FACULDADE DE ADMINISTRAÇÃO E NEGÓCIOS DE SERGIPE ASSUNTO: SOMAÇÃO E ÁRAS E INTEGRAIS DEFINIDAS. INTEGRAIS DEFINIDAS
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- Rodrigo Alcaide Marques
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1 FACULDADE DE ADMINISTRAÇÃO E NEGÓCIOS DE SERGIPE CURSO: ENGENHARIA DE PRODUÇÃO ASSUNTO: SOMAÇÃO E ÁRAS E INTEGRAIS DEFINIDAS. PROFESSOR: MARCOS AGUIAR CÁLCULO II INTEGRAIS DEFINIDAS. NOTAÇÃO DE SOMAÇÃO E ÁREA Qudo estudmos itegrl defiid utilizmos soms de muitos úmeros. Pr expressr tis soms de meir compct, usmos otção de somção. Notção de somção: Ode é o domíio e é imgem Exemplo: Clcule som j Teorem. c c j Teorem. Se é um iteiro positivo ritrário e,,, cojutos de úmeros reis, etão i e,,, são ii c c pr todo rel c. iii Teorem. i.
2 ii. iii. 6. Cálculo de áres de um região R em um plo coordedo. Se é um iteiro positivo ritrário, dividmos o itervlo, em suitervlos, todos do mesmo comprimeto x. Podemos oter isto escolhedo úmeros x0, x,, x, com x0, x e x x x, pr =,,..., coforme idicdo figur ixo. Note que 0, x x, x x, x x,..., x x,..., x x Fote: Swoowsi, 99, p. Logo, áre PI polígoo regulr iscrito A f u x f u x f u x PI PI A é som ds áres dos retâgulos, isto é,, usdo otção de somção, podemos escrever., ode f u é o vlor míimo de f em x, x A f u x Se é muito grde e x muito pequeo etão som ds áres dos retâgulos deve se proximr se d áre d região R. Dí podemos ituitivmete escrever. A lim A lim f u x PI x 0 x 0 e difereç utilizção d áre do polígoo regulr iscrito pr proximr A. A f u x é o erro decorrete d
3 Defiição. Sej f cotíu e ão-egtiv em vlor míimo de f em x, x. A otção lim 0 existe um 0 tl que se 0 x,,. Sejm A um úmero rel e f u o sigific que pr todo x 0 A f u x etão, A f u x Pode-se oter áre A tmém por meio de retâgulos circuscritos como do tipo d figur ixo. Fote: Swoowsi, 99, p. PC. A PC é áre de um polígoo retgulr circuscrito, ode A f v x vlor máximo em x Exemplo. Sejm, x. Note que f ux A f vx. f x 6 x, e R região so o gráfico de f de 0. Oteh um proximção d áre de R, utilizdo. () um polígoo regulr iscrito com x () um polígoo regulr circuscrito com Solução: (). A f u x PI x f v é o Fote: Swoowsi, 99, p.
4 5 API f. f. f. f. f. f API API 6,65 8 () PC A f v x Fote: Swoowsi, 99, p. 5 APC f 0. f f. f. f. f APC APC,5 8 f x Se 6 x, determie áre d região so o gráfico de f de 0 Fote: Swoowsi, 99, p. Solução: Dividido-se o itervlo 0, em suitervlos iguis, o comprimeto de cd suitervlo é, logo x.
