Matemática Ficha de Trabalho

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1 Matemática Ficha de Trabalho Probabilidades 12º ao FT4 Arrajos completos (arrajos com repetição) Na liguagem dos computadores usa-se o código biário que é caracterizado pela utilização de apeas dois algarismos, o 0 e o 1, a escrita dos úmeros. Ao úmero chama-se arrajos com repetição ou arrajos completos de 2 elemetos a e represeta-se por. Dados elemetos diferetes,, chama-se arrajos com repetição ou arrajos completos dos elemetos p a p a todas as sequêcias de p elemetos, sedo estes diferetes ou ão, que se podem formar com os elemetos. O úmero total de sequêcias desiga-se por. e tem-se que: Repare que: e são sequêcias Quatas mesages diferetes podemos escrever com os dois algarismos? 00 ; 01 ; 10 ; 11 Com dois algarismos pode-se escrever 4 mesages diferetes. Exercício 1 Uma moeda é laçada duas vezes. Quatos resultados possíveis haverá? Quatas mesages diferetes podemos escrever com os três algarismos? Exercício 2 Qual é o úmero total de apostas simples do totobola (13 jogos)? Exercício 3 Qual é o úmero de matrículas de automóvel diferetes do tipo? Com 3 algarismos podemos escrever 8 mesages: 000; 001; 100; 101; 010; 011; 110; 111. Quatas mesages diferetes podemos escrever com os cico algarismos? Observado que quado acrescetamos 1 algarismo, podemos escrever o dobro das mesages que escrevemos ates, tem-se: Exercício 4 O úmero da sorte de uma pequea lotaria obtém-se fazedo girar 3 rodas divididas em sectores umerados de 0 a 5. Logo, com 5 algarismos podemos escrever 32 mesages. Quatas mesages diferetes podemos escrever com os algarismos? Por aalogia com os casos ateriores, coclui-se que, em geral, com algarismos podemos escrever mesages. Quatos resultados possíveis há? Josefa Bastos Págia 1 Josefa Bastos Págia 2

2 Permutações Depois de feita a primeira selecção um cocurso de joves catores, ficaram apurados três que irão disputar uma fial o 1º, o 2º e 3º prémios. De quatas formas diferetes poderão ficar classificados os três fialistas? Exercício 1 Simplifique: Sejam e os fialistas. c) d) e) ( + 1)! + ( + 1)! + ( + 1)! Exercício 2 Cada uma das 6 soluções é um tero ordeado. Sem calcular os factoriais, determie:. É obvio que as diferetes soluções só diferem a ordeação dos elemetos e Tudo se passa como se, partido do cojuto, permutássemos os elemetos etre si até obter todas as formas possíveis de os ordear. Dizemos assim que as diferetes ordeações que acabámos de obter são permutações de 3 elemetos, sedo o seu úmero traduzido por. A solução é: a solução de cada uma das equações: b1) (+1)! = 5040 b2) x! - 28(x+1)! = -3(x-1)! Se em vez de três fialistas houvesse quatro para distribuir o 1º, 2ª, 3º e 4º prémios, de quatas formas diferetes poderiam ficar distribuídos os prémios? Facilmete se coclui que são: formas diferetes. Exercício 3 De quatas formas diferetes se podem setar 8 pessoas os 8 lugares de um baco de jardim? Sedo um úmero atural, desiga-se por (lê-se factorial de ou factorial) o úmero atural defiido por: Exercício 4 Numa corrida de carros participam 7 carros. Não havedo empate, de quatas formas diferetes pode ficar a classificação fial? Chama-se permutações de elemetos a todas as sequêcias diferetes que é possível obter com os elemetos. O úmero dessas sequêcias represeta-se por (ler: permutações de ). e tem-se que: Exercício 5 Utilizado todas as letras da palavra ESCOLA quatas palavras diferetes, com ou sem sigificado, se podem formar? E com as letras da palavra AULA? Josefa Bastos Págia 3 Josefa Bastos Págia 4

3 Exercício 6 De quatas formas diferetes se podem colocar 3 livros diferetes de Iglês e 4 livros diferetes de Física uma prateleira? E se ficarem jutos os da mesma disciplia? Exercício 7 De quatas maeiras se podem setar 5 pessoas uma fila à volta de uma mesa redoda, sem haver idetificação das cadeiras? Se os quatro amigos tivessem arrajado três bilhetes, um para o ciema, um para o teatro e outro para o futebol, de quatas maeiras diferetes os podiam sortear etre eles? Facilmete se coclui que são: maeiras diferetes de os sortear etre eles. E se os quatro amigos tivessem arrajado também um bilhete para um cocerto? São: maeiras diferetes de os sortear etre eles. Esta situação correspode precisamete a fazer as permutações de 4, que já sabemos ser igual a e portato a 24. Arrajos simples (arrajos sem repetição) Quatro amigos arrajaram um bilhete de ciema e outro de teatro para a mesma oite. Como todos estavam iteressados, resolveram sorteá-los etre si. Quatas maeiras diferetes há para o resultado do sorteio? Dados elemetos quaisquer, chama-se arrajos simples ou arrajos sem repetição de elemetos a a todas as sequêcias que é possível obter como os elemetos escolhidos arbitrariamete etre os dados. O úmero de todas estas sequêcias desiga-se por (ler: arrajos de, a ). Vamos atribuir uma letra a cada um dos amigos: e. Como vemos, para o sorteio do bilhete de ciema há quatro resultados: ou. Cosequêcias da defiição: A = P = A cada um destes resultados correspodem três possibilidades para o bilhete de teatro, porque a mesma pessoa ão pode ficar com os dois bilhetes. O total de casos possíveis é de. Ao úmero 12 também se chama arrajos simples de quatro dois a dois ou arrajos sem repetição de quatro dois a dois e escreve-se: Exercício 8 Cico amigos vão fazer um trabalho de grupo. Um deles tem de ser o porta-voz e outro tem de escrever o relatório De quatas maeiras diferetes podem estas duas tarefas ser distribuídas etre eles? E se houvesse 3 tarefas a distribuir pelos cico amigos? De quatas maeiras diferetes podem as tarefas ser distribuídas? E se as tarefas fossem 4? E 5? Josefa Bastos Págia 5 Josefa Bastos Págia 6

4 Exercício 9 Os casos possíveis são: Determie, tal que: Exercício 10 Numa prova fial de atação vão participar 7 adadores, que disputam as medalhas de ouro, prata e broze. De quatas formas diferetes se podem repartir estes três prémios? (Não se admitem empates). Exercício 11 Há dez formas diferetes de escolher as três pessoas. Diz-se que 10 é o úmero de combiações de cico, três a três e escreve-se: ou Este úmero ão é mais do que o quociete etre e. De quatas maeiras 10 pessoas podem setar-se um baco com 4 lugares? E com 5 lugares? Exercício 12 Quatos úmeros de quatro algarismos diferetes existem, o sistema de umeração decimal, que ão teham ehum zero? Combiações de elemetos p a p (p ) são os diferetes subcojutos com p elemetos que se podem formar a partir de um cojuto com elemetos De um modo geral: Combiações (combiações sem repetição) A difereça etre as combiações sem repetição e os arrajos sem repetição está em que as combiações ão iteressa a ordem. Cico pessoas trabalham o sector de exploração de uma firma e três vão ser seleccioados para irem a uma feira iteracioal. De quatas formas diferetes pode ser feita a selecção? ou é igual ao úmero de subcojutos, com elemetos, que se podem formar um cojuto com elemetos. Exercício 13 Vamos atribuir uma letra a cada um dos trabalhadores: e. Neste caso a ordem ão iteressa. A selecção é a mesma que, por exemplo. Assim, estamos iteressados em combiações de cico três a três. Determia, tal que: Josefa Bastos Págia 7 Josefa Bastos Págia 8

5 Exercício 14 Uma aposta de totoloto cosiste em assialar seis úmeros escolhedo-os de 1 a 49. Quatas apostas diferetes se podem fazer? Exercício 15 De 10 operários vão ser escolhidos 5 para irem trabalhar uma obra. Quatos grupos diferetes se podem formar? Exercício 16 O Tiago tem 20 CD s de rock e prometeu emprestar 4 ao João. Quado chegou a casa quis saber de quatas maeiras diferetes poderia fazer este empréstimo. Quatas são essas maeiras? Quatas possibilidades diferetes existem de o Tiago levar 16 dos seus 20 CD s para um covívio que a associação de estudates orgaizou? Exercício 17 Um saco cotém 9 bolas umeradas de 1 a 9. Tiram-se 3 bolas simultaeamete (ão iteressa a ordem). Quatos resultados diferetes podemos obter? Cotagem de elemetos recorredo ao Cálculo Combiatório Josefa Bastos Págia 9

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