª Iterção:,667,67,7,9,97,,7,, b) Respost: Chute Iicil: ª Iterção: ª Iterção: ª Iterção:,7,74,98,9,986,6,997,, c) 4 6 Respost: 6 4 Chute Iicil: ª Iterção: ª Iterção: ª Iterção:,7, 87,,9, 988,8,99, Obs:) Os métodos itertivos vistos covergem pr solução et se: ) ii > j j ij i =,,...,. (Critério ds lihs) i b) jj > i j ij j =,,...,. (Critério ds colus) i ) Fedo troc de lihs ou de colus podemos obter um sistem equivlete que stisfç lgum dos critérios.

28 Ríes Reis de Equções Algébrics e Trscedetes Itrodução: Dd um fução rel f, chmremos de ero ou ri dest fução todo úmero tl que f() =. Eemplos: ) A ri d fução f() = é, pois f() = ) As ríes d fução f() = ² - +, são e, pois f() = e f() = OBS. Grficmete, os eros reis são represetdos pels bscisss dos potos ode um curv itercept o eio dos. Supohmos gor seguite pergut: Qul ri (ou ríes) d fução: f() = e se? Como podemos perceber respost ão é simples. Pr resolver situções como ess: ríes de equções trscedetes; podemos utilir lgus coceitos já vistos teriormete. Etre eles, podemos destcr o seguite teorem: Teorem. Se f é um fução cotíu um itervlo [,b] e troc de sil os etremos desse itervlo, isto é, f(). f(b) <, etão eiste pelo meos um ri d fução este itervlo. Um ve determido o itervlo [, b] que cotém um ri d fução f, usmos os métodos seguir pr os proimrmos dest ri. Obs. Esses processos tmbém podem ser utilidos pr determição de equções lgébrics, priciplmete àquels que são complets e possuem gru mior ou igul qutro. 7 Método ds Bissecções Sej fução f cotíu o itervlo [,b] ode f(). f(b) < e eiste um úic ri de f este itervlo. O objetivo deste método é reduir mplitude do itervlo que cotém ri té se tigir precisão requerid, (b-)< ou té um cert qutidde de iterções, usdo pr isto sucessiv divisão de [,b] o meio. Obs. É possível estimr o úmero de iterções ecessáris, por meio d relção: log (b - ) - log K, sedo K o úmero de iterções e precisão escolhid. log Eercícios. Dds s fuções bio: (use dus css decimis) ) Determie um itervlo, prtir de = -4, o qul eist um ri rel. b) Clcule três iterções utilido o Método ds Bissecções e obteh um proimção desse itervlo, de form idicr um resultdo mis próimo do rel. Fução Respost ) f() = e + se um ri etre,8 e, ) f() = e cos um ri etre -,8 e -, ) f() = se +cos um ri etre -,6 e -, 4) f() = log - um ri etre, e,6

29 8 Método de Newto Sej f um fução cotíu com derivd cotíu em [,b], f () pr em [,b] e eiste um úic ri de f este itervlo. Este método cosiste em, dd um proimção iicil [,b] de, obter um seqüêci ( )de proimções de como segue-se: = - - f ( f '( Eecutmos o método té que + <, ou té um cert qutidde de iterções. ) ). Eercício. Dds s fuções bio: (use dus css decimis) ) Determie um itervlo, prtir de =-, o qul eist um ri rel b) Obteh um proimção dess ri, clculdo três iterções com uilio do Método de Newto. Fução Respost ) f() = e cos -, ) f() = -se + cos -,8 ) f() = e se - 4,87 4) f() = ³ cos -, Obs.: Podem eistir peques difereçs s resposts, depededo d proimção iicil cosiderd. Método d Secte Um grde desvtgem do método de Newto é ecessidde de se obter f () e clculr seu vlor umérico cd iterção. Um form de se cotorr este problem é substituir derivd f () pelo quociete ds difereçs: f () f ( ) f ( ) ode e - são dus proimções pr ri. Sej relção dd pelo Método de Newto : = - - temos: + = - f ( f '( ) ). f ( f '( ). Idicdo por +, ) Efetudo substituição sugerid, vem: f ( ), dode se obtém: f ( ) f ( ) + = *f ( ) *f ( f ( ) f ( ) ) Observmos que são ecessáris dus proimções pr se iicir o método.

