M M N. Logo: MN = DC = DP + PC DC = AB + AB DC = 2 AB S ABCD = (AB + DC). = (AB + 2 AB). = 3 AB S M N CD = Assim temos que: M'N'CD h

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2 QUESTÃO Sejm i, r + si e + (r s) + (r + s)i ( > ) termos de um seqüêci. etermie, em fução de, os vlores de r e s que torm est seqüêci um progressão ritmétic, sbedo que r e s são úmeros reis e i. Sbemos que i, r + si e + (r -s) + (r + s)i Se seqüêci é um PA, temos, fedo q rão d PA: q + (r s) + (r + s)i r si s +ri Pel fórmul do termo gerl: + ( ) q r + si ( i) + ( ).(-s + ri) [ s(-) + i[r( ) ] ois úmeros compleos são iguis se e somete se prte rel e prte imgiári dos dois são iguis. Assim, pode-se motr o seguite sistem: r s( ) s r( ) Substituido primeir equção segud, temos s [ s( )]( ) ( ) s( ) s+ s ( ) s[ + ( ) ] Assim, s + ( ) ( )( ) + ( ) ( + ) r s( ) + ( ) + ( ) ( ) + ( ) Assim, r + ( ) Logo s e r + ( ) + ( ) QUESTÃO osidere o poliômio 5 p ( ) Sbedo que o produto de dus de sus ríes comples é igul i e que s prtes reis e imgiáris de tods s sus ríes comples são iteirs e ão-uls, clcule tods s ríes do poliômio. O poliômio p é de gru ímpr, ssim, dmite pelo meos ri rel r. omo os seus coeficietes são reis, sbemos que se p dmite um úmero compleo como ri, etão tmbém dmite seu cojugdo. Assim, podemos firmr (de cordo com o eucido) que, lém de r, s outrs ríes são +bi, -bi, c+di e c-di, com, b, c e d iteiros ãoulos. Sejm +bi e c+di. Sbemos que o produto de dus ríes comples de p é igul -i; ssim, esss ríes ão podem ser cojugds, pois do cotrário esse úmero seri rel. Logo, podemos firmr que. -i. Assim, temos (relções de Girrd): P r.... r.(. ).(. ) r( i )( + i). r. Assim, temos r -. Aplicdo o dispositivo de Briot-uffii, podemos ftorr p em (+)( ). Novmete, plicdo Girrd o poliômio de gru, temos: P ' (. ).(. ) ( + b )( c + d ) omo, b, c e d são iteiros ão-ulos, etão > e >. Além disso, e tmbém são iteiros e é divisível por e, o e 5. (9) 5- O ELITE ESOLVE MATEMÁTIA - IME 6 osidere gor som ds ríes e som ds ríes multiplicds : 6 S (I) 8 S (II) ( + ) + 5( + ) 8 A som de qulquer compleo com o seu cojugdo é igul o dobro de su prte rel, ssim, podemos motr o seguite sistem: +. (III) +. c + c 6 Substituido (III) em (I) e (II), vem + c 8 esolvedo esse sistem, ecotrmos e c. Substituido fórmul dos módulos, temos: 5 c + b + d b ± d ± Assim, temos (+i), (-i), (+i) e (-i) como soluções comples de p(). QUESTÃO Um trpéio, de bse meor e bse mior, possui bse médi MN. Os potos M' e N' dividem bse médi em três segmetos iguis, ordem MM'N'N. Ao se trçr s rets AM' e BN', verificou-se que s mesms se ecotrrm sobre o ldo o poto P. lcule áre do trpéio M'N' em fução d áre de. A B M M N P omo M N é bse médi do Δ Logo: MN Temos que MM M N M N N M omo MM é bse médi do Δ AP. Logo: P NN. P + P + N Áre do trpéio h h h S ( + ). ( + ).. Áre do trpéio M N (M'N' + ) h h 5 S M N +. h 8 Assim temos que: S h S 5 S h 8 M'N' h SM'N' 5 h 8 S 5 S M N S S 5 M'N'

3 QUESTÃO Sej det(a ), ode A etermie em fução de (, ). Pr, temos A [] e det(a ). Pr, temos A det( ) A. Pr, temos A det( A ). Not-se, portto, que, pr, e vle Lei: det(a ) +. osiderdo o pricípio d idução fiit, supoh que tese é válid té k ( +,,,..., k). Assim, pr k+, temos: A k + k + Utilido o teorem de Lplce pr o cálculo de k+, plicdo primeir lih, vem: k + ( ). O primeiro determite cim é igul k. O segudo pode ser determido por Lplce, utilido primeir colu: Assim, temos: ( ).. k + ( ). k ( ). ( k + ) k k + k + k Logo, temos k+ (k+)+, o que cofirm oss tese de idução. Assim, temos +. QUESTÃO 5 etermie os vlores de,, e r que stisfem o sistem ode r r+ r+ + + p m represet combição de m elemetos tomdos p p e c B represet o ritmo de B bse c. o sistem, temos: r + r r + r + + r (9) 5- O ELITE ESOLVE MATEMÁTIA - IME 6 r + r + ( r + )! Notr que r r!! Usdo s equções (II) e (III): Substituido em (II), temos: ( Aplicdo mudç de bse, temos: + ) ( ) O vlor - ão stisf equção (I), ssim, temos. Logo: 6 Pel equção (I): r + r osiderdo o triâgulo de Pscl, podemos otr que o úmero prece pes em e Assim r e r e O vlor ão é coveiete, um ve que é bse de um ritmo. Assim, temos 8, e 6. QUESTÃO 6 Os âgulos de um triâgulo estão em progressão ritmétic e um deles é solução d equção trigoométric ( se + cos )( se se cos + cos ) etermie os vlores destes âgulos (em rdios). Elevdo mbos os membros o qudrdo, temos: (se + secos + cos se ) se ( + se). Fedo se, vem: ( + ) ( + ) ( ) ou (ão covém). se kπ, k Z kπ, k Z π omo pertece um triâgulo, etão < < π, o. Sejm, e os outros dois âgulos do triâgulo, etão + + π. Fedo: + r e + r, ode r é rão d PA, vem: + ( + r) + ( + r) π π π + r π r 6 π π π Portto, os âgulos são: ; ; 6

