FACULDADE DE ADMINISTRAÇÃO E NEGÓCIOS DE SERGIPE ASSUNTO: SOMAÇÃO E ÁRAS E INTEGRAIS DEFINIDAS. INTEGRAIS DEFINIDAS

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1 FACULDADE DE ADMINISTRAÇÃO E NEGÓCIOS DE SERGIPE CURSO: ENGENHARIA DE PRODUÇÃO ASSUNTO: SOMAÇÃO E ÁRAS E INTEGRAIS DEFINIDAS. PROFESSOR: MARCOS AGUIAR CÁLCULO II INTEGRAIS DEFINIDAS. NOTAÇÃO DE SOMAÇÃO E ÁREA Qudo estudmos itegrl defiid utilizmos soms de muitos úmeros. Pr expressr tis soms de meir compct, usmos otção de somção. Notção de somção: Ode é o domíio e é imgem Exemplo: Clcule som j Teorem. c c j Teorem. Se é um iteiro positivo ritrário e,,, cojutos de úmeros reis, etão i e,,, são ii c c pr todo rel c. iii Teorem. i.

2 ii. iii. 6. Cálculo de áres de um região R em um plo coordedo. Se é um iteiro positivo ritrário, dividmos o itervlo, em suitervlos, todos do mesmo comprimeto x. Podemos oter isto escolhedo úmeros x0, x,, x, com x0, x e x x x, pr =,,..., coforme idicdo figur ixo. Note que 0, x x, x x, x x,..., x x,..., x x Fote: Swoowsi, 99, p. Logo, áre PI polígoo regulr iscrito A f u x f u x f u x PI PI A é som ds áres dos retâgulos, isto é,, usdo otção de somção, podemos escrever., ode f u é o vlor míimo de f em x, x A f u x Se é muito grde e x muito pequeo etão som ds áres dos retâgulos deve se proximr se d áre d região R. Dí podemos ituitivmete escrever. A lim A lim f u x PI x 0 x 0 e difereç utilizção d áre do polígoo regulr iscrito pr proximr A. A f u x é o erro decorrete d

3 Defiição. Sej f cotíu e ão-egtiv em vlor míimo de f em x, x. A otção lim 0 existe um 0 tl que se 0 x,,. Sejm A um úmero rel e f u o sigific que pr todo x 0 A f u x etão, A f u x Pode-se oter áre A tmém por meio de retâgulos circuscritos como do tipo d figur ixo. Fote: Swoowsi, 99, p. PC. A PC é áre de um polígoo retgulr circuscrito, ode A f v x vlor máximo em x Exemplo. Sejm, x. Note que f ux A f vx. f x 6 x, e R região so o gráfico de f de 0. Oteh um proximção d áre de R, utilizdo. () um polígoo regulr iscrito com x () um polígoo regulr circuscrito com Solução: (). A f u x PI x f v é o Fote: Swoowsi, 99, p.

4 5 API f. f. f. f. f. f API API 6,65 8 () PC A f v x Fote: Swoowsi, 99, p. 5 APC f 0. f f. f. f. f APC APC,5 8 f x Se 6 x, determie áre d região so o gráfico de f de 0 Fote: Swoowsi, 99, p. Solução: Dividido-se o itervlo 0, em suitervlos iguis, o comprimeto de cd suitervlo é, logo x.

5 x x x 9 f u f f u x f u x f u x 8 9 f u x = f u lim lim 8 x0 x0 Assim, áre d região é 9 Exercícios. I. Clcule som. j j 5 9 lim x 8 9 x 0... II. Expresse som em termos de III. Determie áre so o gráfico d fução dd f de 0 usdo retâgulos iscritos e circuscritos. f x 9 x 0. f x x x 9.. A INTEGRAL DEFINIDA No estudo terior restrigimos e x 5 0 x x 0 f pr clculr o lim f w. A fução f é cotíu o itervlo,.. f x é ão egtiv pr todo x em,.. Todos os suitervlos x, x. O úmero w é escolhido de modo que de f em x, x. - têm o mesmo comprimeto x. como segue: f w sej sempre o míimo ( ou o máximo ) Há muits plicções que evolvem este tipo de limite, em que em tods s codições cim são stisfeits. Assim é coveiete itroduzir s seguites modificções:,. 5. A fução f pode ser descotíu em lgus potos de 6. f x pode ser egtiv pr lgum x em,. 7. Os comprimetos dos suitervlos x, x w pode ser qulquer úmero em x, x. 8. O úmero podem ser diferetes. - 5

