Capítulo 2: Resolução Numérica de Equações

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1 Cpítulo : Resolução Numéric de Equções.. Riz de um equção Em muitos prolems de egehri há ecessidde de determir um úmero ξ pr qul ução sej zero, ou sej, ξ. A ξ chmmos riz d equção ou zero d ução. Equções lgérics poliómios do primeiro e segudo gru e certs clsses de equções lgérics do terceiro e qutro gru, em como lgums equções trscedetes podem ser resolvids liticmete, i.e., s sus rízes podem ser clculds ectmete trvés de métodos líticos. Eemplos: -+ si kπ, k Z Ms pr poliómios de gru superior qutro e pr grde miori ds equções trscedetes o prolem só pode ser resolvido por métodos uméricos. Emor estes métodos ão oreçm rízes ects, ests podem ser clculds com determid precisão, desde que certs codições sore sejm stiseits. Dus etps devem ser seguids pr clculr riz pretedid: i ª Etp: Isolr riz, i.é., ecotrr um itervlo [, ], com meor mplitude possível, que coteh um e somete um riz d equção. ii ª Etp: Melhorr o vlor d riz proimd, i.é., reir riz té à precisão pretedid.

2 Ates de cotiurmos com o osso estudo vmos deiir multiplicidde de um riz. Deiição: Um riz, ξ, de um equção tem multiplicidde m se ξ ξ ξ... m- ξ e m ξ, ode j ξ é derivd de ordem j de clculd em ξ e j,...,m... Isolmeto ds rízes Apresetmos de seguid lgus teorems que os permitem cotr e loclizr s rízes de um equção: Teorem : Um equção lgéric de gru tem ectmete rízes, reis ou comples, desde que cd riz sej cotd de cordo com su multiplicidde. Teorem : Se é deiid e cotíu em [, ] e se é tl que < etão tem o míimo um riz em [, ], por outrs plvrs hverá, o míimo, um úmero ξ, tl que ξ. Além disso, riz ξ será deiid e úic se eistir e preservr o sil o itervlo,, i.é., se > ou < pr <<. Eemplo:

3 Com e 3.5, temos que < ms mud de sil em ],[, ução tem três rízes o itervlo [,]. Teorem 3- Teorem de Bolzo: Sej P um equção lgéric com coeicietes reis e,. i- Se PP< etão eiste um úmero ímpr de rízes reis cotdo s sus multipliciddes o itervlo,. ii- Se PP> etão eiste um úmero pr de rízes reis cotdo s sus multipliciddes ou ão eistem rízes reis o itervlo,. O modo mis simples pr isolr um riz é zer um esoço do gráico d ução e veriicr em que poto ou potos est toc o eio dos..3. Gru de ectidão de um riz Depois de termos isoldo riz o itervlo [, ] temos que recorrer o uso de métodos uméricos pr determir um proimção pr ess riz. Como vmos ver, os métodos uméricos orecem-os um sucessão { } de proimções, cujo limite é riz ect ξ, i é, lim ξ O teorem que se segue dá-os um medid pr veriicrmos se proimção está loge d solução ect. Teorem: Sej ξ um riz ect e um riz proimd d equção, com ξ e [, ] e m> pr ode m Mi Etão, ξ. m '. Eemplo: Sej -8, limitr o erro com,87 o itervlo [, 3]. 3

4 Resolução: Tem-se que. Pretede-se m mi 3 4. Etão.87-ξ , ou sej,.87-ξ O cálculo de m é por vezes muito diícil. Por ess rzão utilizmos um dos três critérios io pr vlir precisão d riz proimd. i ε ii ε iii ε ode ε é tolerâci preid ou erro dmitido. Vmos gor estudr métodos que os permitem reir riz..4. Métodos Itertivos pr resolução de equções Determido o itervlo ode se ecotr riz, devemos em seguid reir ess riz, ou sej, determir um proimção pr ess riz tão ect quto o possível..4.. Método d Bissecção Sej um ução deiid e cotíu em [, ], ode [, ] é um itervlo ode tem um riz ξ, i.é., ξ. Iterpretção Geométric 4

5 Aliticmete: ª Iterção: I [, ] + poto médio de [, ] i < ξ, ii > ξ, iii ξ Supohmos que ξ,. ª Iterção: I, + poto médio de, i < ξ, ii > ξ, iii ξ O processo é repetido té que se oteh um proimção pr riz ect ξ, com tolerâci ε desejd. Este método ger um sucessão de itervlos I I, I,..., I,...com mplitude decrescete, tedo-se que: 5

