Porém, como. Como f. π π cos + isen

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2 (9) - wwwelitecmpiscomr O ELITE RESOLVE IT 9 - MTEMÁTI NOTÇÕES { } : cojuto de úmeros reis : cojuto de úmeros compleos [ ] { ; } ( + ) ] + { ; < < + } \ B { ; B} : complemetr do cojuto i : uidde imgiári i z : módulo do úmero z Re z : prte rel do úmero z Ι m z : prte imgiári do úmero z Mm ( ): cojuto ds mtrizes reis m t: trspost d mtriz det : determite d mtriz P( ): cojuto de todos os sucojutos do cojuto ( ): úmero de elemetos do cojuto fiito B : segmeto de ret uido os potos e B tr : som dos elemetos d digol pricipl d mtriz qudrd Oservção: Os sistems de coordeds cosiderdos são crtesios retgulres QUESTÃO Sejm e B sucojutos do cojuto uiverso U {cdefgh} Sedo que ( B ) {fgh} B {} e \ B {de} etão P ( ( B)) é igul ) ) c) d) 4 e) 8 ltertiv Usdo s leis de De Morg: ( B) B e ( B) B temos que: ( B ) (B ) B {fgh} om isso e usdo s igulddes do eucido podemos motr o seguite digrm de Euler-Ve: Portto B { c} ( B) Dess form o cojuto ds prtes P( B) {{ c} } O que implic que P ( ( B) ) QUESTÃO Um empres possui crros sedo um prte com motor gsoli e o restte com motor fle (que fucio com álcool e gsoli) Num determid époc este cojuto de crros 6% dos crros com motor gsoli e 6% dos crros com motor fle sofrem coversão pr tmém fucior com gás GNV Sedo-se que pós est coversão 6 dos crros dest empres são icomustiveis pode-se firmr que o úmero de crros tricomustíveis é igul ) 46 ) c) 6 d) 68 e) 84 ltertiv B Deomido: G : úmero de crros origilmete com motor gsoli F : úmero de crros origilmete com motor fle omo 6% dos crros com motor gsoli pssrm fucior com gás GNV temos: 6 G são os crros gsoli e GNV (icomustíveis) 64 G são os crros que cotiurm pes gsoli omo 6% dos crros com motor fle pssrm fucior tmém com gás GNV temos: 6 F são os crros álcool gsoli e GNV (tricomustíveis) 64 F são os crros que cotiurm fucior pes álcool e gsoli (icomustíveis) Sedo que 6 crros são icomustíveis e que o totl temos crros podemos formr o seguite sistem: 6 G+ 64 F 6 6 G+ 64 F 6 8 F 96 G+ F 6 G+ 6 F 6 Portto F 7 e G Dest form o úmero de crros tricomustíveis (álcool gsoli e GNV) é 6 F 6 7 QUESTÃO Sej f : \ {} um fução stisfzedo às codições: f( + ) f( ) f( ) pr todo e f( ) pr todo \ {} Ds firmções: I f pode ser ímpr II f () III f é ijetiv IV f ão é sorejetiv pois f( ) > pr todo é (são) fls(s) pes ) I e III ) II e III c) I e IV d) IV e) I ltertiv E I Fls Se fução f fosse ímpr terímos: f( ) f( ) pr Em prticulr pr vem que: f( ) f() f() f() Porém sedo o cotrdomíio de f o cojuto \ {} ehum imgem pode ser ul Em prticulr f () II Verddeir Fzedo idetidde f( + ) f( ) f( ) temos f( + ) f() f() ( f() ) f() f() ou f() omo f () temos ecessrimete f () III Verddeir Sejm tis que f ( ) f ( ) Etão temos: f( ) f( + ( )) f( ) f( ) f( ) f( ) f( ) omo f ( ) segue que f ( ) f( ) \ {} Porém como isto é como somete o tem f () imgem igul vem que ssim f ( ) f ( ) isto é f é ijetor IV Verddeir Fzedo f( ) f + f f f omo f temos f( ) lém disso como s imges ão podem ser uls já que o cotrdomíio é o cojuto \{} segue que f( ) > fzedo com que fução ão sej sorejetor QUESTÃO 4 Se cos e se etão o úmero compleo 4 cos + ise é igul ) + i ) + i c) ( ) + ( + ) i d) i e) ( 4 ) + ( ) i