6 Itroduziremos um termiologi e otção ovs. Um prtição P de um itervlo, é qulquer decomposição de, em su itervlos d form. x, x, x, x, x, x,, x, x 0 pr um úmero iteiro e úmeros x x x x x 0 mo suitervlo será deotdo por x x tis que O comprimeto ; isto é, x x x A figur ixo ilustr um prtição de,. O mior dos úmeros x, x,, x é orm d prtição P e se deot por P. Fote: Swoowsi, 99, p. 0 Exemplo: Os úmeros ;,7;,;,;,;,5;5;6 determim um prtição P do itervlo,6. Determie os comprimetos x, x,, x dos suitervlos em P e orm d prtição. Solução: x x x x x x0 x,7 0,7 x 0,5 x, ; x 0,8; x5 0, ; x6 0,5 ; x7,0 P x, Defiição. Sej f defiid em um itervlo fechdo,, e sej P um prtição de,. Um SOMA DE RIEMANN de f ( ou f R f w x, ode w está em x, x e,,,, p - Com est defiição de f w x x. Se costruirmos um retâgulo de comprimeto x ) pr P é qulquer expressão R d form., ão é ecessário um máximo ou um míimo de f em f w e lrgur x, coforme ilustrdo figur (i), o retâgulo pode ão ser em iscrito em circuscrito. Alem disso, como f x pode ser egtiv tmém ou podem ser certos termos d som de Riem R p. Coseqüetemete, R p em sempre represet um som de áres de retâgulos. Fote: Swoowsi, 99, p. 6

7 Fote: Swoowsi, 99, p. Figur (i) Figur (ii) N figur (ii) som de Riem dmite seguite iterpretção geométric. Pr cd suitervlo x x w, f w,,, costrumos um segmeto horizotl pelo poto otedo ssim um coleção de retâgulos. Se f w é positiv, o retâgulo está cim do eixo x, e produto f w xé áre deste retâgulo. Se ixo do eixo x, e produto f w x é áre deste retâgulo. p f w é egtiv, o retâgulo está R é som ds áres dos retâgulos que estão cim e ixo do eixo x. Exemplo. Sejm f x 8 x e P prtição de 0,6 os cico suitervlos determidos por x0 0, x,5, x,5, x,5, x 5, x5 6. Determie orm d prtição e som de Riem R se w, w, w,5, w 5, w5 5,5 Solução. A figur ixo esoç o gráfico de f p x,5, x, x, x 0,5, x 5 A orm P d prtição é x 5 R f w x p Fote: Swoowsi, 99, p. p,5,5 50,5 5,5 R f w x f w x f w x f w x f w x Fote: Swoowsi, 99, p. 0 p 5 5 R f f f f f 7

8 p 7,5,5 6,875,50,5 7,5 R R,65 p Nem sempre especificremos o úmero de suitervlos em um prtição P de,. A som de Riem escreverá f w R f w x, e dmitiremos que os termos d form p x devem ser somdos sore todos os suitervlos x x, prtição P. A prtir dí, defiimos. lim f w x L pr um úmero rel L. P 0 Defiição. Sejm f defiid em um itervlo fechdo, e L um úmero rel. A lim f w x L sigific que, pr todo 0, existe um 0 tl que se P firmção P 0 é um prtição de, com P, etão f w x L pr qulquer escolh do úmeros O úmero L é um limite de soms ( de Riem ) Defiimos seguir itegrl defiid como o limite de um som, ode mesmos sigificdos d defiição cim. w os suitervlos x, x de P. w e x tem o Defiição. Sej f defiid em um itervlo fechdo,. A itegrl defiid de f, de, deotd por f x dx, é lim f x dx f w x desde que o limite exist. p 0 Exemplo. Expresse o limite de soms como um itegrl defiid o itervlo,8 : w w se w x. lim (5 P 0 Solução. f x 5x x se x 8 logo o limite pode ser expresso como itegrl defiid. 5x x se x dx d c Defiição. (i) Se, etão c d f x dx f x dx c d 8

9 f existe, etão f x dx 0 (ii) Se Teorem. Se f é itegrável e f x 0 pr todo x em, gráfico de f de e é A f xdx 0, etão áre A d região so o Se um prtição regulr de, cotém suitervlos etão x logo P 0 e equivlete x 0 ou e itegrl defiid tom form. lim f x dx f w x 0 Teorem. Se f é itegrável e f x 0, pr todo x em, o gráfico de f de e é. A f x dx etão áre A d região so Exemplo. Clcule x dx x dx 5.6 = Fote: Swoowsi, 99, p. 6 Clculr. 6 x dx f x 6 x etão o gráfico de f é o Solução. Se semicírculo d figur o ldo, logo 6 x dx = 8 Fote: Swoowsi, 99, p. 7 9

10 Exercícios. Expresse cd limite como um itegrl defiid o itervlo ddo,. lim w w 5 x -,. lim w x, Px Dd. 0 xdx xdx., Clcule itegrl sds Px 0 Expresse áre d região figur como um itegrl defiid Fote: Swoowsi, 99, p. 50 Clcule itegrl defiid ecrdo- como áre so o gráfico de um fução. x dx. 6 7 x dx. x dx. 0 x dx. PROPRIEDADES DA INTEGRAL DEFINIDA (i) Se c é um costte rel, etão. Fote: Swoowsi, 99, p. 5 0

