POLINÔMIOS ORTOGONAIS E QUADRATURA DE GAUSS

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1 POLINÔMIOS ORTOGONAIS E QUADRATURA DE GAUSS RESUMO POLIANA MOITA BRAGA Uiversidde Ctólic de Brsíli Curso de Mtemátic Orietdor: José Edurdo Cstilho O grupo de poliômios ortogois vem sedo stte estuddo por presetr proprieddes e crcterístics importtes, que podem ser empregds em váris áres d Mtemátic Pur e Aplicd, priciplmete os cmpos de Egehris, Esttístic e Biologi Atrvés desses poliômios pode-se trlhr s áres de proimção de zeros de fuções, qudrturs umérics, teoris de frções cotíus, teori de códigos, etre outrs Um plicção que será mostrd esse trlho é o desevolvimeto ds fórmuls de Qudrtur de Guss, por se serem s proprieddes desses poliômios e serem de fácil implemetção, com os resultdos e ecelete precisão Plvrs-chve: poliômios ortogois; qudrtur de Guss INTRODUÇÃO As plicções dos poliômios ortogois surgem cd vez mis em prolems fudmetis mtemátic, s áres de proimção de fuções, frções cotíus, teori dos códigos, etre outrs, sedo ssim oeto de estudo de vários pesquisdores A pricipl crcterístic dos poliômios ortogois é que estes formm um se ortogol dos espços de proimção com proprieddes iteresstes resolução de certos prolems relciodos com Equções Difereciis, Frções Cotíus e Teori d Aproimção DARUIS,; DAVIS, 976; DIMITROV, ; GAUTSCHI, 985 Este trlho tem como oetivo, mostrr plicção dos poliômios ortogois clássicos gerção de fórmuls de qudrtur Um método de qudrtur uméric proim o vlor de um itegrl de um fução f, com relção um fução peso w, d seguite form: w f d A f Em gerl s fórmuls de qudrtur são seds estrtégi de proimr fução f por um poliômio iterpoldor e itegrl d fução é sustituíd pel itegrl do poliômio Este é o cso ds Fórmuls de Newto-Côtes, mis cohecid ds fórmuls de qudrtur As Fórmuls de Newto-Côtes seds o poliômio iterpoldor de gru coseguem ser ets pr poliômios de gru meor ou igul, se for ímpr, e et pr poliômios de gru meor ou igul +, se for pr BURDEN e FAIRES, No cso ds fórmuls de qudrtur seds os poliômios ortogois de gru +, tem-se que são ets pr poliômios de gru meor ou igul +, um gho cosiderável precisão de proimção Ests fórmuls são chmds de Qudrtur de Guss, devido o resultdo demostrdo por Guss, em 8, e que será presetdo o Teorem 5

2 O trlho está orgizdo d seguite form: N seção - Poliômios ortogois cotém su defiição, demostrção ds pricipis proprieddes e pricipis poliômios ortogois N seção Qudrtur de Guss com defiição e eemplos de Fórmuls de Qudrturs de Guss N seção 4 Cosiderções Fiis presetdo s coclusões referetes às dus seções teriores POLINÔMIOS ORTOGONAIS Os poliômios ortogois são ferrmets esseciis solução de diversos prolems em Mtemátic Aplicd como tmém em Mtemátic Pur Nest seção será mostrdo que os poliômios ortogois formm um se pr espços de proimção de fuções, o que permite resolução de prolems relciodos à esss proimções Defiição : Se um fmíli de poliômios,,,, de grus,,, Se: i,, pr i e i,, pr i etão, os poliômios,,,, se dizem ortogois Neste estudo, será cosiderdo o produto itero: g w e cotíu em [ ] f, f g w d com, A fução w é chmd de fução peso, podedo triuir vários grus de importâci à proimção em certs porções do itervlo Os poliômios, i,,, podem ser otidos pel ortogolizção d seqüêci {,,,} i ou, recorretemete, pelo resultdo do seguite teorem: Teorem : Sem os poliômios,,,, de grus,,,, defiidos por:,,, e, pr,,,, α β +,, ode: α e β,,