30 Eercício. Obter um proimção, pr primeir ri positiv, ds fuções idicds bio, utilido três iterções e um proimção dus css decimis. Fução Respost ) f() = - cos -,8 ) f() = e + se, ) f() = se - cos,79 4) f() = se -,8 Obs.: Podem eistir peques difereçs s resposts, depededo ds proimções iiciis cosiderds em cd item. 9

31 Iterpolção Poliomil Iterpolr um fução f cosiste em, ddos (,f()), (,f()),..., (,f()), costruir um outr fução p que psse trvés destes potos, isto é, costruir p tl que p(i) = f(i), i =,,...,. Iterpolmos um fução qudo: ) A fução é tbeld, isto é, são cohecidos lgus potos d fução e queremos sber o vlor d fução em um poto ão tbeldo. Eemplo: A seguite tbel preset o resultdo do ceso de um determid cidde: Ao º de hbittes Desej se sber o úmero proimdo de hbittes em 98. b) Qudo cohecemos epressão lític d fução, porém é de difícil museio (pr diferecição, itegrção, etc.) A fução iterpoldor p pode ser: Fução poliomil; Fução trigoométric; Fução rciol. Vmos trblhr com fução iterpoldor poliomil. Poliômio Iterpoldor Ddos + potos distitos,,..., e ddos f(), f(),..., f(), vmos determir o poliômio de gru, tl que p(i) = f(i), i =,,...,. Qudo f() é um poliômio e iterpolmos por p() ode é igul ou mior que o gru de f() etão p() = f(). Forms de ecotrr p() Etre s forms eistetes, vmos destcr dus dels: I) Poliômio Iterpoldor de Lgrge; II) Poliômio Iterpoldor form de Newto.

32 I) Poliômio Iterpoldor de Lgrge Poliômios de Lgrge: L() = L() = ( )( )...( ) ( )( )...( ( ( )( )...( ) )( )...( ) )... L() = ( )( )...( ) ( )( )...( ) O poliômio p() = L() f() + L() f() L() f() é chmdo poliômio iterpoldor de Lgrge. Eercícios. Ecotrr o Poliômio Iterpoldor de Lgrge pr s seguites fuções tbelds. Solução:

33 II) Poliômio Iterpoldor form de Newto Sej f() um fução tbeld em + potos distitos: Defiimos o operdor: Difereçs Dividids, por:,,,...,. f[] f (o ) f[ ] f () f[ ] f ( ) difereçs dividids de ordem ero; f[ f[ f[] f[,] f[ ] f[] f[, ] f[ f[,,,, f[ ] f[ ] ] f[ ] , f[ ], ] f[ difereçs dividids de ordem um; ]......, ], ] f[..., difereçs dividids de ordem dois; ] f[,,,...,] = f[,..., ] f[,..., ] difereç dividid de ordem. Esquem prático pr um tbel de cico potos: f[.] f[.,.] f[.,.,.] f[.,.,.,.] f[.,.,.,.,.] f[] f[] f[,] f[] f[,] f[,,] f[] f[,] f[,,] f[,,,] 4 f[4] f[,4] f[,,4] f[,,,4] f[,,,,4] O poliômio p() = f() + (-) f[,] + (-) (-) f[,,] + (-) (-) () f[,,,] (-) (-)... (--) f[,,...,] é chmdo poliômio iterpoldor de Newto.