4 QUESTÃO 7 osidere os potos A(,) e B(,) e sej um circuferêci de rio tgete o eio ds bscisss origem. A ret r é tgete e cotém o poto A e ret r tmbém é tgete e cotém o poto B. Sbedo que origem ão pertece às rets r e r, determie equção do lugr geométrico descrito pelo poto de iterseção de r e r o se vrir o itervlo (, ). A ret r é tgete e pss por (-;), equto r é tgete e pss por (;). Assim, podemos escrever, prtir de ( r) : m( + ) m + m ( r ) : ( ) ode m e são, respectivmete, os coeficietes gulres de r e r. omo é tgete o eio ds bscisss origem, etão seu cetro é (; ±). Assim, podemos clculr como distâci etre o cetro de e cd um ds rets. Logo: m (distâci etre o cetro e r ) m + (distâci etre o cetro e r ) + Assim: m m + m ( ) ± m ± ( ) + omo s rets ão pssm pel origem, temos m e, o: ± m e. í, segue que, pr e, s equções de r e r ficm: ± ( r) : ( + ) (I) ( r ) : ( ) í segue que, itersecção: ± ( + ) ( ) esolvedo, temos e (II) Fedo /, temos: (III).. Substituido (III) em (II) vem: í, temos 6 6. ompletdo qudrdos, ecotrmos, que é um hipérbole, pr todo >, e. omo >, temos que qudo tede o vlor de é máimo e tede -. Assim, deve-se cosiderr pes um rmo d hipérbole, com <. Pr, temos r : - e r dd por (I). Logo, substituido em ± ± ( r ) : ± Substituido equção d hipérbole, temos que este poto tmbém está icluído solução. Pr, temos r : e r dd por (I). Logo, substituido em (9) 5- O ELITE ESOLVE MATEMÁTIA - IME 6 ± ( r ) : ( + ) Substituido equção d hipérbole, temos que este poto tmbém está icluído solução, ms ão o rmo cosiderdo. Portto, o lugr geométrico dos potos pedidos é: S (, ) e <, QUESTÃO 8 osidere um tetredro regulr de rests de comprimeto e um esfer de rio tgete tods s rests do tetredro. Em fução de, clcule: ) o volume totl d esfer; b) o volume d prte d esfer situd o iterior do tetredro. ) omo esfer é tgete às rests, sej d distâci etre o cetro do tetredro e o poto de tgêci, d. O cetro do tetrdro A distâci do cetro do tetredro té fce é igul h/. Assim podese formr o seguite triâgulo. Por semelhç, temos Logo V e π π b) Sbedo que o volume iterior d esfer é V i V e V, ode V é o volume d clot esféric, e que h V ' π h, temos 6 6 h h 6 h V' π h. 6 V ' π. 6 6

5 9 + 6 V ' π V' π. 6 π. V ' ( ) π. V ' ( 9 6) π V ' ( 9 ) Vi V V ' π (9 ) Vi π. π (9 ) Vi 9 π Vi 8 π 8 9 Vi Vi π 6 QUESTÃO 9 etermie o cojuto solução S{(, ) ^ N} d equção ( + )K sbedo que k é um úmero primo. K + K - K - K + K K ( - K) - K ( - K) K ( - K) ( - K) K omo K é primo, K só dmite, -, K, -K, K, -K como divisores iteiros. Assim: ª) - K - K k K K + K k K K + K K K + ª) k K K K K K K k + K K K + K ª) K K K K K K K K K K QUESTÃO Sejm s soms S e S defiids por (9) 5- O ELITE ESOLVE MATEMÁTIA - IME 6 S S [ /] 7 [( )/]... lcule os vlores de S e S em fução de, sbedo que [r] represet o mior iteiro meor ou igul o úmero r. Sugestão: utilie o desevolvimeto em biômio de Newto de + cis π 5 Vmos defiir S Assim, temos que S +S +S. esevolvedo o biômio, temos: π π + cis +. cis +. cis cis Porém: 6π π cis cis cis... π 8π cis cis cis... π 6π cis cis cis... Assim, temos: π π π + cis S + S. cis + S. cis cis Logo, temos o seguite sistem: S + S + S π π S + S cos + S cos cos π π S + se S se se eescrevedo o sistem, temos: S + S + S ( I) S π S cos ( II) S S π se ( III) π π e (III) temos: S S - se (IV) S S π Fedo (I) - (II) + cos (V) Substituido (IV) em (V) temos: S + S π se S - π se π cos S π cos se + π π π S cos + se Substituido o resultdo em (IV) temos: π π S cos se Substituido mbos em (I) temos: π S + cos