3 (9) - wwwelitecmpiscomr O ELITE RESOLVE IT 9 - MTEMÁTI ltertiv B plicdo formul de Moivre pr potecição de úmeros compleos temos: cos + i se cos + i se cos + i se omo os rcos 4 e são suplemetres segue que: 4 cos cos 4 se se QUESTÃO 7 Supoh que os coeficietes reis e d equção são tis que equção dmite solução ão rel r com r Ds seguites firmções: I equção dmite qutro rízes distits sedo tods ão reis II s rízes podem ser dupls III Ds qutro rízes dus podem ser reis é (são) verddeir (s) ) pes I ) pes II c) pes III d) pes II e III e) ehum ltertiv lisdo os coeficietes d equção temos que tl equção é um equção recíproc de gru 4 Tl equção por ser recíproc dmite α 4 e α como rízes (α ) Do eucido temos que r ão rel é riz ssim podemos firmr que: ) Se r ão rel é riz etão r o cojugdo de r tmém é riz (teorem ds rízes comples); ) Se r é riz r tmém é riz pois equção é recíproc ssim: cos + i se cos i se i + + QUESTÃO O poliômio de gru 4 (++c) 4 +(++c) -(-) +(-+c)+(+c) om c é um fução pr Etão som dos módulos de sus rízes é igul ) + ) + c) + d) + e) + ltertiv E osidere o poliômio p() (++c) 4 +(++c) -(-) +(-+c)+(+c) Sedo o poliômio um fução pr temos p() p(-) pr qulquer vlor de de modo que os coeficietes de seus moômios de gru ímpr devem ser ulos ou sej: + + c + c Esse sistem é possível idetermido de modo que podemos utilizálo pr reescrever os outros coeficietes do poliômio como fução de ou c: c ( c) ( ) + ( + c) (+ + c) + + ( + c) ( + + c ) ( ) Sustituido esses vlores o poliômio ecotrmos 4 p() Pelo eucido esse poliômio tem gru 4 de modo que ssim: 4 4 p() ( ) Fzedo temos ou Desse modo temos ± ou ± i Somdo os módulos ds rízes temos i + i QUESTÃO 6 osidere s fuções f () e g () + multiplicidde ds rízes ão reis d fução compost f o g é igul ) ) c) d) 4 e) ltertiv Ftordo f() temos: f() ( )( + )+( ) ( )( + + ) ( )( + )( + ) ( )( + ) ssim fog()f(g())( )( + ) Logo s rízes de fog() são s rízes de: ( )( + ) Sedo s rízes de ( ) de multiplicidde e s rízes de ( + ) de multiplicidde Ms: ou (rízes reis) + ±i (rízes ão reis) Portto multiplicidde ds rízes ão reis é omo r e r é ão rel cosidere rρ(cosθ +iseθ) com ρ r Usdo potecição de úmeros compleos temos que: ( cos ( θ ) + ise ( θ )) r ρ Supodo r terímos ρ ρ ρ Por hipótese r ρ como r temos que ρ e com isso cocluímos que: r r Logo s rízes d equção são: r r r e r que são s 4 rízes ão reis d equção ssim equção dmite qutro rízes distits sedo tods ão reis Logo podemos cocluir que: I Verddeir II Fls pois s rízes possuem multiplicidde um vez que o poliômio tem gru 4 e são 4 rízes distits III Fls pois coforme visto s 4 rízes são ão reis QUESTÃO 8 Se s soluções d equção lgéric com coeficietes formm um determid ordem um progressão geométric etão é igul ) - ) c) d) e) ltertiv B Se s três rízes d equção dd estão em progressão geométric de rzão q vmos deotá-ls por λ λ q e λ q Pels relções de Girrd o produto desss rízes é ddo por: 4 λ ( λ q) ( λ q ) ( λ q) 7 λ q Isto é um ds rízes d equção é ssim: ( ) ( ) + ( ) + 4 QUESTÃO 9 Ddos M ( ) e M ( ) dizemos que X M ( ) é melhor proimção qudrátic do sistem X qudo t ( X ) ( X ) ssume o meor vlor possível Etão ddo o sistem su melhor proimção qudrátic é ) ) c) d) e)