34 Eercícios: ) Ecotrr o Poliômio Iterpoldor de Newto pr s fuções do eercício d pági. ) Ecotrr o poliômio iterpoldor form de Newto pr seguite fução tbeld: - f() 7 - ) Ecotrr o poliômio iterpoldor form de Newto pr seguite fução tbeld: - - f() ) Ecotrr o Poliômio Iterpoldor form de Newto pr seguite fução tbeld: f() Soluções ) Verificr pági. ) p() = ² - ) p() = ³ ) p() = 4 + ³ - ² + -

35 4 Ajuste de curvs pelo Método dos Míimos Qudrdos Vimos que, um form de trblhr, com um fução, defiid por um tbel de vlores é Iterpolção Poliomil. Cotudo iterpolção ão é coselhável qudo: ) É preciso obter um vlor proimdo d fução em lgum poto for do itervlo de tbelmeto, ou sej, qudo se quer etrpolr; b) Os vlores tbeldos são resultdos de lgum eperimeto físico ou de lgum pesquis, por que, estes csos, estes vlores poderão coter erros ieretes que, em gerl, ão são previsíveis. Surge etão ecessidde de se justr ests fuções tbelds um fução que sej um bo proimção pr os vlores tbeldos, e que os permit etrpolr com cert mrgem de segurç. Nest lih de rciocíio podemos ter dois csos, sber: cso discreto e cso cotíuo. Trblhremos com o cso discreto. Cso discreto Este cso cosiste em, ddos um tbel de potos (,f()),..., (m,f(m)), com,..., m pertecetes um itervlo [,b], escolhids fuções cotíus em [,b], g(),..., g(), obter costtes,..., tis que g() = g() g() se proime o máimo de f(). Sejm ddos os potos (,f()),..., (m,f(m)) e s fuções g(),..., g(). O Método dos Míimos Qudrdos cosiste em escolher os j, j =,...,, de tl form que som dos qudrdos dos desvios d = f() g() sej míim. Portto, detro do critério dos Míimos Qudrdos, os coeficietes que fem com que g() se proime o máimo de f(), são os que miimim fução: m F(,..., ) = [ f ( ) g( )]. Utilido s técics do Cálculo Diferecil este problem, temos que solução do mesmo é dd pel solução do seguite sistem lier: g g... g g... g g f g g... g g f g g... g g f g

36 Ajuste Lier: g() = + b b f b f Ajuste Qudrático: g() = + b + c 4 b c f b c f b c f Eercícios. (Utilie dus css decimis). Cosidere os ddos bio e utilido o juste lier determie fução g() dequd ess tbel f(),,6,9,8,,,7,. Cosidere os ddos bio e utilido o juste qudrático determie fução g() dequd ess tbel. -,7 -,4 -,6 -,4 -,7,,,,, f() 4,,,, -,6 -,8,4 4,,9, Obs. Pr escolher um tipo de juste, podemos proceder d seguite meir: represetr os potos ddos o plo crtesio, obtedo um gráfico que chmmos de Digrm de Dispersão ou Gráfico de Dispersão. Observdo esse digrm podemos visulir curv que melhor se just os ddos.. A tbel bio mostr s lturs e pesos de um mostr de ove homes etre s iddes de 9 os, etríd o cso etre fucioários de um grde idústri. Altur Peso ) Fç um gráfico de dispersão utilido o Método dos Míimos Qudrdos e idique qul juste melhor represet os ddos forecidos: Lier ou Qudrático. b) Determie seteç lític d fução observd o item, de tl modo que el descrev o comportmeto do peso em fução d ltur, isto é, peso = f(ltur); c) Estime o peso de um fucioário com 7 cm de ltur e estime ltur de um fucioário com 8 g.