6 e lém disso, ξ I, e I,. I I I... I,... Sej W I, mplitude do itervlo I,, tem-se W I W I- W I-... Como W I - tem-se que W I. Dode lim W lim. I W I. Ms ξ e I, logo tem de ser teorem: lim ξ. Provmos ssim o seguite Teorem: Sej um ução deiid e cotíu em [, ] que stisz <, sej o poto médio de I gerdo pelo método d issecção, etão ξ [, ]: ξ e lim ξ Prov-se id que +. Mesmo que o itervlo escolhido ão sej, ou, iguldde terior veriic-se sempre. Se pretedermos que ε etão temos que ter + ε + ε - + l + l ε ε l / ε +l l ε l ou sej, pr um ddo itervlo [, ] são ecessáris, o míimo, iterções pr determir riz ξ com um tolerâci ε. 6

7 Eemplo: Clcule riz positiv d equção -3 com ε.3. Solução ect: -3 ± 3 ±.73 Solução proimd: Tem-se que I, com - e, i.é., < ou sej solução pertece o itervlo,. erro A solução proimd é: Método d Secte ou poto io Como de costume cosideremos tl que tem um só riz - ξ - em [, ] e, lém disso, é cotíu e deiid em [, ], e sedo que e preservm o sil em [, ]. O método d secte em vez de dividir o itervlo, o meio, o itervlo é dividido em prtes proporciois á rzão /. Iterpretção geométric: i Cosidere rect que pss pelos potos, e,, sej s ess rect; ii Cosidere o poto de itersecção de s com o eio dos, sej esse poto; iii Determie ; iv Cosidere rect que pss pelos potos, e,, ou, e, sej s ess rect; v Determie o poto de itersecção de s com o eio dos ; 7

8 O método teriormete descrito ger um sucessão,,,...,,... que coverge pr ξ. Iterpretção Geométric Aliticmete: Cso I Por idução, + Cso II Por idução, + 8

9 Cso III igul o cso II Cso IV igul o cso I Coclusão: O poto io ou é quele o qul o sil de coicide com o sil de e proimção sucessiv z-se do ldo do poto ão io. C C +, ode C é o poto io etremo de [,] ode C C >. Eemplo: Cosideremos de ovo ução -3 e ε.3 e clculemos su riz positiv pelo método d secte. Vimos que riz está o itervlo [, ]. Como >, etão C e. ª Iterção: O erro cometido é de >.3. ª Iterção: O erro cometido é de -.66>.3. 3ª Iterção: O erro cometido é de <.3. A solução proimd é

10 Covergêci do método: Prov-se o seguite teorem: Teorem: Sej C [, ] i.é.,,, são cotíus em [, ] e estritmete moóto em [, ], se e se, preservr o sil em [, ], etão sucessão produzid pelo método d secte ou poto io coverge mootomete pr o zero de esse itervlo Método de Newto-Rphso Sej C [, ], i.é.,,, são cotíus em [, ], e sej ξ o úico zero d ução em [, ]. Epdido em série de Tylor em toro de ξ otemos: ξ +ξ- Ms ξ, etão +ξ- ξ- ' ξ. ' A relção terior é se d órmul de recorrêci do método de Newto: + Iterpretção Geométric:,,,... ' O poto + é ciss do poto de itersecção com o eio dos d rect tgete à curv de o poto,.

11 Escolh de e Covergêci: Teorem: Prov-se que é codição suiciete pr que o método de Newto covirj, que C [, ], e sejm ão uls e p reservem o sil em [, ] e que sej tl que >. Eemplo: Cosideremos de ovo ução -3 com ε.3. Vimos que riz se ecotr o itervlo [,]. Tem-se que e. Como >, tem-se que, é um o proimção. ª Iterç ão.75 ' ' >.3 ª Iterç ão ' <.3. A solução proimd é: Comprção e oservções sore os métodos Comprdo os três métodos podemos cocluir que o método de Newto é o mis eiciete pois é o que ecessit de meos iterções pr chegr à solução com mesm precisão. O método d issecção ão eige o cohecimeto ds derivds ms é o que tem um covergêci mis let. Deve por isso ser utilizdo pes pr dimiuir mplitude do itervlo que cotém riz. O método d secte ou poto io tmém ão requer o cohecimeto ds derivds tedo um covergêci pes superd pelo método de Newto. O método de Newto é o que coverge mis depress, precis de um úmero reduzido de iterções pr covergir, o úico seão deste método reside o cto de ser ecessário o cohecimeto d orm lític de.

12 O qudro seguite mostr o úmero de iterções que cd método ecessitou pr ecotrr um zero de ge. + - com ε -5 e -3 com ε.3 Bissecção Secte Newto g