3 Os poliômios,,,, ssim defiidos são dois dois ortogois, isto é, stisfzem A demostrção deste teorem pode ser ecotrd em CUMINATO, 8 Assim, de, tem-se diverss fmílis de poliômios ortogois, que se diferecim pel defiição do produto itero que germ os coeficietes α e β De cert form, do Teorem otém-se de form fácil um seqüêci de poliômios ortogois, pois é utilizdo fórmul de recorrêci pes três termos pr oteção de qulquer poliômio d seqüêci Proprieddes dos poliômios ortogois Seguem io lgums ds proprieddes dos poliômios ortogois que serão importtes pr oteção ds fórmuls de qudrtur de Guss Teorem : Sem,,,, poliômios ortogois, ão ulos, segudo um produto itero qulquer Etão, qulquer poliômio de gru meor ou igul pode ser,,,, escrito como um comição lier de Demostrção: Os poliômios,,,, espço dos poliômios de gru meor ou igul Assim, se form: etão costituem um se pr o Q é um poliômios d Q + + +, Q pode ser escrito, trvés de mudç de se, como: Q Teorem : Sem,,,, s codições do Teorem Etão é ortogol qulquer poliômio Q de gru meor que Demostrção: Se Q um poliômio de gru Pelo teorem terior tem-se que: etão: Q , Q,, +, + +,,,,, sem dois dois ortogois desde que os poliômios Teorem 4: Sem,,,, poliômios ortogois segudo o produto itero: f, g f g w d

4 w e cotíu em [ ] com, Etão tem rízes reis distits em [ ], Demostrção: A fim de verificr vercidde deste teorem, demostrção será dividid em três prtes: possui lgum zero em [ ] os zeros de em [ ] c os zeros de, ;,, são simples; estão em [ ], Os três ites serão provdos por surdo Assim, pr provr, supõe por surdo que [ ],, Etão: ão possui zeros em [ ], w d w d desde que, w >, ms ão pode ser ideticmete ul, e, Portto em em [ ], Ms e são ortogois, coseqüetemete, Logo é um surdo supor que ão possui zeros em [ ], Pr provr por surdo, supõe-se que eist um riz de que se de multiplicidde Se ess riz Portto:, é um poliômios de gru Assim, pelo Teorem :, ms, pels proprieddes de produto itero:, w d 4

5 w, ode iguldde é válid se e somete se surdo supor que os zeros de em [ ] d, ão são simples for o poliômio ulo Portto é um Filmete, pr provr c será suposto, por surdo, que eist pes zeros de em [, ], com < Sem,,, os zeros de em [ ], Etão: q em [ ] ode q, Assim, pelo Teorem, segue que: Ms, pels proprieddes de produto itero:,, w q w q d Portto, é um surdo supor que os zeros de ão estão em [ ], Assim, comprov-se que possui zeros reis, distitos em [ ], d O teorem seguir foi demostrdo por Guss, em 8, reveldo ssim importâci dos poliômios ortogois Cosequetemete, os últimos séculos despertou-se curiosidde o estudo de loclizção precis de zeros desses poliômios BRACCIALI e ANDRADE, 6 Teorem 5: Sem,,,, s codições do Teorem 4 Sem,,, Etão, se f é um poliômio de gru meor ou igul +, s rízes de + w f d A f 4 5

6 ode e l A w l l são poliômios de Lgrge sore s rízes s se s se s d,,, de +, isto é stisfzem Demostrção: Como,,, são rízes de +, pode-se escrever: + 5 em [ ] Se P o poliômio de iterpolção de f sore,,, f P R +, Se-se que: ode R é o erro iterpolção Assim: com f P R ξ e ξ depededo de ξ + f +! Etão, em vist de 5 e de que ξ é fução de, escreve-se: f P + f +! + Como f é um poliômio de gru meor ou igul +, tem-se que: q + f, +! é um poliômio de gru meor ou igul Deste modo: f + P q 6 Itegrdo 6 de té, com fução peso w, otem-se que: [ f P ] d w + w q d 6

7 Pelo Teorem, o ldo direito d iguldde cim é igul zero Assim: ou [ f P ] d w, w f d w P d l w Portto, fic provd relção 4 f f w l d A f Este teorem grte etão que, pr itegrr um poliômio de certo gru, st trlhr com um poliômio ortogol de gru + /, ode t represet o meor iteiro que super t E mis, descrtdos os erros de rredodmeto, o resultdo deve ser eto CUMINATO, 8 Pricipis poliômios ortogois Detre os poliômios ortogois destcm-se os poliômios de Legedre, Lguerre e Hermite Ness seção será presetdo o produto itero, os primeiros poliômios e os termos de recorrêci de cd um desss fmílis Poliômios de Legedre, P Os poliômios de Legedre,, isto é, com w, e Os primeiros poliômios de Legedre são: P P P 5 P P são otidos segudo o produto itero: f, g f g d 7 7

