Método de Exaustão dos Antigos: O Princípio de Eudoxo-Arquimedes

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1 Método de Exustão dos Atigos: O Pricípio de Eudoxo-Arquimedes Joquim Atóio P. Pito Aluo do Mestrdo em Esio d Mtemátic Número mecográfico: Deprtmeto de Mtemátic Pur d Fculdde de Ciêcis d Uiversidde do Porto Discipli: Históri d Aálise Docete: Professor Doutor Crlos Correi de Sá Itrodução O método de exustão é tmbém cohecido por Pricípio de Eudoxo- Arquimedes, por ter su bse teori ds proporções presetd por Eudoxo de Cido ( C.) e por Arquimedes de Sircus (87-1.C.) ter sido o mtemático que mior visibilidde lhe deu. Eudoxo presetou su teori ds proporções como modo de ultrpssr crise surgid mtemátic greg qudo d descobert dos icomesuráveis, que deitv por terr teori ds proporções dos pitgóricos. Arquimedes plicou o método de exustão pr provr os iúmeros resultdos reltivos comprimetos, áres e volumes de diverss figurs geométrics e tmbém o cálculo de cetros de grvidde; lgus destes resultdos já erm cohecidos ms outros erm iteirmete ovos. Assim, pr drmos um pálid idei do que é o método de exustão, ome ddo o século XVII por Gregório de S.Vicete, começremos por presetr teori ds proporções formuld por Eudoxo e mgistrlmete presetd por Euclides o Livro V dos seus Elemetos. De seguid, pssremos pr o Livro X, ode Euclides, logo primeir proposição, preset o método de exustão. Muidos do método de exustão, iremos demostrr que rzão etre dois círculos é rzão etre os dois qudrdos cujos ldos são os diâmetros desses círculos. Achámos pertiete demostrr qui à Euclides est proposição segud do Livro XII dos Elemetos, pois trt-se d primeir prov que se cohece que teh sido relizd pelo método de exustão (Sá, 000).

2 Teori ds Proporções de Eudoxo Como começámos por referir, Eudoxo preset um teori ds proporções que é plicável quer grdezs mesuráveis quer grdezs icomesuráveis, tordo deste modo obsolet teori ritmétic dos pitgóricos. Assim, Euclides, com defiição 3 do Livro V, defie rzão dizedo que Um rzão é um espécie de relção respeito do tmho etre dus grdezs do mesmo tipo. Cotiudo, preset defiição 4: Diz-se que têm um rzão s grdezs que são cpzes, qudo multiplicds, de se exceder um à outr. Repremos que primeir defiição presetd qui d defie; o etto, segud crcteriz, de form iequívoc, dus grdezs homogées, isto é, do mesmo tipo (dois comprimetos, dus áres ou dois volumes). Est defiição pode ser trduzid em termos de úmeros reis como: ddos dois úmeros reis positivos e b com b existe um úmero turl tl que b. Est defiição é cohecid como xiom de Arquimedes o que lev que sejm desigdos por corpos rquimedios os corpos cujos elemetos stistfez est propriedde (Durte, 1991). É defiição 5, do Livro V, que sset teori ds proporções: Diz-se que grdezs estão mesm rzão, primeir pr segud e terceir pr qurt, qudo, ddos quisquer equimúltiplos d primeir e d terceir e ddos quisquer equimúltiplos d segud e d qurt, os primeiros equimúltiplos simultemete excedem, são simultemete iguis ou ficm simultemete quém dos últimos. Est defiição é cosolidd defiição 6, do mesmo livro: Grdezs que têm mesm rzão dizem-se proporciois. Hoje, com oss otção, pr trduzir ests dus defiições, dds por Euclides, podemos escrever que: = c se, e somete se, ddos os iteiros m e b d sempre que m < b, etão mc < d ; ou se m = b, etão mc = d ; ou se m > b, etão mc > d. Note-se que defiição de Eudoxo de iguldde de rzões coduz-os c o processo de redução o mesmo deomidor, pois = se, e só se, d = bc, que b d ão é mis do que multiplicção cruzd usd hoje mipulção de frcções, o que formlmete ão er feito pelos gregos à époc de Euclides (Boyer, 1996). Do Joquim Pito Método de Exustão

3 poto de vist lógico, ests dus defiições reduzem oção de proporção etre dois pres de grdezs homogées à oção de ordem etre múltiplos desss grdezs (Sá, 000). Cosideremos, por fim, defiição 7, do Livro V: Qudo, dos equimúltiplos, o múltiplo d primeir grdez excede o múltiplo d segud, ms o múltiplo d terceir ão excede o múltiplo d qurt, diz-se que primeir tem um rzão mior pr segud do que terceir pr qurt. Est defiição sigific que se pr quisquer dois úmeros turis m e qudo for verddeir desiguldde m > b c e ão o for desiguldde mc > d etão diz-se que > (Sá, 003). b d Não podemos termir est brevíssim pssgem pel teori ds proporções de Eudoxo, sem chmr teção pr brilhte demostrção, do cso dos triâgulos, d proposição 1 do Livro VI dos Elemetos de Euclides, que pssremos deotr por Elemetos VI, 1: Triâgulos e prlelogrmos sob mesm ltur estão etre si como s sus bses, presetd por Sá (000), usdo os equimúltiplos, cotordo deste modo icomesurbilidde que fez com que demostrção presetd pelos pitgóricos deixsse de ser ceite. Muito mis se poderi dizer. Poderímos flr sobre o dito Teorem de Tles (Elemetos VI, 1 ), demostrdo à cust de Elemetos VI, 1 o qul por su vez os forece um modo de costruir o qurto proporciol; poderimos tmbém costruir o meio proporciol muidos do teorem d ltur (cosequêci do teorem de Tles) em cojugção com o que firm que qulquer âgulo iscrito um semicircuferêci é recto (Sá, 000). Ms, como pesmos que est icursão pelo Livro VI dos Elemetos de Euclides vi lém do propósito deste trblho deixmos referêci pr cosults futurs. 1 Elemetos VI, : Se for desehd um lih rect prlel um dos ldos dum triâgulo, el dividirá os ldos do triâgulo proporciolmete; e se os ldos do triâgulo forem divididos proporciolmete etão lih uido os potos de secção será prlel o restte ldo do triâgulo. Joquim Pito Método de Exustão 3

4 Pricípio de Eudoxo-Arquimedes Elemetos X, 1: Dds dus grdezs desiguis, se d mior se subtrir um grdez mior do que su metde, e do que sobrr um grdez mior do que su metde, e se este processo for repetido cotiumete, sobrrá um grdez meor do que meor ds grdezs dds. Não resistimos em slietr que o décimo livro dos Elemetos de Euclides, cohecido pel cruz dos mtemáticos, um vez que é o mior de todos e é ele que são estuddos vários tipos de grdezs irrciois, quels que são icomesuráveis com um grdez uitári previmete fixd (Sá, 000), começ com Elemeos X, 1 qul, por su vez, é equivlete à defiição 4 do Livro V. Demostremos etão Elemetos X, 1. Cosideremos e b dus grdezs do mesmo tipo (figur 1) e supoh-se, sem perd de geerlidde, que > b. Atededo à defiição 4 de Elemetos V, existe um úmero turl, tl que b >. b b Figur 1 Figur Nests codições tomemos s grdezs e b (figur ). Se retirrmos mis de metde e b retirrmos b (que é meos que metde de b ), restm-os dus grdezs 1 1 idêtico o terior, < e ( 1) b, tis que ( 1) b 1 > (figur 3). Se, por um processo retirr mis de metde e ( 1) b retirr ovmete b (que é 1 meos que metde de ) tis que ( b>. 1 b) ficremos com dus grdezs < 1 e ( ) b, ( 1) Joquim Pito Método de Exustão 4

5 - 1-1 (-1)b b Figur 3 Figur 4 Ao fim de ( ) pssos, obtemos um grdez tl que b>. Se retirr mis de metde e b retirr b sobr um grdez 1 tl que (pois um grdez b> 1 b retirou-se exctmete metde). Assim, o fim de ( 1) pssos, obtém-se 1 meor do que b, meor ds grdezs iicilmete dds (figur 4), o que prov o pricípio de Eudoxo-Arquimedes. Joquim Pito Método de Exustão 5

6 Elemetos XII, Elemetos XII, : Círculos estão etre si como os qudrdos sobre os diâmetros. Ates de presetrmos demostrção dd por Euclides, vmos reescrever proposição e presetr um demostrção usdo escrit ctul pr ssim percebermos quer proposição em si quer bel demostrção presetd por Euclides usdo o método de exustão. O que Elemetos XII, os diz é que rzão etre s áres de dois círculos é igul à rzão etre s áres de dois qudrdos cujos ldos são os diâmetros dos círculos. Cosideremos dus circuferêcis de áres A e e diâmetros D e d, respectivmete. Geometricmete podemos trduzir proposição coforme figur 5 sugere. A D D D d d d Figur 5 A D Nests codições proposição diz-os que =. d Sejm R e r tis que D = R e d = r ; ssim s áres ds circuferêcis são dds por A = π R e por = π r equto s áres dos qudrdos serão D ( R) = e d = ( r). Agor, por simples mipulção lgébric, ( R) ( ) A D π R = = π d r r R R r = r pelo que A D = é verdde. d Joquim Pito Método de Exustão 6

7 Estmos gor melhor preprdos pr precir demostrção presetd por Euclides, qul us um dupl redução o bsurdo, crcterístic itrísec do método de exustão, embor, lgus csos, como o que vmos presetr, el ão ecessite de ser feit. A mipulção de proporções, costruido o qurto proporciol, vi evitr fzer dus reduções o bsurdo. A existêci do qurto proporciol é grtid em Elemetos VI, 1 ; Euclides demostr existêci do qurto proporciol pr segmetos de rect e prtido do cso prticulr de segmetos de rect fcilmete se geerliz grdezs de qulquer tipo (Durte, 1991). Slietemos, id, que segudo Sá (000), o método de redução o bsurdo deve-se os pesdores elets. Este método cosiste em ceitr por mometos egção do pretedido e dí deduzir um cotrdição. Cosideremos, etão, dois círculos de áres A e e diâmetros D e d, respectivmete. Supohmos que proposição é fls, etão o círculo de áre A está pr um cert áre X (diferete de ) ssim como D está pr d, isto é, Temos dois csos cosiderr: X Cosideremos que X (Elemetos X, 1) às qutiddes círculo de áre mostr figur 6). < ou X >. A X D =. d <. Vmos plicr o pricípio de Eudoxo-Arquimedes e X ( > X ). Pr isso iscrevmos o um qudrdo e desigemos por E, F, G, e H os seus vértices (como E E H F H F G G Figur 6 Figur 7 Elemetos VI, 1: Ecotrr o qurto proporciol de três segmetos ddos. Joquim Pito Método de Exustão 7

8 Se pelos potos E, F, G e H trçrmos tgetes o círculo obteremos um qudrdo (figur 7) cuj áre fcilmete se verific ser dupl d do qudrdo iicil, pelo que áre deste último será superior metde d áre do círculo. Cosideremos gor os potos K, N, M e L, potos médios de cd um dos rcos EF, FG, GH, HE, respectivmete, e trcemos os segmetos de rect que uem os potos K, L, M, e N com os extremos dos rcos de que eles são potos médios (figur 8). E E' L K E K H F M N F' G F Figur 8 Figur 9 Se por K trçrmos tgete o círculo obtemos o rectâgulo EE F F (figur 9) cuj áre será dupl d do triâgulo EFK, sigific isto que est últim será superior metde d áre do segmeto de círculo EFK; um fcto álogo se pss com cd um dos triâgulos FNG, GMH e HLE (figur 8). Cotiudo com este processo de iscrever polígoos o círculo, cbremos por obter, de cordo com o pricípio de Eudoxo-Arquimedes, um polígoo cuj áre, que desigremos por p, subtríd (áre do círculo) drá um qutidde iferior X, isto é, p< X. Dode se coclui que p > X. Cosideremos o polígoo semelhte àquele, ms iscrito o círculo de diâmetro D. Sej P áre deste último polígoo. Etão, P D =, provdo por Euclides com proposição Elemetos XII, 1 3. p d Estmos tmbém supor D d = A X, logo P = A. Ms P< A, sedo P áre de um p X 3 Elemetos XII, 1: Polígoos semelhtes iscritos em círculos estão etre si como os qudrdos sobre os diâmetros. Joquim Pito Método de Exustão 8

9 polígoo iscrito um círculo de áre A, dode p < X, cotrrimete o que tíhmos visto. A e Logo, hipótese de ser X O cso de ser X ; com efeito, < ão se poderá verificr. > reduz-se o terior trocdo o ppel dos círculos de áre A D = é equivlete X d X d = e existirá um cert áre Y, A D existêci do qurto proporciol sobre o qul Euclides qui d diz, tl que X =. A Y De X > coclui-se que Y < A, estdo pois reduzidos o cso terior. Logo X > lev tmbém um cotrdição. Deverá, pois, ser X = o que demostr o pretedido. Joquim Pito Método de Exustão 9

10 Cosiderções fiis Referimos já que o método de exustão é tmbém cohecido por Pricípio de Eudoxo-Arquimedes pelo fcto de ter sido perfeiçodo por Eudoxo e muito usdo por Arquimedes. No etto, em Arquimedes em qulquer outro mtemático grego presetm o método de exustão sob form de um resultdo gerl, do qul os vários resultdos reltivos o cálculo de comprimetos, áres e volumes fossem csos prticulres. Prece, etão, pertiete levtr questão: Em que cosiste fil este método? Vejmos respost dd est questão por Durte (1991) e pr tl tehmos presete demostrção dd cim pr s áres dos círculos. Dds dus figurs geométrics A e B pretedemos demostrr que rzão etre s sus áres (ou volumes ou comprimetos, coforme o cso) tem um certo vlor d. Fçmos o seguite: Formemos dus sucessões de figurs B tis que áre de A e B estejm cd vez mis próxims d ( A ) e ( ) áre de A e de de A e B respectivmete dqui o ome de método de exustão. B serim s áres Em termos moderos os limites ds áres ( ) B, respectivmete. As sucessões ( ) A e ( ) A e ( ) B deverão id ser tis que rzão etre s áres de A e B sej d (usulmete A e B são figurs semelhtes iscrits ou circuscrits em A e B. É clro que com teori dos limites o resultdo pretedido estri demostrdo. No etto, idei de limite implicv o recurso à oção de ifiito que o pesmeto grego recusv. Por isso demostrção er feit por bsurdo seguido um processo álogo o utilizdo o cso do círculo: tomdo um áre X de form que rzão etre áre de B e de X fosse d e usdo o pricípio de Eudoxo-Arquimedes pr mostrr que, supodo X meor ou mior do que áre A, chegrímos um cotrdição. Como fcilmete deduzimos, er por itermédio deste método que, tiguidde, se trtvm questões de covergêci (Sá 000). A mtemátic greg foi dmird especilmete pelo seu lto gru de rigor, ms, por outro ldo, os seus métodos ão erm heurísticos; ão erm dequds pr sugerir ideis que permitissem tcr um problem ovo (Grtt-Guiess, 1984). Podemos pois, pr filizr, referir que este método levt um problem: pr o utilizrmos precismos de cohecer à prtid o resultdo demostrr. Joquim Pito Método de Exustão 10

11 Referêcis bibliográfics AABOE. A Episódios d Históri Atig d Mtemátic. Rio de Jeiro: Sociedde Brsileir de Mtemátic. BOYER, CARL B The History of the Clculus d its Coceptul Developmet. New York: Dover Publictios, Ic. BOYER, CARL B Históri d Mtemátic. São Pulo: Editor Edgrd Blücher Ltd. DUARTE, A. L Apotmetos d discipli Históri do Pesmeto Mtemático d Licecitur em Mtemátic do Deprtmeto de Mtemátic d Fculdde de Ciêcis d Uiversidde de Coimbr. A evolução d Aálise. Coimbr. EUCLIDES 001 O Primeiro Livro dos Elemetos de Euclides. Joh A. Foss Editor gerl: Irieu Bicudo trdutor. Ntl: Editor SBHMt. GRATTAN-GUINNESS, I. (Editor) 1984 Del cálculo l teorí de cojutos, U itroducció históric. Mdrid: Aliz Editoril. KATZ, V. J A History of Mthemtics. A Itroductio. d ed. New York: Addiso Wesley Logm. SÁ, C. C. 000 A Mtemátic Gréci Atig, (Cpítulo 5). Em, ESTRADA, M. F., et l. Históri d Mtemátic. Lisbo: Uiversidde Abert. SÁ, C. C. 003 Apotmetos d discipli Históri d Aálise do Mestrdo em Esio d Mtemátic do Deprtmeto de Mtemátic Pur d Fculdde de Ciêcis d Uiversidde do Porto. STRUIK, D. J Históri Cocis ds Mtemátics. 3ª ed. Lisbo: Grdiv JOAQUIM ANTÓNIO PINTO Porto, 05 de Jeiro de 004 Joquim Pito Método de Exustão 11

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