Vazão de uma torneira Q=20.t. Quantidade de água Q em. Tempo t em segundos

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1 Fuções Fuções O que é um fução? O próprio ome já diz. Fução é um relção etre dus grdezs qul um depede (está em fução) d outr. Por eemplo, qutidde de águ que si de um toreir vi depeder do tempo que el permecer ert. Portto qutidde de águ está em fução do tempo. Um fução pode ser represetd trvés de um fórmul. Aid o mesmo eemplo, se d toreir vz ml de águ em um segudo, teremos fórmul Q t (ode Q é qutidde de águ em ml e t o tempo de vzão em segudos) regedo vzão de águ. Bst sustituirmos o tempo que toreir permeceu ert em t e descoriremos qutidde de águ que siu. Outr form de represetr um fução é trvés de gráfico. Vej pr o osso eemplo d toreir: Vzão de um toreir Q.t Qutidde de águ Q em ml Tempo t em segudos Pelo gráfico rpidmete vemos que pr segudos vzou ml de águ, pr segudos 6mL, e ssim por dite. Domíio e Imgem Os vlores que ós vrimos pr ecotrrmos seus correspodetes em um fução são chmdos de cojuto domíio (o osso eemplo, o tempo). Do mesmo modo, os vlores que ecotrmos são chmdos cojuto imgem (o osso eemplo, qutidde de águ). Pr cd domíio d fução há somete um vlor imgem. Em Mtemátic gerlmete represetmos o cojuto domíio pel letr e o cojuto imgem por f() (ot-se que f() é represetdo pel vriável depedete, f()), represetdo-os trvés d fórmul e o plo crtesio: f ( ) ou

2 Fuções As dimesões dos cojutos domíio e imgem depedem d fução que está sedo lisd. Por eemplo: f ( ) (f: R R domíio rel e imgem rel); f ( ) (f: R {} R {} domíio rel meos o úmero e imgem rel meos o úmero ). Pr crir um gráfico de um fução st costruir um tel com os vlores do domíio () e seus respectivos vlores imges (). Com esses vlores estelece-se pres ordedos (,) o primeiro vlor é sempre do domíio e mrcá-los o plo crtesio. E.: f() Pr ordedo Gráfico o plo crtesio - - (-,-) - (-,) - (-,) - (-,) (,) (,) (,) 6 (,6) 7 (,7) Fução do primeiro gru (fução fim) É tod fução que pode ser reduzid à form: f ( ) ode e são úmeros reis e. O úmero é chmdo coeficiete de e é chmdo termo idepedete. Gráficos O gráfico gerdo por um fução do primeiro gru é sempre um ret. Pr costruí-lo st determirmos dois pres ordedos e trçr um ret cruzdo os potos determidos. f ( ) O coeficiete de tmém é chmdo coeficiete gulr d ret e o termo idepedete é chmdo coeficiete lier d ret, que é orded ode ret cort o eio ds ordeds. Zero ou Riz d equção Chm-se zero ou riz d equção o vlor de fução f ( ) qudo f(). Pr determirmos st sustituirmos f() (ou ) por zero e resolvermos equção. Pr fução de primeiro gru ecotrmos um equção de primeiro gru, como er de se esperr. A riz d fução é o poto ode o gráfico cort o eio ds scisss. Crescimeto, decrescimeto e sil de um fução do primeiro gru ej fução f ( ) :

3 Fuções e o umetrmos o vlor de e seus correspodetes vlores de tmém umetrem teremos um fução crescete. Neste cso,. e o umetrmos o vlor de e seus correspodetes vlores de Y dimiuírem teremos um fução decrescete. Neste cso,. Com isso podemos determir os siis d fução, ou sej, os vlores de ode, e. Pr determirmos temos: Note que isso idepede do vlor de. Agor, se se e é mior que zero, os vlores de umetm coforme umet (fução crescete) - e é meor que zero, os vlores de dimiuem coforme umet (fução decrescete). Ateção! Estude! Cso você deiou de compreeder lgum cois vist té gor, relei e pesquise em livros. Os próimos ssutos depedem dos coceitos já orddos. Iequções O estudo dos siis d fução são de eorme utilidde resolução de iequções. Acomphe os eemplos: 6 º: { R 6} º: 7 I : II : R º: Pr resolução de iequções composts por multiplicção e/ou divisão de epressões com icógit os dois ftores e/ou umerdor e deomidor: Isole todos os termos o primeiro memro:

4 Fuções 6( ) 6 6 Divide iequção em dus fuções que compohm multiplicção ou divisão e estude o sil dels: (fução (fução decrescete) riz crescete) riz Efetue multiplicção ou divisão trvés do estudo dos siis e stisfç codição d iequção (pede vlores miores ou iguis zero ou meores ou iguis zero?): R Fução do segudo gru (fução qudrátic) É tod fução que pode ser reduzid à form: f ( ) c ode, e c são reis e. Gráficos A fução de segudo gru ger um gráfico em form de práol, de cordo com o vlor de : Rízes D mesm form que fução fim, pr ecotrrmos s rízes de um fução qudrátic fzemos f(). Depois st resolver equção de segudo gru resultte trvés d fórmul de Bhásr: ± c Os: prte c é chmdo discrimite d fução, preset lgums proprieddes: e fução possui dus rízes reis e distits;

5 Fuções e fução possui um riz rel (chmd de riz dupl, pois relidde são dus rízes iguis); e fução ão possui rízes reis. Costrução d práol Pr costruir práol primeirmete deve-se determir o pr ordedo que loclizm o poto V do vértice d práol (vej figur seção Gráficos) trvés ds fórmuls: V, (lemre-se que o primeiro vlor correspode à coorded e o segudo à coorded!) Depois determie s rízes (ou riz pr fuções ) e mis dois potos, sustituido por qulquer vlor coveiete e ecotrdo sus coordeds. Trce um práol pssdo pelos potos ecotrdos (ssim como figur d seção Gráficos). e ão hverá rízes, portto st sustituir por um vlor qulquer que sej coveiete, ecotrr sus coordeds e depois trçr o gráfico d mesm form. il O estudo dos siis de um fução de segudo gru se fz de form semelhte à fução fim.vej: qudo ( ou ) qudo ( ou ) qudo ão eiste tl que qudo ão eiste tl que

6 Fuções 6 que tl ão eiste qudo que tl ão eiste qudo Iequções Assim como fução fim, o estudo dos siis uili resolução de iequções do segudo gru: º, 6 ) ( rizes : rízes reis) (dus 6 ) ( ) ( (cocvidde pr cim) ) ( ± ± c ou R

7 Fuções 7 º: I : (cocvidde pr io) rízes : rízes : ( ) (dus rízes reis) II : ou ou (cocvidde pr cim) ( ) 6 (dus rízes reis) º: ( 8) ( 6 ) 8 6 rizes : e { R ou } 6 riz : { R ou }

8 Fuções 8 Fução Modulr Fução defiid por mis de um epressão Há determidos prolems d vid cotidi em que utilizmos um tipo de fução defiid por mis de um epressão mtemátic. Como eemplo podemos citr o modo como é cordo o imposto de red. Cso um pesso ghe io de um cert quti, por eemplo R$.,, el estrá iset d corç. Cso el ghe cim dess quti, um epressão mtemátic defiirá o vlor ser pgo, por eemplo vlor do imposto igul, vezes quti ser gh mis R$,. Mtemticmete ficri ssim:, se R$., I( ), R$,, se R$., A Mtemátic é um ciêci que só se prede eercedo o rciocíio. Portto, estude e priciplmete eercite mtéri, pois do cotrário é prticmete impossível prede-l. Comece eercitr seu rciocíio gor! Como ficri o gráfico de um fução defiid por mis de um epressão? Módulo de um úmero Chm-se módulo ou vlor soluto o vlor defiido pel distâci de um úmero té origem o eio rel. Assim sedo, defii-se mtemticmete:, se ou, se Portto, R Eemplos:, se - ( ) ( ), se Fução Modulr É fução crcterizd por: f ( ) o que result, pel defiição de módulo, em:, se f ( ), se Assim sedo, fução modulr possui como cojuto imgem vlores reis ão egtivos. Portto, devemos lisr um fução modulr de cordo com sus dus possiiliddes, ou sej, qudo fução é mior ou igul zero e qudo fução é meor que zero. Pr costruir o gráfico de um fução modulr st costruir os gráficos referetes às dus epressões defiids pel fução e elimir s prtes egtivs. Por eemplo:, se f ( ) f ( ) ( ), se