5 x x x 9 f u f f u x f u x f u x 8 9 f u x = f u lim lim 8 x0 x0 Assim, áre d região é 9 Exercícios. I. Clcule som. j j 5 9 lim x 8 9 x 0... II. Expresse som em termos de III. Determie áre so o gráfico d fução dd f de 0 usdo retâgulos iscritos e circuscritos. f x 9 x 0. f x x x 9.. A INTEGRAL DEFINIDA No estudo terior restrigimos e x 5 0 x x 0 f pr clculr o lim f w. A fução f é cotíu o itervlo,.. f x é ão egtiv pr todo x em,.. Todos os suitervlos x, x. O úmero w é escolhido de modo que de f em x, x. - têm o mesmo comprimeto x. como segue: f w sej sempre o míimo ( ou o máximo ) Há muits plicções que evolvem este tipo de limite, em que em tods s codições cim são stisfeits. Assim é coveiete itroduzir s seguites modificções:,. 5. A fução f pode ser descotíu em lgus potos de 6. f x pode ser egtiv pr lgum x em,. 7. Os comprimetos dos suitervlos x, x w pode ser qulquer úmero em x, x. 8. O úmero podem ser diferetes. - 5
6 Itroduziremos um termiologi e otção ovs. Um prtição P de um itervlo, é qulquer decomposição de, em su itervlos d form. x, x, x, x, x, x,, x, x 0 pr um úmero iteiro e úmeros x x x x x 0 mo suitervlo será deotdo por x x tis que O comprimeto ; isto é, x x x A figur ixo ilustr um prtição de,. O mior dos úmeros x, x,, x é orm d prtição P e se deot por P. Fote: Swoowsi, 99, p. 0 Exemplo: Os úmeros ;,7;,;,;,;,5;5;6 determim um prtição P do itervlo,6. Determie os comprimetos x, x,, x dos suitervlos em P e orm d prtição. Solução: x x x x x x0 x,7 0,7 x 0,5 x, ; x 0,8; x5 0, ; x6 0,5 ; x7,0 P x, Defiição. Sej f defiid em um itervlo fechdo,, e sej P um prtição de,. Um SOMA DE RIEMANN de f ( ou f R f w x, ode w está em x, x e,,,, p - Com est defiição de f w x x. Se costruirmos um retâgulo de comprimeto x ) pr P é qulquer expressão R d form., ão é ecessário um máximo ou um míimo de f em f w e lrgur x, coforme ilustrdo figur (i), o retâgulo pode ão ser em iscrito em circuscrito. Alem disso, como f x pode ser egtiv tmém ou podem ser certos termos d som de Riem R p. Coseqüetemete, R p em sempre represet um som de áres de retâgulos. Fote: Swoowsi, 99, p. 6
7 Fote: Swoowsi, 99, p. Figur (i) Figur (ii) N figur (ii) som de Riem dmite seguite iterpretção geométric. Pr cd suitervlo x x w, f w,,, costrumos um segmeto horizotl pelo poto otedo ssim um coleção de retâgulos. Se f w é positiv, o retâgulo está cim do eixo x, e produto f w xé áre deste retâgulo. Se ixo do eixo x, e produto f w x é áre deste retâgulo. p f w é egtiv, o retâgulo está R é som ds áres dos retâgulos que estão cim e ixo do eixo x. Exemplo. Sejm f x 8 x e P prtição de 0,6 os cico suitervlos determidos por x0 0, x,5, x,5, x,5, x 5, x5 6. Determie orm d prtição e som de Riem R se w, w, w,5, w 5, w5 5,5 Solução. A figur ixo esoç o gráfico de f p x,5, x, x, x 0,5, x 5 A orm P d prtição é x 5 R f w x p Fote: Swoowsi, 99, p. p,5,5 50,5 5,5 R f w x f w x f w x f w x f w x Fote: Swoowsi, 99, p. 0 p 5 5 R f f f f f 7
8 p 7,5,5 6,875,50,5 7,5 R R,65 p Nem sempre especificremos o úmero de suitervlos em um prtição P de,. A som de Riem escreverá f w R f w x, e dmitiremos que os termos d form p x devem ser somdos sore todos os suitervlos x x, prtição P. A prtir dí, defiimos. lim f w x L pr um úmero rel L. P 0 Defiição. Sejm f defiid em um itervlo fechdo, e L um úmero rel. A lim f w x L sigific que, pr todo 0, existe um 0 tl que se P firmção P 0 é um prtição de, com P, etão f w x L pr qulquer escolh do úmeros O úmero L é um limite de soms ( de Riem ) Defiimos seguir itegrl defiid como o limite de um som, ode mesmos sigificdos d defiição cim. w os suitervlos x, x de P. w e x tem o Defiição. Sej f defiid em um itervlo fechdo,. A itegrl defiid de f, de, deotd por f x dx, é lim f x dx f w x desde que o limite exist. p 0 Exemplo. Expresse o limite de soms como um itegrl defiid o itervlo,8 : w w se w x. lim (5 P 0 Solução. f x 5x x se x 8 logo o limite pode ser expresso como itegrl defiid. 5x x se x dx d c Defiição. (i) Se, etão c d f x dx f x dx c d 8
9 f existe, etão f x dx 0 (ii) Se Teorem. Se f é itegrável e f x 0 pr todo x em, gráfico de f de e é A f xdx 0, etão áre A d região so o Se um prtição regulr de, cotém suitervlos etão x logo P 0 e equivlete x 0 ou e itegrl defiid tom form. lim f x dx f w x 0 Teorem. Se f é itegrável e f x 0, pr todo x em, o gráfico de f de e é. A f x dx etão áre A d região so Exemplo. Clcule x dx x dx 5.6 = Fote: Swoowsi, 99, p. 6 Clculr. 6 x dx f x 6 x etão o gráfico de f é o Solução. Se semicírculo d figur o ldo, logo 6 x dx = 8 Fote: Swoowsi, 99, p. 7 9
10 Exercícios. Expresse cd limite como um itegrl defiid o itervlo ddo,. lim w w 5 x -,. lim w x, Px Dd. 0 xdx xdx., Clcule itegrl sds Px 0 Expresse áre d região figur como um itegrl defiid Fote: Swoowsi, 99, p. 50 Clcule itegrl defiid ecrdo- como áre so o gráfico de um fução. x dx. 6 7 x dx. x dx. 0 x dx. PROPRIEDADES DA INTEGRAL DEFINIDA (i) Se c é um costte rel, etão. Fote: Swoowsi, 99, p. 5 0
11 Exemplo: Clcul Solução. 7dx 7 dx (ii) Se f é itegrável em, e c é um úmero rel ritrário, etão cf é itegrável em, e cf x dx c f x dx Se f e g itegráveis em,, etão são itegráveis em, f g e f g e (iii) f x g x dx f x dx g x dx (iv) f x g x dx f x dx g x dx Fote: Swoowsi, 99, p. 5 e se f é itegrável tto em, Se c, e c (v) f x dx f x dx f x dx c 5. TEOREMA DO VALOR MÉDIO. c como em c,, etão f é itegrável em Se f é cotíu em um itervlo fechdo,, etão existe um úmero z o itervlo erto, tl que. f x dx f z O úmero z ão é ecessrimete úico; o que o teorem grte, etretto, é que existe o meos um úmero que dá o resultdo desejdo.
12 O Teorem do Vlor Médio dmite um iterpretção geométric iteresste, se f x 0 em,. Nesse cso, f x dx é áre so o gráfico de f de. Se trçrmos um ret horizotl pelo poto P z, f z, coforme figur ixo, etão áre d região retgulr delimitd por est ret, o eixo - x e s rets x e x é f z ; tl áre, de cordo com o Teorem do Vlor Médio, é mesm áre so o gráfico de f de. Fote: Swoowsi, 99, p. 57 Exemplo.Ache um úmero z que verifique coclusão do teorem do vlor médio. Ache o vlor médio de f em,. x dx 7 0 Solução: x dx f z f z 7 f z z f z 9 9 z z f 9
13 6. TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO Supoh que f é cotíu em um itervlo fechdo,. Se F é tiderivd de f em, Se f é cotíu em, (i) Se f é um fução pr, (ii) 0, etão f x dx f x dx Se f é um fução ímpr, 0 f x dx F F f x dx Sej f é cotíu em um itervlo fechdo,. Se c, x c x D f t dt f x Exemplo: Se Gx x dt e 0 t x Solução: G ' x Dx dt t x 7. ÁREAS x, clcule G' x Se um fução f é cotíu e f x 0 em, etão, pr todo x em,, etão, áre so o gráfico de, f de é dd pel itegrl defiid f x dx. Nest seção, cosiderremos região que está etre os gráficos de dus fuções. Se f e g são cotíus e f x g x 0 pr todo x em,, etão áre d região R limitd pelos gráficos de f, g, x e x ver figur. pode ser clculd sutrido se áre d região so o gráfico de g d áre d região so o gráfico de f, como segue. A f x dx g x dx f x g x dx figur. Fote: Swoowsi, 99, p. 88 Est fórmul tmém é válid se pr lgum x em, f ou g é egtivo. Pr verificr escolhemos um úmero egtivo d iferior o vlor míimo de g em,, como vemos figur. Em seguid, cosideremos s fuções f e g, defiids como segue: f x f x d f x d g x g x d g x d
14 figur. figur. Fote: Swoowsi, 99, p. 88 Os gráficos de f e g, podem ser otidos deslocdo-se verticlmete os gráficos de f e g de um distâci d. Se A é áre d região figur. etão A f x g x dx A f x d g x d dx A f x g x dx Teorem: Se f e g são cotíus e f x g x pelos gráficos de f, g, x e x é A f x g x dx pr todo x em, 8. Diretrizes pr chr áre de um região R x, etão áre A delimitd. Esoçr região, desigdo por y f x froteir superior, e por y g x froteir iferior. Achr o meor vlor x região e o vlor x. Esoçr um retâgulo verticl e desigr por dx su lrgur.. Expressr áre do retâgulo d diretriz como dos potos, f x g x dx xy. Aplicr o operdor limite de soms Exemplo. à expressão diretriz e clcule itegrl. Esteleç um itegrl que poss ser usd pr determir áre d região somred.
15 ) Fote: Swoowsi, 99, p. 98 x x dx 6 x x dx Fote: Swoowsi, 99, p. 98 y y dy Fote: Swoowsi, 99, p. 98 Fote: Swoowsi, 99, p / y y dy 5
16 Clcule:. Clcule áre d região limitd pels rets x 0, x, y e pelo gráfico de y x. Clcule áre d região limitd pels rets x, x, pelo eixo 0x e pelo gráfico de y x. Clcule áre d região limitd pels rets x, x, y 0 e pelo gráfico de y x REFERENCIA BIBLIOGRAFICA: SWOKOWSKI, Erl W. Cálculo com Geometri Alític. v..são Pulo: Mro Boos do Brsil, 99. ANTON HOWARD. Cálculo um ovo horizote volume I 6ª ed.- Porto Alegre Boom 000 6
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Transformada z. A transformada z é a TFTD da sequência r -n x[n] e a ROC é determinada pelo intervalo de valores de r para os quais.
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Resolução Numérica de Sistemas Lineares Parte II
Cálculo Numérico Resolução Numéric de Sistems Lieres Prte II Prof Jorge Cvlcti jorgecvlcti@uivsfedubr MATERIAL ADAPTADO DOS SLIDES DA DISCIPLINA CÁLCULO NUMÉRICO DA UFCG - wwwdscufcgedubr/~cum/ Sistems
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séries de termos positivos e a n b n, n (div.) (conv.)
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ALGUMAS CONSIDERAÇÕES TEORICAS 1. Sistema de equações Lineares
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Capítulo 5.1: Revisão de Série de Potência
Cpítulo 5.: Revisão de Série de Potêci Ecotrr solução gerl de um equção diferecil lier depede de determir um cojuto fudmetl ds soluções d equção homogêe. Já cohecemos um procedimeto pr costruir soluções
Uma figura plana bem conhecida e que não possui lados é o círculo. Como determinar o perímetro de um círculo?
erímetro A defiição de erímetro de um figur l muits vezes ode ser ecotrd do seguite modo: é som ds medids dos ldos d figur. Ms será que ess defiição é bo? or exemlo, um figur como que segue bixo ossui
(fg) (x + T ) = f (x + T ) g (x + T ) = f (x) g (x) = (fg) (x). = lim. f (t) dt independe de a. f(s)ds. f(s)ds =
LISTA DE EXERCÍCIOS - TÓPICOS DE MATEMÁTICA APLICADA (MAP 33 PROF: PEDRO T P LOPES WWWIMEUSPBR/ PPLOPES/TMA Os eercícios seguir form seleciodos dos livros dos utores G Folld (F, Djiro Figueiredo (D e E
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Função Logaritmo - Teoria
Fução Logritmo - Teori Defiição: O ritmo de um úmero rel positivo, bse IR { } podemos escrever Resumido temos: +, é o úmero rel tl que, equivletemete E: 7 8 8 8 8 7 * { }, IR { } * +, IR + Usdo que fução
Novo Espaço Matemática A, 12.º ano Proposta de teste de avaliação [março 2019]
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Propost de teste de vlição [mrço 09] Nome: Ao / Turm: N.º: Dt: - - Não é permitido o uso de corretor. Deves riscr quilo que pretedes que ão sej clssificdo. A prov iclui um formulário. As cotções dos ites
2. Resolução Numérica de Equações Não-Lineares
. Resolução Numéric de Equções Não-Lieres. Itrodução Neste cpítulo será visto lgoritmos itertivos pr ecotrr rízes de fuções ão-lieres. Nos métodos itertivos, s soluções ecotrds ão são ets, ms estrão detro
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MATEMÁTICA II Profa. Dra. Amada Liz Pacífico Mafrim Perticarrari amada@fcav.uesp.br O PROBLEMA DA ÁREA O PROBLEMA DA ÁREA Ecotre a área da região que está sob a curva y = f x de a até b. S = x, y a x b,
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FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A 10.º Ano Versão 4
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6 ÁLULO INTEGRAL Gil d ost Mrques Fudmetos de Mtemátic I 6. Itrodução 6. álculo de Áres 6. O cálculo de um áre por meio de um processo limite 6.4 Som de Riem 6.5 Atiderivds 6.6 O Teorem Fudmetl do álculo
Capítulo 2: Resolução Numérica de Equações
Cpítulo : Resolução Numéric de Equções.. Riz de um equção Em muitos prolems de egehri há ecessidde de determir um úmero ξ pr qul ução sej zero, ou sej, ξ. A ξ chmmos riz d equção ou zero d ução. Equções
Aula 9 Limite de Funções
Alise Mtemátic I Aul 9 Limite de Fuções Ao cdémico 017 Tem 1. Cálculo Dierecil Noção ituitiv e deiição de ite. Eemplos de ites. Limites lteris. Proprieddes. Bibliogri Básic Autor Título Editoril Dt Stewrt,
INTEGRAIS DEFINIDAS. Como determinar a área da região S que está sob a curva y = f(x) e limitada pelas retas verticais x = a, x = b e pelo eixo x?
INTEGRAIS DEFINIDAS O Prolem d Áre Como determinr áre d região S que está so curv y = f(x) e limitd pels rets verticis x =, x = e pelo eixo x? Um idei é proximrmos região S utilizndo retângulos e depois
INTEGRAIS DEFINIDAS. Como determinar a área da região S que está sob a curva y = f(x) e limitada pelas retas verticais x = a, x = b e pelo eixo x?
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POTENCIAÇÃO. pcdamatematica. a 1. 5 f) ( 5) 5 h) ( 3) a. b (5,2).(10,3) (9,9) 26 a. a a. Definição. Ex: a) Seja a, n e n 2. Definimos: n vezes
Sej, e. Defiimos: E0: Clcule: d) e) Defiição.... vezes 0 f) ( ) g) h) 0 6 ( ) i) ( ) j) E0: Dos úmeros bio, o que está mis próimo de (,).(0,) é: (9,9) 0,6 6, 6, d) 6 e) 60 E0: O vlor de 0, (0,6) é: 0,06
QUESTÕES OBJETIVAS QUESTÕES APLICADAS A TODOS OS CANDIDATOS QUE REALIZARAM A PROVA ESPECÍFICA DE MATEMÁTICA.
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CAPÍTULO VIII APROXIMAÇÃO POLINOMIAL DE FUNÇÕES
CAPÍTULO VIII APROXIMAÇÃO POLINOMIAL DE FUNÇÕES 1. Poliómios de Tylor Sej (x) um ução rel de vriável rel com domíio o cojuto A R e cosidere- -se um poto iterior do domíio. Supoh-se que ução dmite derivds
SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES
SISTEM DE EQUÇÕES LINERES Defiição Ddos os úmeros reis b com equção b ode são vriáveis ou icógits é deomid equção lier s vriáveis Os úmeros reis são deomidos coeficietes ds vriáveis respectivmete e b é
Objetivo: Conceituar espaço vetorial; Realizar mudança de base; Conhecer e calcular transformações Lineares
Alger Lier oldrii/cost/figeiredo/wetzler Ojetio: Coceitr espço etoril; Relizr mdç de se; Cohecer e clclr trsformções Lieres Itrodção Defiição de Espço Vetoril Sespço Comição Lier Represetção dos etores
Geometria Analítica e Álgebra Linear
NOTS E U Geometri lític e Álger ier Sistems de Equções ieres Professor: ui Ferdo Nues, r Geometri lític e Álger ier ii Ídice Sistems de Equções ieres efiições Geris Iterpretção Geométric de Sistems de
APLICAÇÕES DO CÁLCULO INTEGRAL
9 APLICAÇÕES DO CÁLCULO INEGRAL Gil d Cost Mrques Fudmetos de Mtemátic I 9. Cálculo de áres 9. Áre d região compreedid etre dus curvs 9. rlho e Eergi potecil 9.4 Vlores médios de grdezs 9.5 Soms 9.6 Propgção
MATEMÁTICA BÁSICA. a c ad bc. b d bd EXERCÍCIOS DE AULA. 01) Calcule o valor de x em: FRAÇÕES
MATEMÁTICA BÁSICA FRAÇÕES EXERCÍCIOS DE AULA ) Clcule o vlor de x em: A som e sutrção de frções são efetuds prtir d oteção do míimo múltiplo comum dos deomidores. É difícil respoder de imedito o resultdo
Interpretação Geométrica. Área de um figura plana
Integrl Definid Interpretção Geométric Áre de um figur pln Interpretção Geométric Áre de um figur pln Sej f(x) contínu e não negtiv em um intervlo [,]. Vmos clculr áre d região S. Interpretção Geométric
Integrais de funções complexas
Cpítulo 4 Itegris de fuções complexs 4 Itrodução Um primeir referêci itegris de fuções complexs e lgums ds sus plicções prece um trlho de L Euler presetdo à Acdemi ds Ciêcis de S Petersurgo em 777, emor
2. POTÊNCIAS E RAÍZES
2 2. POTÊNCIAS E RAÍZES 2.. POTÊNCIAS COM EXPOENTES INTEIROS Vios teriorete lgus sectos históricos ds otêcis e dos logritos, e coo lgus rocessos ue levr à costrução dos esos. Pssreos seguir u desevolvieto
Notas de Aula de Cálculo Diferencial e Integral II
Uiversidde Federl de Cmpi Grde Cetro de Ciêcis e Tecoologi Agroetr Nots de Aul de Cálculo Diferecil e Itegrl II Prof. Ms. Hllyso Gustvo G. de M. Lim Pombl - PB Coteúdo Métodos de Itegrção 3. Método ds
AULA 1 - Conjuntos numéricos: propriedades, operações e representações.