11 Exemplo: Clcul Solução. 7dx 7 dx (ii) Se f é itegrável em, e c é um úmero rel ritrário, etão cf é itegrável em, e cf x dx c f x dx Se f e g itegráveis em,, etão são itegráveis em, f g e f g e (iii) f x g x dx f x dx g x dx (iv) f x g x dx f x dx g x dx Fote: Swoowsi, 99, p. 5 e se f é itegrável tto em, Se c, e c (v) f x dx f x dx f x dx c 5. TEOREMA DO VALOR MÉDIO. c como em c,, etão f é itegrável em Se f é cotíu em um itervlo fechdo,, etão existe um úmero z o itervlo erto, tl que. f x dx f z O úmero z ão é ecessrimete úico; o que o teorem grte, etretto, é que existe o meos um úmero que dá o resultdo desejdo.

12 O Teorem do Vlor Médio dmite um iterpretção geométric iteresste, se f x 0 em,. Nesse cso, f x dx é áre so o gráfico de f de. Se trçrmos um ret horizotl pelo poto P z, f z, coforme figur ixo, etão áre d região retgulr delimitd por est ret, o eixo - x e s rets x e x é f z ; tl áre, de cordo com o Teorem do Vlor Médio, é mesm áre so o gráfico de f de. Fote: Swoowsi, 99, p. 57 Exemplo.Ache um úmero z que verifique coclusão do teorem do vlor médio. Ache o vlor médio de f em,. x dx 7 0 Solução: x dx f z f z 7 f z z f z 9 9 z z f 9

13 6. TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO Supoh que f é cotíu em um itervlo fechdo,. Se F é tiderivd de f em, Se f é cotíu em, (i) Se f é um fução pr, (ii) 0, etão f x dx f x dx Se f é um fução ímpr, 0 f x dx F F f x dx Sej f é cotíu em um itervlo fechdo,. Se c, x c x D f t dt f x Exemplo: Se Gx x dt e 0 t x Solução: G ' x Dx dt t x 7. ÁREAS x, clcule G' x Se um fução f é cotíu e f x 0 em, etão, pr todo x em,, etão, áre so o gráfico de, f de é dd pel itegrl defiid f x dx. Nest seção, cosiderremos região que está etre os gráficos de dus fuções. Se f e g são cotíus e f x g x 0 pr todo x em,, etão áre d região R limitd pelos gráficos de f, g, x e x ver figur. pode ser clculd sutrido se áre d região so o gráfico de g d áre d região so o gráfico de f, como segue. A f x dx g x dx f x g x dx figur. Fote: Swoowsi, 99, p. 88 Est fórmul tmém é válid se pr lgum x em, f ou g é egtivo. Pr verificr escolhemos um úmero egtivo d iferior o vlor míimo de g em,, como vemos figur. Em seguid, cosideremos s fuções f e g, defiids como segue: f x f x d f x d g x g x d g x d

14 figur. figur. Fote: Swoowsi, 99, p. 88 Os gráficos de f e g, podem ser otidos deslocdo-se verticlmete os gráficos de f e g de um distâci d. Se A é áre d região figur. etão A f x g x dx A f x d g x d dx A f x g x dx Teorem: Se f e g são cotíus e f x g x pelos gráficos de f, g, x e x é A f x g x dx pr todo x em, 8. Diretrizes pr chr áre de um região R x, etão áre A delimitd. Esoçr região, desigdo por y f x froteir superior, e por y g x froteir iferior. Achr o meor vlor x região e o vlor x. Esoçr um retâgulo verticl e desigr por dx su lrgur.. Expressr áre do retâgulo d diretriz como dos potos, f x g x dx xy. Aplicr o operdor limite de soms Exemplo. à expressão diretriz e clcule itegrl. Esteleç um itegrl que poss ser usd pr determir áre d região somred.

15 ) Fote: Swoowsi, 99, p. 98 x x dx 6 x x dx Fote: Swoowsi, 99, p. 98 y y dy Fote: Swoowsi, 99, p. 98 Fote: Swoowsi, 99, p / y y dy 5

16 Clcule:. Clcule áre d região limitd pels rets x 0, x, y e pelo gráfico de y x. Clcule áre d região limitd pels rets x, x, pelo eixo 0x e pelo gráfico de y x. Clcule áre d região limitd pels rets x, x, y 0 e pelo gráfico de y x REFERENCIA BIBLIOGRAFICA: SWOKOWSKI, Erl W. Cálculo com Geometri Alític. v..são Pulo: Mro Boos do Brsil, 99. ANTON HOWARD. Cálculo um ovo horizote volume I 6ª ed.- Porto Alegre Boom 000 6

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