4 (9) - wwwelitecmpiscomr O ELITE RESOLVE IT 9 - MTEMÁTI ltertiv E O sistem ddo represet X pr X e ssim temos que X om isso cocluímos que: t X ( X ) X X t Logo: ( ) ( ) ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + Fic qui um resslv: coceitulmete um úmero rel λ e um mtriz λ cuj úic etrd é esse úmero λ são ojetos mtemáticos distitos questão pede etrção d riz qudrd d mtriz idicd o que foge totlmete do coteúdo orddo o Esio Médio Etededo que o eucido se refere à riz qudrd d úic etrd dess mtriz que é epressão + ( ) + podemos prosseguir com resolução d questão Tl epressão ssume vlor míimo qudo e ( ) ssumem seus vlores míimos que o cso é pr ms pois sedo qudrdos de úmeros reis ão podem ser egtivos ssim tl epressão ssume vlor míimo pr e de modo que melhor proimção qudrátic do sistem é mtriz: X QUESTÃO O sistem + c c c + c om ( c c) () c + c c + c é ) determido ) determido somete qudo c e c c) determido somete qudo c e c ou c e c d) impossível e) idetermido ltertiv D Multiplicdo primeir equção do sistem por c e segud equção por c temos: c + c c c + c c Somdo ms s equções memro memro temos: ( c + c) + ( c + c) c + c Equção est que por ser um comição lier ds demis tmém deve ser stisfeit pr s soluções do prolem Ms de cordo com o eucido temos: c + c c + c Isso os lev + c + c c + c omo c c terímos c c o que é impossível de cordo com codição ( c c) () QUESTÃO Sej M ( ) um mtriz simétric e ão ul cujos elemetos são tis que e formm est ordem um progressão geométric de rzão q e tr Sedo-se que o sistem X X dmite solução ão ul X M ( ) pode-se firmr que + q é igul ) ) c) d) 49 9 e) 4 ltertiv omo mtriz M ( ) é simétric e os elemetos e formm um progressão geométric de rzão q temos que ess mtriz pode ser escrit d seguite meir: q q q Pelo eucido temos tr () de modo que + q omo (mtriz ão ul) segue que + q q 4 Resolvedo o sistem X X temos X X resultdo o sistem mtricil homogêeo ( I)X ode I represet mtriz idetidde ssim: q ( I)X q q omo esse sistem dmite solução ão ul segue que ele é possível idetermido implicdo em: q q q Dest form: ( ) ( q ) q + q Fzedo q 4 temos de modo que + q + 4 QUESTÃO Um mostr de estrgeiros em que 8% são proficietes em iglês relizou um eme pr clssificr su proficiêci est lígu Dos estrgeiros que são proficietes em iglês 7% form clssificdos como proficietes Etre os ão proficietes em iglês 7% form clssificdos como proficietes Um estrgeiro dest mostr escolhido o cso foi clssificdo como proficiete em iglês proilidde deste estrgeiro ser efetivmete proficiete est lígu é de proimdmete ) 7% ) 7% c) 68% d) 6% e) 64% ltertiv B Pelo eucido temos que 8% dos estrgeiros são proficietes em iglês de modo que 8% são ão proficietes ssim: ) Proficietes clssificdos como proficietes: 7% 8% % ) Não proficietes clssificdos como proficietes: 7% 8% 74% O totl de elemetos do espço mostrl é ddo por todos os que form clssificdos como proficietes em iglês correspodedo portto % + 