AULA - Cojutos uméricos: proprieddes, operções e represetções.. Cojutos: Proprieddes e operções Defiição Símbolo / Notção Exemplo Vzio = Pertiêci Iclusão ou Subcojuto Uião Itersecção (pertece) (ão pertece)
BINÔMIO DE NEWTON E TRIÂNGULO DE PASCAL
BINÔMIO DE NEWTON E TRIÂNGULO DE PASCAL Itrodução Biômio de Newto: O iômio de Newto desevolvido elo célere Isc Newto serve r o cálculo de um úmero iomil do tio ( ) Se for, fic simles é es decorr que ()²
6.1: Séries de potências e a sua convergência
6 SÉRIES DE FUNÇÕES 6: Séries de potêcis e su covergêci Deiição : Um série de potêcis de orm é um série d ( ) ( ) ( ) ( ) () Um série de potêcis de é sempre covergete pr De cto, qudo, otemos série uméric,
EXERCÍCIOS: d) 1.1 = e) = f) = g) 45.45= Potenciação de um número é o produto de fatores iguais a esse número; h)
d). = e).. = f).. = Potecição de um úmero é o produto de ftores iguis esse úmero; ) =. = 9 ) =.. = (OBS.: os úmeros:. são ditos ftores, ou ses) g).= h) 8.8.8= i) 89.89.89 = EXERCÍCIOS: 0. Sedo =, respod:
SISTEMAS DE TEMPO DISCRETO DESCRITO POR EQUAÇÕES A DIFERENÇA
SISTEMAS DE TEMPO DISCRETO DESCRITO POR EQUAÇÕES A DIFEREÇA ( ( x( Coeficiete costte. ( ( x ( Coeficiete vriável (depedete do tempo. Aplicmos x( pr e cosidermos codição iicil ( ( ( M ( ( ( ( x( x( ( x(
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ódulo Note em, leitur destes potmetos ão dispes de modo lgum leitur tet d iliogrfi pricipl d cdeir hm-se à teção pr importâci do trlho pessol relizr pelo luo resolvedo os prolems presetdos iliogrfi, sem
21.2 A notação de somatório: uma abreviação para somas
Cpítulo Itrodução à Itegrl: Cálculo de Áres e Itegris Defiids. Itrodução Os dois coceitos pricipis do cálculo são desevolvidos prtir de idéis geométrics reltivs curvs. A derivd provém d costrução ds tgetes
MTDI I /08 - Integral de nido 55. Integral de nido
MTDI I - 7/8 - Integrl de nido 55 Integrl de nido Sej f um função rel de vriável rel de nid e contínu num intervlo rel I [; b] e tl que f (x) ; 8x [; b]: Se dividirmos [; b] em n intervlos iguis, mplitude
SISTEMAS DE TEMPO DISCRETO DESCRITO POR EQUAÇÕES A DIFERENÇA
SISTEMAS DE TEMPO DISCRETO DESCRITO POR EQUAÇÕES A DIFEREÇA Coeficiete costte. SISTEMAS LIT CARACTERIZADOS POR EQUAÇÕES A DIFEREÇA COM COEFICIETES COSTATES Sistems descritos por equções difereç com coeficiete
CAPÍTULO III SUCESSÕES E SÉRIES DE FUNÇÕES. 1. Convergência ponto a ponto e convergência uniforme
CAPÍTULO III SUCESSÕES E SÉRIES DE FUNÇÕES Covergêci oto oto e covergêci uiforme Cosiderem-se s fuções f 3 tods de A R em R Pr cd A f é um sucessão de termos reis e oderá ou ão eistir lim f Sedo B A um
SOLUÇÕES DE EDO LINEARES DE 2 A ORDEM NA FORMA INFINITA
SOLUÇÕES DE EDO LINEARES DE A ORDEM NA FORMA INFINITA Coforme foi visto é muito simples se obter solução gerl de um EDO lier de ordem coeficietes costtes y by cy em termos ds fuções lgébrics e trscedetes
MÓDULO IV. EP.02) Determine o valor de: a) 5 3 = b) 3 4 = c) ( 4) 2 = d) 4 2 = EP.03) Determine o valor de: a) 2 3 = b) 5 2 = c) ( 3) 4 = d) 3 4 =
MÓDULO IV. Defiição POTENCIACÃO Qudo um úmero é multiplicdo por ele mesmo, dizemos que ele está elevdo o qudrdo, e escrevemos:. Se um úmero é multiplicdo por ele mesmo váris vezes, temos um potêci:.. (