37 6 4. Ajuste os ddos bio pelo Método dos Míimos Qudrdos. Obs. Iicilmete fç o gráfico de dispersão pr escolher o procedimeto mis dequdo. -, -,8 -,6 -, -,,,4,,8, f(),,,4,4,,,6,,, Resposts:. g() =, +,8. g() =,4² -,8 +,. ) Ajuste lier b) p() =, 9, c) 7, g e 9, 9 cm 4. g() =,86² +,7 +,8

38 7 b f ()d F(b) - F(), sedo F () = f() Itegrção Numéric Usmos Itegrção Numéric qudo: ) Não cohecemos F(); b) Cohecemos F(), ms é de difícil museio; c) F() é um fução tbeld. A idéi básic d itegrção uméric é substituição d fução f() por um poliômio que proim rovelmete o itervlo. Pr tto, podemos usr s fórmuls de qudrtur: fórmuls que proimm itegrl por meio de um combição lier de potos d fução.,b As fórmuls que estremos utilido terão epressão: f () d = A f( ). b b f () d = Fórmuls de Qudrtur de Newto Côtes do tipo fechd. A f( ), ode: A b L () d; L ( )...( () ( )...( )( )( )...( ) )...( ) = ; = b i = i- + h h b Etre s forms de relir ess itegrção, vmos destcr Regr dos Trápeios.

39 8 Regr do trpéio: Pr =, temos: b f () d = f () d h = (f ( ) f ()) Se o itervlo de itegrção é grde, é coveiete usr regr dos trpéios repetid: b f () d = f () d h = f f f... f f Eercício: Clcule pel regr do Trpéio: (Resolv o eercício trblhdo com termos frcioários e dê respost com css decimis) ) se d, pr = b) d, pr = c) d, pr =4 4 d) l d, pr = 4 e) e d, pr = 6 7 f) cos d, pr = 7 Resposts: ),7 b),7 c),4 d),6 e) 8,98 f),

40 9 BIBLIOGRAFIA BÁSICA CLÁUDIO, D. M. & MARINS, J. M. Cálculo Numérico Computciol: Teori e Prátic. São Pulo: Atls,. IEZZI, G; HAZZAN, S. Fudmetos d Mtemátic Elemetr. Vol. 4,. RUGGIERO, M. A. G. & LOPES, V. Cálculo Numérico: Aspectos Teóricos e Computciois. São Pulo, Mro Boos,. BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR HUMES, A. P. de Cstro. et l. Noções de Cálculo Numérico. São Pulo: McGrw Hill do Brsil, 984. PAZ, A.P. Curso de Cálculo Numérico. São Pulo: USP, 989

41 Aeos

42 4 Implemetção d Retro Solução mi() it i,j,,; flot som,[],b[],a[][]; clrscr(); pritf("etre com ordem do sistem: "); scf("%d",&); pritf("etre com mtri dos coeficietes tecldo <<ENTER>> pos etrd de cd ddo"); for (i = ; i <= ; i++) = ; for (j = ; j <= ; j++) goto(,i+);scf("%f",&a[i][j]); = + 4; pritf("etre com o vetor dos termos idepedetes\"); for (i = ; i <= ; i++) scf("%f",&b[i]); for (i = ; i >= ; i = i - ) som = ; for (j = i+; j <= ; j++) som = som + A[i][j]*[j]; [i] = (b[i] - som)/a[i][i]; pritf("a solução do sistem trigulr proposto é \"); for (i = ; i <= ; i++) pritf("%6.f\",[i]); getch(); Teste de mes i j som b A

43 4 Implemetção do método de Elimição de Guss Simples. mi() it i,j,,; flot m,som,[],b[],a[][]; clrscr(); pritf("etre com ordem do sistem:"); scf("%d",&); pritf("etre com mtri dos coeficietes tecldo <<ENTER>> pos etrd de cd ddo"); for (i = ; i <= ; i++) = ; for (j = ; j <= ; j++) goto(,i+);scf("%f",&a[i][j]); = + 4; pritf("etre com o vetor dos termos idepedetes"); for (i = ; i <= ; i++) scf("%f",&b[i]); for ( = ; <= -; ++) for (i = +; i <= ; i++) m = -A[i][]/A[][]; A[i][] = ; for (j = +; j <= ; j++) A[i][j] = A[i][j] + m*a[][j]; b[i] = b[i] + m * b[]; for (i = ; i >= ; i = i - ) som = ; for (j = i+; j <= ; j++) som = som + A[i][j] * [j]; [i] = (b[i] - som)/a[i][i]; pritf("a solução do sistem proposto "); for (i = ; i <= ; i++) pritf("%6.f\",[i]); getch(); Teste de mes i j m som b A

44 4 Implemetção do método de Elimição de Guss com Pivotemeto Prcil. # iclude<mth.h> mi() it i,j,,,l; flot m,som,mior,u, [],b[],a[][]; clrscr(); pritf("etre com ordem do sistem: "); scf("%d",&); pritf("etre com mtri dos coeficietes tecldo <<ENTER>> pos etrd de cd ddo"); for (i = ; i <= ; i++) = ; for (j = ; j <= ; j++) goto(,i+);scf("%f",&a[i][j]); = + 4; pritf("etre com o vetor dos termos idepedetes"); for (i = ; i <= ; i++) scf("%f",&b[i]); for ( = ; <= -; ++) mior = A[][]; for (i = +; i <= ; i++) if (bs(a[i][]) > bs(mior)) mior = A[i][]; l = i; if (mior!= A[][]) for (j = ; j <= ; j++) u = A[][j]; A[][j] = A[l][j]; A[l][j] = u; u = b[]; b[] = b[l]; b[l] = u; for (i = +; i <= ; i++) m = -A[i][]/A[][]; A[i][] = ; for (j = +; j <= ; j++) A[i][j] = A[i][j] + m*a[][j]; b[i] = b[i] + m * b[]; for (i = ; i >= ; i = i - ) som = ; for (j = i+; j <= ; j++) som = som + A[i][j] * [j]; [i] = (b[i] - som)/a[i][i]; pritf("a solução do sistem proposto "); for (i = ; i <= ; i++) pritf("%6.f\",[i]); getch(); Teste de mes i j l u m mior som

45 44 b A

46 4 Implemetção do Método de Jord mi() it i,j,,; flot m,som,[],b[],a[][]; clrscr(); pritf("etre com ordem do sistem: "); scf("%d",&); pritf("etre com mtri dos coeficietes tecldo <<ENTER>> pos etrd de cd ddo"); for (i = ; i <= ; i++) = ; for (j = ; j <= ; j++) goto(,i+);scf("%f",&a[i][j]); = + 4; pritf("etre com o vetor dos termos idepedetes"); for (i = ; i <= ; i++) scf("%f",&b[i]); for ( = ; <= ; ++) for (i = ; i <= ; i++) if (i!= ) m = -A[i][]/A[][]; A[i][] = ; for (j = +; j <= ; j++) A[i][j] = A[i][j] + m*a[][j]; b[i] = b[i] + m * b[]; for (i = ; i <= ; i++) [i] = b[i]/a[i][i]; pritf("a solução do sistem proposto é"); for (i = ; i <= ; i++) pritf("%6.f\",[i]); getch(); Teste de mes i j m som b A

47 46 Implemetção do Método de Guss Jcobi mi() it i,j,,,ite; flot som,[],b[],[],a[][]; clrscr(); pritf("etre com ordem do sistem:"); scf("%d",&); pritf("etre com mtri dos coeficietes tecldo <<ENTER>> pos etrd de cd ddo"); for (i = ; i <= ; i++) = ; for (j = ; j <= ; j++) goto(,i+);scf("%f",&a[i][j]); = + 4; pritf("etre com o vetor dos termos idepedetes"); for (i = ; i <= ; i++) scf("%f",&b[i]); pritf("etre com o chute iicil"); for (i = ; i <= ; i++) scf("%f",&[i]); pritf("etre com o umero iterções:"); scf("%d",&ite); for ( = ; <= ite; ++) for (i = ; i <= ; i++) som = ; for (j = ; j <= ; j++) if (i!= j) som = som + A[i][j]*[j]; [i] = (b[i] - som)/a[i][i]; pritf("o vlor d %d",); pritf(" iterção :"); for (i = ; i <= ; i++) pritf("%6.f\",[i]); for (i = ; i <= ; i++) [i] = [i]; getch(); Teste de mes i j ite som b A

