,,,,,,,,, A Integral Definida como Limite de uma Soma. A Integral Definida como Limite de uma Soma

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1 UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Exemplo : Utilize os cico retâgulos d figur seguir pr oter um proximção d áre d região delimitd pelo gráfico de f (x) = -x +, pelo eixo x e pels rets x = e x =. A Itegrl Defiid como Limite de um Som Prof.: Rogério Dis Dll Riv A Itegrl Defiid como Limite de um Som.A regr do poto médio.a itegrl defiid como Em ul terior, vimos que é possível utilizr o Teorem Fudmetl do Cálculo pr clculr um itegrl defiid se pudermos chr um tiderivd do itegrdo. Qudo isto ão é possível, procurmos proximr o vlor d itegrl medite um técic de proximção. Um desss técics é Regr do Poto Médio. Podemos determir s lturs dos cico retâgulos clculdo f o poto médio de cd um dos itervlos seguites ,,,,,,,,, Clculr f ( x ) os potos médios destes itervlos A lrgur de cd retâgulo é /. Logo, som ds cico áres é

2 7 9 Áre f f f f f Áre f f f f f Áre 7, = = Pr oter um proximção d itegrl defiid f ( x ) dx com Regr do Poto Médio, dotm-se os procedimetos seguir. Pr região do Exemplo, podemos determir áre ext como um itegrl defiid. ( x ) Áre = + dx x = + x ( ) ( ) = + + = 7, Diretrizes pr Utilizção d Regr do Poto Médio. Dividmos o itervlo [, ] em suitervlos, cd um deles com lrgur x =. Determiemos o poto médio de cd suitervlo. { x x x x } = Potos médios,,,,. Clculemosf em cd poto médio e formemos som f ( x) dx f x + f x + f x + + f x O processo de proximção empregdo o Exemplo costitui Regr do Poto Médio. Podemos plicr est regr pr oter um proximção de qulquer itegrl e ão pes dquels que represetm um áre. OBS : No Exemplo, plicmos Regr do Poto Médio pr proximr o vlor de um itegrl cujo vlor exto pode ser otido com o Teorem Fudmetl do Cálculo. Isto foi feito pr ilustrr precisão d regr. N prátic, turlmete, utilizmos Regr do Poto Médio pr proximr os vlores de itegris defiids pr s quis ão podemos determir um tiderivd. Os Exemplos e, seguir, ilustrm tis itegris.

3 OBS : Um crcterístic importte d Regr do Poto Médio é que proximção tede melhorr com o crescer de. A tel seguir mostr proximção d áre d região do Exemplo pr diversos vlores de. Por exemplo, pr = Regr do Poto Médio dá 9 x + dx = f f f ( ) ( x ) + dx 7,4 Com =, o itervlo [, ] fic dividido em cico suitervlos. 4 4,,,,,,,,, Os potos médios desses suitervlos são 7 9,,,, Aproximção 7,6 7,4 7,474 7,6 7,4. 7,4. 7, Note que, com o crescer de, proximção tede pr o vlor exto d itegrl, que já semos ser / 7, Como cd itervlo tem um mplitude de ( ) x = =, podemos proximr o vlor d itegrl defiid como seguir dx = ,786 x +,,9,,49,8 Exemplo : Aplique Regr do Poto Médio com = pr proximr x + dx A figur seguir mostr região cuj áre é represetd pel itegrl defiid. A áre efetiv dess região é π/4,78. Assim, proximção difere pes por,.

4 Como cd itervlo tem um mplitude de ( ) x = =, proximmos o vlor d itegrl defiid como seguir x + dx = (, ) (, ) (,9 ) ,4 Exemplo : Aplique Regr do Poto Médio com = pr proximr x + dx A figur seguir mostr região cuj áre é represetd pel itegrl defiid. Com técics dequds, pode-se mostrr que o vlor efetivo d áre é ( ( ) ( )) l l 4, Assim, o erro de proximção é de pes,. Comecemos dividido o itervlo [, ] em dez suitervlos ,,,,,,,, Os potos médios desses suitervlos são ,,,,,,,, e 4

5 . A itegrl defiid como. A itegrl defiid como Cosideremos o itervlo fechdo [, ] dividido em suitervlos cujos potos médios são x i e cujs mplitudessão x = ( ) Exemplo 4: Com uxílio de um plilh eletrôic, oteh um proximção (com seis css decimis) d itegrl defiid e x dx. A itegrl defiid como. A itegrl defiid como Já vimos que proximção por potos médios f ( x ) dx f x x + f x x + f x x + + f x x = f x + f x + f x + + f x x Aproximção,748,747,74688,74686,74687.,74684 tor-se mis precis medid em que umet.. A itegrl defiid como. A itegrl defiid como O limite dest som, qudo tede pr ifiito, é extmete igul o vlor d itegrl defiid; isto é, f ( x) dx = lim f x + f x + f x + + f x x Utilizdo plilh eletrôic, com =,,,, e., verificmos que o vlor d itegrl, com proximção de seis css decimis, é, Pode-se mostrr que este limite é válido desde que x i sej qulquer poto do i mo itervlo.

6 . A itegrl defiid como Exemplo : Utilizdo Regr do Poto Médio pr proximr itegrl defiid dx x ecotrmos os seguites vlores pr s proximções com =,,, 4, e 6, coforme tel seguir.. A itegrl defiid como Aproximção 48, 97,7 47, 4 96,4 4,7 6 9, Por que os vlores ds proximções se torm cd vez miores? Por que ão vle qui Regr do Poto Médio? 6