8 P Os poliômios de Legedre podem, id, ser otidos pel fórmul de recorrêci: Poliômios de Lguerre P P P,,, 8 Os poliômios de Lguerre L, L,, provêm do uso do produto itero: portto, w e, Primeiros poliômios: L L + L 4 + L Fórmul de recorrêci: e Poliômios de Hermite 6 f, g e f g d L L L,,, O produto itero usdo pr se oter os poliômios de Hermite é: ou se, fução peso w Poliômios: H H f, g e, e f g d e, 8

9 H 4 H 8 Com fórmul de recorrêci: H QUADRATURA DE GAUSS H H A Qudrtur de Guss é um método de itegrção uméric que forece fleiilidde em escolher ão somete os coeficietes d fução peso, ms tmém loclizção ode s fuções são vlids Um grde vtgem do método de Qudrtur de Guss é grde precisão que se pode oter em relção às Fórmuls de Newto-Côtes As regrs d Qudrtur de Guss são deduzids pr um itegrl com itervlo de itegrção [,], o qul dos poliômios stisfzem codição de ortogolidde Ms podem ser fcilmete geerlizds um itervlo de itegrção qulquer com um mudç de vriáveis dequd Como demostrdo o Teorem 5, s Fórmuls de Qudrtur de Guss proimm itegrl usdo comição lier dos vlores d fução Assim, são formuls usds pr se clculr: w f d, e clcul-se o vlor proimdo d itegrl usdo: ode : w f d A f A w l d e l são poliômios de Lgrge sore s rízes,,, de + e stisfzem se s l s se s Com isto, o lgoritmo pr se clculr um itegrl usdo Qudrtur de Guss, segue os seguites pssos: Psso : Determir o poliômio ortogol +, segudo o produto itero coveiete, isto é, com fução peso w e o itervlo [, ] Psso : Clculr s rízes,,, de + 9

10 Psso : Determir os poliômios de Lgrge l,,,, usdo os potos,,, do Psso Psso 4: Clculr A w l d,,, Psso 5: Clculr o vlor de f em,,, Psso 6: Clculr, filmete, w f d A f Esse procedimeto é válido pr qulquer fmíli de poliômios ortogois defiids pelo produto itero Eemplos Numéricos Pr ilustrr o procedimeto d Qudrtur de Guss, são presetdos lgus eemplos, que podem ser comprdos com solução et Eemplo : Clculr 5 d N itegrl, tem-se f 5,,, w Poliômios de Legedre Assim f é um poliômio de gru, e pelo Teorem 5, se, o que determi o uso dos f é um poliômio de gru +, o resultdo d itegrl é eto qudo o gru do poliômio ortogol for meos de erros de rredodmeto Assim devem-se utilizr os zeros de relção de recorrêci 8, tem-se: o que filiz o psso +, O psso determi que se ecotre s rízes de 5775 e 5575 Sedo: l, l que:, pr resolver itegrl Aplicdo, sedo ests proimdmete, os poliômios ecotrdos o psso, segue

11 A l d d d Desde que e Do mesmo modo: o que coclui o psso 4 A l d d d, O psso 5 determi que fução f se clculd os zeros de f f f, f Filmete, o psso 6, clcul-se proimção d itegrl: 5 d A f + A f [ ] + [ ] Assim: O vlor otido é o vlor eto d itegrl, á que fução é um poliômio de gru e foi usdo o poliômio de Legedre de gru Eemplo : Clculr d Neste cso o itervlo de itegrção ão coicide com o itervlo [, ] de defiição do produto itero de Legedre Isto eige um procedimeto de mudç de vriável, ode, pr, t e pr, t A equção d ret que pss por,- e, pode ser otid por:

12 t + t + Assim: + t e d dt d Portto: dt + t + dt t Etão, stisfeits s codições de Qudrtur de Guss-Legedre com w, e e f t Seguido os pssos do Eemplo e cosiderdo proimção t + é dd por: dt A f t K t + K Cu solução et é: d l Clculdo com 4 e 9 css decimis proimção otid é: o que pode ser cosiderdo um om resultdo Eemplo : Clculr e cos d d , A itegrl tede o itervlo de itegrção d Fórmul de Guss-Lguerre, ode fução peso é w e, com itervlos e, e f cos Como ão se tem codição de determir o úmero eto de potos que se precis ter pr resolução d itegrl, fi-se, que dotdo os pssos do Eemplo, proimrá itegrl d seguite form: e 4765 cos d