74% 94% do totl de estrgeiros O totl de estrgeiros efetivmete proficietes em iglês que form clssificdos como proficietes correspodem % do totl (situção ) ssim proilidde de um estrgeiro clssificdo como proficiete ser efetivmete proficiete em iglês é dd por: Proilidde % 7% 94% QUESTÃO osidere o triâgulo B de ldos B e c B e âgulos iteros α ÄB β B e γ B Sedo-se que equção cosα + dmite c como riz dupl podese firmr que ) α 9 o ) β 6 o c) γ 9 o d) O triâgulo é retâgulo pes se α 4 o e) O triâgulo é retâgulo e é hipoteus

5 (9) - wwwelitecmpiscomr O ELITE RESOLVE IT 9 - MTEMÁTI ltertiv E Oserve figur: Est equção é equção reduzid de um elipse com cetro ( ) eio mior igul e eio meor igul Vej um esoço do gráfico: O produto ds rízes d equção do º gru + + é ddo por P Sedo que c é riz dupl temos: cos α + P c c + Portto o triâgulo B é retâgulo em B e é hipoteus Not: É om ressltr que ão utilizmos o coeficiete est resolução Precismos verificr que o fto de c ser riz dupl codiz com este coeficiete equção pode ser reescrit como: ( c) c + c Etão comprdo com formulção origil d equção: cosα + Desevolve-se dus equções: () c c + c () c cosα cosα Usdo Lei dos osseos o mesmo triâgulo e utilizdo o ecotrdo equção () temos: + c ccosα + c c c c + c Dess form o resultdo ecotrdo equção () plicdo o triâgulo cosiderdo é comptível com ossos resultdos (triâgulo retâgulo em B ) e que comprção de seri um ordgem ltertiv resolução d questão pelo cdidto QUESTÃO 4 No plo cosidere S o lugr geométrico dos potos cuj som dos qudrdos de sus distâcis à ret t : e o poto () é igul 4 Etão S é ) um circuferêci de rio e cetro () ) um circuferêci de rio e cetro () c) um hipérole d) um elipse de eios de comprimeto e e) um elipse de eios de comprimeto e ltertiv D Sej P( ) um poto que pertece o lugr geométrico S Temos: ( dpt ) + ( d P) 4 Ms ( d ) ( ) e ( d ) ( ) ( ) Pt geométrico S é ddo por: P ( ) ( ) ( ) + logo o lugr ( ) ( dividido por ) ( ) ( ) ( ) ( ) + ( ) 4-4 QUESTÃO Do triâgulo de vértices B e iscrito em um circuferêci de rio R cm se-se que o ldo B mede cm e o âgulo itero B mede Etão o rio d circuferêci iscrit este triâgulo tem o comprimeto em cm igul ) ) d) c) 4 e) ltertiv D Oserve figur io: B o O Usdo Lei dos Seos o triâgulo B temos: R se ˆ º se ˆ se ˆ Portto o triâgulo B é isósceles de se B Vej figur io: O M o o B o 6 o 6o Sej M o poto de itersecção dos segmetos B e O Nos triâgulos M ou BM temos: cosº M BM M BM M BM B áre do triâgulo B é dd por: B se º S Est áre tmém pode ser clculd como S p r ode p é o semi-perímetro do triâgulo B e r é o rio d circuferêci iscrit Dest form: S p r r r + r

6 (9) - wwwelitecmpiscomr O ELITE RESOLVE IT 9 - MTEMÁTI QUESTÃO 6 distâci etre o vértice e o foco d práol de equção é igul ) ) c) d) e) 4 ltertiv E Vmos reescrever equção d práol cim: ( ) 4 ( ) 4 equção cim represet um práol com cocvidde voltd pr cim e vértice o poto V distâci etre o vértice e o 4 foco d práol é etmete o vlor do prâmetro dividido por Etão: p e p d FV QUESTÃO 7 se + + cotg tg epressão é equivlete + tg ) [ ] ) cos se cot g se + cos tg c) cos se cot g d) cotg se e) + cotg [ se + cos] ltertiv