48 47 Implemetção do Método de Guss Seidel mi() it i,j,,,ite; flot som,[],b[],a[][]; clrscr(); pritf("etre com ordem do sistem:"); scf("%d",&); pritf("etre com mtri dos coeficietes tecldo "<<ENTER>> pos etrd de cd ddo"); for (i = ; i <= ; i++) = ; for (j = ; j <= ; j++) goto(,i+);scf("%f",&a[i][j]); = + 4; pritf("etre com o vetor dos termos idepedetes"); for (i = ; i <= ; i++) scf("%f",&b[i]); pritf("etre com o chute iicil ); for (i = ; i <= ; i++) scf("%f",&[i]); pritf("etre com o umero de iter äes:"); scf("%d",&ite); for ( = ; <= ite; ++) for (i = ; i <= ; i++) som = ; for (j = ; j <= ; j++) if (i!= j) som = som + A[i][j]*[j]; [i] = (b[i] - som)/a[i][i]; pritf("o vlor d %d",); pritf(" iterção é :"); for (i = ; i <= ; i++) pritf("%6.f\",[i]); getch(); Teste de mes i j ite som b A

49 48 Implemetção do Método ds Bissecções #iclude<mth.h> mi() flot, b, c, f, fb, fc; it i, ite, ri; flot fuc(flot); clrscr(); do goto(,); pritf("etre com o itervlo [,b]"); goto(,); pritf(" = "); scf("%f",&); goto(,6); pritf("b = "); scf("%f",&b); f = fuc(); fb = fuc(b); clrscr(); while (f*fb > ); if (f*fb == ) goto(,); pritf("ri ecotrd %.4f ou %.4f",,b); else goto(,); pritf("etre com o umero de itercoes: "); scf("%d",&ite); i = ; ri = ; do i++; c = (+b)/; f = fuc(); fc = fuc(c); if ((f*fc)<) b = c; if ((f*fc)>) = c; if ((f*fc)==) ri = ; while (i!= ite && ri == ); if (ri == ) goto(,); pritf("a ri e %.f",c); else goto(,); pritf("a ri est etre %.f e %.f",,b); getch(); flot fuc(flot ) flot f; f = ; retur(f);

50 49 Implemetção do Método de Newto # iclude<mth.h> mi() flot,, f, df; it i, ite, ri; flot fuc(flot); flot dfuc(flot); clrscr(); goto(,); pritf("etre com o chute iicil: = "); scf("%f",&); goto(,); pritf("etre com o umero de itercoes: "); scf("%d",&ite); i = ; ri = ; do i++; f = fuc(); df = dfuc(); if (f == ) ri = ; else if (df == ) ri = ; else = - f/df; = ; while (i!= ite && ri == ); if (f == ) goto(,); pritf("a ri e : %.f",); else if (i == ite) goto(,); pritf("a ri e proimdmete: %.f",); else goto(,); pritf("etre com outro chute iicil"); getch(); flot fuc(flot ) flot f; f = ; retur(f); flot dfuc(flot ) flot df; df = ; retur(df);

51 Implemetção do Método d Secte # iclude<mth.h> mi() flot,,, f, f, f; it i, ite, ri; flot fuc(flot); clrscr(); goto(,); pritf("etre com os chutes iiciis:"); goto(,); pritf(" = "); scf("%f",&); goto(,6); pritf(" = "); scf("%f",&); f = fuc(); f = fuc(f); if (f*f == ) goto(,); pritf("ri ecotrd %.4f ou %.4f",,); else goto(,8); pritf("etre com o umero de itercoes: "); scf("%d",&ite); i = ; ri = ; do i++; f = fuc(); f = fuc(); = (*f-*f)/(f-f); = ; = ; f = fuc(); if (f == ) ri = ; while (i!= ite && ri == ); if (ri == ) goto(,); pritf("a ri e : %.f",); else goto(,); pritf("a ri e proimdmete %.f",); getch(); flot fuc(flot ) flot f; f =; retur(f);