9 Fuções Equções Modulres Alisdo s fuções modulres poderemos otr um cois: R ou Com isso soluciomos s equções modulres, como o eemplo: D defiição de módulo, temos que. Portto, ( ) 6 6 ou Como s dus rízes ecotrds stisfzem codição de serem miores ou iguis à,, 6 Iequções Modulres Derivdo do coceito de módulo, temos ess propriedde: R ou Assim como s equções, é com ess propriedde que resolvemos iequções modulres: º { } 7 ou R 7 ou º { { } R º (Retirdo de IEZZI, Gelso. Mtemátic, Volume Úico p. 8)

10 Fuções, se, se Not-se que há dus possiiliddes serem lisds de tl form grtir verdde d iequção: e, iequção ssume form. Aqui se ot que deve ser mior ou igul e tmém mior ou igul. Efetudo iterseção desses dois cojutos, vem que: { R } e, iequção ssume form. Assim, e. Itercededo os dois cojutos: { R } A solução vem d uião dos cojutos soluções ecotrdos os dois csos: R ou { } Pesquise e estude. Fç eercícios. Apes com empeho se prede Mtemátic! Fução epoecil Potêci Chm-se potêci o produto de um úmero por ele mesmo, idepedete do úmero de vezes que esse produto ocorr. Mtemticmete, sej um úmero rel e um úmero turl:... ( vezes) Assim, tem-se: ( ) Covecioou-se: Qulquer úmero ão ulo elevdo é igul ele mesmo: 8 8 Qulquer úmero ão ulo elevdo é igul : 6 Epoetes ão turis e o epoete for egtivo, o úmero é o iverso d potêci cso fosse positiv: E: 6 6 6

11 Fuções e o epoete for rciol, o deomidor se tor o ídice de um rdicl e o umerdor potêci do rdicdo: E: p q q Lemre-se que: * N E: Proprieddes m m. m m.. ( ). p ( ) 7 m m. ( ) Devido às potêcis de epoete frcioário, temos s seguites proprieddes: m p m p... m m. ( ) m m. Fução epoecil É tod fução que icógit se ecotr como epoete de um termo. f ( ) e Gráficos Costruiremos os gráficos ds fuções epoeciis possuirão gráficos semelhtes. - - f ( ) g( ) ( ) e f g( ). As outrs fuções

12 Fuções Desses gráficos etrímos lgums proprieddes:. O gráfico sempre cortrá o eio ds ordeds o poto (,) pois: ) ( f. e, fução será crescete.. e, fução será decrescete... O cojuto imgem será sempre positivo, pois, e uc chegrá, pois. Equções epoeciis ão equções que presetm icógit como epoete de um potêci. Pr resolve-l reduzimos, qudo possível, equção memros de potêci de mesm se e plicrmos qurt propriedde ds fuções epoeciis ( ). Vej os eemplos: {} 7 ( ) ( ) ( ) {} ão eiste ou ) (fz -se - - ± Iequções epoeciis Resolve-se iequções epoeciis de form semelhte às equções. Etretto plic-se s seguites proprieddes, decorretes ds segud e terceir proprieddes ds fuções epoeciis: fução decrescete) - (se - fução crescete) (se Eemplos: { } R

13 Fuções ( ) R Fução Logrítmic Defiição O coceito de ritmo surgiu pr solucior o mior prolem ds fuções epoeciis: resolver equções que ão sejm possíveis reduzir s potêcis ses iguis. Mis dite veremos isso. Por equto, vej defiição: Chm-se ritmo de se, sedo e reis e positivos e, o úmero tl que sej o ídice () de um potêci de se que teh como resultdo o úmero. Ou sej, é se do ritmo, o ritmdo e o ritmo. Por eemplo: ( ) Dess form, temos s seguites coseqüêcis do ritmo:... é o epoete que se deve colocr se pr termos.. c c Há dois ritmos especiis, usdos priciplmete áre d Egehri: istem de ritmos decimis: são os ritmos cuj se é. Neste cso pode-se omitir se escrit: istem de ritmos eperios: são os ritmos cuj se é e, um úmero irrciol próimo de, (como o π!). Neste cso pode-se sustituir o símolo e por : e Proprieddes opertivs dos ritmos. ( c d ) c d. c c r. r Esss proprieddes são etremmete importtes pr determição de ritmos, eemplo: edo que,quto vle? ( ),, Mudç de se Pode-se mudr se de um ritmo trvés d fórmul: c c Eemplo:

14 Fuções edo -se que,quto vle,,, Not: os livros em que uso como iliogrfi este poto há o tópico fuções iversíveis, que ão estrá est postil. Acoselho que estude-o por livros. Fução rítmic ão fuções que tem icógit defiid em um ritmo: f ( ) Esss fuções são mplmete utilizds Egehri e Ecoomi. Os gráficos ds fuções rítmics são costruídos de form á o ds outrs fuções. ão similres esse:? Como, o cojuto domíio será sempre rel, positivo e ão ulo. e. Portto o gráfico cortrá sciss o poto (,). O gráfico de f ( ) é simétrico e iverso o gráfico f '( ). Proprieddes:. e fução é crescete:. e fução é decrescete:. e os úmeros etre e tem vlores egtivos e os miores que tem vlores positivos:. e os úmeros etre e tem vlores positivos e os miores que tem vlores egtivos: Equções epoeciis Com todo o estudo já relizdo sore fuções, gor podemos resolver equções do tipo. e rciocirmos, veremos que ² e ³ 8. Portto, o que ão resolve osso prolem. Pr resolve-l utilizmos defiição de ritmo: Vej:

15 Fuções Cosultdo um tel de ritmos descorimos o vlor de e ecotrmos o vlor de. Equções rítmics Resolvem-se s equções rítmics de diversos modos, depededo d equção. N miori dos csos usm-se s proprieddes ou defiição de ritmo: ( ) ( ) 6 (deve -se verificr se ms s epressões... {} { } ( ) (fzedo ou são positivs, pois o ritmdo deve ser positivo) ) 7,7 Utilize s proprieddes pr desevolver equção de modo chegr em um desses três métodos. Iequções epoeciis A resolução ds iequções epoeciis que ão podem ser reduzids mesm se utiliz os ritmos, ssim como s equções epoeciis. Resolv-s trvés desss epressões: (se ) Iequções rítmics Há dois csos cosiderr: A iequção pode ser reduzid ritmos de mesm se f g( ) f g (se ( ) ( ) ( ) (se ) (se ) (se ) f ( ) g( ) f ( ) g( ) (se ) A iequção é reduzid um ritmo e um úmero rel r f ( ) r f ( ) Assim como s equções, utilize s proprieddes dos ritmos pr resolver s iequções rítmics (ritmo de produto, de quociete, mudç de se etc). Neste poto há o tópico Logritmos decimis. Aos que prestrão eme áre de ets, estude-os. Biliogrfi IEZZI, Gelso. Mtemátic: ª série, º gru. ão Pulo. Atul, 8. IEZZI, Gelso e DOLCE, Oswldo e DEGENZAJN, Dvid Muro e PÉRIGO, Roerto. Mtemátic: volume úico. ão Pulo. Atul, 7. )

a.cosx 1) (ITA) Se P(x) é um polinômio do 5º grau que satisfaz as condições 1 = P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = P(5) e P(6) = 0, então temos:

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