Lemrdo que: tg tg α α tg tg tg α tg tg tg tg E que: Temos: se + + cotg tg + tg se + cotg tg tg + tg se ( ) cos ( ) se ( + cos ( ) ( cos ( ) se ( ) ) ( cos ( ) +se ( )) cos + cotg tg cos + cotg tg cos cos + cotg tg cos cos se se cos se cos se cos se cos se se cos cos se cos se cotg se QUESTÃO 8 Sejm um circuferêci de rio 4 R > e cetro ( ) e B um cord de Sedo que ( ) é poto médio de B etão um equção d ret que cotém B é ) + 6 ) + c) + 7 d) + 4 e) + 9 ltertiv B Oserve o seguite esquem: r s M () O poto M é o poto médio d cord B Logo ret que pss por M e pelo cetro d circuferêci (origem) qui deomid s é perpediculr à ret que cotém cord B qul chmremos de r Dest form determi-se o coeficiete gulr de r: ms mr mr mr lém disso temos que o poto M () pertece à ret r Logo equção de r é dd por: mr ( ) ( ) + 9 r : + QUESTÃO 9 Um esfer é colocd o iterior de um coe circulr reto de 8 cm de ltur e de 6 de âgulo de vértice Os potos de cotto d esfer com superfície lterl do coe defiem um circuferêci e distm cm do vértice do coe O volume do coe ão ocupdo pel esfer em cm é igul ) ) c) d) e) ltertiv Fzedo um corte verticl trvés d seção meridi do coe temos seguite figur: V o o cm O R Iterpretdo como âgulo do vértice como sedo o âgulo plificdo e idicdo figur temos que o triâgulo é eqüilátero pois gertriz do coe idic que tl triâgulo é isósceles com o âgulo desigul vledo 6º Sedo O o cetro d esfer de rio r e oservdo o triâgulo TVO temos: tg o r r r cm r T B

7 (9) - wwwelitecmpiscomr O ELITE RESOLVE IT 9 - MTEMÁTI osiderdo que ltur do coe é 8 cm e sedo R o rio de su R 8 se temos: tgº R cm 8 4 Portto o volume pedido é: V coe V esfer R hcoe r cm QUESTÃO Os potos ( 4) e ( 4) B são vértices de um cuo em que B é um ds rests áre lterl do octedro cujos vértices são os potos médios d fce do cuo é igul ) 8 ) c) d) 4 e) 8 Sem respost Um cuo é um figur tridimesiol de modo que presetr seus vértices utilizdo pes um sistem com dus coordeds tor o eucido icompleto ssim sedo medid d rest do cuo e ssumido que coorded ão iformd é z temos: ( 4) + (4 ) + (z z B) ssim sem iformção d terceir coorded dos potos ddos fic impossível resolver questão lém disso oção de poto médio é ssocid um segmeto de ret de modo que o ivés de poto médio d fce seri mis proprido usr o termo cetro d fce NOT: ssumido que coorded ão iformd seri igul os dois potos terímos: ( 4) + (4 ) + (z z ) ( 4) + (4 ) + B Deste modo cosidere figur io que represet um octedro iscrito um cuo: QUESTÃO Sej S o cojuto solução d iequção ( ) + 4 ( ) 9 log 6 Determie o cojuto S omo log + 4 ( 6) pr qulquer o qul o logritmo estej defiido o cojuto S pode ser otido pel iterseção dos qutro seguites cojutos: ) 6 > 6 < < ou > 6 ) + 4 > > 4 ) + 4 4) 9 9 Ou sej S { 4< < e } { 6 < 9} (i) Os úicos vlores possíveis pr em S for do itervlo defiido em (i) serim queles ode: 9 > e log (+4) 6 6 osidere o poliômio p() 6 Derivdo esse poliômio e iguldo zero temos: p() 6 p'() 6 Iguldo derivd zero temos: 78 6 ± ssim os potos críticos desse poliômio são ± 78 plicdo o teorem de Bolzo temos que o gráfico de p() é crescete os itervlos < 78 represetdo seguir: e > 78 O gráfico d fução p() está Oserve que esse octedro é simétrico em relção às fces de modo que cd um ds sus fces lteris é um triâgulo eqüilátero Trçdo um plo prlelo às ses do cuo e que pss pelo seu cetro temos: L L Note que figur L represet rest lterl do octedro Desse modo temos L ssim áre d superfície lterl desse octedro é dd pel áre de oito triâgulos eqüiláteros de ldo ou sej: L áre Note que se z z B terímos áre do octedro superior L L ssim como 9 > 78 temos que se > 9 etão p() > p(9) ou sej p() > 494 Desse modo p() ão possui rízes pr > 9 de modo que é impossível que tehmos o mesmo tempo > 9 e 6 Sedo ssim log (+4) 6 só ocorre pr vlores de meores do que 9 já computdos em (i) o que os lev : { 4 6 9} S ou ou ou QUESTÃO Sejm e > ( ) ( 4 ) ( 6 ) ( 6 4 ) w + i + i + i + + i Idetifique e esoce o cojuto Ω ;Re w e Ι m w 4} {( ) O úmero compleo w pode ser reescrito como: w + i + 4 i 6i 6 + 4i ( ) w i Re( w ) Im( w ) Temos: Re( w) ( ) + 4 ( ) 4 ( ) + ( ) 6

8 (9) - wwwelitecmpiscomr O ELITE RESOLVE IT 9 - MTEMÁTI iequção cim compreede prte iter de um elipse com cetro ( ) eio mior igul 4 e eio meor igul Vej um esoço dess região: D + + e B ( ) 4 6 E + + id: Im( w) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) iequção cim compreede prte iter de um hipérole com cetro ( ) e eio rel igul Vmos determir s equções ds ssítots d hipérole Els são dds por: ± ( ) ode e Etão: ± ( ) + ou + + Vej um esoço dess região: Os potos de itersecção d elipse com hipérole podem ser clculdos resolvedo-se o seguite sistem: ( ) + ( ) ± 4 + ± + 6 e ( ) ( ) ( ) Vej gor o esoço fil d região Ω : QUESTÃO + Sej f : \ { } defiid por f ( ) + ) Mostre que f é ijetor ) Determie D { f ( ) ; \ { } } e f : D \ { } ) Reescrevedo fução f pr temos: ( + ) f ( ) + f( ) Pr mostrr que fução é ijetor sejm \ { } tis que f ( ) f ( ) Temos: f ( ) f ( ) ssim f ( ) f ( ) o que demostr que fução f é ijetor ) O cojuto D { f ( ) ; \ { } } é o cojuto imgem d fução f isto é o sucojuto formdo pelos elemetos que efetivmete são tigidos por lgum elemeto \ { } Em outrs plvrs D \{ } tl que f( ) ssim: + f( ) + + ( ) + Oserve que equção cim se temos equção icomptível Já pr podemos escrever Isto é se etão f Logo o cojuto imgem d fução f é: D \{} Restrigido etão fução f esse cotrdomíio D temos um fução simultemete ijetor e sorejetor portto ijetor que dmite um fução ivers f : D \ { } E ess fução ivers stisfz: f f ( ) pr cd D ssim temos: f f ( ) f ( f ( )) f ( ) + f ( ) + RESOLUÇÃO LTERNTIV: Prtido d fução h ( ) cujo gráfico é um hipérole iicilmete fzemos compost h ( + ) que correspode deslocr o gráfico de h de + uidde pr esquerd Posteriormete fzemos h ( + ) + + que correspode deslocr o gráfico de + h+ ( ) de uiddes pr cim O gráfico de f seri etão: Ode: 7

9 (9) - wwwelitecmpiscomr O ELITE RESOLVE IT 9 - MTEMÁTI Pelo gráfico fic clro que ão eiste ehum vlor de tigido mis do que um vez isto é sedo imgem simultâe de dois vlores distitos de o que é equivlete dizer que fução f é ijetor lém disso o úico poto que ão será tigido o eio ds ordeds (eio ) é o oseqüetemete o cojuto imgem d fução f é D \{} Filmete fzedo restrição do cotrdomíio o cojuto D fução f pss ser um fução ijetor e portto dmite ivers Vmos plicr o procedimeto prático pr oter tl ivers fzedo f( ) trocdo s letrs e de lugr e isoldo : + + f( ) ( ) ( ) f QUESTÃO 4 Supoh que equção lgéric + + ( ) teh coeficietes reis tis que s sus oze rízes sejm tods simples e d form β + iγ em que β γ e os γ formm um progressão ritmétic de rzão rel γ osidere s três firmções io e respod se cd um dels é respectivmete verddeir ou fls justificdo su respost: Ι Se β etão ΙΙ Se etão β ΙΙΙ Se β etão omo ( γ) é um progressão ritmétic de rzão γ com oze termos e os úmeros β+ i γ são rízes de um poliômio de gru ímpr com coeficietes reis temos como coseqüêcis: ) os úmeros β+ i γ formm um progressão ritmétic de rzão γ ) plicdo o teorem ds rízes cojugds temos que um ds rízes é um úmero rel de modo que eiste lgum vlor de pr o qul γ lém disso se o úmero β+ i γ é riz etão βi γ tmém é riz Desse modo s rízes desse poliômio são dds pel seguite seqüêci: ( βγi; β4γi; βγi; βγi; βγi; β; β+γi; β+ γi; β+ γi; β+ 4γi; β+ γ i) lisdo gor cd um ds firmções: firmção I: VERDDEIR Se β etão um ds rízes é ul (o seto termo d P) de modo que o produto ds rízes tmém é ulo ssim plicdo s relções de Girrd: produto firmção II: VERDDEIR Se temos plicdo s relções de Girrd que som ds rízes é ul omo som ds rízes é dd pel som dos termos d P temos: ( βγ i+β+ γi) som β β firmção III: FLS Se β um ds rízes é ul ssim supoh que Nesse cso plicdo relção de Girrd pr som dos produtos ds rízes tomds dez dez temos que esse produto é justmete o produto ds dez rízes resttes: P ( )( 4 )( )( )( )( )( )( )(4 )( ) γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ omo γ temos um surdo Desse modo QUESTÃO Um determido cocurso é relizdo em dus etps o logo dos últimos os % dos cdidtos do cocurso têm coseguido primeir etp ot superior ou igul à ot míim ecessári pr poder prticipr d segud etp Se tomrmos 6 cdidtos detre os muitos iscritos qul é proilidde de o míimo 4 deles coseguirem ot pr prticipr d segud etp? Se o míimo 4 deles detre 6 coseguem ot míim temos três possiiliddes: ) 4 coseguem e ão ) coseguem e ão ) 6 coseguem plicdo lei iomil ds proiliddes temos que proilidde pedid é dd por: 4 6 p 64(%) (8%) + 6(%) 8% + 66(%) (8%) p p QUESTÃO 6 Sejm B M( ) Mostre s proprieddes io: ) Se X é mtriz colu ul pr todo X M ( ) etão é mtriz ul ) Se e B são ão uls e tis que B é mtriz ul etão det det B ) osidere s mtrizes M ( ) e X M ( ) : e X Se X é mtriz colu ul: X Desse modo temos o seguite sistem lier: mtriz é fi e o resultdo cim é válido pr qulquer mtriz X escolhid Tomdo como possíveis vlores de X s mtrizes: e temos: + + ) X ) X ) X Desse modo temos ) Do eucido temos que e B são mtrizes ão-uls com B Por surdo vmos supor que det Nesse cso mtriz é iversível e podemos multiplicr pel esquerd mos os memros d equção cim pel mtriz ivers de ssim: B B B omo B temos um surdo de modo que det plicdo o mesmo rciocíio pr mtriz B ecotrmos que detb 8

10 (9) - wwwelitecmpiscomr O ELITE RESOLVE IT 9 - MTEMÁTI QUESTÃO 7 Sedo que tg + pr lgum 6 determie se Usdo tg + temos que tg + ± 6 6 Note que lisdo tis vlores e usdo o fto de que fução tgete é crescete os itervlos ou temos: ) Pr + 6 temos: > tg + > tg + > ) Pr + 6 temos: > tg + > tg + > 6 6 Dest form: ) < + < 6 6 ) < + < 6 om isso < + < e tg ssim se se + cos cos + 6 Usdo relção fudmetl e sedo que < + < temos 6 6 que: se + se + se Dest form 6 se + e cos Logo podemos clculr se por: se se se se + cos se cos se 6 se 6 QUESTÃO 8 Dd circuferêci ( ) ( ) : + e ret r : + cosidere ret t que tgeci form um âgulo de 4 com r e cuj distâci à origem é Determie um equção d ret t prtir do eucido esoçremos circuferêci ret r e s possíveis rets t: r : + 4 o 4 o 4 o 4 o D equção de (r) + temos que seu coeficiete gulr é mr mt omo tgθ ode θ é o âgulo formdo etre s rets m r + mr m t e m t são os coeficietes gulres de tis rets temos: o mr mt mr mt tg4 + mt mt + mr mt + mr mt + mt mt ou mt ou mt + mt ( mt) ssim: ) Se m t podemos costruir o feie de rets com tl coeficiete: k ; ) Se m t podemos costruir o feie de rets com tl coeficiete: k Por hipótese distâci de tis rets à origem do sistem é Logo + + c k k k ou k + om isso s equções são: (I) + + (II) + (III) + + (IV) + omo ret deve ser tgete à circuferêci distâci etre ret e o cetro d circuferêci é o rio dess circuferêci Em o rio é e o cetro é () ssim temos que s distâcis de cd um ds possíveis rets o cetro d circuferêci são dds por: + + (I) + 4 (II) (III) (IV) Portto ret que stisfz s codições do eucido é d form: + + 9

11 (9) - wwwelitecmpiscomr O ELITE RESOLVE IT 9 - MTEMÁTI QUESTÃO 9 osidere s rets r : m + i ; i i h H + H h - Sustituido (III) o resultdo ecotrdo vem: H 4 H (IV); Pr clculr áre d se ote que o âgulo MOB é ddo por: em que os coeficietes m i em ordem crescete de i formm um progressão ritmétic de rzão q > Se m e ret r tgeci circuferêci de equção + determie o vlor de q Pelo eucido temos que os coeficietes m i formm um progressão ritmétic de rzão q > de modo que plicdo fórmul do termo gerl: m m + () q + 4 q 4q ssim equção d ret r é dd por é 4q + omo ess ret tgeci circuferêci + temos sustituido equção d ret circuferêci: + + (4q + ) (+ 6q ) + 8q + 7 omo ret r é tgete segue que o discrimite d últim equção é ulo Desse modo: (8q) 4(+ 6q )7 6q ssim temos q q ± omo q > segue q QUESTÃO rzão etre áre lterl e áre d se octogol de um pirâmide regulr é igul Eprim o volume dest pirâmide em termos d medid do pótem d se Vmos usr seguite pirâmide octogol regulr como referêci: V 6º MOB 8 º No triâgulo MOB temos: tgº Sedo que tg cos temos que: + cos o cos4 ( ) tgº o + cos4 + + Logo tgº om isso temos: Portto: ( ) ( ) ( ) (V) V PIRÂMIDE 6 H 4 ( ) ( ) B H M h B o O volume solicitdo é V PIRÂMIDE O H ode B é áre do B octógoo que form se d pirâmide e H ltur d pirâmide L Por hipótese L B (I); B áre lterl é 8 vezes áre do triâgulo que form fce lterl ssim L 8 4 h h ode é o ldo do octógoo d se e h é ltur desse triâgulo áre d se é áre do octógoo que é 8 vezes áre do triâgulo BO d figur ssim B 8 4 (II); Portto 4 h 4 h (III); Usdo Pitágors o triâgulo VOM temos: Úico provr o IT Região de mpis os últimos os O doro do ídice de provdos o IT ds redes especilizds 79% de provdos (Dos 4 luos form provdos)