PESQUISA OPERACIONAL Método Simplex. Professor Volmir Wilhelm Professora Mariana Kleina

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1 PESQUISA OPERACIONAL Método Simple Professor Volmir Wilhelm Professor Mri Klei

2 Limitções d progrmção lier m (mi) s. Z c c... m, m,...,... c... c 0... c m b b m. Coeficietes costtes. Divisibilidde 3. Proporciolidde 4. Aditividde 5. Prâmetros costtes/precisos (sem icertezs) Prof. Volmir Eugêio Wilhelm Professor Mri Klei

3 Prévi de um lgoritmo de otimizção SIMPLEX. Obter um solução básic iicil mis trivil e mis fácil. Verificr se solução tul é ótim 3. Se solução tul ão for ótim, procurr outr solução básic 4. Voltr o psso Questões ) Como chr solução iicil? b) Que critério usr pr gerr um ov solução básic? c) Como posso sber se solução tul é ótim? Prof. Volmir Eugêio Wilhelm Professor Mri Klei 3

4 Formto Gerl Formto dos PL s Form Pdrão 0,,.,.... (mi) m m m m m.. b c... b c... s c... c c Z 0,,., (mi) m l l l l k k k k.. b c... b c... b c... s c... c c Z 4

5 Form Pdrão Qudo s restrições de um modelo de Progrmção Lier são presetds form de equções diz-se que esse modelo está form pdrão. mimizr Z= c + c + + c N N (miimizr) sujeito N N = b N N = b M + M + + M N N = b M,,, j,, N 0 5

6 Redução à Form Pdrão I. Qulquer problem de mimizção pode coverter-se um problem de miimizção, pois: mi Z = -m (-Z) 6

7 Redução à Form Pdrão II.Qulquer restrição de desiguldde de tipo pode ser covertid um restrição do tipo multiplicdo por (-) mbos os seus membros. i + i + + i N N b i - i - i - - i N N - b i 7

8 Redução à Form Pdrão III. Qulquer restrição de iguldde pode ser covertid em dus restrições de desigulddes equivletes àquel. i + + i N N = b i i + + i N N b i i + + i N N b i i + + i N N b i - i - - i N N - b i 8

9 Redução à Form Pdrão O primeiro psso pr resolução de um problem de PL cosiste su redução à Form Pdrão. Pr isto é preciso coverter s restrições de desiguldde em restrições equivletes de iguldde. um restrição de desiguldde de tipo pode ser covertid um restrição de iguldde diciodo um ov vriável ão egtiv (vriável de folg) N+ : i + + i N N b i i + + i N N + N+ = b i N+ 0 Form Gerl t t F b b F 0 9

10 Redução à Form Pdrão um restrição de desiguldde de tipo pode ser covertid um restrição de iguldde subtrido um ov vriável ão egtiv (vriável de ecesso ou de folg) N+ : i + + i N N b i i + + i N N - N+ = b i N+ 0 Form Gerl t t S b b S 0 0

11 Redução à Form Pdrão Eemplo m Z= s Form Gerl , 0 m Z= s Form Pdrão + 3 = = - 5 = 8,, 3, 4, 5 0 As vriáveis de folg (e ecesso) têm coeficietes ulos fução objetivo

12 Redução à Form Pdrão Eemplo IV. Qulquer vriável egtiv j, deve ser substituid por um vriável ão egtiv j =- j, j ' 0, fzedo: j = - j Form Gerl m Z= Form Pdrão m Z= s s = = = 8 0, 0 ',, 3, 4, 5 0

13 Redução à Form Pdrão V. Qulquer vriável livre j, (ão restrigid pel codição de ão egtividde) pode ser substituid por um pr de vriáveis ão egtivs j ' 0 e j '' 0, fzedo: j = j ' j '' e deste modo formuldo de ovo o problem em fução dests dus ovs vriáveis. Após substituir j por j ' j '', delet-se vriável j do problem. 3

14 Redução à Form Pdrão Eemplo 3 m Z= s Form Gerl livre, 0 m Z= 3( - ) + 5 s Form Pdrão ( - '' ) + 3 = = 3( - '' )+ - 5 = 8 ', '',, 3, 4,

15 Método Simple 5

16 Método Simple Teorem: Se fução objetivo possui um máimo (míimo) fiito, etão pelo meos um solução ótim é um poto etremo do cojuto ds soluções (viáveis). Emie um seqüêci de soluções básics viáveis com o umeto dos vlores d fução objetivo té que um solução idel sej tigid ou sej provdo que o PL é ilimitdo. (G. Dtzig, 947). Prof. Volmir Eugêio Wilhelm Professor Mri Klei 6

17 Método Simple m (mi) s. Z c... m c, m,...,... c... c 0... c m b b m Pr ser iicido, o método simple ecessit cohecer um solução básic viável (solução iicil). Se solução tul ão é ótim, etão o simple mud do poto etremo tul o poto etremo djcete. Este processo cotiu té que solução sej ótim. Prof. Volmir Eugêio Wilhelm Professor Mri Klei 7