13 Comprdo com o vlor eto, 5, ot-se que proimção otid foi d ordem de Eemplo 4: Clculr e d A itegrl tem como fução peso w e, ssim pode-se empregr Fórmul de Qudrtur de Guss-Lguerre, ms o itervlo de itegrção ão coicide com o do produto itero defiido pr ess qudrtur Logo é ecessário que se fç um mudç de vriável Como um dos limites de itegrção é ifiito, mudç de vriável deverá ser feit vi cálculo Defie-se que z +, tedo que qudo z ; e qudo z ; d dz Etão: e d e z+ z + dz e e z z + dz stisfzedo deste modo, s codições d Fórmul de Qudrtur de Guss-Lguerre Como f é um poliômios de gru, fzedo +, tem-se que, desde que idique o ídice do último poto ser cosiderdo, e, portto deve ser um iteiro Com o poliômio ortogol de gru, itegrl é proimd d form: e z d e e z + dz e O resultdo eto d itegrl é 5 / e A peque difereç que eiste etre o resultdo eto e o vlor otido é devido os erros de rredodmeto Eemplo 5: Clculr e d A itegrl tede s codições d Fórmul de Guss-Hermite, com w e,, e f Assim, seguido os pssos do Eemplo e cosiderdo, proimção é dd por: e d

14 π Oserve que este eemplo solução et é 444, o que mostr que proimção é et té qurt cs 4 CONSIDERAÇÕES FINAIS Os poliômios ortogois, como descritos o trlho, presetm iúmers plicções em váris áres d mtemátic pur e plicd Etre els foi presetd Fórmul de Qudrtur de Guss que se sei s proprieddes desses poliômios e proimm itegrl usdo comição lier dos vlores d fução O que difereci o método d Qudrtur de Guss ds outrs forms de proimção, é que el os forece resultdos mis precisos por serem ets pr poliômios de gru meor ou igul + Ms lev desvtgem de se ter que cohecer fução em potos específicos, pois ão permite trlhr com quisquer prolems em que se tehm somete os potos teldos No cálculo d Qudrtur de Guss, em que se teh um itervlo distito do itervlo [, ] ode os poliômios são mutumete ortogois, st relizr um mudç vriável de itegrção Assim, stisfzedo s codições de ortogoliddes, o procedimeto pr proimção se tor simples, pois qudo prticulrizmos o produto itero, isto é, qudo se utiliz os poliômios de Legredre, Lguerre e Hermite, é ecessário pes efetur os pssos 5 e 6 do lgoritmo, um vez que os vlores de e A podem ser teldos Em lgus eemplos presetdos pr o cálculo de itegris f é um poliômio de ordem + ou meor Em situções reis, f ormlmete ão é poliomil e este cso, é ecessário determir o erro cometido REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS BRACCIALI, Cleoice Fátim; ANDRADA, Eli Xvier Lihres De Zeros de poliômios ortogois: iterpretção eletrostátic e álise de freqüêcis I: Biel d Sociedde Brsileir de Mtemátic, III Uiversidde Federl de Goiás, Slvdor GO, 6 Dispoível em: Acesso em: out 8 BURDEN, Richrd L, Fires Dougls J Aálise uméric, São Pulo: Pioeir Thomso Lerig, CUMINATO, José Alerto Cálculo umérico Nots de ul, ICMC/USP Dispoível em: wwwsimuluelr/hoto/grd/umerico_mt/tetos/cumitopdf Acesso em: out 8 DARUIS, L, NJÅSTAD, O, VAN ASSCHE, W Pr-orthogol polyomils i frequecy lysis Rocy Mouti J Mth,, , DAVIS, PJ, RABINOWITZ, P Numericl itegrtio Blisdell Pul Co, 967 DIMITROV, DK, VAN ASSCHE, W Lmé differetil equtios d electrosttics Proc Amer Mth Soc, 8, 6 68, 4

15 GAUTSCHI, W Orthogol polyomils - costructive theory d pplictios Jourl of Computtiol d Applied Mthemtics, e, 6 76, 985 Poli Moit Brg polirg@gmilcom Curso de Mtemátic, Uiversidde Ctólic de Brsíli EPCT QS 7 Lote Águs Clrs Tgutig CEP: