CONTEÚDO ARTIGOS AOS LEITORES 2. VIII OLIMPÍADA DE MAIO 3 Enunciados e Resultado Brasileiro

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1 CONTEÚDO AOS LEITORES VIII OLIMPÍADA DE MAIO Eucidos e Resultdo Brsileiro XIII OLIMPÍADA DE MATEMÁTICA DO CONE SUL 6 Eucidos, Soluções e Resultdo Brsileiro XLIII OLIMPÍADA INTERNACIONAL DE MATEMÁTICA 7 Eucidos e Resultdo Brsileiro ARTIGOS MUROS, PRÉDIOS E ESCADAS 9 Cícero de Oliveir Holmer INTEIROS DE GAUSS E INTEIROS DE EISENSTEIN Guilherme Fujiwr SEQÜÊNCIAS ARITMÉTICO-GEOMÉTRICAS José Pulo Creiro & Crlos Gustvo Moreir O PRINCÍPIO DA INVARIÂNCIA 5 Mrcelo Rufio de Oliveir TORNEIO DAS CIDADES 4 Provs OLIMPÍADAS AO REDOR DO MUNDO 48 SOLUÇÕES DE PROBLEMAS PROPOSTOS 5 PROBLEMAS PROPOSTOS 59 AGENDA OLÍMPICA 6 COORDENADORES REGIONAIS 6

2 AOS LEITORES É com grde legri ue ucimos ue, mis um vez, os 6 estudtes d euipe brsileir obtiverm medlhs IMO. Isto mostr oss grde evolução com ov OBM e s tividdes extrs ue precerm com el: Eurek, Sem Olímpic, s sems de treimeto tes ds competições iterciois. Ms o ue os trz mior stisfção é sber ue esses 6 joves são pot de um iceberg. Bst observr o úmero de pessos ue resolvem os vários problems ue trzemos cd ov edição d Eurek. São estudtes, professores, profissiois liberis, efim, mtes d Mtemátic ue provm ue o osso pís há muits pessos de bo votde e de grde competêci. Fldo mis um pouco sobre problems, esse úmero publicmos lgums provs do Toreio ds Ciddes, um competição ue se crcteriz pel origilidde de sus uestões, lgums ds uis já etrrm pr o folclore mtemático. El possui dus modliddes, Sêior ( e séries EM) e Júior (8 série EF e série EM); íveis O (iicite) e A (vçdo). Pr ecerrr, os grdecimetos. Mis um vez, o professor Crlos Shie e os estudtes Alex Lopes, Felipe de Souz, Hery Hsu, Rodrigo Ymshit e Guilherme Fujiwr fizerm um leitur cuiddos ds versões prévis dest edição. Os editores. EUREKA! N 4, 00

3 VIII OLIMPÍADA DE MAIO Eucidos e Resultdo Brsileiro PRIMEIRO NÍVEL PROBLEMA Um grupo de homes, lgus dos uis comphdos pels esposs, gstrm 000 dólres um hotel. Cd homem gstou 9 dólres e cd mulher, dólres. Determie uts mulheres e utos homes estvm o hotel. PROBLEMA Um folh de ppel retgulr (brc de um ldo e ciz do outro) foi dobrd três vezes, como mostr figur bixo: O retâgulo, ue ficou d cor brc pós primeir dobr, tem 0cm mis de perímetro ue o retâgulo, ue ficou brco pós segud dobr, e este por su vez tem 6cm mis de perímetro ue o retâgulo, ue ficou brco pós terceir dobr. Determie áre d folh. PROBLEMA Mustfá comprou um tpete. O vededor mediu o tpete com um régu ue supostmete medi um metro. Como o resultdo foi ue o tpete tih 0 metros de lrgur e 0 metros de comprimeto, o vededor cobrou 0000 rupis. Qudo Mustfá chegou su cs mediu ovmete o tpete e percebeu ue o vededor tih cobrdo 9408 rupis mis. Qutos cetímetros mede régu usd pelo vededor? PROBLEMA 4 Num bco só o diretor cohece o segredo do cofre, ue é um úmero de cico dígitos. Pr proteger este segredo são ddos cd um dos dez empregdos do bco um úmero de cico dígitos. Cd um destes úmeros tem um ds cico posições o mesmo dígito ue o segredo e s outrs utro posições um dígito diferete do ue tem o segredo esse lugr. Os úmeros de proteção são: 0744, 4098, 756, 649, 4574, 507, 68, 70558, 857, Qul é o segredo do cofre? EUREKA! N 4, 00

4 PROBLEMA 5 Ecotre o máximo úmero de cixihs de 5 7 ue podem ser colocds detro de um cix de 5 9. Pr o úmero ecotrdo, idiue como colocr ess utidde de cixihs detro d cix. SEGUNDO NÍVEL PROBLEMA Utilizdo cubihos brcos de ldo foi motdo um prism (sem burcos). As fces do prism form pitds de preto. Sbe-se ue os cubihos ue ficrm com extmete 4 fces brcs são 0 o totl. Determie uis podem ser s dimesões do prism. Ecotre tods s possibiliddes. PROBLEMA Sej k um úmero iteiro positivo fixo, k 0. Dd um list de dez úmeros, operção permitid é: escolher k úmeros d list, e somr cd um deles. Obtém-se ssim um ov list de dez úmeros. Se iicilmete temos list,,, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0, determie os vlores de k pr os uis é possível, medite um seüêci de operções permitids, obter um list ue teh os dez úmeros iguis. Idiue seüêci pr cd cso. PROBLEMA Num triâgulo ABC, retâgulo em A e isósceles, sej D um poto do ldo AC (D A e D C) e sej E o poto do prologmeto do ldo BA tl ue o triâgulo ADE é isósceles. Se P é o poto médio do segmeto BD, R é o poto médio do segmeto CE e Q o poto ode se cortm s rets ED e BC, demostre ue o udrilátero ARQP é um udrdo. PROBLEMA 4 Os vértices de um polígoo regulr de 00 ldos estão umerdos de 00, o setido horário. Ddo um iteiro, 00, pit-se de zul o vértice, logo, seguido o setido horário, cotm-se vértices começdo o seguite de, e pit-se de zul o úmero. E ssim sucessivmete, prtir do vértice ue segue o último vértice ue há sido pitdo, cotm-se vértices, pitdos ou sem pitr, e o úmero é pitdo de zul. Qudo o vértice ue tem ue ser pitdo já é zul, o processo pár. Deotmos P() o cojuto de vértices zuis ue se obtém com este procedimeto udo se começ pelo vértice. Por exemplo, P(64) está formdo pelos vértices 64, 78, 09, 456, 80, 8, 546, 90, 74, 68 e 00. Determie todos os iteiros, 00, tis ue P() tem extmete 4 vértices. EUREKA! N 4, 00 4

5 PROBLEMA 5 Ddos x e y iteiros positivos, cosidermos um udriculdo de x y, ue tem pitdos de vermelho os (x ) (y ) potos ue são vértices de udrdihos. Iicilmete há um formig em cd um dos potos vermelhos. Num istte ddo, tods s formigs começm cmihr pels lihs do udriculdo, tods com mesm velocidde. Cd vez ue chegm um poto vermelho, girm 90 em lgum direção. Determie todos os vlores de x e y pr os uis é possível ue s formigs cotiuem movedo-se idefiidmete de meir ue em ehum mometo há dus ou mis formigs um mesmo poto vermelho. (Não iteressm s possíveis coicidêcis em potos ds lihs do udriculdo ue ão são vermelhos.) RESULTADO BRASILEIRO PRIMEIRO NÍVEL (ATÉ Aos) Edurdo Fischer Ectdo RS Medlh de Ouro Pedro Nogueir Mchdo Rio de Jeiro RJ Medlh de Prt Adré Márcio de Lim Curvello Goiâi GO Medlh de Prt Ktj Stephie Ried Vlihos SP Medlh de Broze Ezo Hruo Hirok Moriym São Pulo SP Medlh de Broze Aderso Glerysto Silv Sous Cmpi Grde PB Medlh de Broze Mri Nsser Brolezzi Sto Adré SP Medlh de Broze Arthur Rodrigues de Oliveir Sobrl S. José dos Cmpos SP Meção Horos Cássio Kedi Tkmori S. José dos Cmpos SP Meção Horos Diogo Bofim Mores Mort de Hold Rio de Jeiro RJ Meção Horos SEGUNDO NÍVEL (ATÉ 5 Aos) Fábio Dis Moreir Rio de Jeiro RJ Medlh de Ouro Guilherme Rodrigues Slero Goiâi GO Medlh de Prt Telmo Luis Corre Júior Sto Adré SP Medlh de Prt Thigo Cost Leite Stos São Pulo SP Medlh de Broze Adré Rodrigues Slero Goiâi GO Medlh de Broze Hery Wei Cheg Hsu São Pulo SP Medlh de Broze Rodrigo Aguir Piheiro Fortlez CE Medlh de Broze Rfel Mrii Silv Vil Velh ES Meção Horos Lriss Rodrigues Ribeiro Fortlez CE Meção Horos Dougls Boklig Ag Cuh S. José dos Cmpos SP Meção Horos EUREKA! N 4, 00 5

6 XIII OLIMPÍADA DE MATEMÁTICA DO CONE SUL Eucidos, Soluções e Resultdo Brsileiro A XIII Olimpíd de Mtemátic do Coe Sul foi relizd cidde de Fortlez, Cerá o período de 8 de juho de 00. A euipe brsileir foi liderd pelos professores Yoshihru Kohykw (São Pulo SP) e Lucio Guimrães Cstro (Rio de Jeiro RJ). O Resultdo d Euipe Brsileir BRA Alex Corrê Abreu Ouro BRA Isrel Dourdo Crrh Broze BRA Lriss Cvlcte Queiroz de Lim Ouro BRA 4 Rfel Digo Hirm Ouro PRIMEIRO DIA DURAÇÃO: 4 hors e mei. PROBLEMA : Os luos d turm de Pedro prticm som e multiplicção de úmeros iteiros. A professor escreve os úmeros de 9 em ove fichs, um pr cd úmero, e s coloc em um ur. Pedro retir três fichs e deve clculr som e o produto dos três úmeros correspodetes. A e Juliá fzem o mesmo, esvzido ur. Pedro iform à professor ue retirou três úmeros cosecutivos cujo produto é 5 vezes som. A iform ue ão tem ehum úmero primo, ms sim dois cosecutivos e ue o produto desses três úmeros é 4 vezes som dos mesmos. Quis úmeros retirou Juliá? SOLUÇÃO DE ISRAEL FRANKLIM DOURADO CARRAH (FORTALEZA CE): Diremos ue Pedro escolheu os úmeros P, P e P, A retirou os úmeros A, A e A. Logo, temos ue: P ( P ) ( P ) = 5 ( P P P ) = 5 (P ) = 5 ( P ) e como (P ) é um úmero positivo P ( P ) = 5 = 5 P e ( P ) são divisores de 5 (obvimete P > P ). Assim, temos dus possibiliddes: P =. Absurdo! P = 5 P = = P =. Ok! P = 5 P = Portto, Pedro escolheu os úmeros, 4 e 5. EUREKA! N 4, 00 6

7 Como A escolheu úmeros ue ão são primos os possíveis úmeros retirdos por A são, 6, 8 e 9. (pois e 7 são úmeros primos e, 4 e 5 são úmeros ue já form retirdos por Pedro.) Ms temos tmbém ue A retirou dois úmeros cosecutivos e detre (, 6, 8 e 9) os úicos dois úmeros cosecutivos são 8 e 9 A escolheu os úmeros 8 e 9. Assim: A = 8, A = 9 e A 8 9 = 4 (A 8 9) A 8 = A 7 7A = 7 A =. Logo, A escolheu os úmeros, 8 e 9. Portto, Juliá retirou os úmeros resttes:, 6 e 7. PROBLEMA : De um triâgulo ABC, retâgulo em A, cohecemos: o poto T de tgêci d circuferêci iscrit em ABC com hipoteus BC, o poto D de iterseção d bissetriz iter do âgulo Bˆ com o ldo AC e o poto E de iterseção d bissetriz iter do âgulo Ĉ com o ldo AB. Descrev um costrução com régu e compsso pr obter os potos A, B e C. Justifiue. SOLUÇÃO DE LARISSA CAVALCANTE QUEIROZ DE LIMA (FORTALEZA CE): A b c. BC =, AC = b, AB = c; p = D N E CT = p c; BT = p b sejm Y tl ue EY BC e W tl ue θ DW BC θ. β C. β EC comum W T Y B * EYC AEC ACE ˆ = ECY ˆ ( CE bissetriz) ˆ CAE = EYC ˆ = 90 AE = EY AC = CY = b BD comum * DWB ADB BWD ˆ = BAD ˆ = 90 ˆ ABD = DBW ˆ ( DB bissetriz) DW = AD AB = WB = c EUREKA! N 4, 00 7

8 * WT = WB TB = c (p b) = (c b ) p = p p = p * YT = YC CT = b (p c) = c b p = p D WY ˆ = WYˆ E = 90. T é poto médio de WY. *DEYW é um trpézio retâgulo ( ) Costrução do ABC. Ddos D e E, é fácil obter com régu e compsso o poto N, poto médio de DE. Sbemos ue os potos D, E, Y e W do ABC formm um trpézio retâgulo, sedo T o poto médio de YW NT será bse médi e NT//EY//DW NTY ˆ = 90 NT BC Cohecemos já ret NT, com compsso, mrcmos N ' NT; N' T = TN. A meditriz de NN'é perpediculr NN' em T, portto coicide com ret BC cohecemos gor ret BC. * EY ˆT = 90 pr ecotrr Y, ecotrmos M, poto médio de ET e cotruímos com compsso circuferêci Γ de cetro M pssdo por E e T. Ode Γ ecotrr ret BC será o poto Y (ote ue será o segudo poto de ecotro com BC, o primeiro é T). Alogmete, ecotrmos o poto W o ecotro d circufrêci Γ de diâmetro DT e d ret BC. Dess meir, ecotrmos EY e DW. Com o compsso, ecotrmos Γ de rio EY e cetro E, e Γ 4 de rio DW e cetro D. Γ Γ4 = { A, A' } A será o poto ue está "cim"de DE ( supodo o poto T "bixo"de DE). Ecotrmos etão s rets AE e AD. B = AE BC e C = AD BC Ecotrmos etão ABC obs: Se Y coicidir com T, temos ue W coicidirá com T e p = 0 ou sej, b c = 0 b c = 0 b c = Absurdo! Y T e W T. PROBLEMA : Arldo e Berrdo jogm um Super Btlh Nvl. Cd um tem um tbuleiro x. Arldo coloc brcos em seu tbuleiro (pelo meos um ms ão se sbe utos). Cd brco ocup s css de um lih ou de um colu e os brcos ão podem se superpor em ter um ldo comum. Berrdo mrc m css (represetdo tiros) em seu tbuleiro. Depois ue Berrdo mrcou s m css, Arldo diz uis detre els correspodem posições ocupds por brcos. Berrdo gh se, seguir, descobre uis são s posições de todos os brcos de EUREKA! N 4, 00 8

9 Arldo. Determie o meor vlor de m pr o ul Berrdo pode grtir su vitóri. SOLUÇÃO DE ALEX CORRÊA ABREU (NITERÓI RJ): Supoh 4 (I) Primeiro vemos ue obvimete tem ue mrcr css em tods s lihs e colus, pois se um lih ão tiver ehum cs mrcd obvimete podemos ter um brco em um lih ão djcete portto Berrdo ão sberá se li tem ou ão um brco. De modo álogo pr s colus. (II) Agor supoh ue um cs está mrcd, se lih e colu dess cs ão tiver mis ehum outr cs mrcd, pode vir clhr de rldo ter colocdo pes um brco o tbuleiro e ser extmete ess lih, portto Berrdo ão sbe se o brco está verticl ou horizotl pois só vi ter um cs ode sbe ue o brco está. Etão pr cd cs mrcd existe outr lih ou colu. Cosidere gor ue Arldo mrcou um brco lih i se um cs é mrcd lih i, pr idetificr se o brco está horizotl ou verticl precismos de mis um cs djcete. Se est estiver pitd o brco está verticl (bsedo o deseho) e horizotl cso cotrário. k k k O problem cosiste em pitr blocos k tis ue cd lih e cd colu tem iterseção com um deles, gor se tivermos um k se k > podemos dividir e de fto pes melhormos s coiss etão os blocos são e. M() é o míimo procurdo pr um tbuleiro. EUREKA! N 4, 00 9

10 Se retire s primeirs lis e s primeirs colus etão m() = m() m ( ) pois precismos de A m( ) pois se ão tiver ehum brco s 6 fileirs ue sírm e m() se ão tiver s ue ficrm pois se cosiderrmos só região A. temos ue colocr em cd o míimo, o ue dá mis 6 cotr 4 de m() (tmbém porue podemos dimiuir s itersecções) A m(k) = km() = 4k m(k ) = ( k ) m() m(4) = 4k 4 6 = 4k m(k ) = 4( k ) m(5) = 4k é fácil ver ue m() = 4 pois obvimete ão é e m(4) = 6, m (5) = 7 como o ldo. SEGUNDO DIA DURAÇÃO: 4 hors e mei. PROBLEMA 4: Sej ABCD um udrilátero covexo tl ue sus digois AC e BD são perpediculres. Sej P iterseção de AC e BD e sej M o poto médio de AB. Mostre ue o udrilátero ABCD é iscritível se, e somete se, s rets PM e CD são perpediculres. SOLUÇÃO DE ISRAEL FRANKLIM DOURADO CARRAH (FORTALEZA CE): Primeirmete vejmos udo PM e CD são perpediculres B M θ A 90 θ θ 90 θ θ P 90 θ D.. K θ C EUREKA! N 4, 00 0

11 Sej MP CD = {K}. Como o ABP, retâgulo em P, M é o poto médio d hipoteus AB PM = MA = MB. Assim, sej ABD ˆ = θ MPB ˆ = θ AMˆ P = θ M PA ˆ = 90 θ CPK ˆ = APˆ M = 90 θ e como P KC ˆ = 90 PCˆ D = θ. Logo, ABD ˆ = ACD ˆ = θ O udrilátero ABCD é iscritível! Vejmos gor se ABCD é iscritível: A 90 θ M θ B 90 θ P 90 θ D K θ C Do mesmo modo como M é o poto médio d hipoteus AB do triâgulo retâgulo APB PM = MA = MB. Logo, se A BD ˆ = θ BAP ˆ = MPA ˆ = 90 θ CPˆ K = 90 θ e como ABCD é iscritível ACD ˆ = ABD ˆ = θ PKC ˆ = 80 (90 θ θ ) = 90 MP CD. Portto, ABCD é iscritível PM CD. PROBLEMA 5: Cosidere o cojuto A = {,,, }. Pr cd iteiro k, sej r k mior utidde de elemetos distitos de A ue podemos escolher de meir ue difereç etre dois úmeros escolhidos sej sempre diferete de k. Determie o mior vlor possível de r k, ode k. EUREKA! N 4, 00

12 SOLUÇÃO DE RAFAEL DAIGO HIRAMA (CAMPINAS SP): Vmos lizr csos peueos:,,, 4, 5, 6, 7, 8 k = r k = 4,,, 4, 5, 6, 7, 8, 9 k = r k = 5 k = r k = 4 k = r k = 5 k = r k = 5 k = r k = 6 k = 4 r k = 4 k = 4 r k = 5,,, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0 k = r k = 5 k = r k = 6 k = r k = 6 k = 4 r k = 6 k = 5 r k = 5 Isso me deu idéi pr um lem! m Lem: Pr = m k (m iteiro positivo mior ue ) temos ue r k = k Prov: Podemos dividir os úmeros em css de cogruêcis módulo k. Por exemplo o 0. Seus compoetes serão k, k, k,...,mk. Como difereç etre dois deles deve ser diferete de k, ão podemos escolher dois úmeros cosecutivos ess seüêci. Sempre deve hver um "usete" ou mis etre dois "presetes". Pr m pr temos m m ue só poderemos ter escolhidos pois cso tehmos escolhidos teremos m ão escolhidos, ms pr seprr os escolhidos (pr ão serem cosecutivos) m deverímos ter pelo meos ão escolhidos. Absurdo. m m Pr m ímpr teremos escolhidos ue podem ser espçdos pelos ão m m escolhidos. Do mesmo modo, pr deverímos ter espços ms só m m terim sobrdo m = ão escolhidos ue ão são suficietes. EUREKA! N 4, 00

13 Como temos k css de cogruêci com m úmeros cd e pelo fto de m se é ímpr m m m = temos ue r k = k. m se m é pr Agor precismos ver como trsformr o lem em lgo ue sej mis versátil o osso problem, ou sej, ão devemos ter de usr o fto = m k. Alizdo mis csos peueos estou cojecturdo ue o r k máximo é. Vmos provr ue r k pr todo k. Supoh o cotrário, ue há r k >. Logo vmos provr primeiro ue em um cs de cogruêci módulo k com j termos o proveitmeto máximo de termos é do totl j de termos. Temos seguite regr: se x form escolhidos etão pelo meos x x ão podem ter sido. Logo devemos provr ue j x. Sbemos ue j j x x, portto vle j x [ x ( x ) ] x 4x x x. Pr x já está provdo. Ms se escolhermos x = ecessrimete j = pois se j =, ou sej, se há somete um úmero etre e com cogruêci módulo k sigific ue k >, etão k > o ue cotrdiz o eucido. Nesse cso o proveitmeto é ue é meor ue. Chmdo o proveitmeto pr cs de cogruêci i de i e o úmero de termos ess cs de cogruêci de b i temos rk = b b... kbk ( b b b... bk ) = ( pois b b... bk = ) portto r k como r k é iteiro r k máximo é. Flt provr existêci de tl r k. Se fz ssim: EUREKA! N 4, 00

14 Divide-se por e rredod-o pr cim. Esse é o osso k.. k = É obvio ue pr, k. ( se = k ão existe) Se = k etão r k = e é máximo Se = k = k etão terímos, em relção o cso cim perd de um termo, escolher. O k r k máximo é r ( ) = = = k Se = k = k do mesmo modo perdemos em relção o primeiro cso r ( ) = = = k. Portto o motr o cso = k escolhe-se:,,,..., k, k, k,..., k totlizdo k termos O cso = k e = k retir-se o k; e o k e o k respectivmete. = ão podemos ter k k Respost: rk máximo é Obs: x mior iteiro meor ou igul x x < x x x iteiro x x < x x iteiro. x meor iteiro mior ou igul x PROBLEMA 6: Dizemos ue um iteiro,, >, é esolrdo se ele é divisível pel som dos seus ftores primos. Por exemplo, 90 é esolrdo pois 90 = 5 e 5 = 0 00 divide 90. Mostre ue existe um úmero esolrdo com pelo meos 0 ftores primos distitos. EUREKA! N 4, 00 4

15 SOLUÇÃO DE RAFAEL DAIGO HIRAMA (CAMPINAS SP): Vmos ver csos peueos: 5 = 0 e é esolrdo pois 5 = 0 0 Olh só ue iteresste: se escolhemos lgus úmeros primos e som deles puder ser escrit como um produto uluer deles o produto de todos esses primos vezes som deles é um úmero esolrdo, liás o mmc é esolrdo. Vmos ver té ode isso vi: 5 7 = 7 drog! 7 é primo, vmos dptr = 4 e 4 = 7 mmc (4, 5 7 7) = ue é esolrdo 5 7 = 8 e 8 = 7 mmc ( 8, 5 7 ) = 5 7 ue é esolrdo 5 7 = = 8 e 8 = é esolrdo. α α α Prov gerl: p p p p 4... p = x, x = p p... p (ou sej, ão tem ftores primos lém dos p p, ms α pode ser 0) i β β β = y mmc(p p p...p ), x) = p p... p. Como x y e y só tem ftores p, p,..., p, y é esolrdo. Percebedo os meus testes podemos ver um modo de dptr se tivermos som desses primos um úmero primo diferete dos teriores. E se tivermos mis? p p p α α α α 4 α α α α <... < p e p p... p = p p p p... p p p p... < < 4 α α α α α α p p... p p = p ( p p p... p p p... ) este úmero é com certez meor ue som iicil logo terá um limite pr seus ftores primos. Fzedo: β β β β β β p p... p p p p p... p p p... = β β β β 4 β β β p... p p p = p ( p p p p4... p p p... p ) Clm, podemos evitr tudo isso se escolhermos os primeiros primos: 5... p = x p. Se tivesem dois primos p i e p j em x tl ue i, j > teremos p i p j x p. Ms perceb ue p k > k pr todo k (isso cotece porue seüêci dos k percorre todos os turis euto dos p k "pul" vários turis). Cotiudo Vmos provr ue p < p i p j, ão o cotrário. p p i j > p p EUREKA! N 4, 00 5

16 pi p j > p Logo em x só pode hver um ftor primo diferete dos,, 5,..., p. Usremos p i e do mesmo modo vemos ue x ão é divisível dus vezes por p i (é só fzer j = i) 5...p = m p i p p m p p Olhe só, como < porue p < p i porue < i, m < só ue < p m < p p i Como m e p são iteiros m p Agor proto: 5... p = m p i 5... p p i = (m ) p i ms como m p, m pode ser escrito como produto dos primos,, 5,..., p, α α α ou sej 5... p p =... p p. i i α α α 5... p pi =... p pi α α α mx( α,) mx( α,) mx( α,) (... p pi, 5... p pi ) =... p Como mmc pi liás, como m p α = 0 ou, ou sej mx(α, ) = Como ueremos 0 00 primos distitos, se... p 00 ão for ftorável os 0 i 00 os 0 primeiros primos primos,,..., p 00 ele será d form m p i, i > m < p Com isso... p 00 p 0 i = ( m ) pi, ue é ftorável em,,5,..., p 00, pi já ue m 00. p 0 Logo pelo meos um etre... p 0 00 p i α α α β β 0, p ou... p 0 00 pi, com, com α i e úmero esolrdo com 0 00 ou 0 00 (ou mbos) ftores primos distitos Alis, esse método prov ue pr todo t iteiro positivo existe pelo meos um úmero esolrdo com t ftores primos ou pelo meos um úmero esolrdo com t ftores primos (ou mbos). x, se Obs. mx( x, y) = y, se β i suficietemete grdes são esolrdos, ou sej, há um x y y x β 0 EUREKA! N 4, 00 6

17 XLIII OLIMPÍADA INTERNACIONAL DE MATEMÁTICA Eucidos e Resultdo Brsileiro A LXIII Olimpíd Iterciol de Mtemátic foi relizd cidde de Glsgow, Reio Uido o período de 8 de julho de 00. A euipe brsileir foi liderd pelos professores Edmilso Mott (São Pulo SP) e Rlph Cost Teixeir (Niterói RJ). O Resultdo d Euipe Brsileir BRA Alex Corrê Abreu Broze BRA Lriss Cvlcte Queiroz de Lim Prt BRA Guilherme Isso Cmrih Fujiwr Broze BRA 4 Yuri Gomes Lim Broze BRA 5 Dvi Máximo Alexdrio Nogueir Broze BRA 6 Thigo d Silv Sobrl Broze PRIMEIRO DIA DURAÇÃO: 4 hors e mei. PROBLEMA Sej um iteiro positivo. Sej T o cojuto de potos (x; y) o plo ode x e y são iteiros ão egtivos e x y <. Cd poto de T é pitdo de vermelho ou zul. Se um poto (x; y) é vermelho, etão todos os potos (x'; y') com x' x e y' y tmbém são. Um cojuto X é um cojuto de potos zuis com bcisss tods distits, e um cojuto Y é um cojuto de potos zuis com ordeds tods distits. Prove ue o úmero de cojutos X é igul o úmero de cojutos Y. PROBLEMA Sej BC um diâmetro do círculo Γ de cetro O. Sej A um poto de Γ tl ue < AOB < 0. Sej D o poto médio do rco AB ue ão cotém C. A ret ue pss por O e é prlel DA ecotr ret AC em J. A meditriz de OA cort Γ em E e F. Prove ue J é o icetro do triâgulo CEF. PROBLEMA Ecotre todos os pres de iteiros m, tis ue há ifiitos iteiros positivos m pr os uis é iteiro. EUREKA! N 4, 00 7

18 SEGUNDO DIA DURAÇÃO: 4 hors e mei. PROBLEMA 4 Sej iteiro mior ue. Os divisores positivos de são d, d,,d k, ode = d < d <... < d k = Sej D = d d d d d k d k. () Prove ue D <. (b) Ecotre todos os vlores de pr os uis D é um divisor de. PROBLEMA 5 Ecotre tods s fuções f de 5 em 5 tis ue pr todo x, y, z, t 5. ( f ( x) f ( z))( f ( y) f ( t)) = f ( xy zt) f ( xt yz) PROBLEMA 6 Sejm Γ, Γ,..., Γ círculos de rio o plo, ode. Seus cetros são O, O,,O, respectivmete. Supoh ue ão exist ret ue itercepte mis ue dois dos círculos. Prove ue ( ) π. O O 4 i< j i j EUREKA! N 4, 00 8

19 MUROS, PRÉDIOS E ESCADAS Cícero de Oliveir Holmer, São Pulo SP Nível Avçdo. Há um clássico problem de máximos e míimos cujo eucido evolve um prédio (tão lto uto se ueir) e um muro de ltur h, à um distâci d deste prédio. Pretede-se colocr um escd, poid o muro, prtir do solo e lcçdo o prédio, coforme o esuem: h Pergut-se etão o seguite: Qul é o comprimeto míimo d escd? Vmos motr um modelo, cosiderdo um triâgulo retâgulo ABC e um retâgulo APQR iscrito este triâgulo: d C Q R B Sedo PQ =, QR = b e m( ABC ˆ ) = θ, θ P temos: b.cosθ b seθ BC = BQ QC =. Assim, BC = f (θ ) e f '( θ ) = seθ cosθ se θ cos θ cosθ b seθ Pr termos BC míimo, é preciso ue f '( θ ) = 0, isto é, = 0 se θ cos θ b seθ cosθ se θ = = tgθ = (I). cos θ se θ cos θ b b Pelo teorem de Pitágors, BC = BA AC BC = ( BP PA) ( AR RC) = A EUREKA! N 4, 00 9

20 = b ( b tgθ ). tgθ Como BC deve ser míimo, de (I), temos: = BC = b b b b b = b b = = b b b b b b b b b = b b b = BC = Portto, o comprimeto míimo d escd deve ser h d. Vmos gor cosiderr um situção com vlores uméricos (tlvez você poss proveitr melhor o ue vem seguir tedo em mãos ppel, cet e, se possível, um bo clculdor). A prtir de um triâgulo retâgulo bem cohecido, de ldos, 4 e 5, e outro triâgulo semelhte, por exemplo o de ldos 9, e 5, podemos motr figur: C b. 0 m Q 9 m 5 m m B 4 m P 8 m Formulmos, etão, o seguite problem: Se o muro tem metros de ltur, distâci do muro o prédio é igul 8 metros e escd tem 5 metros de comprimeto, poderímos firmr ue distâci do pé d escd o muro é igul 4 metros? A EUREKA! N 4, 00 0

21 Vejmos: 8 = 9 4 O meor comprimeto possível d escd é de ( ) metros. Pode-se verificr ue ( 9 4) 5, < e isto uer dizer ue há dus meirs distits de posiciormos escd e, portto, existem dus distâcis possíveis do pé d escd o muro. Vmos etão, ovmete, motr um modelo: C 5 Q B X P 8 A Um solução possível, clro, é x = 4 metros. Busuemos outr solução: PBQ ~ ABC, logo No BPQ temos BP BQ = BA BC x BQ x 8 5 x = BQ = 5 x 8 5 x 4 x = BQ x = 9 x 6 x 5 x 44 x 576 = 0 x 8 Aplicdo-se o lgoritmo de Briot-Ruffii, obtemos: Assim, outr solução é riz de x 0x 7x 44 = 0. É possível mostrr ue ess eução tem dus rízes reis egtivs e um riz rel positiv, ue é proximdmete 4,7454 e pode ser escrit como EUREKA! N 4, 00

22 567 rccos cos 5 (ver por exemplo [] pr um método de resolução de euções do terceiro e urto grus). Assim, s possíveis distâcis do pé d escd o muro, são de 4 metros e de 567 rccos cos 5 = 4, metros. Referêcis Bibliográfics [] Piskuov N., Cálculo Diferecil e Itegrl, Tomos I e II, Ed. Mir 977 [] Demidovitch B., Problems e Exercícios de Aálise Mtemátic, Ed. Mir 978 [] Moreir, C.G., Um solução ds euções do terceiro e urto grus, RPM 5, pp. -8. EUREKA! N 4, 00

23 Nível Avçdo. Sociedde Brsileir de Mtemátic INTEIROS DE GAUSS E INTEIROS DE EISENSTEIN Guilherme Fujiwr, São Pulo SP Vmos bordr esse rtigo ritmétic de dois cojutos de iteiros lgébricos: os Iteiros de Guss e os Iteiros de Eisestei.. INTEIROS DE GAUSS Defiimos o cojuto =[i] dos iteiros de Guss como =[i] = { bi, b =}, ode (i = ). A seguir veremos s dus coiss mis importtes de su ritmétic, o teorem d ftorção úic e os primos.. Norm Vmos defiir um fução N: =[i] = chmd orm, tl ue z =[i], N(z) = z z sedo z o cojugdo complexo de z. Observe ue como b = b, etão N ( ) N( b) = bb = b b = b b = N( b), ou sej, orm é multiplictiv... Uiddes As uiddes em =[i], logmete =, são todos os elemetos z =[i] ue possuem iverso, ou sej, ue z ' = [ i] tl ue z z'=. Segue ue se z = bi é um uidde, etão = N( z z' ) = N( z) N( z' ) N( z) = b = = ±, b = 0 ou = 0, b = ± = = ± ou = = ± i, e como esses utro tem iverso, tods s uiddes são ± e ± i. Observe etão ue x =[i] é uidde N( x) =... Divisibilidde Dizemos ue pr, b =[i], b (lê-se divide b) se c =[i] tl ue b = c..4. Divisão Euclidi Vmos ver como fucio divisão euclidi. A divisão Euclidi é existêci de, r = [ i],, b = [ i], b 0 tl ue = b r, sedo 0 N ( r) < N( b). Pr demostrá-l, bst dividir: = x yi, b = z wi, ode x, y, z, w =. EUREKA! N 4, 00

24 b x = z yi x = wi z yi z wi z wi wi xz xwi yzi ywi z w = xz yw z w yz xw i z w xz yw yz xw Tommos m e como os iteiros mis próximos de e z w z w xz yw yz xw respectivmete. Note ue m, Se = (m i), etão: z w z w yz xw yz xw r = b = b = b m i b z w z w N( b) N ( r) N( b) = < N( b),.5. Lem de Euclides A prtir d divisão euclidi podemos demostrr o lem de Euclides, ou sej, se p é um primo de Guss (ou sej, ão pode ser escrito como o produto de dois iteiros de Guss cujs orms são miores ue ), etão sedo, b =[i], p b p ou p b. Pr demostrá-lo, vmos fzer sucessivs divisões euclidis, sedo 0 = e = p. Sej k o resto d divisão euclidi de k por k. Temos etão s divisões: = 0 = = = = Observe ue como k 0 N( k ) < N( k ), podemos tomr tl ue N( ) = 0, ou sej, = 0. Logo. Observe ue k e k k. Logo e, etão idutivmete,, k 0 k, prticulrmete = e k = p. Tomdo s j primeirs euções e relizdo substituições deuds, temos ue j = x j y j 0 = x j p y j ; prticulrmete = x p y. 4 0 EUREKA! N 4, 00 4

25 Voltdo o lem, vej ue se p etão o lem está certo. Se p ão divide, etão, como p, e = x p y, etão {; ; i; i} e temos: = x p y b = demostrção. ( px b by ) p b, pois p b, o ue coclui.6. Ftorção úic A ftorção úic é um ds proprieddes mis usds em problems evolvedo úmeros iteiros. Vmos prová-l pr os iteiros de Guss. Primeirmete provremos ue todo iteiro z de Guss com orm mior ue pode ser escrito como o produto de um ou mis primos de Guss. Se N(z) =, como é primo e orm é multiplictiv, etão z é primo, portto está provdo. Cosidere N(z) >. Se z é primo ftorção é imedit. Se z ão é primo, etão z = b N(z) = N() N(b), ode N(), N(b) >, portto N(), N(b) < N(z). Podemos supor, por idução, ue se N(x) < N(z), etão x é ftorável. Logo e b são ftoráveis, e portto z. Pr provr ue est ftorção é uic, bst cosiderr s dus ftorções p p p e m. Supoh, por idução, ue p p p = ε m, sedo ε um uidde, implic ue seüêci (p i ) é um permutção ( meos ue sejm multiplicções por uiddes) d ( i ). Se mx{; m} =, etão o resultdo é imedito. Supodo ue ele vle se mx{'; m'}< mx{; m}, pelo lem de Euclides, vemos ue pr lgum i, p i. Sem perd de geerlidde, i = m. Como p e m são primos, etão m = ε'p, ode ε' é um uidde. Logo p p p = ε m p p p = εε '... m. Por idução, p, p,...,p - é um permutção ( meos ue sejm multiplicções por uiddes) de,,, m, portto ftorção úic está provd..7. Números primos Vmos gor ver uem são os úmeros primos em Z[i]. Observe ue se N(π) é primo em =, etão π é um primo de Guss (pois se π ftor etão N(π) ftor). Observe ue todo primo π divide N(π), portto ele deve dividir o meos um ftor primo em = de N(π). Se π dividir o meos dois úmeros distitos (bsolutmete) x e y primos em =, como sempre é possível tomr, b = tl ue x by =, terímos π, um bsurdo. Logo todo primo de Guss divide extmete um primo iteiro positivo (e seu oposto egtivo) em =. Sej esse primo iteiro positivo p. Temos três csos: Se p é pr, etão p =. Sedo π = bi, etão b = π = ± ± i, e obtemos os utro primos i, i, i e i. Observe ue eles são dois dois um multiplicção por um uidde do outro. EUREKA! N 4, 00 5

26 Se p (mód. 4), como x = x 0 ou (mód. 4), etão, se existisse π = c di, c, d Z, < N(π) < p tl ue p = πϕ, é fcil ver ue, como p é um primo iteiro ϕ = c di, logo p = c d 0, ou (mod.4), bsurdo, pois p = 4k. Logo p é um primo de Guss. Se p (mód. 4), etão, sedo x = ( p )/, etão: ( p ) ( p ) x ( p ) ( p ) ( p ) ( p ) ( p ) ( mód. p) Logo p x = ( x i)( x i). Como π é um primo de Guss ue divide p, etão π Z, π x i ou π x i π, bsurdo. Portto π =[i] tl ue p = πϕ. Sej π = bi e ϕ = c di,, b, c, d Z. Como p é primo em z, etão mdc(; b) = mdc(c;d) =. Temos p = ( bi)(c di) = c bd (bc d)i. Como p Z, etão bc = d ( = c e b = d) ou ( = c e b = d) ϕ = ± π. Como p > 0, etão ϕ = π N ( π ) = p, logo π é primo (e π e seu cojugdo são úicos primos de Guss ue dividem p). Portto vimos ue os úmeros primos em =[i] são: () O primo i e seus produtos pels uiddes. () Os primos p em = tl ue p (mod. 4) e seus produtos pels uiddes. () Pr cd primo p em = tl ue p (mod. 4), os primos bi, bi e seus produtos pels uiddes, sedo b = p..8. Ters pitágorics Agor ue já vimos ritmétic básic dos iteiros de Guss, vmos começr com um resultdo simples e iteresste. Vmos chr s soluções d eução b = c, sedo, b, c =. Sej m = mdc(; b), ' = /m e b' = b/m. Temos etão m ( b ) = c m c. Sej etão c' = c/m, temos ' b' = c', mdc(';b';c') =. Note ue ' b' = c' (' b'i)(' b'i) = c'. Observe ue se d = mdc(' b'i; ' b'i), etão d ' e d b' d. Se d ão divide, etão d ' b' ' e b' são ímpres, o ue é um bsurdo, bst ver cogruêci módulo 4. Portto d ' b'i e ' b'i são primos etre si, logo mbos são udrdos perfeitos. Observe tmbém ue uisuer 'e b' primos etre si tis ue ' b'i e ' b'i são udrdos perfeitos são soluções d eução. Portto 'e b' formm um solução se e somete se existem x, y, z, w = tl ue: EUREKA! N 4, 00 6

27 ' b' i = ( x yi) ' b' i = ( z wi) ' b' i = ( x yi) ' b' i = ( x yi) ' b' i = ( x yi) ' = x y b' = xy Vej etão ue ' e b' são primos etre si se e só se x e y são primos etre si. Logo s soluções são = (x y ) d, b = xy d, ou vice-vers, e coseüetemete c = (x y ) d, pr x, y, d =, sedo x e y primos etre si..9. O úmero de represetções de um iteiro como som de dois udrdos Provremos gor o seguite Teorem. Ddo, o úmero de pres, b = tis ue = b é igul utro vezes difereç etre o úmero de divisores d form 4k de e o úmero de divisores d form 4k de. Podemos expressr d form: α α αk β β βm βm = p... p ( )... ( ) k Sedo p i primos de Guss iteiros (d form 4k ) e os pres de cojugdos i i primos de Guss (N( i ) d form 4k ) e esses primos diferem dois dois por mis do ue um multiplicção por um uidde. Sedo = b = ( bi)( bi), etão, pelo teorem d ftorção úic e multiplicidde do cojugdo, temos: α α α k γ β γ m m m bi = ε ( i) p... pk ( )... m ( m ), ode 0 γ i β i e ε é um uidde. Portto o úmero de represetções de m como som de dois udrdos será 0 se lgum α i for ímpr e será 4(β ) (β m ) se todos α i forem pres, sedo o ftor 4 pois há 4 escolhs possíveis pr uidde. Observe gor ue ftorção de em primos iteiros será: α α α k β βm = p... pk N( )... N( m ) Ode p i serão primos d form 4k e N( i ) serão primos d form 4k. Observe gor ue um divisor ímpr de será d form: k b b d = p... p ( )... ( ) m k N N m, ode α,..., k α k, b β,..., bm β m Note ue se k é pr, etão d é d form 4k, se for ímpr é d form 4k. Portto, coseguimos verificr ue se lgum α i for ímpr, o úmero de d s d form 4k será igul o úmero de d s d form 4k, e se todos os α i forem pres, difereç etre esses úmeros será (β ) (β m ), o ue termi demostrção do teorem. γ i m β γ m EUREKA! N 4, 00 7

28 .0. Problems Problem. Determie todos os pres x, y = tl ue y = x Problem. Sejm x, y, z tis ue xy = z. Prove ue existem iteiros, b, c, d tis ue x = b, y = c d e z = c bd. Problem. Prove ue existem dus seüêcis iteirs ( ) e (b ) ifiits e estritmete crescetes tis ue k ( k ) divide b pr todo turl k.. INTEIROS DE EISENSTEIN Vmos gor ver os Iteiros de Eisestei. Defiimos o cojuto =[ω] dos iteiros i de Eisestei como =[ω] = { bω, b =}, sedo ω =, dode ω ω = 0. Pr ζ = bω =[ω] defiiremos orm como N(ζ) = ζ ζ = b b. Observe ue ess orm segue s mesms proprieddes d orm dos iteiros de Guss (é iteir ão egtiv e multiplictiv)... Uiddes As uiddes em =[ω] são defiids como os seus elemetos ue possuem iverso, ou sej u, tl ue u tl ue u u = N(u) = u = ±, ±ω, ±( ω), e verificmos ue esses utro úmeros tem iverso, portto u é uidde se, e só se N(u) =. Obs. Note ue ± ( ω ) = ± ω... Divisão Euclidi Pr provr existêci de divisão Euclidi etre, b =[ω], b 0. Sejm α e β tis ue: = α βω b Tomdo = c dω, tis ue c e d são respectivmete os iteiros mis próximos de α e β. Portto: r = b = b( α βω ) N( r) = = N( b)(( α c) ( α c)( β d) ( β d) ) N( b) < N( b) Portto existe divisão Euclidi. k EUREKA! N 4, 00 8

29 .. Teorem d ftorção Úic Note ue, pr os iteiros de Guss, provmos o lem de Euclides e ftorção úic, usdo somete o fto de ue existe divisão Euclidi, portto, seguido os mesmos pssos pr provr o lem de Euclides e ftorção úic, provremos ftorção úic pr os iteiros de Eisestei..4. Primos Tudo é muito precido com os iteiros de Guss: N(π) é primo em = π é primo em =[ω]; todo primo π em =[ω] divide extmete um primo iteiro positivo. A demostrção desses dois ftos é extmete igul ue foi dd seção de iteiros de Guss. Sej p o iteiro positivo primo ue o primo, π em Z[ω] divide. Temos três csos: Se p é d form k, etão p =, e obtemos π = ±( ω) ou ±( ω). Se p é d form k, como b b só é d form k ou k (verifiue você mesmo), etão p é um primo de em Z[ω] tl ue N(π) = p. Se p é d form k, pel lei d reprocidde udrátic*: p = ( ) p p = = p Portto existe x iteiro tl ue p ( x ) = x x = ( x ω )( x ω ), e como p ão divide, etão p ão é primo em Z[ω] e existem π e ψ tl ue πψ = p. Como p é um primo iteiro, etão ψ = π, logo π e π = ψ são primos em =[ω] e π π = p. Portto os primos em =[ω] são: () O primo ω e sus multiplicções por uiddes. () Os primos iteiros d form k e seus produtos pels uiddes, ue tmbém são primos em =[ω]. () Pr todo primo iteiro p d form k, os primos π e π tl ue ππ = p e seus produtos pels uiddes são primos em =[ω]. *A lei de reciprocidde udrátic de Guss diz o seguite: ddos = e p = primo ue ão divide, defiimos, se é resíduo udrático mod. p. = Pr p, = primos ímpres com p > 0 p 0, cso cotrário. p vle sempre p = ( ). p EUREKA! N 4, 00 9

30 .5. Exemplo Ache todos os, b, c Sociedde Brsileir de Mtemátic * = ldos de um triâgulo com um âgulo de 60 o. Vmos supor, sem perd de geerlidde, ue o âgulo de 60 o é etre os ldos de medids e b. Pel lei dos co-seos, temos: c = b b cos(60 ) = b b = ( bω)( bω) Observe semelhç deste problem com o ds ters pitgórics. Sej m = mdc(; b), = 'm, b = b'm. Segue ue m c m c, e teremos c = c'm. Logo c = b b c' = ' b' ' b ', e temos mdc('; b'; c') =. Sej d tl ue d ' b' ω e d ' b' ω. Segue ue d ' e d b', logo d. Se d ão divide, etão d ' ' b' b' ' e b ', bsurdo, logo d, e portto: ' = x y ' b' ω = ( x yω) = x y (xy y ) ω b' = xy y Portto s soluções são = ( x y ) m, b = (xy y ) m e c = ( x xy y ) m, pr todo x, y, m = com x > y, e s permutções de, b e c. Outro bom exemplo de plicção dos iteiros de Eisestei é o problem 6 d IMO de 00: Sejm, b, c, d iteiros com > b > c > d > 0. Cosidere ue c bd = ( b d c)( b d c) Prove ue b cd ão é primo. Primeirmete vmos mostrr por ue usr iteiros de Eisestei: c bd = ( b d c)( b d c) c bd = b bd b bc bd d d cd b d cbccd cc b bd d = c c Aí vemos por ue usr iteiros de Eisestei. ( b dω)( b dω ) = ( cω)( cω ) Observe ue como, b, c >, etão mdc(b; d) > b cd ão é primo, logo podemos supor ue b e d são primos etre si. Alogmete supomos ue mdc(; c) = mdc(; d) = mdc(b; c) =. EUREKA! N 4, 00 0

31 Sej π um primo em = [ω ] tl ue π b dω. Vmos provr ue π ão divide cω π ão divide cω, e segue ue b dω cω. Supoh etão ue π cω. Vej ue N ( π ) ( b dω)( cω), e temos ( b dω )( cω) = b cd ( bc cd d) ω Como N( π ) =, e N ( π ) ( b dω)( cω), etão N (π ) b cd e, supodo b cd primo, terímos b cd = N(π ). Ms esse cso segue ue k k b dω = επ b dω = ε π cω = ε ' π, sedo ε e ε ' uiddes. Se µ = ε' / ε, etão b d dω = b dω = µ ( cω). Cosiderdo o fto de mdc(b; d) = mdc(; c) = mdc(b; c) = e ue > b > c > d > 0, temos ue isto é um bsurdo ( verificção fic pr o leitor, bst cosiderr s 6 possibiliddes pr µ ). Logo b dω cω, e logmete cω b dω. Portto b dω = υ( cω), ode υ é um uidde. Novmete, bst verificr tods s possibiliddes pr υ e verificr ue isto é um bsurdo. Portto b cd ão é primo..6. Problems Deixmos ui mis lgus problems pr o leitor: Problem. () Prove ue, pr cd iteiro, o úmero de soluções iteirs de x xy y = é fiito e divisível por 6. (b) Determie tods s soluções iteirs de x xy y = 77. Problem. Mostre ue eução diofti x y z = 0 só tem soluções triviis, ou sej, tis ue xyz = 0. Problem. Prove ue se é um iteiro positivo tl ue eução x xy y = tem soluções em iteiros (x; y), etão el tem pelo meos três soluções. k EUREKA! N 4, 00

32 Nível Itermediário. Sociedde Brsileir de Mtemátic SEQÜÊNCIAS ARITMÉTICO-GEOMÉTRICAS José Pulo Creiro & Crlos Gustvo Moreir A) Seüêcis Aritmético-Geométrics ( à l Zé Pulo) Um progressão ritmétic (PA) é um seüêci tl ue cd termo é igul o terior diciodo de um costte ( rzão), isto é, seu termo gerl ( ) stisfz à relção de recorrêci =. Dí se deduz, como é cohecido, ue r = ( ) r. Alogmete, um progressão geométric (PG) é um seüêci tl ue cd termo é igul o terior multiplicdo por um costte ( rzão), isto é, seu termo gerl ( ) stisfz à relção de recorrêci =. Dí se deduz, como é cohecido, ue =. Existe um outro tipo de seüêci ue prece freüetemete, ue é um espécie de mistur de um PA e um PG. É uel cujo termo gerl ( ) stisfz relção de recorrêci = r, e ue vmos chmr de seüêci ritméticogeométric (à l Zé Pulo) (SAG), de "rzão geométric" e "rzão ritmétic" r. (só vmos cosiderr os csos em ue r 0 e, pr ão recir um PA ou um PG.) Observemos ue, um vez cohecido o primeiro termo e relção de recorrêci = r, cohecem-se sucessivmete,, etc., e, em pricípio, todos os. Ms permece o iteresse em determir um expressão explícit pr o termo gerl de um SAG em fução de, um vez cohecidos r, e. Um exemplo de SAG prece solução do célebre problem d Torre de Hói (ver []), ode são ddos três pios A, B e C, e se uer determir o úmero míimo de movimetos ecessários pr se mover do pio A pr um dos dois outros pios um pilh de discos de tmhos desiguis, de modo ue uc um disco mior fiue em cim de um disco meor. Se for o úmero procurdo, podemos rciocir ue, iicilmete, vão ser ecessários movimetos pr mover os discos superiores pr o pio B, digmos; em seguid, um movimeto pr mover o mior de todos os discos pr o pio C; e filmete, mis movimetos pr mover pilh restte pr C e completr operção. Portto, stisfz à relção de recorrêci = =, lém d codição iicil =. A prtir dí, podem ser determidos sucessivmete: = =, = = 7, e ssim por dite. Um seüêci costte pode ser cosiderd um PA de rzão 0 ou um PG de rzão. EUREKA! N 4, 00

33 Um pergut iteresste é: um SAG pode ser um seüêci costte? É clro ue, se c for este vlor costte, isto ocorrerá se e só se: c = c r, ou sej: r c =. Vmos gor determir um expressão explícit pr o termo gerl de um SAG em fução de. Pr isto, cosideremos dus SAGs uisuer, de termos geris, respectivmete, e b, ue tehm mesm rzão ritmétic r e mesm rzão geométric, e cosideremos su difereç d = b. Como = r e b = b r, etão d = b = ( b ) = d. Ms isto mostr ue (d ) é um PG de rzão e, portto: d = d, ou sej: b = ( b ), ou id: = b ( b ). Como e b erm SAGs uisuer, est fórmul idic como uluer SAG pode ser obtid de outr ue teh mesm rzão ritmétic e mesm rzão geométric, podemos tomr b costte e igul r r r, obtedo: =, ue é expressão ue se procurv pr. Por exemplo, o cso d Torre de Hói, =, com =. Portto: =. Vle pe crescetr ue, se SAG tiver um ifiidde de termos e <, etão r tede zero, udo tede ifiito. Portto, tede. Por exemplo: seüêci ifiit defiid por: =, com = tem 5 6 termos: ; ; ; ;..., ou, em decimis:,000; 0,600; 0,50; 0,504; Como =, est seüêci é um SAG com r = e =, de modo ue seu termo gerl é =, e o seu limite é = 0,5. 5 B) Seüêcis Aritmético-Geométrics ( à l Gugu ) N seção terior defiimos seüêcis ritmético-geométrics (à l Zé Pulo) geerlizdo s recorrêcis de PA's e PG's. Vmos dotr gor um poto de vist ltertivo, geerlizdo fórmul do termo gerl de PA's e PG's. EUREKA! N 4, 00

34 EUREKA! N 4, 00 4 Lembremos ue em um PA de termo iicil 0 = e rzão r temos = r, e um PG de termo iicil 0 = e rzão, temos =. Fzemos, ispirdos esss fórmuls, seguite defiição: Defiição: Um progressão Aritmético-Geométric (PAG) (à l Gugu) é um seüêci ( ) cujo termo gerl stisfz fórmul = ( r),. Note ue se r = 0 oss PAG é um PG, e se = oss PAG é um PA. É iteresste obter um fórmul pr som dos primeiros termos de um PAG (s = = 0 j ), ul geerlizri s fórmuls pr som dos primeiros termos de PG's ( pricípio geerlizri tmbém de PA's, ms suporemos. Se fizermos teder fórmul tederá à fórmul d som dos primeiros termos de um PA). Temos s = = 0. ) ( j j jr Etão = = = = = 0 ) ) ( ( ) ( j j r jr s = = = = 0 0 ) ) ( ( ) ( ) ( r s r r r " e, portto, ( ) ( ) = = = ) ) ( ( ) ( r r r s r r s. ) ( ) ( = r r r Note ue se r = 0 expressão cim se reduz, ) ( ) ( ) ( = ue é fórmul d som dos primeiros termos de um PG. Notemos filmete ue SAG's e PAG's stisfzem recorrêcis lieres homogêes (ver []): Pr SAG's, temos, r = = logo = ) (, e pr PAG's, otmos ue se b / =, temos b = r, e = = = = = b b b b b r b b. = Os poliômios crcterísticos desss recorrêcis são respectivmete ) )( ( ) ( = x x x x e x x = (x ). Referêci: [] Héctor Soz Pollm, Euções de Recorrêci, Eurek! N o. 9, pp [] Crlos Yuzo Shie, A torre de Hói, Eurek! N o., pp. 7-.

35 O PRINCÍPIO DA INVARIÂNCIA Mrcelo Rufio de Oliveir, Belém PA Artigo bsedo em ul miistrd o II Teorem, Fortlez CE Nível Itermediário. Um ds pricipis estrtégis pr resolução de problems de olimpíds é procur por ivrites. O fudmeto do Pricípio d Ivriâci é simples: busc pelo ue se mtém costte udo um operção permitid é relizd. Etre s pricipis forms de ivrites destcm-se três, ue serão presetds seguir trvés de exemplos resolvidos.. Expressões ou Vlores Numéricos Ivrites Exemplo.: Começdo com o cojuto {, 4, }, é permitido pgr dois úmeros e b e escrever em seus lugres 0,6. 0,8.b e 0,8. 0,6.b. É possível chegr o cojuto {4, 6, }? Resolução: Repre ue (0,6. 0,8.b) (0,8. 0,6.b) = b, implicdo ue som dos udrdos dos úmeros dos cojutos obtidos é ivrite. Como 4 = e 4 6 = 4 etão ão é possível chegr o cojuto {4, 6, }. Exemplo.: (Mio-99) Em cd um dos 0 degrus de um escd existe um rã. Cd rã pode, de um pulo, colocr-se em outro degru, ms udo um rã fz isso, o mesmo tempo, um outr rã pulrá mesm utidde de degrus em setido cotrário: um sobe e outr desce. Coseguirão s rãs colocr-se tods juts um mesmo degru? Resolução: Numeremos os degrus de 0 e ssociemos cd rã o úmero do degru ue ocupm. O somtório iicil destes vlores é S = 0 = 55. Perceb gor ue este somtório é ivrite, pois udo um rã sobe um cert utidde x de degrus, temos outr rã ue desce x, fzedo com ue som ds umerções dests dus rãs ão se ltere. Cso tods s rãs ocupem um mesmo degru (digmos y), etão tods s sus umerções são iguis deste degru, ou sej, teremos 0y = 55, ue ão possui solução iteir. Deste modo, é impossível ue tods s rãs ocupem um mesmo degru. EUREKA! N 4, 00 5

36 Exemplo.: As seguites operções são permitids com eução udrátic x bx c: ) trocr e c; b) trocr x por x t, ode t é um úmero rel. Repetido ests trsformções é possível trsformr x x em x x? Resolução: Mostrremos ue é ivrite o vlor do discrimite de tods s euções obtids pel plicção ds operções permitids. Iicilmete temos 0 = b 4c. Aplicdo primeir operção: x bx c cx bx () Pr est eução temos = b 4c = 0 Aplicdo segud operção: x bx c (x t) b(x t) c = x (b t)x t bt c () = (b t) 4(t bt c) = b 4bt 4 t 4 t 4bt 4c = b 4c = 0 = Como o discrimite de x x é 9 e o discrimite de x x é 5, trsformção é impossível.. Restos de Divisões Ivrites Exemplo.: (Toreio ds Ciddes-85) Todo membro de um seüêci, iicido do segudo, é igul som etre o termo precedete e som dos seus dígitos. O primeiro úmero é. É possível ue 456 perteç à seüêci? Resolução: Perceb ue: = =.0 = 4 =. 4 = 8 =. 5 = 6 =.5 6 = =.7 7 = 8 =.9... Apretemete os restos d divisão por dos termos são lterdmete e. Vmos demostrr isto. Sej S() som dos dígitos de. Sbemos ue e S() deixm o mesmo resto divisão por : i) Se = k = S( ) = k k = k. ii) Se = k = S( ) = k k = k. Deste modo, se é pr etão = k e se é ímpr etão = k (ivrite). Como 456 é divisível por etão ão pertece à seüêci. Exemplo.: (Leigrdo-85) Três cgurus estão lihdos em um estrd. A cd segudo um dos cgurus slt. É permitido ue um cguru slte por cim de um outro cguru, ms ão de dois cgurus de um só vez. Prove ue depois de 985 segudos, os cgurus ão podem voltr ocupr posição reltiv iicil. EUREKA! N 4, 00 6

37 Resolução: Existem seis posições pr os cgurus: Note ue s posições sublihds somete podem ser lcçds trvés de um posição terior em egrito e vice-vers (ivrite). Assim, depois de um úmero ímpr de pulos somete s posições sublihds (, e ) podem ser lcçds, fzedo com ue depois de 985 pulos ão sej possível ue os cgurus voltem ocupr posição iicil (). Exemplo.: (Prá-00) Um tbuleiro 4x4 possui, iicilmete, tods s css pitds de brco. Um operção permitid é escolher um retâgulo cosistido de css e pitr cd um ds css d seguite form: se cs é brc etão pit-se de preto; se cs é pret etão pit-se de brco. Prove ue, plicdo váris vezes operção permitid, é impossível coseguirmos ue todo o tbuleiro fiue pitdo de preto. Resolução: Distribuimos s letrs, b e c o tbuleiro d seguite form: c b b c b c b c c b Note ue s letrs estão lterds tto s lihs uto s colus. Est lterâci fz com ue tod vez ue um retâgulo com css sej seleciodo, etão extmete um letr, um letr b e um letr c são seleciods. Sejm: A utidde de css brcs com letr, B utidde de css brcs com letr b e C utidde de css brcs com letr c. No iício temos: A = 6 B = 5 C = 5. Tod vez ue seleciomos um retâgulo formdo de três css, estmos somdo cd vlor de A, B e C os vlores ou. Perceb ue se tods css ficrem prets, etão teremos A = 0, B = 0 e C = 0. Etretto, ote ue iicido de A = 6, B = 5 e C = 5, e lterdo simultemete por ou estes vlores, sempre teremos etre os vlores de A, B e C dois úmeros ímpres e um pr ou dois pres e um ímpr (ivrite), fzedo com ue situção A = 0, B = 0 e C = 0 sej impossível. Exemplo.4: (OBM Jr.-95) Temos um tbuleiro A cd um de sus 995 css ssocimos um dos úmeros ou. Em seguid, ssocimos cd EUREKA! N 4, 00 7

38 lih o produto dos úmeros ds css dest lih, e cd colu o produto dos úmeros ds css de cd colu. i) Se T é som dos úmeros ssocidos às lihs, colus e css, prove ue T é diferete de 0. ii) Se S é som dos úmeros ssocidos às lihs e às colus, prove ue S é diferete de 0. Resolução: i) Como temos 995 colus e 995 lihs, etão s soms dos úmeros ssocidos às lihs e colus são úmeros ímpres, pois são som ou subtrção de 995 úmeros ímpres. Em relção às css temos o mesmo rciocíio, pois são o todo 995 css, cujo vlor de cd cs pode ser igul ou. Somdo todos estes vlores teremos tmbém um vlor ímpr. Assim, T é som de três vlores ímpres, sedo tmbém ímpr, uc podedo ssumir o vlor zero. ii) Iicilmete otemos ue uluer disposição o tbuleiro pode ser lcçd prtido de um cofigurção iicil ul tods s css possuem vlor e lterdo-se os siis desejdos. Com o tbuleiro cotedo somete 's, temos ue s soms ds lihs e colus é 995, fzedo um som totl de 990, ue obvimete é o mior vlor possível. Qudo trocmos um por um, otmos ue s soms ds lihs e colus pssm ser 99, fzedo S = 986. Assim, fic evidete ue um lterção de um sil em um cs do tbuleiro lter o vlor d som d lih e d colu ul pertece est cs em ±, e por coseüêci lter som totl em 0 ou ± 4 (ivrite). Deste modo, som totl pode ser escrit d form S = 990 4k. Cso S = 0, terímos 4k = 990, ue ão possui solução iteir, bsurdo. Exemplo.5: (Hog Kog-97) Cico úmeros,,, 4, 5 estão escritos em um udro egro. Um estudte pode pgr dois dos úmeros e b o udro e escrever os úmeros b e b os seus lugres. Se est operção é repetid idefiidmete, podem os úmeros, 7, 64, 80, 540 precer o udro egro o mesmo tempo? Resolução: Não é possível. Note ue o iício existe somete um úmero divisível por e o fil existem utro úmeros divisíveis por. Observemos o ue cotece com os restos d divisão por dos úmeros o udro udo fzemos um operção: i) se = x e b = y b = z e b = w ii) se = x e b = y b = z e b = w iii) se = x e b = y b = z e b = w iv) se = x e b = y b = z e b = w EUREKA! N 4, 00 8

39 v) se = x e b = y b = z e b = w vi) se = x e b = y b = z e b = w Portto, úic form de umetr os divisíveis por é escolher = x e b = y. Coseuetemete tmbém crescetmos um úmero d form k. Por outro ldo, situção fil o úico úmero ue ão é divisível por é 64, ue é d form k, cotrdição, pois este úmero deveri ser d form k (O cso iii) mostr ue sempre hverá um úmero d form k pós termos 4 deles d form k).. Tedêcis de Crescimeto ou Decrescimeto Ivrites Exemplo.: Um totl de 000 pessos estão dividids etre os 5 urtos de um msão. A cd miuto, té ue tods ão estejm em um mesmo urto, um pesso d pr um urto com um úmero igul ou mior de pessos do ue o urto ue ocupv. Prove ue evetulmete tods s pessos vão estr em um mesmo urto. Resolução: Sej i utidde de pessos o urto i, i 5. Cosidere expressão I = Digmos ue um pesso si de um urto ue possui pessos e vi pr um urto ue possui m pessos (m ). A vrição de I é: I = ((m ) ( ) ) (m ) = (m ) > 0 Assim, tod vez ue um pesso troc de urto o vlor de I cresce (tedêci de crescimeto ivrite). Etretto ote ue o vlor de I ão pode crescer idefiidmete, um vez ue o úmero totl de pessos é fiito, implicdo ue um hor tods s pessos estrão em um mesmo urto. Exemplo.: ( List de Preprção pr Coe Sul-00) Existem iicilmete úmeros em um udro egro. Em cd psso é permitido pgr uisuer dois úmeros e b e escrever o úmero b. Est operção é feit vezes. Prove b ue o último úmero ão é meor ue. Resolução: Supoh ue depois de k operções temos os seguites úmeros escritos o udro:,,..., k. Cosidere expressão I k =.... k EUREKA! N 4, 00 9