1- SOLUÇÃO DE SISTEMAS LINEARES E INVERSÃO DE MATRIZES
- SOLUÇÃO DE SISTEMAS LINEARES E INVERSÃO DE MATRIZES.- Métodos etos pr solução de sistems lieres Métodos pr solução de sistems de equções lieres são divididos priciplmete em dois grupos: ) Métodos Etos:
6/16/2011. Relações de Girard Relações entre raizes e coeficientes. a x. a 1. Considere-se as raízes i, i=1,2,...n, e P(x) na forma fatorada:
66 Numero de Rizes Reis Teorem de Bolzo Sej = um equção lgébric com coeficietes reis,b. Se b , etão eiste um úmero pr de rízes reis, ou ão eistem
Resumo com exercícios resolvidos do assunto: Aplicações da Integral
www.engenhrifcil.weely.com Resumo com exercícios resolvidos do ssunto: Aplicções d Integrl (I) (II) (III) Áre Volume de sólidos de Revolução Comprimento de Arco (I) Áre Dd um função positiv f(x), áre A
Unidade 2 Progressão Geométrica
Uidde Progressão Geométric Seuêci e defiição de PG Fórmul do termo gerl Fução expoecil e PG Juros compostos e PG Iterpolção geométric Som dos termos de um PG Seuêci e defiição de PG Imgie ue você tem dus
Z = {, 3, 2, 1,0,1,2,3, }
Pricípios Aritméticos O cojuto dos úmeros Iteiros (Z) Em Z estão defiids operções + e. tis que Z = {, 3,, 1,0,1,,3, } A) + y = y + (propriedde comuttiv d dição) B) ( + y) + z = + (y + z) (propriedde ssocitiv
INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL
98 INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL Iterpolr um ução () cosiste em proimr ess ução por outr ução g() escolid etre um clsse de uções deiid priori e que stisç lgums proprieddes A ução g() é etão usd em substituição
Solução Comentada Prova de Matemática
0 questões. Sejam a, b e c os três meores úmeros iteiros positivos, tais que 5a = 75b = 00c. Assiale com V (verdadeiro) ou F (falso) as opções abaixo. ( ) A soma a b c é igual a 9 ( ) A soma a b c é igual
A Integral Definida. e discutimos detalhadamente as suas propriedades básicas. 7 CEDERJ
Módulo A Itegrl Defiid O pricipl objetivo deste módulo é o estudo d itegrl defiid de fuções reis defiids em itervlos fechdos e itdos, com êfse o cso em que s fuções cosiderds são cotíus. O resultdo cetrl
Elementos de Análise - Lista 6 - Solução
Elementos de Análise - List 6 - Solução 1. Pr cd f bixo considere F (x) = x f(t) dt. Pr quis vlores de x temos F (x) = f(x)? () f(x) = se x 1, f(x) = 1 se x > 1; F (x) = se x 1, F (x) = x 1 se x > 1. Portnto
No que segue, apresentamos uma definição formal para a exponenciação. Se a 0, por definição coloca-se a a a, a a a a e assim por diante. Ou.
MAT Cálculo Diferecil e Itegrl I RESUMO DA AULA TEÓRICA 3 Livro do Stewrt: Seções.5 e.6. FUNÇÃO EXPONENCIAL: DEFINIÇÃO No ue segue, presetos u defiição forl pr epoecição uisuer R e., pr 2 3 Se, por defiição
UNIDADE 12 FUNÇÕES POLINOMIAIS
REVISÃO DA TEORIA MA UNIDADE 2 FUNÇÕES POLINOMIAIS Fuções Polioiis vs Poliôios Diz-se que p: IRIR é u fução polioil qudo eiste úeros 0,,..., tis que, pr todo R, te-se p() = + +... + + 0 Se 0, dizeos que
Revisão para o Vestibular do Instituto Militar de Engenharia www.rumoaoita.com & Sistema Elite de Ensino
Revisão pr o Vestibulr do Istituto Militr de Egehri wwwrumooitcom Sistem Elite de Esio CÔNICAS (IME-8/8) Determie equção de um círculo que tgeci hipérbole potos em que est hipérbole é ecotrd pel ret os