18 Método Simple Psso 0: Achr um solução viável básic iicil. Psso : Verificr se solução tul é ótim. Se for, pre. Psso : Determir vriável ão-básic que deve etrr bse. Psso 3: Determir vriável básic que deve sir d bse. Psso 4: Achr ov solução viável básic, e voltr o Psso Prof. Volmir Eugêio Wilhelm Professor Mri Klei 8

19 Método Simple Iício Determir um solução viável básic Solução ótim? Fim Determie um solução viável melhor Prof. Volmir Eugêio Wilhelm Professor Mri Klei 9

20 Método Simple Técics Algébric Simple por Qudros Simple Revisdo Prof. Volmir Eugêio Wilhelm Professor Mri Klei 0

21 Eemplo de uso do Simple por Qudros 0, m s Z 0,,, m s Z cotiu... Prof. Volmir Eugêio Wilhelm Professor Mri Klei

22 Eemplo de uso do Simple por Qudros... cotiução Bse 3 4 b Z Teste do Bloqueio: 0, mi js js j j RS R b b 0 0 B 0 0 B Bse 3 4 b Z 0 -/3 0 / / -/ 9/ /6 0 /6 / B 6 0 B Bse 3 4 b Z 0 0 4/ 5/ 3/7 0 /7 -/7 9/7 0 -/ 4/ / B B 0,0, 7 9, 7,,, 4 * 3 * * * 7 * 3 Z Prof. Volmir Eugêio Wilhelm Professor Mri Klei

23 Simple csos especiis pl miimizção Problems de miimizção (bst multiplicr Fução Objetivo por -) mi Z s., m Z s., Solução: 0,0, Bse 3 4 b -Z Bse 3 4 b -Z 5/3 / /3 -/3 0 /3 /3 0 Prof. Volmir Eugêio Wilhelm Professor Mri Klei 3

24 Simple csos especiis Solução Úic Problem com úic solução (qudo o qudro ótimo c j > 0, pr tod vriável j ão básic) m Z s., Solução úic,6, Bse 3 4 b Z /3 60 Bse 3 4 b Z -/3 / /3 -/3 0 /3 /3 0 Bse 3 4 b Z /5 3/5 44 3/5 -/5 -/5 /5 6 Prof. Volmir Eugêio Wilhelm Professor Mri Klei 4

25 Simple csos especiis Soluções Múltipls Soluções Múltipls (qudo o qudro ótimo lgum c j = 0, pr j ão básic) m Z s., , 0,0 Soluções múltipls,,6 Bse 3 4 b Z Bse 3 4 b Z /3 -/3 0 /3 /3 0 Solução básic viável ótim lcçd é VNB com coeficiete ulo fução o objetivo ( c =0) Colocdo bse pr determir outr solução ótim Bse 3 4 b Z 60 3/5 -/5 -/5 /5 6 Outr solução básic viável ótim. Observe que o vlor d fução objetivo ão mudou. Prof. Volmir Eugêio Wilhelm Professor Mri Klei 5

26 Simple csos especiis Solução Ilimitd Solução Ifiit Solução Ilimitd (qudo solução id ão é ótim porém ão há vriável cdidt pr sir d bse) m Z s. 3, Solução ilimitd Bse 3 4 b Z / Bse 3 4 b Z -5/3 / /3 0 -/3 /3 0 Prof. Volmir Eugêio Wilhelm Professor Mri Klei 6

27 Simple csos especiis Empte Etrd Empte Etrd (escolh qulquer vriável pr etrr bse) m Z s , 0 A) etr bse Bse 3 4 b Z Bse 3 4 b Z 4/5 /5 56 3/5 -/5 -/5 /5 6 Solução:,6, Bse 3 4 b Z / / 0 4 5/ -/ 40 B) etr bse Bse 3 4 b Z Bse 3 4 b Z -4/3 /3 40 5/3 -/3 0 4 /3 /3 0 Bse 3 4 b Z 4/5 /5 56 3/5 -/5 -/5 /5 6 Prof. Volmir Eugêio Wilhelm Professor Mri Klei 7

28 Simple csos especiis Degeerção Empte Síd Degeerção (qudo um vriável etr bse com vlor ulo) m Z s , 0 A) 3 si d bse Bse 3 4 b Z Solução: 0,0, Bse 3 4 b Z / / 0 B) 4 si d bse Bse 3 4 b Z Bse 3 4 b Z /4 / 40 3/4 -/ 0 -/4 ½ 0 Bse 3 4 b Z -/3 0 / /3 -/3 0 /3 /3 0 Note que vriável básic é ul (b = 0). Isso sempre ocorre qudo houver empte síd. Prof. Volmir - UFPR 8